第第頁7．4三角函數應用課程標準學習目標（1）數學抽象：實際問題抽象為三角函數模型問題；（2）數據分析：分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數學關系來建立數學模（3）數學建模：體驗一些具有周期性變化規律的實際問題的數學建模思想，提高學生的建模、分析問題、數形結合、抽象概括等能力.（1）會用三角函數解決一些簡單的實際問題.（2）體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型．知識點01函數中，，，的物理意義1、簡諧運動的振幅就是．2、簡諧運動的周期．3、簡諧運動的頻率．4、稱為相位．5、時的相位稱為初相．【即學即練1】已知正弦交流電（單位：）與時間（單位：）的函數關系為，求電流的峰值、周期、頻率和初相位．【解析】∵正弦交流電，∴電流的峰值是，周期是，頻率是，初相位是．知識點02三角函數模型的應用三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用．實際問題通常涉及復雜的數據，因此往往需要使用信息技術．1、三角函數模型應用的步驟（1）建模問題步驟：審讀題意→建立三角函數式→根據題意求出某點的三角函數值→解決實際問題．（2）建立數學模型的關鍵，先根據題意設出代表函數，再利用數據求出待定系數，然后寫出具體的三角函數式．2、三角函數應用題的三種模式（1）給定呈周期變化規律的三角函數模型，根據所給模型，結合三角函數的性質，解決一些實際問題．（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數法求出函數模型，再解決其他問題．（3）整理一個實際問題的調查數據，根據數據作出散點圖，通過擬合函數圖象，求出可以近似表示變化規律的函數模型，進一步用函數模型來解決問題．3、三角函數模型應用注意點（1）一般地，所求出的函數模型只能近似地刻畫實際情況，因此應特別注意自變量的取值范圍．（2）應用數學知識解決實際問題時，應注意從背景中提取基本的數學關系，并利用相關知識來理解．【即學即練2】（2023·湖南·高一校聯考期中）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中使用.明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖是一個半徑為6m的筒車，筒車轉輪的中心到水面的距離為3m，每2分鐘逆時針勻速旋轉一圈.筒車上的一個盛水筒P（視為質點）從水中浮現（圖中點A）時開始記時.建立如圖平面直角坐標系，將P到水面距離表示為時間的函數，則.【答案】【解析】由題意周期秒，所以角速度（rad/s），當經過時間秒，質點從運動到如圖所在位置，如圖，此時，因為水車半徑米，水車中心離水面距離米,所以，，所以P到水面距離，即，故答案為：題型一：三角函數模型在物理學中的應用例1．（2023·重慶·統考模擬預測）已知某彈簧振子的位移（單位：cm）與時間（單位：s）滿足，初始時將彈簧振子下壓至后松開，經過測量發現彈簧振子每10s往復振動5次，則在第45s時，彈簧振子的位移是cm.【答案】【解析】由題意，且最小正周期，即，故，所以，且，即，不妨令，故，當，則.故答案為：例2．（2023·廣東揭陽·高三統考期末）如圖，一臺發電機產生的電流是正弦式電流，即電壓U（單位：V）和時間t（單位：s）滿足.在一個周期內，電壓的絕對值超過的時間為.（答案用分數表示）.【答案】s【解析】由已知，，，.在區間內，令，或，可得，；同理令，可得，.綜上，電壓的絕對值超過的時間為（s）.故答案為：s．例3．（2023·北京西城·高一北京師大附中校考期中）從本質上來講，聲音實際上是一種簡諧振動產生的機械波，也稱聲波.聲音兩個最主要的要素：響度和音調，分別由振動的振幅和頻率刻畫.其中最基本的聲波就是簡諧振動所產生的正弦波.純音是以某個固定頻率進行簡諧振動所產生的聲波，且純音的函數可以表示為：，其中，，則這個函數的頻率為（寫出表達式即可）（注：頻率是周期的倒數）一般說的，，，，，，又是什么呢？這些唱名是音調的一種記法，音調與頻率之間的關系為.已知標準音（也是純音）的音調為，那么標準音對應的函數中.已知標準音和標準音的頻率比為，那么標準音的音調為.（取，，結果精確到小數點后兩位）.【答案】60.20【解析】已知：最小正周期，故周期為，故，當時，，則因為標準音的頻率和標準音的頻率比為，所以標準音的頻率為，設標準音的音調為，則，解得：，故答案為：，，60.20變式1．（2023·高一課時練習）電流隨時間變化的函數的圖象如圖所示，則時的電流為．【答案】【解析】由函數的圖象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案為：.變式2．（2023·上海嘉定·高一上海市嘉定區第一中學校考期中）如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在秒時相對于平衡位置（即靜止時的位置）的高度厘米滿足下列關系：，，則每秒鐘小球能振動次.【答案】【解析】函數，的周期，故頻率為.所以每秒鐘小球能振動次.故答案為：.變式3．（2023·高一課時練習）如果音叉發出的聲波可以用函數描述，那么音叉聲波的頻率是.【答案】210【解析】由題可得音叉聲波的周期為，所以音叉聲波的頻率為.故答案為：210.【方法技巧與總結】處理物理學問題的策略（1）常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等，其共同的特點是具有周期性．（2）明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應的三角函數知識結合解題．題型二：三角函數模型的實際應用例4．（2023·全國·高一隨堂練習）某地為發展旅游業，在旅游手冊中給出了當地一年每個月的月平均氣溫表，根據圖中提供的數據，試用近似地擬合出月平均氣溫y（單位：℃）與時間t（單位：月）的函數關系，并求出其周期和振幅，以及氣溫達到最大值和最小值的時間．（答案不唯一）

【解析】不妨設，由圖象可知時，，當時，，結合圖象可知，，，又當時，，不妨令，故，周期為14，振幅為6，1月取得最小值15，8月取得最大值27.例5．（2023·全國·高一隨堂練習）某昆蟲種群數量1月1日低到700只，其數量隨著時間變化逐漸增加，到當年7月1日高達900只，其數量在這兩個值之間按正弦曲線規律改變．(1)求出這種昆蟲種群數量y（單位：只）關于時間t（單位：月）的函數解析式；(2)畫出這個函數的圖象．【解析】（1）設，由題意，解得，且，解得，又因為當時，取最小值，所以，即，可取，所以；（2）列表：t014710120y700800900800作出函數圖象如下：例6．（2023·全國·高一隨堂練習）北京天安門廣場的國旗每天是在日出時隨太陽升起，在日落時降旗．請根據年鑒或其他參考資料，統計過去一年不同日期的日出和日落時間．(1)在同一直角坐標系中，以日期為橫軸，畫出散點圖，并用曲線去擬合這些數據，同時找到函數模型；(2)某同學準備在五一長假時去看升旗，他應當幾點到達天安門廣場？【解析】（1）日期1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日6月1日日出時間6:506:406:306:206:106:05日落時間5:305:405:506:006:057:00日期7月1日8月1日9月1日10月1日11月1日12月1日日出時間6:006:106:206:306:406:50日落時間7:107:006:506:406:306:20散點圖如下：該圖象近似看作正弦型函數的模型.（2）從所得表格可以看出，在五月份的時候，日出時間在6：10，而天安門升旗時間是日出的時候，所以某同學想看升旗的話，應該在6：10前到達天安門廣場.變式4．（2023·高一課時練習）如圖，某動物種群數量在某年1月1日低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間呈正弦型曲線變化．

(1)求出種群數量y關于時間t的函數表達式；（其中t以年初以來的月份為計量單位，如1月用表示）(2)估計當年3月1日該動物種群數量．【解析】（1）設這群數量關于時間的解析式，則，解得，又由，可得，所以，因為時，可得，即，解得，又因為，所以，所以.（2）由，當時，，即當年3月1日該動物種群的數列約為.變式5．（2023·高一課時練習）潮汐是發生在沿海地區的一種自然現象，其形成是由于海水受日月的引力作用，潮是指海水在一定的時候發生漲落的現象，一般來說，早潮叫潮，晚潮叫汐．某觀測站通過長時間的觀測，發現潮汐的漲落規律和函數圖象基本一致且周期為，其中x為時間，為水深．當時，海水上漲至最高，最高為5米．(1)求函數的解析式，并作出函數在上的簡圖；(2)求海水持續上漲的時間區間．【解析】（1）由函數的周期為，可得，當時時，海水上漲至最高，且最高為5米，可得，所以，且，即，可得，即，因為，所以，所以，因為，可得，列表：500描點并連線，得到函數的圖象，如圖所示，（2）由（1）知，函數，令，解得，所以函數的單調遞增區間為，海水持續上漲的時間區間，即為函數的單調遞增區間，所以海水持續上漲的時間區間為.變式6．（2023·高一課時練習）已知某海濱浴場海浪的高度（米）是時間（，單位：時）的函數，記作：，下表是某日各時的浪高數據：（時）03691215182124（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經長期觀察，的曲線可近似地看成是函數的圖象.(1)根據以上數據，求函數的最小正周期，振幅及函數解析式；(2)依據規定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據（1）中的結論，判斷一天內的10：00至20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？【解析】（1）由表中數據知，所以.由，，得.由，，得，故，，所以函數解析式為：.（2）由題意知，當時才可對沖浪者開放，所以，所以，所以，，即，.又因為，故可令得，或，或.所以在規定時間10：00至20：00之間，有5個小時可供沖浪者活動，即上午10：00至下午3：00.變式7．（2023·四川眉山·高一校考期中）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節每天的時間與水深關系表：時刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深（米）7.55.02.55.07.55.02.55.0經長期觀測，這個港口的水深與時間的關系，可近似用函數來描述．(1)根據以上數據，求出函數的表達式；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4.25米，安全條例規定至少要有2米的安全間隙（船底與洋底的距離），該貨船在一天內什么時間段能安全進出港口？【解析】（1）由表格知，，則，，函數的周期，則，即有，又，即，而，則，所以．（2）貨船需要的安全水深為米，則當時就可以進港，由，得，解得，即，而，因此當時，；當時，，所以貨船應在0時至4時或12時至16時進出港.【方法技巧與總結】解三角函數應用問題的基本步驟題型三：數據擬合問題例7．（2023·高一課時練習）某港口水深（米是時間（，單位：小時）的函數，下表是水深數據：（小時）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據上述數據描成的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數的圖象.

(1)試根據數據表和曲線，求出的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）【解析】（1）根據數據，，，，，，函數的表達式為；（2）由題意，水深，即，，，，1，或；所以，該船在至或至能安全進港，若欲于當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過16小時.例8．（2023·江西景德鎮·高一統考期中）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現了湖水漲落的壯闊畫面，某中學數學興趣小組進行潮水漲落與時間的關系的數學建模活動，通過實地考察某港口水深y（米）與時間（單位：小時）的關系，經過多次測量篩選，最后得到下表數據：t（小時）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現有知識儲備，再依據上述數據描成曲線，經擬合，該曲線可近似地看成函數圖象．(1)試根據數據表和曲線，求出近似函數的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數據，結合所學知識，給該船舶公司提供安全進此港時間段的建議．【解析】（1）畫出散點圖，連線如下圖所示：設，根據最大值13，最小值7，可列方程為：，再由，得，；（2）．∵，∴，∴，或解得，或，所以請在1：00至5：00和13：00至17：00進港是安全的．例9．（2023·高一課時練習）下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均氣溫(℉)．月份123456平均氣溫21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均氣溫73.071.964.753.539.827.7以月份為x軸，x＝月份－1，平均氣溫為y軸建立直角坐標系．(1)描出散點圖；(2)用正弦曲線去擬合這些數據；(3)這個函數的周期是多少？(4)估計這個正弦曲線的振幅A；(5)下面四個函數模型中哪一個最適合這些數據？①＝cos；②＝cos；③＝cos；④＝sin．【解析】(1)作出散點圖如圖所示：(2)如圖所示：(3)1月份的氣溫最低，為21.4℉，7月份氣溫最高，為73.0℉，據圖知，，．(4)2A＝最高氣溫－最低氣溫＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8．(5)月份，不妨取，，代入①，得，①不適合；代入②，得，②不適合；同理④不適合，③適合．變式8．（2023·福建福州·高一福建省長樂第一中學校考階段練習）某港門的水深y(米)是時間x(，單位：小時)的函數，下面是水深數據：經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數的圖象.x(時)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0（1）試根據以上數據，求出的表達式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5米時是安全的，如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，則在港內停留的時間最多不能超過多長時間(忽略進出所用的時間)？【解析】（1）根據數據，，，，，，函數的表達式為；（2）由題意，水深，即，，，，，1，，或，；所以，該船在至或至能安全進港．若欲于當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過16小時．變式9．（2023·吉林長春·高一長春市第八中學校考期末）長春某日氣溫是時間t(，單位：小時)的函數，下面是某天不同時間的氣溫預報數據：t(時)0369121518212415.714.015.720.024.226.024.220.015.7根據上述數據描出的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成余弦型函數的圖象.（1）根據以上數據，試求(，，)的表達式；（2）大數據統計顯示，某種特殊商品在室外銷售可獲3倍于室內銷售的利潤，但對室外溫度要求是氣溫不能低于.根據（1）中所得模型，一個24小時營業的商家想獲得最大利潤，應在什么時間段(用區間表示)將該種商品放在室外銷售，單日室外銷售時間最長不能超過多長時間？(忽略商品搬運時間及其它非主要因素，理想狀態下哦，奧力給!)【解析】（1）根據以上數據知，，解得，；由，解得，所以；由時，即，解得，即，；所以，；由，解得；所以，，；（2）令，得，即，；解得，；當時，，所以一個24小時營業的商家想獲得最大利潤，應在，時間段將該種商品放在室外銷售，且單日室外銷售時間最長不能超過（小時）．變式10．（2023·江西宜春·高一統考期末）某地農業檢測部門統計發現：該地區近幾年的生豬收購價格每四個月會重復出現，但生豬養殖成本逐月遞增．下表是今年前四個月的統計情況：月份1月份2月份3月份4月份收購價格（元/斤）6765養殖成本（元/斤）344．65現打算從以下兩個函數模型：①，（，，）；②中選擇適當的函數模型，分別來擬合今年生豬收購價格（元/斤）與相應月份之間的函數關系、養殖成本（元/斤）與相應月份之間的函數關系．（1）請你選擇適當的函數模型，分別求出這兩個函數模型解析式；（2）按照你選定的函數模型，幫助該部門分析一下，今年該地區生豬養殖戶在接下來的月份里有沒有可能虧損？【解析】（1）對于模型①，由點及可得函數周期滿足，即，所以，又函數最大值為，最小值為，解得，，所以，又，所以，又，所以，所以模型①；對于模型②，圖象過點，，所以，解得：，所以模型②；（2）由（1）設，，若時則盈利，若則虧損；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；這說明第8，9，11，12這四個月收購價格低于養殖成本，生豬養殖戶出現虧損．所以今年該地區生豬養殖戶在接下來的月份里有可能虧損．【方法技巧與總結】數據擬合的通法（1）處理的關鍵：數據擬合是一項重要的數據處理能力，解決該類問題的關鍵在于如何把實際問題三角函數模型化，而散點圖在這里起了關鍵作用．（2）一般方法：數據對→作散點圖→確定擬合函數→解決實際問題．題型四：三角函數在圓周中的應用例10．（2023·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學校考階段練習）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉盤直徑為，均勻設置了依次標號為號的個座艙.開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動后距離地面的高度為，轉一周需要.若甲、乙兩人分別坐在號和號座艙里且t=0時，1號座艙位于距離地面最近的位置，當時，兩人距離地面的高度差（單位：）取最大值時，時間的值是.

【答案】10【解析】如圖，設座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立直角坐標系，設時，游客甲位于點，以為終邊的角為；根據摩天輪轉一周大約需要，可知座艙轉動的角速度約為，由題意可得，.如圖，甲、乙兩人的位置分別用點表示，則，經過后甲距離地面的高度為，點相對于點始終落后，此時乙距離地面的高度為.則甲、乙距離地面的高度差，因為，所以，所以得，即開始轉動分鐘時，甲乙兩人距離地面的高度差最大值為.故答案為：.例11．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯考期中）一半徑為3.6米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面1.8米．已知水輪按逆時針做勻速轉動，每60秒轉動一圈，如果當水輪上點從水面浮現時（圖中點位置）開始計時，則P點離開水面的高度h關于時間t的函數解析式為．

【答案】【解析】P點離開水面的高度h關于時間t的函數解析式可設為由題給條件可得，，解之得水輪按逆時針做勻速轉動，每60秒轉動一圈，則運動周期為60秒，則，又，，則則故答案為：例12．（2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學校考階段練習）如圖是一個半徑為2米的水車，水車圓心距離水面1米.水車按逆時針方向勻速轉動，每12秒轉一圈，當水車上點從水中浮現時（圖中點）開始計算時間，設水車所在平面與水面的交線為，以過點且平行于的直線為軸，以過點且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，設點距離水面的高度（單位：米）關于時間（單位：秒）的函數為，則.【答案】【解析】設，由函數的物理意義可知：，由可得，所以，因為則，，又因為的最小正周期，所以，所以.故答案為：.變式11．（2023·北京·高一北京市第三十五中學校考階段練習）如圖為一半徑是3m的水輪，水輪圓心距離水面2m，已知水輪每分鐘旋轉4圈，水輪上的點到水面的距離與時間滿足函數關系，則.【答案】/【解析】由題意可得，水輪每分鐘旋轉4圈，所以轉一圈需要15s，所以,所以，故答案為:.變式12．（2023·北京房山·高一統考期中）將圖（1）所示的摩天輪抽象成圖（2）所示的平面圖形．已知摩天輪的半徑為40米，其中心點距地面45米，摩天輪按逆時針方向勻速轉動，每24分鐘轉一圈．摩天輪上一點距離地面的高度為（單位：米），若從摩天輪的最低點處開始轉動，則與轉動時間（單位：分鐘）之間的關系為．(1)求，，，的值；(2)摩天輪轉動8分鐘后，求點距離地面的高度；(3)在摩天輪轉動一圈內，求點距離地面的高度超過65米的時長．【解析】（1）依題意，，于是，函數的周期，解得，則，而時，，即有，而，解得，所以.（2）由（1）知，，，當時，（米）.（3）由，得，即，解得，即有，，所以在摩天輪轉動一圈內，有8分鐘的時間，點距離地面的高度超過65米.變式13．（2023·四川成都·高一樹德中學校考階段練習）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉盤直徑為，均勻設置了依次標號為號的個座艙.開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，開始轉動后距離地面的高度為，轉一周需要.(1)求在轉動一周的過程中，關于的函數解析式；(2)若甲、乙兩人分別坐在號和號座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關于的函數解析式，并求的最大值及此時的值.【解析】（1）如圖，設座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立直角坐標系，設時，游客甲位于點，以為終邊的角為；根據摩天輪轉一周大約需要，可知座艙轉動的角速度約為，由題意可得，.（2）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點表示，則.經過后甲距離地面的高度為，點相對于點始終落后，此時乙距離地面的高度為.則甲、乙距離地面的高度差，因為，所以，所以或，或所以開始轉動或分鐘時，甲乙兩人距離地面的高度差最大值為.變式14．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考階段練習）甲乙兩名同學周末去游樂場游玩，甲同學去坐摩天輪，乙同學因為恐高只能在休息區P處等待．如圖，已知摩天輪的半徑為40米，按逆時針方向旋轉且每20分鐘轉一圈．摩天輪開始轉動后甲從最低點M經過50秒恰好轉到A處，此時乙在P處看甲的仰角為15°，又過了200秒轉到B處，此時乙在P處看甲的仰角為60°，摩天輪與底座的基點H及休息區P在同一個豎直的平面內．(1)求休息區P與摩天輪底座的基點H之間的距離；(2)求摩天輪的最高點到地面的距離．【解析】（1）如圖：過點分別作的垂線，垂足分別為,由每20分鐘轉一圈，最低點M經過50秒恰好轉到A處，最低點M經過250秒恰好轉到B處,故可知,設，則在直角三角形中，，所以又中，，因此同理可得考慮到，，將其代入解得，所以（2）由（1）知，故摩天輪最高點到地面的距離為題型五：幾何中的三角函數模型例13．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動．設頂點的縱坐標與橫坐標的函數關系式是，畫出點P的運動軌跡，并討論是否為周期函數．如果是，指出周期；如果不是，請說明理由．說明：“正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動．沿x軸正方向滾動是先以頂點A為中心順時針旋轉，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉，如此繼續．類似地，正方形PABC可以沿x軸負方向滾動．

【解析】假設落在軸上時開始計時，下一次落在軸上，過程中四個頂點依次落在了軸上，而相鄰兩個頂點距離為正方形邊長，即為1，因此該函數周期為4.考查正方形向右滾動時，點運動情況：首先以為圓心，正方形邊長為半徑運動個圓，然后以為圓心，正方形對角線長為半徑運動個圓，最后以為圓心，正方形邊長為半徑運動個圓，最終運動軌跡如下曲線：由圖知：是周期為4的函數.例14．（2023·浙江杭州·高一校聯考階段練習）某小區擬用一塊半圓形地塊（如圖所示）建造一個居民活動區和綠化區．已知半圓形地塊的直徑千米，點是半圓的圓心，在圓弧上取點、，使得，把四邊形建為居民活動區，并且在居民活動區周圍鋪上一條由線段，，和組成的塑膠跑道，其它部分建為綠化區．設，且；(1)求塑膠跑道的總長關于的函數關系式；(2)當為何值時，塑膠跑道的總長最長，并求出的最大值．【解析】（1）由已知得，，故，所以，；（2），所以當，時，取得最大值10千米．例15．（2023·遼寧·沈陽市奉天高級中學高一期中）某市政廣場有一塊矩形綠地，如圖，米，米.為了滿足通行及市民休閑的需求，同時考慮到廣場的整體規劃，施工單位決定在的中點G處，分別向邊修兩條互相垂直的小路，再修建小路，設.(1)試將的周長l表示成關于的函數關系式，并求出定義域；(2)根據預算及其他因素考慮，最終決定修建的三條小路總長需為500米，求此時的值.【解析】（1）在中，，所以，在中，，所以，又因為，所為，所以，當點F在D處時，最大，此時，當點E在C處時，最小，此時，故定義域為.（2）由（1）得，令，則，令，可得，所以，又因為，所以或.變式15．（2023·湖南·高一課時練習）如圖，矩形ABCD的相鄰兩條邊AB，BC的長度分別為1和3，點E，F是BC的三等分點，求證：．【解析】由題意，，所以，又，都是銳角，所以，所以．一、單選題1．（2023·高一課時練習）車流量被定義為單位時間內通過某路段的車輛數，若上班高峰期某十字路口的車流量F（單位：輛/分鐘）與時間t（單位：分鐘）的函數關系式為，則車流量增加的時間段是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，得，因為，所以當時，函數的單調遞增區間為；當時，函數的單調遞增區間為．因為，所以車流量在時間段內是增加的，故選：C.2．（2023·陜西西安·高一校考期中）古代數學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地圖學提供了數學基礎，現根據劉徽的《重差》測景一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切點），地面上B，C兩點與點A在一條直線上，且在點A的同側，若在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為60°和30°，且，則該球體建筑物的高度約為（）

A．100m B． C． D．【答案】A【解析】設球的截面圓心為O，連接OB，OC，設球的截面圓的半徑為R，由圓的切線的性質可得：，，則，，所以，可得，即，又因為，，所以，所以，所以球的直徑.故選：A.3．（2023·北京海淀·高一統考期末）海洋中的波動是海水的重要運動形式之一．在外力的作用下，海水質點離開其平衡位置做周期性或準周期性的運動，由于流體的連續性，必然帶動其鄰近質點，從而導致其運動狀態在空間的傳播．（節選自《海洋科學導論》馮士筰李風岐李少菁主編高等教育出版社）某校海洋研學小組的同學為了研究海水質點在豎直方向上的運動情況，通過數據采集和分析，同學們發現海水質點在某一時間段相對于海平面的位移（米）與時間（秒）的關系近似滿足，其中常數．經測定，在秒時該質點第一次到達波峰，在秒時該質點第三次到達波峰．在時，該質點相對于海平面的位移不低于0.5米的總時長為（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒【答案】C【解析】因為秒時該質點第一次到達波峰，在秒時該質點第三次到達波峰．所以，即，當時，，，即，因為，所以.則，由得出或，.即，或，因為，所以.因此該質點相對于海平面的位移不低于0.5米的總時長為.故選：C4．（2023·黑龍江大慶·高一鐵人中學校考期中）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用圖明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理圖假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車轉動的角速度為，如圖所示，盛水桶視為質點的初始位置距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設初始位置時對應的角為，則，則，因為筒車轉到的角速度為，所以水桶到水面的距離，當時，可得.故選：A.5．（2023·山東臨沂·高一統考期中）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用．現有一個筒車按逆時針方向勻速轉動，每分鐘轉動6圈，如圖，將該筒車抽象為圓，筒車上的盛水桶抽象為圓上的點，已知圓的半徑為，圓心距離水面，且當圓上點從水中浮現時（圖中點）開始計算時間．根據如圖所示的直角坐標系，將點到水面的距離（單位：，在水面下，為負數）表示為時間（單位：）的函數，當時，點到水面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則點到水面的距離，由題可知，與的夾角為，在時間轉過的角度為，由圖可知，點的縱坐標，因此則點到水面的距離，當時，，所以點到水面的距離為．故選：A6．（2023·北京豐臺·高一統考期中）半徑為2m的水輪如圖所示，水輪的圓心距離水面m.已知水輪按逆時針方向每分鐘轉4圈，水輪上的點到水面的距離(單位：m）與時間(單位：s）滿足關系式.從點離開水面開始計時，則點到達最高點所需最短時間為（

）A．s B．s C．s D．10s【答案】B【解析】水輪每分鐘逆時針轉動4圈，則函數的最小正周期為15s，則，由水輪的半徑為2m，水輪圓心O距離水面m，因為，可得，，所以，當水輪上點P從水中浮出時x=0s開始計時，令，解得，點P第一次到達最高點需要.故選：B.7．（2023·高一課時練習）海水受日月的引力，在一定的時候發生潮漲潮落，船只一般漲潮時進港卸貨，落潮時出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為米，安全間隙（船底與海底距離）為米，該船在開始卸貨，吃水深度以米/小時的速度減少，該港口某季節每天幾個時刻的水深如下表所示，若選擇（）擬合該港口水深與時間的函數關系，則該船必須停止卸貨駛離港口的時間大概控制在（

）（要考慮船只駛出港口需要一定時間）時刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0A．至 B．至C．至 D．至【答案】C【解析】由題意得，函數的周期為，振幅，所以，又因為達到最大值，所以由，可得，所以，所以函數的表達式為，令，解得，所以在可安全離港，故選：C8．（2023·廣東·統考二模）已知某摩天輪的半徑為，其中心到地面的距離為，摩天輪啟動后按逆時針方向勻速轉動，每分鐘轉動一圈．已知當游客距離地面超過時進入最佳觀景時間段，則游客在摩天輪轉動一圈的過程中最佳觀景時長約有（

）A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【答案】B【解析】設游客到地面的距離為，設關于轉動時間（單位：分鐘）的函數關系式為，則，，可得，函數的最小正周期為，則，當時，游客位于最低點，可取，所以，，由，即，可得，所以，，解得，因此，游客在摩天輪轉動一圈的過程中最佳觀景時長約有分鐘.故選：B.二、多選題9．（2023·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考開學考試）如圖（1），筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今在農業生產中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為(單位：m)(在水下則為負數)、與時間(單位：s)之間的關系是，則下列說法正確的是（

）

A．筒車的半徑為3m，旋轉一周用時60sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．盛水筒出水后至少經過20s才可以達到最高點D．時，盛水筒處于向上運動狀態【答案】AC【解析】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉一周用時，A正確；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B錯誤；對于C，令，，，解得：，又，當時，，即盛水筒出水后至少經過才可以達到最高點，C正確.對于D，當時，，此時單調遞減，盛水筒處于處于向下運動的狀態，D錯誤.故選：AC.10．（2023·福建漳州·高一校考期中）如圖（1），筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今在農業生產中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水下則為負數）、與時間（單位：s）之間的關系是，則下列說法正確的是（

）

A．筒車的半徑為3m，旋轉一周用時30sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．時，盛水筒處于向上運動狀態D．盛水筒出水后至少經過20s才可以達到最高點【答案】BD【解析】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉一周用時，A錯誤；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B正確；對于C，當時，，此時單調遞減，盛水筒處于處于向下運動的狀態，C錯誤；對于D，令，，，解得：，又，當時，，即盛水筒出水后至少經過才可以達到最高點，D正確.故選：BD.11．（2023·福建漳州·高一校聯考期中）一半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米.已知水輪按順時針方向繞圓心做勻速轉動，每秒轉動一圈，如果當水輪上點從水面浮現時（圖中點位置）開始計時，則下列判斷正確的有（

）

A．點第一次到達最高點需要秒B．點第一次到達最低點需要秒C．在水輪轉動的一圈內，有秒的時間，點在水面的下方D．當水輪轉動秒時，點距離水面的高度是米【答案】ACD【解析】設點距離水面的高度與時間的函數解析式為，由題意知：，，最小正周期，，，，，即，又，，；對于A，令，解得：，即點第一次到達最高點需要秒，A正確；對于B，令，解得：，即點第一次到達最低點需要秒，B錯誤；對于C，，，令，即，，解得：，水輪轉動一圈內，點在水面下方的時間為秒，C正確；對于D，，當水輪轉動秒時，點距離水面的高度是米，D正確.故選：ACD.12．（2023·江蘇南京·高三南京市第九中學校考階段練習）水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具.據史料記載，水車發明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，是人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個半徑為的水車，一個水斗從點出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時120秒.經過秒后，水斗旋轉到點，設點的坐標為，其縱坐標滿足（，，），則下列敘述正確的是（

）

A．B．當時，函數單調遞增C．當時，的最大值為D．當時，【答案】AD【解析】由題意，，，所以，則，又點，此時代入可得，解得，又，所以，故A正確；因為，當時，，所以函數先增后減，故B錯誤；當時，所以，則，則，故C錯誤；當時，，的縱坐標為，橫坐標為，所以，故D正確；故選：AD三、填空題13．（2023·江西萍鄉·高一統考期末）若以函數圖像上相鄰的四個最值所在的點為頂點恰好構成一個菱形，則．【答案】【解析】令，，則，，不妨取相鄰四個最值所在的點分別為，，，，如圖所示，因為以為頂點的四邊形恰好構成一個菱形，所以，所以，所以，即.故答案為：14．（2023·高一課前預習）如圖1，筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，如圖2，將筒車簡化為圓，以為原點，以與水平平行的直線為軸建立直角坐標系，設時，盛水筒位于，以為始邊，以為終邊的角為，動點每秒鐘逆時針轉過，則盛水筒的高度與時間的關系是.

【答案】.【解析】因為時，盛水筒位于，以為始邊，以為終邊的角為，所以,又因為動點每秒鐘逆時針轉過，所以t秒后，則，所以則盛水筒的高度與時間的關系是，故答案為：15．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯考模擬預測）如圖，一根絕對剛性且長度不變?質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系，若函數在區間上的最大值為，最小值為，則的最小值為.

【答案】【解析】由函數的圖象，可得，解得，所以，又由，可得，解得因為，所以，所以，由區間的區間長度為，即區間長度為個周期，當區間在同一個單調區間時，不妨設，可得則，因為，可得，當或時，取最小值；當區間在不同一個單調區間時，不妨設，可得，此時函數在上先增后減，此時，不妨設，則，.綜上可得，最小值為.故答案為：.16．（2023·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯考期中）如圖，一個筒車按逆時針方向旋轉，每分鐘轉5圈，若從盛水筒P剛出水面開始計時，則盛水筒到水面的距離y（單位：m）（水面下則y為負數）與時間t（單位：s）之間的關系式為，盛水筒至少經過s能到達距離水面的位置．【答案】【解析】當時，，即，，故，，故，故，取，即，設盛水筒第一次達到的時間為，則，解得.故答案為：四、解答題17．（2023·全國·高一課堂例題）已知摩天輪的半徑為60m，其中心距離地面70m，摩天輪做勻速轉動，每30min轉一圈，摩天輪上點的起始位置在最低點處．

(1)試確定在時刻時，點離地面的高度；(2)在摩天輪轉動的一圈內，點距離地面超過100m的時間有多長？【解析】（1）如圖所示，以摩天輪所在面為坐標平面，以摩天輪的中心點為原點，軸和軸分別平行和垂直于地平面，建立直角坐標系，點的初始位置在最低點，設點從最低點沿逆時針方向勻速轉動，在時間內所轉過的角度為，可得與的夾角為，于是，點的縱坐標．因此點離地面的高度．（2）根據題意，令，可得，因為，所以，解得，因此在摩天輪轉動的一圈內，點距離地面超過的時間有．18．（2023·全國·高一隨堂練習）已知某海濱浴場的浪高是時間（時）（）的函數，記作．下表是某日各時刻的浪高數據.經長期觀測，可近似地看成是函數．/時036912151821241.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根據以上數據，求出該函數的周期、振幅及函數解析式；(2)依據規定，當海浪高度高于1m時才對沖浪愛好者開放，試依據（1）的結論，判斷一天內8：00至20：00之間有多長時間可供沖浪者進行運動．【解析】（1）由表中數據可知，的最大值為1.5，最小值為0.5，所以，，，所以；（2）由（1）可知，由，得，所以，所以，因為，所以，，所以一天內從上午9點天下午3點共有6個小時可以沖浪.19．（2023