PAGEPAGE5小學三年級奧數教程學校：________________________班次:__________________________姓名：_________________________目錄第一講加減法的巧算（一）第二講加減法的巧算（二）第三講乘法的巧算第四講配對求和第五講找簡單的數列規律第六講圖形的排列規律第七講數圖形第八講分類枚舉第九講填符號組算式第十講填數游戲◆第十一講算式謎（一）◆第十二講算式謎（二）◆第十三講火柴棒游戲（一）◆第十四講火柴棒游戲（二）◆第十五講從數量的變化中找規律◆第十六講數陣中的規律第十七講時間與日期第十八講推理第十九講循環第二十講最大和最小第二十一講最短路線第二十二講圖形的分與合第二十三講格點與面積第二十四講一筆畫◆第二十五講移多補少與求平均數◆第二十六講上樓梯與植樹◆第二十七講簡單的倍數問題◆第二十八講年齡問題◆第二十九講雞兔同籠問題◆第三十講盈虧問題◆第三十一講還原問題◆第三十二講周長的計算◆第三十三講等量代換◆第三十四講一題多解◆第三十五講總復習（5）2497+183（6）3498－4382.直接寫出得數(1)376+174+24（2）864+（673+136）+227（3）1324―875―125（4）3842―1567―433―8423.計算下列各題。（1）99999+9999+999+99+9（2）7+7+5+2+7我們在進行異分母分數加減法時，一般要先通分，再計算。但是對于有一定特點的或比較復雜的異分母分數加減運算，用上面的方法就比較麻煩了。今天，我們就來研究一些巧算的方法。

（一）閱讀思考

1.分子是1的異分母分數加減法

計算下面各題，觀察計算結果與原分數有什么關系？

規律：

2.分母是互質數的分數加減法

觀察下面各題，找出計算方法

規律：

3.將六個分數分成三組，使每組中兩個分數的和相等。

（

）+（

）=（

）+（

）=（

）+（

）

【模擬試題】（答題時間：40分鐘）（二）嘗試體驗

1.計算：

2.計算：

3.簡算：（1）

（2）

（3）

（4）

4.一個分數約分后等于，如果原分數的分子比分母小36，求原來的分數。

第二講加減法的巧算（二）我們已經知道了有關簡單加減法的巧算方法。對于稍復雜的加減法，如何進行巧算呢？這一講，我們就來討論這個問題。例題與方法計算:1654－(54+78)計算:2937－493－207計算:657897－657323+297計算:995+996+997+998+999計算:1000－91－1－92－2－93－3－94－4－95－5－96－6－97－7－98－8－99－9練習與思考下列各題。（1）538－194+162（2）497+334－297（3）7523+（653－1523）（4）9375－（2103+3375）874―（457―126）（6）3467―253―174―47―126計算下列各題。657－（269+257）+16977+79+79+80+81+83+841000―81―19―82―18―83―17―84―16―85―15―84―16―83―17―82―18―81―19901+902+905+898－907+908－895997+3―（997―3）第3講乘法中的巧算例1222×112456×11[分析]為了速算,可以記一句口訣:“兩頭一拉，中間相加”。2222442222×11=24422456270162456×11=2701616×5[分析]一個數×5,可以除以“2”添上“016×5=(16÷2)×10=80例324×15[分析]一個數×15，“加半添0”24×15=（24+12）×10=360例4從10到20×之間的兩位數相乘（十幾×十幾）13×14[分析]個位數相加后再加“10”，然后乘“1013×14=182想：（3+4+10）×10=1703×4=12170+12=182例562×6881×89[分析]62×68，一首數6+1=7，頭×頭是：7×6=42，尾×尾是2×8=16，42與16在一起：421681×89，一首數8+1=9，頭×頭9×8=72，尾×尾是1×9=9，因為9小于10，所以72與9相聯時，在9的前面添一個0。答案是81×89=7209例672×3268×48[分析]72×32頭加頭+尾是7×3+2=23尾×尾是:2×2=4因為4小于10,所以23與4相聯時,在4前邊補一個0,答案是:72×32=230468×48頭加頭+尾是6×4+8=32尾×尾8×4=64答案是:68×48=3264練習:14×5114×519×173728×111295×1116×1836×1572×1578×7284×8662×4231×7143×25×4125×（19×8）50×13×225×32×125125×649×37+9×63102×4365×99+65125×79845×123-45×23第4講配對求和高斯是德國著名的數學家、物理學家和天文學家，從小就聰明過人。他8歲時，老師給他和班上的同學出了一道題：+2+3+4+…+99+100=？8歲的小高斯很快報出了得數：5050。這個答案完全正確！最讓老師吃驚的是，小高斯是計算速度如此快小高斯用什么辦法算得這么的呢？原來，他用了一種巧妙的方法——配對求和。這種方法正是我們要向讀者小朋友介紹的。例題與方法計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10計算：11+12+13+14+15+16+17+18+19計算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+110有一垛電線桿疊堆在一起，一共有20層。第1層有12根，第2層有13根……下面每層比上層多一根（如下圖）。這一垛電線桿共有多少根？練習與思考計算：1+2+3+4+…+18+19計算：1+2+3+4+…+29+30計算：2+4+6+8+…+98+100計算：40+41+42+…+61計算：13+14+15+…+27有20個數，第1個數是9，以后每個數都比前一個數大3。這20個數連加，和是多少？有一串數，第1個數是5，以后每個數比前一個數大5，最后一個數是90。這串數連加，和是多少？一堆圓木共15層，第1層有8根，下面每層比上層多1根。這堆圓共多少根？省工人體育館的12區共有20排座位，呈梯形。第1排有10個座位，第2排有11個座位，第3排有12個座位，……這個體育館的12區共有多少個座位？有一個掛鐘，一個點鐘敲2下，三點鐘敲3下……十二點敲12下，每逢分種指向6時敲1下。問這個掛種一晝夜共敲多少下？第5講找簡單數列的規律在日常生活中，我們經常會碰到一定排列的數，比如：一列自然數：1，2，3，4，5，6，7，8，…年份：1980，1981，1982，1983，1984，1985，1986，…某工廠全年產量（按月份排）：400，450，500，450，500，550，…像上面的這些例子，都是按某種法則排列的一列數，這樣的一列數就叫做數列。數列里的每一個數都叫做這個數列的項。其中第1個數叫做數列的第1項，第2個數叫做數列的第2項，第n個數列叫做數列的第n個數叫做數列的第n項。比如在年份數列中，第4項是1983，第7項就是1986。研究數列的目的是為了發現數列中的數排列的規律并依據這個規律來解決問題。例題與方法例1找出下面數列的規律，并根據規律在括號里填出適當的數。3，6，9，12，（），18，2128，26，24，22，（），18，1660，63，68，75，（），（）180，155，131，108，（），（）196，148，108，76，52，（）6，1，8，3，10，5，12，7，（），（）0，1，1，2，3，5，8，（），（）10，98，15，94，20，90，（），（）例2 在下面數列中填出合適的數。1，3，9，27，（），2431，2，6，24，120，（），50401，1，3，7，13，（），310，3，8，15，24，（），48，63在下面數列的每一項由3個數組成的數組成的數表示，它們依次是：（1，5，9），（2，10，18），（3，15，27），……。問第50個數組內三個數的和是多少？先找規律，再填數。1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=（）12345×9+6=（）123456×9+7=（）1234567×9+8=（）第6講圖形的排列規律找規律是解決數學問題的一種重要手段。而發現規律既需要敏銳的觀察力，又需要嚴密的邏輯推理能力。同學們一定聽說過福爾摩斯這個人吧，他是世界著名的大偵。我們從小說和電視劇中看到福爾摩斯的“破案”簡值神極了，什么疑難案件，他都能把業超級大國去肪分析清楚。他靠的不僅是淵博的知識，還有細心敏銳的觀察與嚴密的邏輯推理。這一講將為你提供很多圖形，它們在某一個方面，比如顏色、形狀、大小、結構、位置或繁難等有些共同的特征或變化規律，我們要學會通過觀察找規律，并根據規律來推斷結果。例題與方法例1下面哪個圖形和其他幾個不一樣，請你找出來，并打上“√”。(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)例2按順序觀察下圖的變化規律，想一想在帶“？”處應選擇哪一個圖形？??可供選項：①①②③④ 仔細觀察下面的三個圖形，然后選擇一個合適的圖形填在“？”處。根據等號左邊兩個圖形的變換關系，推斷出“？”處應選擇第幾號圖形？==？①①②③④下面的圖形是按一定規律排列的，請仔細觀察，并在“？”處填上適當的圖形。（1）（2）（3）（4）（4）（5）（6）（7）（8）（9）？？？練習與思考1．選擇合適的圖形，將圖號填入虛線框內。①②①②③④①②①②③④①②①②③④2．仔細觀察下面圖形，按其變化規律在“？”處填上合適的圖形。？（1）？？(2)？3.根據左邊圖形的關系，畫出右邊圖形的另一半。(1)(2)(3)4．從所給的6個圖形中，選出一個適當的圖形，將它的編號填入“？”處。?(1)?①①②③④⑤？(2)？①①②③④⑤第七講數圖形晚飯過后，媽媽給小明出了一道“試眼力”的題目：數數窗戶上一共有幾個正方形。小明看，立刻回答：“窗戶上有6個正方形。”媽媽笑了，爺爺在一旁也笑了，小明給弄了個“丈二和尚摸不著頭腦”。小朋友，你知道小明的爺爺媽媽為什么笑嗎？小明數昨難道不對嗎？如果不對，那么窗戶上窨有幾個正方形呢？下面我們就一起來研究數圖形的問題。例題與方法下圖中有多少條線段？AABCDEODODCBAAABEDC下圖中共有多少個三角形？右圖中有多少個正方形？AAB數一數圖中共有多少個三角形？AABCDABCABDDBC練習與思考1．下圖中各有多少條線段？ABABCDEFAABCDEFFGHI（2）AABCEFD（3）EFEFDABCO3．下圖中各有多少個三角形？(1)(2)（3）（4）4．下圖中各有多少個長方形？(1)(2)(3)5．下圖中有多少個正方形？第8講分類枚舉小芳為了給災區兒童捐款，把儲蓄罐里的錢全拿了出來。她想數數有多少錢。小朋友，你知道小芳是怎么數的嗎？小芳是個聰明的孩子，她把錢按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分類去數。所以很快就好了。小芳數錢，用的就是分類枚舉的方法。這是一種很重要的思考方法，在很多問題的思考過程中都發揮了很大的作用。下面就讓我們一起來看看它的本領吧！例題與方法例1．右圖中有多少個三角形？例2．右圖中有多少個正方形？例3．在算盤上，用兩粒珠子可以表示幾個不同的三位數？分別是哪幾個數？例4．用數字1，2，3可以組成多少個不同的三位數？分別是哪幾個數？往返于南京和上海之間的瀘寧高速列車沿途要停靠常州、無錫、蘇州三站。問：鐵路部門要為這趟車準備多少種車票？例6．小明有面值為3角、5角的郵票各兩枚。他用災些郵票能付多少種不同的郵資（寄信時，所需郵票的錢數）？例7．有一種用6位數表示日期的方法。例如，用940812表示1994年8月12日。用這種方法表示1991年全年的日期，那么全年中6位數字都不相同的日期共有多少天？練習與思考下圖中有多少個三角形？（1）（2）右圖中有多少個長方形？用0，1，2，3可組成多少個不同的三位數？從北京到南京的特快列車，中途要停靠9個站。在幾種不同標價的車票？用3張10元和2張50元一共可以組成多少咱幣值（組成的錢數）？中、日、韓進行四國足球賽。每兩隊踢一場。按積分排名次，一共踢多少場？麗麗有紅、藍、黑帽子各一頂，紅藍、黑圍巾各一條。冬天，麗麗每天戴一頂帽子、圍一條圍巾，有幾種不同的搭配方式？用例7的方法表示1994年的日期，6位數字各不相同的共有多少天？能力測試（一）一、填空題。（每空5分，共60分）1.1+2-3+4+5-6+7-8+9+10+11-12=（）2.15+16+17+18+19+20+21+22=（）3.按規律填出□中的數。（1）3，15，35，63，99，□，195（2）1，4，9，□，64，169，441（3）1，3，6，10，□，21，28，36（4）2，1，4，3，6，9，8，27，10，□4．數一數。ABABCDEFGH有（）條線段。（2）有（）個長方形。（3）有（）個角。（4）有（）個三角形。5．按照前面兩個圖形的變化規律，在“？”處畫上合適的圖形。?（1）?（2）二、用簡便方法計算下列各題。（每題4分，共20分）1．478-128+122-722．947+（372-447）-5723．15000÷125÷154．42×35+61×35-3×355．7+14+21+28+35+42+49+56+63三、解答題。（每題5分，共20分）1．用3個2分幣、4個5分幣能組成多少種不同的錢數？2．某學校乒乓球隊員14人,其中女隊員6人,現要組成雙打混合隊去參加比賽,有幾咱組隊方法?3.3根火柴可以擺成一個三角形,現如右圖擺了一個由許多這種小三角形組成的大三角形,大三角形的每邊均由29根火柴擺志,那么擺出這個圖形共需多少根火柴?4.小華、小明、小紅參加數學競賽。賽題20道，規定答對一道題給5分，答錯一題扣2分。小華、小明、小紅都答完了20道題，小華得了86分，小明得了72分，小紅得了65分。他們三人各答錯了幾道題？第9講填符號組算式祝枝山是“江南四大才子”中有名的人物，他寫得一手好字。有一次過年，一個人請祝枝山寫了一張條幅：“今年正好晦氣，全無財帛進門。”差一點氣昏過去，大罵祝枝山是個“大混蛋”。祝枝山不慌不忙，笑嘻嘻地說：“你聽我念：‘今年正好，晦氣全無，財帛進六。’這是多么好的口彩。“主人一聽，馬上轉怒為喜。古人的斷句，體現了標點符號的作用。數學中的運算符號也能發揮類似的作用。例題與方法例1．在下列4個4中間，添上適當的運算符號＋、－、×、÷和（），組成3個不同的算式，使得數都是2。4444=24444=24444=2例2．在批改作業時，張老師發現小明抄題時丟了括號，但結果是正確的。請你給小明的算式添上括號：4+28÷4-2×3-1=4例3．在下面的數字之間添上運算符號，使等式成立。123456789=60例4．在下面算式適當的地方添上加號，使等式成立。88888888=1000例5．在下面算式適當的位置添上適當的運算符號，使等式成立。88888888888888=1995例6．在下面式子的適當地方添上＋、－、×，使等式成立。12345678=1練習與思考在下面的式子里加上括號，使等式成立。5+7×8＋12÷4-2=755+7×8＋12÷4-2=205+7×8＋12÷4－2=1022．在下面的數字之間添上＋、－、×、÷和（），使等式成立。33333=1055555=499999=183．把運算符號＋、－、×、÷分別填入下面的○內，使等式成立。（6○18○3）○（7○2）=12（6○12○5）○（15○4）=74.在下列算式中適當的地方添上＋、－、×號，使等式成立。44444444444444=199666666666666666=19925．只添上一個加號和兩個減號，使下面等式成立。123456789=1006．在下列算式中適當的地方添上+、-號，使等式成立。987654321=21987654321=23第10講填數游戲愛因斯坦是舉世文明的大科學家，以發明物理學上的相對論著稱。他在成名后，仍繼續為德國的《法蘭克福報》寫稿，給讀者提出一些數學問題。下面是愛因斯坦做過的一道題目：如下圖所示的幾個圓的圓心是4個小的等腰三角形和3個大的等腰三角形的頂點，把數字1～9填入圓圈內，使這7個三角形中每個三角形頂點的數字之和都相等。這個問題就是我們所說的填數游戲，也就是數陣問題。要想解決大科學家做過的問題，我們得學習數陣方面的一些基礎知識。例題與方法把數字1，3，4，5，6分別填在右圖中三角形3條邊上的5個○內，使每條邊上3個○內數和和等于9。22將數字1，2，3，4，5，6填入圖中的小圓圈內，使每個大圓上4個數字的和都是16。有8張卡片，寫有數字1，2，3，4，5，6，7，8，請你重新按下右圖進行排列，使每邊3張卡片上的數的和等于13。112345678在右圖中各圓空余部分填上1，2，4，6，使每個圓中的4個數的和都是15。3357將數字1～5分別填在下圖中的○內，使每條線段上3個○內的數字之和相等。將數字1～8分別填入下圖中的□內，使每一橫行、每一豎相鄰3個□內的數字和相等。練習與思考1．把數字1～9填入下圖中，要求每行、每列和每條對角線上3個數的和都等于15。2．在上圖中，只能用圖中已有的3個數填滿其余的空格，并要求每個數字必須使用3次，而且每行、每列及每條對角線上的3個數字之和都相等。464683753．把數字1～8分別填入下圖的小圓圈內，使每個五邊形上5個數之和都等于21。4．把數字1，2，3，4填入上圖中的小圓圈內，使每條線上3個數的和與每個圓圈上3個數的和都等于12。5．將數字1～8填入圖中，使橫行□中的數字和等于豎行□中的數之和。6．將數字2～9分別填在圖中的○內，使每條線上五個○內數的和相等。11第11講算式謎（一）小朋友們可能都猜過這樣一個謎語，謎面是“空中碼頭”（打一城市名）。謎底你還記得嗎？記不得也沒關系，想想“空中”指什么？“天”。這個地名第1個字可能是天。“碼頭”指什么呢？碼頭又稱渡口，聯系這個地名開頭是“天”字，容易想到“天津”這個地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。這樣謎底就出來了：天津。數學當中也有這樣的謎，它是由一些數字與算式構成的，稱為算式謎。日本人形象地稱之為“蟲食算”，即算式中一些數字被蟲子咬去了。要想猜出算式謎，也得先分析這些數字和算式構成的“謎面”，再運用一些推理方法打到“謎底”。例題與方法例1．將數字0，1，3，4，5，6填入下面的□內，使等式成立，每個空格只填入一個數字，并且所填的數字不能重復。□×□=2=□□÷□例2．將數字1～9分別填在下面9個方格中，使算式成立。□＋□=□（1）□－□=□（2）□×□=□（3）例3．把數字19填在方格里，使等式成立，每個數字只能用一次。□÷□=□÷□=□□□÷□□□□□4+28□□□□□在下面算式的□內各填入一個合適的數字，使算式成立。□□00□-50□91□39練習與思考□8□＋□8□＋□6□3□□1282．在下面算式的空格內填上適當的數字，使算式成立。□4□□4□－□□6658□11＋□9□□81□3．在□內填上數字1～9，使算式成立，不能重復。□÷□×□=□□□＋□－□=□4．將數字0～9填到○內，組成等式，每個數字只能用一次。○+○=○（1）○-○=○（2）○×○=○○（3）5．將數字1～8分別填在下面兩圖的空框里，使圖中4個相關聯的算式都成立。＋=＋︱‖‖－=÷=︱×‖‖＋=6．下面算式中，每個方框代表一個數字，問每個算式中所有方框中的數字總和是多少？□□□□□＋□□□1993□□＋□□149第12講算式謎（二）*7******)*******************7******)*********************************0例題與方法少年兒童的心靈美×少年兒童的心靈美×美少少少少少少少少1□39例2．下面的算式里，相同的漢字代表同一數字，不同的漢字代表不同的數字。如果以下的3個等式成立：迎迎×春春=杯迎迎杯數數×學學=數賽賽數春春×春春=迎迎賽賽那么，迎+春+杯+數+學+賽的和是多少？例3．在右面算式的□內，填上適當的數字，使算式成立。□□2□□×□6□□□4□□53□□□□□□□□□□□□□2)□0□□4□41□9□13□□0DIBEF)BACEGDIBEF)BACEGCBGEBHAGBHAG0練習與思考285×□285×□□1□2□□□□□9□□59□□)□□□□□□□□□□6570（1）（2）□□□□8×□31□2□□□□×6□4□4ABCDE×ABCDE×AEEEEEE下面算式中同一個漢字代表相同的數，不同的漢字代表不同的數。問每個漢字各代表什么？優優優優優優÷學=學習再學習如果A、B滿足下面的算式，則A+B等于什么？ABAB×BA1143043154在□里填數，使算式成立。22□□□4□)□□□□□□□4□□□□□□44□□□□□0**7**)8******7**)8******3******6*0第13講火柴棒游戲（一）小朋友，火柴棒是我們家家都有的生活用品，用火柴棒做游戲簡便易學。用火柴棒可以擺成一列數字和運算符號：你們喜歡這樣的游戲嗎？在這一講里，我們要用火柴棒去探索變化無窮的數字世界，在有趣的游戲中，變得更聰明。例題與方法右面是用火柴棒擺成的算式，但這個算式是不成立的。只要移動1根火柴棒，算式就成立了。你會移動嗎？用4根火柴棒可能分別表示一些加減運算符號，然后把這4根火柴棒放到數字1至9中間去，使最終的運算結果等于100。請你下面算芽再加上一根火柴棒，使它成立。右面方格里的數字，都是用火柴棒組成的。請你移動其中的1根火柴，使每一橫行和豎行里的數字相加的和都相等。練習與思考移動1根火柴，使下面各題的等式成立。移動兩根火柴棒，使下面各等式成立。第14講火柴棒游戲（二）用火柴棒可以組成一些算式，用長短一樣的火柴棒也可以擺成各種圖形。如果拿掉或是移動火柴，變成其他圖形，非常有趣。你可以試一試。用6根火柴，照右圖擺成1個三角形。要把這個三角形變成六角形，只準移動4根火柴，應該怎樣移動？請你只移動3根火柴把3個三角形變成5個三角形。用24根火柴棒組成右邊的圖形。拿掉幾根火柴棒可變成新的圖形。右圖是由4個小正方形組成的正方形。現在要移動3根火柴，使它變成3個相等的正方形，應該怎樣移動？練習與思考有3個正方形都是由8根火柴組成。現在只有把這3個正方形的位置變成一下，就可以多出4個小正方形。應該如何移動？用9根火柴，怎樣擺放，才能擺出6個正方形來？下面是用18根火柴組成的6個同樣的正方形。上圖是由15根火柴組成的圖形。請你移動2根火柴，使它變成5個同樣的正方形。下面是用12根火柴組成的圖形。請你移動其中的3根火柴，使它變成3個正方形。上圖是用11根火柴組成的房子圖，移動其中的4根火柴，使它變成15個大小不等的正方形。右圖是用16根火柴組成的4個正方形，現在要用15根、14根、13根火柴各組成4個同樣大小的正方形，應該怎樣擺？用12根火柴組成6個正三角形，請按下列要求移動：（1）移動2根，變成5個正三角形。（2）再移動2，變成4個正三角形。（3）再移動2，變成3個正三角形。（4）再移動2，變成2個正三角形。第15講從數量的變化中找規律有一些幾何圖形，通過折疊、均分可以變成比較復雜的一系列圖形。要學會通過動手操作、計算、觀察，歸納出每個圖形數量之間的一般關系，并運用這種規律解決問題。把一張紙對折，再對折，然后在折疊著的角上剪一刀，就在紙的中間剪出了一個洞（見下圖）。將一張長方形紙對折，再對折，再對折……旭盯對折8次，有多少個小長方形？有多少條折痕？一個大正方形用“十”字形連續均分，所得的小正主形越來越多。問第18次均分后所得的正方形有多少個？第1000次均分后呢（不包括原大正方形。）將圓周3等分，在各點上分別寫上1，2，3，然后再將各部分2等分，在該點旁寫上相鄰數之和。這樣，一直到圓周分成96等分時，最大數是幾？所有數的和是多少？練習與思考將一樣大小的長方形像下圖那樣重疊粘在一起。當3張紙連在一起時，重疊處一共有多少個？當10張紙連在一起時，重疊處一共有多少具？如果每張紙的長是5厘米，這樣的3張紙連接起來（重疊處長都是1厘米）的長度是多少厘米？將一些畫好的圖畫像下面這樣釘在墻上（重疊處只釘2個圖釘）。如果有30張這樣的圖畫釘在墻上，至少要多少個圖釘？把畫好的圖畫釘在墻上。如果把14張圖畫照下面這樣釘成兩排，一共要多少個圖釘？如果把40張畫釘成兩排，共需多少個圖釘？如果把40張畫，每排釘8張，共需要多少個圖釘？把一張紙對折，再攤開來看看，這樣連續折幾次，并寫出每次折成的一小塊是整張紙的幾分之幾？如果像這樣連續對折10次，折成的一小塊是整張紙的幾分之幾？第16講數陣中的規律不少同學早就對“幻方”有所了解了。幻方之所以會引起人們的興趣，不僅因為幻方中的數排列得很整齊（都排成正方形），更是因為幻方中的數排列得很有規律，而這些規律往往很奇妙。自然數排列成其他形式的數陣也很整齊有序，也充滿著規律。在這一講，我們將會大開眼界。例題與方法例1.自然數1，2，3，4，…排成了下面的數陣：第1行1234第2行3456第3行5678第4行78910第5行9101112……（1）這個數陣中的第15行左起第3個數是。（2）48排在這個數列第行左起第個。例2．在下面的數陣中，第10行左起第3個數是。第1行1第1行1第2行23第3行456第4行78910第5行1112131415第6行161718192021……1251017…1251017…4—361118…9—8—71219…16—15—14—1320…25—24—23—22—21……………求上起第10行，左起第7個數。數87應排在上起第幾行，左起第幾列？1234567891023456789101112345678910234567891011345678910111245678910111213567891011121314678910111213141578910111213141516891011121314151617910111213141516171810111213141516171819練習與思考在空的○內填上適當的數。12345678910111213141516………12345678910111213141516………將自然數按下表的順序排列。（1）最下面一橫排從左到右第10個數是。（2）a=。16……1117……71218a……4813……25914……1361015……124711…124711…35812……6913………1014…………15……………（1）第1行第8個數是。（2）200位于這數表中第行左起第個數。1234876512348765910111216151413171819202423222125262728……………（1）第10行第1個數是。（2）100在第行左起第個位置。6．將1～1001各數排成如下的長方陣：12345671234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435…99599699799899910001001用一個長方形任意框出6個數，要使這6個數的和為1995。這6個數分別是。第17講時間與日期我們已經學過有關時間的基本知識，如時、分、秒，年、月、日，對星期、季度、世紀、閏年等也比較熟悉。日常生活中，我們幾乎每天都在和鐘表、日歷（掛歷、臺歷）等打交道。有了這些關于時間、日期的知識，有了認識、計算和掌握時間的經驗，我閃分析、解決時間問題也就比較容易了。從1999年8月16日到2000年3月8日共經過多少天？昨天是9日，今天是（星期三），再過1個星期、2個星期、3個星期……都是星期三。從10日再過19天就是29日電報局以，要看19天中有幾個7天，還余幾天。小嘉16號下午買回來一盆花。她從晚上7點開始第1次澆花，然后每隔12小時澆一次。小嘉第8次澆花是在幾號幾點？小李今年（1999年）已經20多歲了，可是他1996年才過第6個真正的生日。小李出生在幾月幾日，今年幾歲（小李剛出生的那天算做過第1個生日）？某年的6月份有4個星期三，5個星期二，這年的6月1日是星期幾？張教授實驗室里的掛鐘逢整個噗報時，幾點就敲響幾下。今天上午，他開始做實驗時，掛鐘報時。他做完實驗時，恰好掛鐘又報時。從實驗開始到結束，掛鐘睛共敲響33下。張教授的實驗做了小時。練習與思考1.從3月25日到7月7日共經過天。2．一個月中最少有個星期日，最多有個星期日。3．某年的元旦是星期五，這年國慶節是星期。4．一臺機器從上午7：30開始工作，連續工作了430分停機，這臺機器是點分停機的。5．一頁掛歷被墨水弄污了（如右圖），有些日期看不見，這個月18日是星期。6．掛鐘報時的規律是：每逢整點，幾點就響幾下；每逢半點（如6點半、7點半、12點半），就敲一下。從上午9點到晚上9點，掛鐘報時一共響了下。7．王叔叔上班時從鐘樓經過，剛好聽見報時，鐘響6下（6點）。從第1響到第6響，，間隔30秒。中午下班時，王叔叔碰巧又趕上鐘樓報時，從第1響到最后1響，恰好經過1分鐘。王叔叔下班路過鐘樓是點。8．小米生病了，醫生讓他每隔6小時吃一粒藥。17日中午12點，小米已經吃第12粒藥了。小米是日點吃的第1粒藥（吃藥所用的時間忽略不計）。9．某年的9月份有4個星期一，5個星期二。這一年10月1日是星期。10．小剛每天早晨起床后就把昨天的日歷撕掉。一天下午他們全家一起從南京到上海外婆家去，過了3天回到家。小剛一邊連撕掉3張日歷，這3張日歷上3個日期加起來恰好是60。小剛號去上海的。第18講推理在日常生活中我們常碰到到這樣的情況：看到一個人的面孔，可以推斷出這個人的大概年齡；甲比乙長得高，乙比丙長得高，我們可以推斷甲一定比丙長得高。像這樣根據一些已經知道的事實，推斷出某些結果，就是推理。例題與方法例1．王菲、李娜、劉蓉都穿著新的連衣裙去參加游園會。她們穿的裙子一個是花的，一個是白的，一個是藍的。只知道劉蓉沒有穿藍裙子，王菲既不穿藍裙子，也不穿花裙子。請你開動腦筋，回答：穿白裙子的名叫。穿藍裙子的名叫。穿花裙子的名叫。例2．飛飛有4個同樣的用紙片做成的骰子，骰子的每一面都印有不同的圖案。把其中一個骰子拆開，就成了圖1這樣子。請你猜猜①、②、③、④、⑤這幾個面上的圖案各是什么，并在圖下畫出來。12121321514321例3．有甲、乙、丙、丁4個同住在一座4層的樓房里，他們之中有工程師、工人、教師和醫生。如果已知：甲比乙住的樓層高，比丙住的樓層低，丁住第4層。醫生住在教師的樓上，在工人樓下，工程師住最低層。試問：甲、乙、丙、丁各住在這座樓的幾層？各自的職業是什么？例4．對某班同學進行了調查，知道如下情況：有哥哥的人沒有姐姐。沒有哥哥的人有弟弟。有弟弟的人有妹妹。試問：有姐姐的人沒有哥哥，對嗎？有弟弟的人沒有哥哥，對嗎？沒有哥哥的人有妹妹，對嗎？例5．有3頂紅帽子、2頂白帽子，現將其中的3頂給排成1列的3人每人戴一頂，每人都只能看到自己前面的人的帽子，而看不見自己的自己后面人的帽子，同時3人也都不知道剩下的2頂帽子的顏色（但都知道他們3人的帽子是從3頂紅帽子、2頂白帽子中取出的）。練習與思考爸爸買回來3個皮球，其中2個是紅色的，1個是黃色的。哥哥和妹妹都搶著要。爸爸讓他們倆背對背地坐好。爸爸給哥哥的手里塞了1個紅球，給妹妹的手里塞了1個黃球，把剩下的1個球藏在自己的手中，然后讓他們猜爸爸手里的球是什么顏色。誰猜對了，就把球給誰。你們說，誰會得到這個球？有紅、白、藍、黃、黑5個盒子，其中紅盒比白盒大；藍盒比黃盒大比黑盒小；黃盒比白盒大；黑盒比紅盒小。試問哪個盒子最大，哪能個盒子最小？有兩個自然數的積是40，證明它們的的不會大于41。某班學生，如果：①有紅色鉛筆的人，沒有綠色鉛筆；②沒有紅色鉛筆的人，有藍色鉛筆。那么“有綠色鉛筆的人，就是藍色鉛筆”，對嗎？甲、乙、丙、丁4人一同賽跑，共跑了4次，其中甲比乙快的有3次；乙比丙快的有3次；丙比丁快的有3次。甲一定有3次比丁跑得快？丁是否可能有3次跑得比甲快？狐貍、灰兔、小熊、小豬和松鼠參加了跳繩比賽。小豬比狐貍少跳了3下，小熊和小豬跳得同樣多，灰兔比狐貍多跳了3下，比松鼠少跳3下。請你想想，這次跳繩比賽得第1的是誰？得第2的是誰？得第3和是誰？一個院子里住了4戶人家，房號分別是：1號，2號，3號，4號。4家的主人是：張三，李四，王五，趙六。現在1號關著門，煙囪冒著煙；2號開著門，門口放著一輛自行車；3號鎖著門；4號掩著門。已知張三到李四家下棋去了；王五正在家做飯；趙六剛下班。請你判斷一下：1～4號各住著誰？警察攔住一輛摩托車，問騎車人：“坐在后面的是誰？”騎車人回答說：“是我的兒子。”警察又問后面坐車人：“騎車人是你的爸爸嗎？”坐車人回答說：“不是。”那么騎車人和坐車人究竟是什么關系？運動會上，1號、2號、3號、4號運動員限得了800為賽跑的前4名，小記者來采訪他們各自的名次。1號說：“3號在我前面沖過了終點。”他旁邊得第3名運動員說：“1號不是第4名。”小裁判員說：“他們的號碼與他們的名次都不相同。”請你動腦筋想一想，他們分別得了第幾名？10．甲說：“我10歲，比乙小2歲，比丙大1歲。”乙說：“我不是年齡最小的，丙和我差3歲，丙是13歲。”丙說：“我比甲年齡小，甲11歲，乙比甲大3歲。”以上每人所說的3句話中都有一句是錯誤的。請確定甲、乙、丙3人的年齡。能力測試（二）一、在下列各式中合適地地方，添上合適的運算符號＋、－、×、÷或（），使等式成立。1．33333=62．33333=73．66666=194．99999=215．77777=20二、在下列各式中的合適地方只添＋或－，使算式成立。987654321=22三、移動一根或兩根火柴，使算式成立。四、在□里填上合適的數。□37□37－□□6805□+□7□01□4□4□4－□25777□□8□7＋□2□□□18五、1.已知□＋□＋△＋△=24□＋△＋△=14那么□=（）△=（）2.已知□+□+△+○=16□+△+△+○=13□+△+○+○=11那么□=（）△=（）○=（）六、右面算式中，相同漢字代表相同數字，不同漢字代表不同數字。數學×數學×數16數+好好愛數學好=（）愛=（）七、解答題。1．從1998年9月25日到1999年7月13日共經過多少天？2．某年的“六一”兒童節是星期一，這年的國慶節是星期幾？3．觀察下圖所示的數表，并找出它的排列規律，請你寫出第15行的第1個數。1124579101214161719212325………………4．下圖是自然數列排成的數陣，按照這樣的排列規律，1993在哪一列？ABCDEFABCDEF12365478912111013141518171619……5．3戶人家每家有一個孩子，分別是小惠（女），小紅（女），小虎（男），孩子的爸爸是老王、老張和老陳，媽媽是劉英、李玲和方麗。（1）老王和李玲的孩子都參加了女子體操隊。（2）老張的女兒不是小紅。（3）老陳和方麗不是一家人。這3戶人家的爸爸、媽媽和孩子各是誰？請你寫出來。第19講循環在日常生活中，有一些按照一定的規律不斷重復出現的現象。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬都是按順序不斷重復出現的。在數學中，也常會碰到一些重復出現的問題。在研究這些問題時，我們不僅要判斷其不斷重復出現的規律，也就是找出循環的固定數，而更重要的是看它的余數。如1999年元旦是星期五，2000年元旦是星期幾？因為1999年是平年，有365天，365÷7=52……1，所以2000年的元旦是星期六。這就是根據365除以7所得的余數來判定的。下面就向大家介紹這方面的知識。例題與方法例1．流水線上給小木球涂上色的次序是：先5個紅，再4個黃，再3個綠，再2個黑，再1個白，然后又依次是5紅、4黃、3綠、2黑、1白……如此繼續涂下去，到第1999個小球該涂什么顏色？有一列數：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，…（1）第81個數是多少？（2）這81個數相加的和是多少？ABCD1234ABCD123456789101112…………124312437865例5．1999個學生按下列方法編號排成5列：一二三四五一二三四五1234598761011121217161514……最后一個學生應站在第幾列？練習與思考老師有1～53號卡片依次發給趙紅、李軍、五王林、張立4個人。第38號卡片應發給誰？李華把平時積存的硬幣按先3個壹角幣、再2個伍角幣、最后1個壹元幣的順序排列，說出李華擺出的第46個硬幣面值是多少？為慶祝國慶節，市少年宮內插了很多彩旗。彩旗是按4面黃旗、3面紅旗、2面綠旗、1面藍旗的順序排列的。第109面旗應是什么顏色？已插了幾面黃旗、幾面紅旗、幾面綠旗、幾面藍旗？把自然數按下圖的順序排列，請問“39”排在哪個字母下面？ABCDABCD123456789101112…………我愛小學生數學報我愛小學生數學報……依次排列，第999個漢字是什么？2000年1月1日是星期六，那么20006年6月1日是星期幾？按下面的方法擺60個三角形，有多少個白色的？△▲▲△▲△△▲▲△▲△△……1211213143154316543176543187654319876543110121113第20講最大和最小六月一日，“小天使”兒童餐店迎來了28位前來就餐的小朋友。快餐店的老板準備了一份精美的禮品送給其中年齡最小的小朋友。誰的年齡最小呢？當每個小朋友報出自己的年齡后，老板發現，其中有10歲的，也有9歲的、8歲、7歲、6歲的，最小的是5歲。但是5歲的小朋友有4位。按照這4位小朋友生日的先后，還能找到一個最小的，因此老板要他們各自報出自己的生日。結果如下：小雨2月8日豆豆5月2日苗苗8月16日阿慧12月9日把這4位小客人的生日一比，很容易知道，阿慧是28位小朋友當中最小的。阿慧得到老板送的大蛋糕。她把這塊大蛋糕分成了28份，讓大家和她一起品嘗。也許有的同學會問：“如果這4個小朋友中有兩個生日是同一天，哪該怎么辦呢？”辦法還是有的——繼續比呀！看他們兩個小朋友誰生得早些，誰生得遲些。礻好比我們要比較兩個三位數的大小，先看百位上的數，百位數大的就大；百位數相同就看十位數，十位數大的就大。如果百位數、十位數都相同，就看個們數的大小了。當然，“最大的”或“最小的”并不都能通過比較得出。下面的“例題與方法”將會教給你這方面的知識。例題與方法用1，4，7，9這4個數字組成一個最大的四位數。從十位數7677782980中劃去5個數字，使剩下的5個數字（先后順序不改變）組成的五位數最小。這個最小的五位數是多少？某公共汽車從起點站開往終點，中途共有9個停車站。如果這輛公共汽車從起點站開出，除終點站外，每一站上車的乘客中，從這一站到以后的每一站正好有一位乘客下車。為了使每位乘都有座位，那么這輛公共汽車至少有座位多少個？錢袋中有1分、2分和5分3種硬幣。甲從袋中取出3枚，乙從袋中取出2枚，取出的5枚硬幣僅有2種面值，并且甲取出的3枚硬幣面值的和比乙取出的2枚硬幣面值的和少3分，那么取出的錢數的總和最多是多少分？一把鑰匙只能開一把鎖，現在有4把鑰匙4把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖，最多要試幾次就能配好全部的鑰匙和鎖？把1，2，3，4，5，6，7，8填入下面算式中，使得數最大。將5，6，7，8，9，0這六個數字填入下面算式中，使乘積最大。□□□×□□□例8．有兩個整數A和B，它們的和是8，當A=，B=時，A×B最大。練習與思考1．最大的四位數，比最小的三位數小26的數是。2．156-2A﹤75，A最小是；□□□□-□□□=B，那么B最大是，最小是；□□□÷43=□……C，C最大是。3．用1，3，5，8組成的四位數中，最大的是，最小的是。4．甲、乙兩面三刀數的和是12，當甲數=，乙數=時，它們的乘積最大，這個最大的乘積是。5．在一次環保知識搶答比賽中，有3分題、5分題材、8分題3種，王小燕同學在1分鐘內得了29分，她最多答對題，最少答對題。6．把27枚硬幣放在6個盒子里，其中每個盒子至少放2枚。假設已經有5只盒子里都放過硬幣了。剩下的那只盒子至少放枚，至多放枚。7．現有10對鑰匙和鎖混放在一起，不知道哪把鑰匙配哪把鎖。至多要試開次，可把它們全部配成對。8．在多位數464748495051中劃去6個數字，使剩下的數字（先后順序不改變）組成的六位數最大。這個最大的六位數是。9．有9顆鋼珠，其中8顆一樣重，另一顆比這顆略輕。用一架天平最多稱次，可以找到那顆較輕的鋼珠。第21講最短路線在日常生活中、工作中，經常會遇到有關行程路線的問題。比如：郵遞員送信，要穿遍所有的街道，為了少走冤枉路，需要選擇一條最短的路線；旅行者希望尋求最佳旅行路線，以求能夠最近和路而達到目的地，等等。這樣的問題，就是所謂“最短路線問題”。例題與方法假如直線AB是一條公路，公路兩側有甲、乙兩個村子（圖1）。現在要在公路上修建一個公共汽車站，讓這兩個村子的人到汽車站的路線之和最短。問“車站應該建在什么地方？124213124213圖5中的線段表示的是小明從家到學校所能經過的所有街道。小明上學走路的方向都是向東或向南，因為他不想偏離學校的方向而走冤枉路。那么小明從家到學校可以有我少條不同的路線？小明家小明家↑北△□學校如圖8，從甲地到乙地最近的道路有幾條？甲甲乙某城市的街道非常整齊，如圖10所示。從本南角A處到東北角B處要求走最近的路，并且不能通過十字路口C（正在修路），共有多少種不同的走法？CB→→A練習與思考圖13是一個街區街道的平面圖。郵遞員從郵局出發，跑遍所有街道投送信件。請你為他安排一條最短的路線，并按圖中標出的千米數算出這條路線的長度（單位：千米）。2122122△郵局2113圖14是一個街道平面圖。王宏要從A處到B處，在不走回頭路，不走重復路的條件下，可以有多少種不同的路線？請你用交叉點上標數的方法計算一下。AAB學校AB北C學校AB北CM↑DNE少年宮-FGHPQPQ如圖17所示，某城市的街道圖，若從AZ走到B（只能由北向南、由西向東），則共有多少種不同的走法？AAB如圖18所示，從甲地到乙地，最近的道路有幾條？乙乙甲圖19為某城市的街道示意圖，C處正在挖下水道，不能通車，眾A到B處的最短路線共有多少條？BBACAB8.AB第22講圖形的分與合把一個幾何圖形按照某種要求分成幾個圖形，就叫做圖形的分割。反過來，按照一定的要求也可以把幾企圖產形拼成一個完整的圖形，就叫做圖形的拼合。在日常生活和生產實際中，經常會碰到一些圖形分割或拼合問題。當你感到分割或拼合圖形有困難時，請記住：最好的方法是動手畫一畫、剪一剪、拼一拼。例題與方法把一個正方形分成形狀、大小相等的4份，該怎樣分呢？如右圖，把一塊地分給4個小組種植，形狀大小要相同（每一塊有相同的點數），怎樣分？⑤④③⑤④③②①從上面6塊圖形中選用幾塊拼成下面的圖形，你能說出它們分別選用了哪幾塊嗎？請你用虛線表示出拼的方法，并標上所選圖形的編號。你能把一個等邊三角形分成大小、形狀都相同的3個、4個、6個、8個、9個、12個三角形嗎？請用虛線將分法表示出來。3個4個6個3個4個6個8個9個12個練習與思考請把下面的圖形分成7專用長方形，使每塊長方形中含有相連的2個小方格。你能把上面的正方形分成形狀、大小相同的4塊嗎？你能想出多少中不同的分法？你能把右圖的圖形分成面積和形狀都相同的5塊嗎？共有多少個小正方形？分成面積相等的5塊，每塊有多少個小正方形？要求形狀相同，該怎樣分？在圖上將分法畫出來。下圖中左邊的5塊圖形各有5個小正方形。請你用左現的5塊圖形拼成一個大正方形，并表示出每塊圖形的位置①②→③④⑤你能將上面的圖形剪成三塊，拼成正方形嗎？請畫出剪和拼的方法。數學樂園右圖是由三個同樣大小的正方形組成的數學樂園第23講格點與面積在一張方格圖中，每個方格都是一個小正方形，并且大小都相等，我們稱為一個面積單位。例如：右圖中帶陰影的小方格就是一個面積單位。借助格點圖，我們可以很快的比較或計算圖形面積大小。例題與方法下圖是用皮筋在釘板上分別圍成的正方形、長方形、平行四邊形和三角形。它們的面積分別是多少？求下圖中各圖形的面積。求下左圖中圖形的面積。求右圖中圖形的面積。練習與思考求下圖中各圖形的面積。求下圖中各圖形的面積。求下圖中各圖形和面積。求下圖中各圖形的面積第24講一筆畫小朋友們，你們能將下面的圖形一筆畫出嗎？如果用筆在紙上連續不斷又不重復，一筆畫成某種圖形，這種圖形就叫一筆畫。那么是不是所有的圖形都能畫成呢？下面我們就來一起總結一筆畫的規律。例題與方法下面這些圖，哪個能一筆畫？哪個不能一筆畫？（1）(2)（3）（4）下面各圖能否一筆畫成？（1）(2)（3）ADBC下面和圖形，哪些能一筆畫？哪些不能一筆畫？下頁圖（1），至少要畫幾筆才能畫成？請你給出一種畫法。ADADOB(1)C小丁是一名剛剛參加工作的郵遞員，他將他所要走的街道畫成地圖（如下圖），打算設計一種最好的方法，使得自己每天不重復的走遍每一條街。小丁動腦筋想了想，很快就想出了方法。小朋友，你知道小丁是怎么走的嗎？練習與思考一筆畫出下列圖形。下列圖形，至少幾筆畫出？一只蝸牛由A點出發，不重復的爬過每一個小格，評估你繪出一條路線。AAABAB能力測試（三）填空。（1）1，3，9，27，（）（2）16，15，13，12，10，9，（）（3）30，15，45，15，60，（）（4）10，8，16，13，39，35，（）2．下圖是由3個正方形組成的，請將這個圖形分成4個形狀、大小完全相同的部分。3．將上圖分成大小、形狀都相等的兩部分。4．先判別下面幾個圖形哪些能一筆畫，然后把它畫出來。5．求下面格點圖中圖形的面積（格點間距1厘米）。(1)(2)(3)（4）（5）(1)(2)(3)（4）（5）7．從甲村到乙村有4條路，從乙村到丙村有3條路，從丙村到丁村有2條路。那么，從甲村到丁村最多有多少種不同的走法？8．有4個2分的硬幣和3個5分的硬幣，取出其中的一個或若干個，一共可組成多少種不同的幣值？HGFHGFIEDABC10．有同樣大小的紅、白、黑球共90個。按先5個紅球，再4個白球，再3個黑球的順序重復排列下去，如下圖所示。試問：○○○○●●●○○○○（1）第28個球，第70個球分別是什么顏色？（2）排在最后的一個球是什么顏色？（3）共有紅球、白球、黑球各多少個？第25講移多補少與求平均數在日常生活中，我們經常遇到這樣的情況：有幾個杯子，里面的水有多有少。要想使杯中的水一樣多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反復幾次，直到幾個杯子里的水一樣多。這就是我們經常駐遇到的“移多補少”——也就是求平均數問題。例題與方法小明在一學期的5次數學測驗中的得分分別是95，87，92，100，96。求小明平均每次數學測驗的得分。甲地到乙地的全程是60千米。小紅騎自行車從甲地到乙地每小時行15千米，從乙地到甲地每小時行10千米。求小紅往返的平均速度。商店用30千克酥糖和20千克水果糖混合成什么錦糖。每千克酥糖8元，每千克水果糖3元。每千克什錦糖應賣多少元？小英4次語文測驗的平均成績是89分，第5次測驗得了94分。問她5次測驗的平均成績是多少？小明4次語文測驗的平均成績是87分，5次語文測驗的平均成績進88分。第5次測驗的成績。有5個數的平均數是20。如果把其中的一個數改成4，這時候5個數的平均數是18。求改動的數原來是多少？有甲、乙、丙3個數，甲、乙的和是90，甲、丙的和是82，乙、丙的和是86。甲、乙、丙3個數的平均數是多少？練習與思考用4個同樣的杯子裝水，水面的高度分別是6厘米、5