．3拋物線3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)問點(diǎn)一拋物線的定義eq\x(\s\up1(01))平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.eq\x(\s\up1(02))點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，eq\x(\s\up1(03))直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．學(xué)問點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程eq\x(\s\up1(01))y2＝2px(p>0)eq\x(\s\up1(02))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\x(\s\up1(03))x＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(04))y2＝－2px(p>0)eq\x(\s\up1(05))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\x(\s\up1(06))x＝eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(07))x2＝2py(p>0)eq\x(\s\up1(08))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\x(\s\up1(09))y＝－eq\f(p,2)eq\x(\s\up1(10))x2＝－2py(p>0)eq\x(\s\up1(11))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))eq\x(\s\up1(12))y＝eq\f(p,2)1．依據(jù)拋物線的方程求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時，首先要看拋物線方程是否為標(biāo)準(zhǔn)形式，假如不是，要先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后推斷拋物線的對稱軸和開口方向，再利用p的幾何意義，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．2．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法：建立恰當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動點(diǎn)滿意的條件，列出方程，進(jìn)行化簡，依據(jù)定義求出p，最終寫出標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)待定系數(shù)法：由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，因而在求方程時應(yīng)首先確定焦點(diǎn)在哪一個半軸上，進(jìn)而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．()(2)拋物線的焦點(diǎn)位置由一次項(xiàng)及一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)確定．()(3)平面內(nèi)到肯定點(diǎn)距離與到肯定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________________；準(zhǔn)線方程為__________________.(2)若拋物線的方程為x＝2ay2(a>0)，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p＝________.(3)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________________________________________________________．(4)拋物線y2＝4x上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是5，則P點(diǎn)坐標(biāo)是________.答案(1)(1,0)x＝－1(2)eq\f(1,4a)(3)x2＝8y(4)(4，±4)題型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點(diǎn)(－3,2)；(2)焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上．[解](1)設(shè)拋物線方程為y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，則將點(diǎn)(－3,2)代入方程得2p＝eq\f(4,3)或2p＝eq\f(9,2)，∴所求的拋物線方程為y2＝－eq\f(4,3)x或x2＝eq\f(9,2)y.(2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，∴拋物線的焦點(diǎn)為F(0，－2)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則由eq\f(p,2)＝2得2p＝8，∴所求拋物線方程為x2＝－8y；當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，同理得y2＝16x.[條件探究]假如把本例(1)中的“點(diǎn)(－3,2)”改為“點(diǎn)(1,2)”如何解答？解解法一：點(diǎn)(1,2)在第一象限，要分兩種情形：當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則22＝2p·1，解得p＝2，拋物線方程為y2＝4x；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)拋物線的方程為x2＝2py(p>0)，則12＝2p·2，解得p＝eq\f(1,4)，拋物線方程為x2＝eq\f(1,2)y.解法二：設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，將點(diǎn)(1,2)代入，得m＝4，n＝eq\f(1,2).故所求的方程為y2＝4x或x2＝eq\f(1,2)y.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)當(dāng)焦點(diǎn)位置確定時，可利用待定系數(shù)法，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由已知條件建立關(guān)于參數(shù)p的方程，求出p的值，進(jìn)而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時，可設(shè)拋物線的方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，利用已知條件求出m，n的值，進(jìn)而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．[跟蹤訓(xùn)練1]依據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4；(2)準(zhǔn)線方程為y＝eq\f(2,3).解(1)p＝4，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.(2)因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線交y軸于正半軸，且eq\f(p,2)＝eq\f(2,3)，則p＝eq\f(4,3)，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－eq\f(8,3)y.題型二拋物線的定義及其應(yīng)用例2(1)已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.eq\f(3,4) B．1C．eq\f(5,4) D．eq\f(7,4)(2)已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝()A．1 B．2C．4 D．8(3)已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時的P點(diǎn)坐標(biāo)．[解析](1)∵y2＝x的準(zhǔn)線方程為l：x＝－eq\f(1,4)，由題意得|AF|，|BF|分別為A，B到準(zhǔn)線l的距離d1，d2(如圖所示)．則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d3＝eq\f(d1＋d2,2)＝eq\f(3,2)，∴線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為d＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).故選C.(2)由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(1,4).因?yàn)閨AF|＝eq\f(5,4)x0，依據(jù)拋物線的定義可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1，故選A.(3)如圖，作PN⊥l于N(l為準(zhǔn)線)，作AB⊥l于B，則|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，當(dāng)且僅當(dāng)P為AB與拋物線的交點(diǎn)時，取等號．∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).此時yP＝2，代入拋物線方程得xP＝2，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)．[答案](1)C(2)A(3)見解析[結(jié)論探究]假如本例(3)的問題改為“求點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值”，如何解答？解由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點(diǎn)的距離．由圖可知，當(dāng)點(diǎn)P，A(0，2)和拋物線的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))三點(diǎn)共線時所求距離之和最小．所以最小距離d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2＋2－02)＝eq\f(\r(17),2).拋物線的定義及應(yīng)用拋物線的定義中指明白拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線的定義解決最值問題及其他問題的實(shí)質(zhì)．[跟蹤訓(xùn)練2]已知P為拋物線y2＝4x上一個動點(diǎn)，直線l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，則P到直線l1，l2的距離之和的最小值為()A．2eq\r(2) B．4C．eq\r(2) D．eq\f(3\r(2),2)＋1答案A解析將P點(diǎn)到直線l1：x＝－1的距離轉(zhuǎn)化為P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離，過點(diǎn)F作直線l2的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，此即為所求最小值點(diǎn)，∴P到兩直線的距離之和的最小值為eq\f(|1＋0＋3|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)，故選A.題型三與拋物線有關(guān)的軌跡問題例3已知圓A：(x＋2)2＋y2＝1與定直線l：x＝1，且動圓P與圓A外切并與直線l相切，求動圓的圓心P的軌跡方程．[解]解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，動圓P的半徑為r，由條件知|AP|＝r＋1，即eq\r(x＋22＋y2)＝|x－1|＋1，化簡，整理得y2＝－8x.解法二：如圖，設(shè)動圓P的半徑為r，作PK垂直于直線x＝1，垂足為K，PQ垂直于直線x＝2，垂足為Q，則|KQ|＝1，所以|PQ|＝r＋1，又|AP|＝r＋1，所以|AP|＝|PQ|，故點(diǎn)P到圓心A(－2,0)的距離和到定直線x＝2的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線，A(－2,0)為焦點(diǎn)，直線x＝2為準(zhǔn)線．∴eq\f(p,2)＝2，∴p＝4，∴點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝－8x.利用定義求軌跡的方法拋物線的軌跡問題，既可以用軌跡法干脆求解，也可以先將條件轉(zhuǎn)化，再利用拋物線的定義求解．后者的關(guān)鍵是找到滿意動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的條件，有時須要依據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能得到滿意拋物線定義的條件．[跟蹤訓(xùn)練3]平面上動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動點(diǎn)P的軌跡方程．解解法一：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則有eq\r(x－12＋y2)＝|x|＋1.兩邊平方并化簡得y2＝2x＋2|x|.所以y2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,0，x<0，))即點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．解法二：由題意，動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，由于點(diǎn)F(1,0)到y(tǒng)軸的距離為1，故當(dāng)x<0時，直線y＝0上的點(diǎn)適合條件；當(dāng)x≥0時，原命題等價于點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)與到直線x＝－1的距離相等，故點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，方程為y2＝4x.故所求動點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0).題型四拋物線方程的實(shí)際應(yīng)用例4“中山橋”是位于蘭州市中心，橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖1，橋上有五個拱形橋架緊密相連，每個橋架的內(nèi)部有一個水平橫梁和八個與橫梁垂直的立柱，氣概雄偉，素有“天下黃河第一橋”之稱．如圖2，一個拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的拋物線D1OD8(部分)組成，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知AB＝44m，∠A＝45°，AC1＝4m，C1C2＝5m，立柱C2D2＝5.55m.(1)求立柱C1D1及橫梁D1D8的長；(2)求拋物線D1OD8的方程和橋梁的拱高OH.[解](1)由題意知，∠A＝45°，AC1＝4m，則C1D1＝4m．因?yàn)锳BD8D1是等腰梯形，由對稱性知，AH＝HB＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×44＝22m，AC1＝C8B＝4m，C1H＝eq\f(1,2)C1C8＝eq\f(1,2)(AB－AC1－C8B)＝eq\f(1,2)×(44－4－4)＝eq\f(1,2)×36＝18m.所以D1D8＝C1C8＝36m.綜上，C1D1＝4m，D1D8＝36m.(2)由(1)知點(diǎn)D1的橫坐標(biāo)為－18，則D2的橫坐標(biāo)為－(18－5)＝－13，設(shè)D1，D2點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，由圖形知|y1－y2|＝|5.55－4|＝1.55.設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，將點(diǎn)D1，D2代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－182＝－2py1，,－132＝－2py2，))兩式相減得2p(y2－y1)＝182－132＝155，解得2p＝100，故拋物線方程為x2＝－100y.因此，當(dāng)x＝－18時，y＝－eq\f(1,100)x2＝－eq\f(1,100)×324＝－3.24m，故|y1|＝3.24m，所以橋梁的拱高OH＝3.24＋4＝7.24m.綜上，拋物線D1OD8的方程為x2＝－100y，橋梁的拱高OH為7.24m.求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的五個步驟(1)建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．(2)假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)計算：通過計算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(4)求解：求出所要求出的量．(5)還原：還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題．[跟蹤訓(xùn)練4]噴灌的噴頭裝在直立管柱OA的頂點(diǎn)A處，噴出水流的最高點(diǎn)B高5m，且與OA所在的直線相距4m，水流落在以O(shè)為圓心，半徑為9m的圓上，則管柱OA的長是多少？解如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，設(shè)水流所形成的拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，因?yàn)辄c(diǎn)C(5，－5)在拋物線上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以拋物線的方程為x2＝－5y，因?yàn)辄c(diǎn)A(－4，y0)在拋物線上，所以16＝－5y0，即y0＝－3.2，所以O(shè)A的長為5－3.2＝1.8m.所以管柱OA的長為1.8m.1．若動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,1)的距離與它到定直線l：3x＋y－4＝0的距離相等，則動點(diǎn)P的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．直線答案D解析解法一：設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得，eq\r(x－12＋y－12)＝eq\f(|3x＋y－4|,\r(10))，整理得x－3y＋2＝0，∴動點(diǎn)P的軌跡為直線．故選D.解法二：∵點(diǎn)F(1,1)在直線3x＋y－4＝0上，∴動點(diǎn)P的軌跡為過點(diǎn)F且垂直于直線l：3x＋y－4＝0的直線．故選D.2．拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.eq\f(1,16) B．eq\f(15,16)C．1 D．eq\f(17,16)答案B解析拋物線y＝4x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(y,4)，其準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,16)，由拋物線的定義知yM－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)))＝1，所以yM＝eq\f(15,16).3．(多選)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的方程可能為()A．y2＝4x B．y2＝2xC．y2＝8x D．y2＝16x答案AD解析由已知得，拋物線的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設(shè)點(diǎn)A(0,2)，拋物線上點(diǎn)M(x0，y0)，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知得，eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，即yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝0，解得y0＝4，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故C的方程可能為y2＝4x，y2＝16x.故選AD.4．若拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值是________.答案－eq\f(1,8)解析把拋物線方程y＝ax2化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,a)y，所以－eq\f(1,4a)＝2，a＝－eq\f(1,8).5．設(shè)拋物線y2＝mx的準(zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，求拋物線的方程．解當(dāng)m>0時，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(m,4)，由已知條件知1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)))＝3，所以m＝8.此時拋物線的方程為y2＝8x；當(dāng)m<0時，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(m,4)，由已知條件知－eq\f(m,4)－1＝3，所以m＝－16，此時拋物線的方程為y2＝－16x.所以所求拋物線的方程為y2＝8x或y2＝－16x.A級：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．若拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(8,8) B．(8，－8)C．(8，±8) D．(－8，±8)答案C解析設(shè)P(xP，yP)，因?yàn)辄c(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線x＝－2的距離，所以xP＝8，yP＝±8.故選C.2．已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為()A．－eq\f(4,3) B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)答案C解析因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上，所以－eq\f(p,2)＝－2，所以該拋物線的焦點(diǎn)為F(2,0)，所以kAF＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).故選C.3．拋物線y2＝mx的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(2,2eq\r(2))在此拋物線上，M為線段PF的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到該拋物線準(zhǔn)線的距離為()A．1 B．eq\f(3,2)C．2 D．eq\f(5,2)答案D解析∵點(diǎn)P(2,2eq\r(2))在拋物線上，∴(2eq\r(2))2＝2m，∴m＝4.又P到拋物線準(zhǔn)線的距離為2－(－1)＝3，F(xiàn)到準(zhǔn)線距離為2，∴M到拋物線準(zhǔn)線的距離為d＝eq\f(3＋2,2)＝eq\f(5,2).4．已知F是拋物線y＝eq\f(1,16)x2的焦點(diǎn)，P是該拋物線上的動點(diǎn)，則線段PF的中點(diǎn)E的軌跡方程是()A．x2＝8y－16 B．x2＝2y－eq\f(1,16)C．x2＝y(tǒng)－eq\f(1,2) D．x2＝2y－2答案A解析拋物線方程可化為x2＝16y，焦點(diǎn)F(0,4)，設(shè)線段PF的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x，y)，P(x0，y0)，則x0＝2x，y0＝2y－4，代入拋物線方程，得(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16.故選A.5．如圖，南北方向的馬路L，A地在馬路正東2km處，B地在A地北偏東60°方向2eq\r(3)km處，河流沿岸曲線PQ上隨意一點(diǎn)到馬路L和到A地距離相等，現(xiàn)要在曲線PQ上某處建一座碼頭，向A，B兩地運(yùn)貨物，經(jīng)測算，從M到A，B修建馬路的費(fèi)用都為a萬元/km，那么，修建這兩條馬路的總費(fèi)用最低是()A．(2＋eq\r(3))a萬元 B．(2eq\r(3)＋1)a萬元C．5a萬元 D．6a萬元答案C解析依題意知曲線PQ是以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物線，依據(jù)拋物線的定義知：欲使從M到A，B修建馬路的費(fèi)用最低，只需求出B到直線L的距離即可．∵B地在A地北偏東60°方向2eq\r(3)km處，∴B到點(diǎn)A的水平距離為3km，∴B到直線L的距離為3＋2＝5(km)，那么，修建這兩條馬路的總費(fèi)用最低為5a萬元．故選C.6．(多選)已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點(diǎn)，PQ垂直于l且交l于點(diǎn)Q，M，N分別為PQ，PF的中點(diǎn)，MN與x軸相交于點(diǎn)R，若∠NRF＝60°，則以下結(jié)論中正確的是()A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1C．|FP|＝4 D．|FR|＝4答案AC解析如圖，連接FQ，F(xiàn)M，因?yàn)镸，N分別為PQ，PF的中點(diǎn)，所以MN∥FQ.又PQ∥x軸，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°.由拋物線的定義知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP為等邊三角形，則FM⊥PQ，|QM|＝2，等邊三角形FQP的邊長為4，|FP|＝|PQ|＝4，又四邊形FRMQ為平行四邊形，所以|FR|＝|QM|＝2.故選AC.二、填空題7．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為________.答案2解析∵y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，由題意得，eq\f(p,2)＋3＝4，∴p＝2.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,0)關(guān)于原點(diǎn)O對稱．點(diǎn)P(x0，y0)在拋物線y2＝4x上，且直線AP與BP的斜率之積等于2，則x0＝________.答案1＋eq\r(2)解析∵點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,0)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，∴B(1,0)，依據(jù)題意，有kAP·kBP＝2，即eq\f(y0,x0＋1)·eq\f(y0,x0－1)＝2，eq\f(y\o\al(2,0),x\o\al(2,0)－1)＝2，又yeq\o\al(2,0)＝4x0，∴2x0＝xeq\o\al(2,0)－1，即xeq\o\al(2,0)－2x0－1＝0，解得x0＝eq\f(2±\r(8),2)＝1±eq\r(2)，舍去負(fù)值，得x0＝1＋eq\r(2).9．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F傾斜角為30°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A′，B′，若四邊形AA′B′B的面積為48，則拋物線的方程為________.答案y2＝2eq\r(3)x解析因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，代入y2＝2px(p>0)，整理得x2－7px＋eq\f(p2,4)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由根與系數(shù)之間的關(guān)系得，x1＋x2＝7p，x1x2＝eq\f(p2,4)，y1－y2＝eq\f(\r(3),3)(x1－x2)，又四邊形AA′B′B是梯形，其面積為48，所以eq\f(1,2)(x1＋x2＋p)|y1－y2|＝48，即eq\f(1,2)(x1＋x2＋p)·|eq\f(\r(3),3)(x1－x2)|＝eq\f(\r(3),6)(x1＋x2＋p)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝48，解得p2＝3，p＝eq\r(3)或p＝－