八年級人教版數學上冊第一章三角形11.1與三角形有關的線段第一課時三角形的邊1．三角形的定義提出問題（如上圖）(1)哪些圖形是三角形？①三角形及有關概念新知探究三角形的表示：三角形用符號“△”表示.記作“△ABC”讀作“三角形ABC”.如圖：線段AB、BC、CA是△ABC的三邊；點A、B、C△ABC的三個頂點；∠A、∠B、∠C是△ABC的三個內角.邊c邊b邊a頂點C角角角頂點A頂點BBCA在△ABC中，AB邊所對的角是：∠A所對的邊是：∠CB

C再說幾個對邊與對角的關系試試.三角形的對邊與對角：5個，它們分別是△ABE,△ABC,△BEC,△BCD,△ECD.(1)圖中有幾個三角形？用符號表示出這些三角形？

ABCDE(2)以AB為邊的三角形有哪些？△ABC、△ABE.（3）以E為頂點的三角形有哪些？△ABE

、△BCE、△CDE.練一練（4）以∠D為角的三角形有哪些？△BCD、△DEC.（5）說出△BCD的三個角和三個頂點所對的邊.△BCD的三個角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.頂點B所對應的邊為DC，頂點C所對應的邊為BD，頂點D所對應的邊為BC.ABCDE練一練①位置關系：不在同一直線上；②聯接方式：首尾順次相接.三角形應滿足以下兩個條件：表示方法：三角形用符號“△”表示；記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，除此△ABC還可記作△BCA,△CAB,△ACB等.總結歸納基本要素：三角形的邊：邊AB、BC、CA；三角形的頂點：頂點A、B、C；三角形的內角(簡稱為三角形的角）：∠A、∠B、∠C.特別規定：三角形ABC的三邊,一般的頂點A所對的邊記作a,頂點B所對的邊記作b,頂點C所對的邊記作c.總結歸納腰不等邊三角形等腰三角形等邊三角形底邊頂角底角問題2：你能找出下列三角形各自的特點嗎？三邊均不相等有兩條邊相等三條邊均相等三條邊各不相等的三角形叫做不等邊三角形；有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形．思考：等邊三角形和等腰三角形之間有什么關系？概念歸納

在A點的小狗，為了盡快吃到B點的香腸，它選擇AB路線，而不選擇A

CB路線，難道小狗也懂數學？CBAAC+CB>AB（兩點之間線段最短）三角形的三邊關系新知探究ABC路線1：從A到C再到B的路線走；路線2：沿線段AB走.請問：路線1、路線2哪條路程較短，你能說出根據嗎？解：路線2較短；兩點之間線段最短.由此可以得到：三角形兩邊的和大于第三邊.三角形兩邊的差小于第三邊.

1.在同一個三角形中,任意兩邊之和與第三邊有什么大小關系?2.在同一個三角形中,任意兩邊之差與第三邊有什么大小關系?3.三角形三邊有怎樣的不等關系?

通過動手實驗同學們可以得到哪些結論?理由是什么？想一想例1有兩根長度分別為5cm和8cm的木棒，用長度為2cm的木棒與它們能擺成三角形嗎？為什么？長度為13cm的木棒呢？方法點撥：判斷三條線段是否可以組成三角形，只需說明兩條較短線段之和大于第三條線段即可.解：取長度為2cm的木棒時，由于2+5=7<8，出現了兩邊之和小于第三邊的情況，所以它們不能擺成三角形.取長度為13cm的木棒時，由于5+8=13，出現了兩邊之和等于第三邊的情況，所以它們也不能擺成三角形.典例剖析例2一個三角形的三邊長分別為4，7，x，那么x的取值范圍是(

)

A．3＜x＜11B．4＜x＜7C．－3＜x＜11D．x＞3方法點撥：判斷三角形邊的取值范圍要同時運用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．解析：∵三角形的三邊長分別為4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.A典例剖析例3如圖，D是△ABC的邊AC上一點，AD=BD，試判斷AC與BC的大小.解：在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）.又因為AD=BD，則BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.典例剖析例4根據下列條件，判斷△ABC的形狀.①∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°;②∠C=110°;③∠C=90°;④AB=BC=3，AC=4解：①∵∠A，∠B，∠C都小于90°，

∴△ABC是銳角三角形②∵∠C=110°＞90°，∴△ABC是鈍角三角形③∵∠C=90°=90°，∴△ABC是直角三角形④∵AB=BC=3，AC=4，∴△ABC是等腰三角形典例剖析例5下列長度的各組線段能否組成一個三角形？(1)15cm、10cm、7cm(2)4cm、5cm、10cm(3)3cm、8cm、5cm(4)4cm、5cm、6cm(2)因為4cm+5cm<10cm，所以這三條線段不能組成一個三角形.(3)因為3cm+5cm=8cm，所以這三條線段不能組成一個三角形.(1)因為10cm+7cm>15cm，所以這三條線段能組成一個三角形.解：(4)因為4cm+5cm>6cm，所以這三條線段能組成一個三角形.典例剖析技巧點撥只要滿足較小的兩條線段之和大于第三條線段，或較長線段與最短線段之差小于中間線段，便可構成三角形;若不滿足，則不能構成三角形.1.一位同學用三根木棒拼成的圖形如下，則其中符合三角形定義的是(

)D練一練2.下列說法：①等邊三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形；④三角形按角分類應分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中正確的有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個C練一練3.如圖：(1)△ADC的三個頂點分別是_________，三個內角分別是_____________________．(2)在△ABC中，∠C的對邊是________；在△AEC中，∠C的對邊是________．A、D、C∠C∠DAC∠ADCABAE練一練4.下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？（1）3，4，8（）（2）2，5，6（）（3）5，6，10（）（4）3，5，8（）不能能能不能練一練7.如果等腰三角形的一邊長是4cm,另一邊長是9cm,則這個等腰三角形的周長為______________.6.如果等腰三角形的一邊長是5cm,另一邊長是8cm,則這個等腰三角形的周長為______________.5.五條線段的長分別為1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三條線為邊長可以構成________個三角形.322cm18cm或21cm練一練8.若三角形的兩邊長分別是2和7,第三邊長為奇數,求第三邊的長.解：設第三邊長為x,根據三角形的三邊關系，可得，7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，又x為奇數，則第三邊的長為7.練一練9.若a，b，c是△ABC的三邊長，化簡|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解：根據三角形的三邊關系，兩邊之和大于第三邊，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.練一練例

用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形.(1)如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？(2)能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么？解：(1)設底邊長為xcm，則腰長為2xcm,x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以三邊長分別為3.6cm、7.2cm、7.2cm.課本例題(2)因為長為4cm的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要分情況討論.①若底邊長為4cm，設腰長為xcm,則有4+2x=18.解得x=7.②若腰長為4cm,設底邊長為xcm，則有2×4+x=18.

解得x=10.因為4+4＜10，不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以不能圍成腰長是4cm的等腰三角形.由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形.課本練習1.圖中有幾個三角形？用符號表示這些三角形.ABCDE解：圖中有5個三角形．用符號表示為：△ABE，△ABC，△BEC，△EDC，△BDC．2.（口答）下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10.解：（1）能．因為3+4＞5，3+5＞4，4+5＞3，符合三角形兩邊的和大于第三邊.

（2）不能．因為5+6=11，不符合三角形兩邊的和大于第三邊.（3）能．因為5+6＞10，10+6＞5，10+5＞6，符合三角形兩邊的和大于第三邊.課本練習不在同一條直線上首尾順次相接△ABD、△ACD

△ABD、△ABC

分層練習-基礎不相等腰和底等邊D分層練習-基礎大于小于是否大于3＜x＜13C分層練習-基礎5或9分層練習-基礎BD分層練習-鞏固C7350＜a＜12b＞2分層練習-鞏固分層練習-鞏固分層練習-鞏固分層練習-鞏固分層練習-拓展11.1與三角形有關的線段11.1.1三角形的邊請你根據小學認識的三角形，判斷下列圖形是不是三角形．問題×××√(一)三角形的相關概念（1）由三條線段組成；（2）三條線段不在同一條直線上；（3）三條線段首尾順次相接．你能說出三角形有哪些特征嗎？由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．思考位置關系聯接方式(一)三角形的相關概念A

B

C

三角形用符號“△”表示，如左圖的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”.注意：表示三角形時，字母沒有先后順序.

如圖，組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，它們的公共端點叫做三角形的頂點，相鄰兩邊組成的角(圖中∠A、∠B、∠C)叫做三角形的內角，簡稱角.A

B

C

邊

內角

頂點

(一)三角形的相關概念A

B

C

一般情況下，我們把邊BC叫做

A的對邊，AC、AB叫

A的鄰邊；邊AC叫

B的對邊，AB、BC叫

B的鄰邊；邊AB叫

C的對邊，AC、BC叫

C的鄰邊.

△ABC的三邊也可以用a，b，c表示；頂點A所對應的邊BC用

表示，頂點B所對應的邊AC用

表示，頂點C所對應的邊AB用

表示.abc(一)三角形的相關概念

a

b

c跟蹤訓練（見課本第4頁）找一找：(1)圖中有幾個三角形？用符號表示出這些三角形？

ABCDE5個，它們分別是△ABE,△ABC,△BEC,△BCD,△ECD.(2)以AB為邊的三角形有哪些？△ABC、△ABE.（3）以E為頂點的三角形有哪些？△ABE

、△BCE、△CDE.（4）以∠D為角的三角形有哪些？△BCD、△DEC.（5）說出△BCD的三個角和三個頂點所對的邊.△BCD的三個角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.頂點B所對應的邊為DC，頂點C所對應的邊為BD，頂點D所對應的邊為BC.(二)三角形的分類觀察下列三角形，它們有何特殊之處？試著說出它們的名稱．問題三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，如圖（1）；有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，如圖（2）;圖（3）中的三角形是三邊都不相等的三角形．ABCABCABC（1）（2）（3）(二)三角形的分類在等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．等邊三角形是特殊的等腰三角形，即底邊和腰相等的等腰三角形．ABCABC（1）（2）等腰三角形的邊還有其他名稱嗎？等腰三角形與等邊三角形有何聯系？問題腰腰頂角底邊底角底角(二)三角形的分類如何按照邊的關系對三角形進行分類呢？思考三角形三邊都不相等的三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等邊三角形三邊都不相等的三角形等腰三角形等邊三角形三角形(二)三角形的分類如何按照三個內角的大小對三角形進行分類呢？直角三角形銳角三角形鈍角三角形思考跟蹤訓練1.判斷：（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形.（）（1）一個鈍角三角形一定不是等腰三角形.（）√×（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（）×（4）等邊三角形是銳角三角形.（）（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（）×√跟蹤訓練2.已知△ABC的三邊長分別是a，b，c，且(a－b)(b－c)(c－a)＝0，則△ABC是()A.

等腰三角形B.

等邊三角形C.

三邊都不相等的三角形D.底邊和腰不相等的等腰三角形A(三)三角形的三邊關系任意畫一個△ABC，從點B出發，沿三角形的邊到點C，有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關系？能證明你的結論嗎？探究ABC有兩條線路可以選擇：一條線路是由點B到點C；另一條線路是由點B到點A，再由點A到點C．兩條線路的長分別是BC，

AB＋AC．由“兩點之間，線段最短”可以得到AB＋AC＞BC．(三)三角形的三邊關系探究AB＋AC＞BC，即三角形兩邊的和大于第三邊．觀察下列動圖，試著說出你的發現．(三)三角形的三邊關系觀察下列動圖，試著說出你的發現．探究AC＞BC－AB，即三角形兩邊的差小于第三邊．(三)三角形的三邊關系ABC對于任意一個△ABC，如果把其中任意兩個頂點（例如B，C）看成定點，由“兩點之間，線段最短”可得探究

AB＋AC＞BC，

①同理，AC＋BC＞AB，②

AB＋BC＞AC．③

即三角形兩邊的和大于第三邊．

由不等式②③移項可得

BC＞AB－AC，BC＞AC－AB．

即三角形兩邊的差小于第三邊．(三)三角形的三邊關系典例精析例1.判斷下列長度的三條線段能否拼成三角形？為什么？（1）3，8，4；（2）5，6，11；（3）5，6，10.

判斷三條線段是否可以組成三角形，只需說明兩條較短線段之和大于第三條線段即可.解：（1）不能，因為3+4<8；（2）不能，因為5+6=11；（3）能，因為5+6>10.歸納針對訓練一根木棒長為7，另一根木棒長為2，那么用長度為4的木棒能和它們拼成三角形嗎？長度為11的木棒呢？若不能拼成，則第三條邊應在什么范圍呢？設x為三角形第三條邊的長，則有兩邊之差＜x＜兩邊之和.解：設第三邊長為x，則應有7-2<x<7+2，即5<x<9.歸納則用長度為4的木棒不能和它們拼成三角形，長度為11的木棒也不能和它們拼成三角形.第三邊長的范圍為5<x<9.(三)三角形的三邊關系(三)三角形的三邊關系

例2用一條長為18

cm

的細繩圍成一個等腰三角形．（1）如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？解：設底邊長為x

cm，則腰長為2x

cm．

x＋2x＋2x＝18．解得x＝3.6．所以三邊長分別為3.6

cm，7.2

cm，7.2cm．(三)三角形的三邊關系

例2用一條長為18

cm

的細繩圍成一個等腰三角形．（2）能圍成有一邊的長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？

分析：因為長為4cm

的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要分情況討論．

(三)三角形的三邊關系

解：如果4cm長的邊為底邊，設腰長為x

cm，則

4＋2x＝18

，解得x＝7．如果4cm長的邊為腰，設底邊長為xcm，則

4×2＋x＝18，解得

x＝10．因為4＋4＜10，不符合三角形兩邊之和大于第三邊，所以不能圍成腰長為4cm

的等腰三角形．由以上討論