PAGE模塊綜合測(cè)評(píng)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(1＋i)16－(1－i)16＝()A．－256 B．256iC．0 D．256解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0.答案：C2．一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為s(t)＝5－3t2，若該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段[1,1＋Δt]內(nèi)相應(yīng)的平均速度為－3Δt－6，則該質(zhì)點(diǎn)在t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度是()A．－3 B．3C．6 D．－6解析：t＝1時(shí)，瞬時(shí)速度v＝s′(1)＝eq\o(lim,\s\do8(Δt→0))(－3Δt－6)＝－6.故選D.答案：D3．曲線f(x)＝sinx＋ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是()A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析：因?yàn)閒(x)＝sinx＋ex，所以f′(x)＝ex＋cosx，所以在x＝0處的切線斜率k＝f′(0)＝1＋1＝2，所以f(x)＝sinx＋ex在(0,1)處的切線方程為y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.故選C.答案：C4．如圖是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的的圖形是()解析：觀察圖形可知，下一個(gè)呈現(xiàn)出來(lái)的圖形是A選項(xiàng)中的圖形．答案：A5．已知復(fù)數(shù)z1＝2＋i，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＝1上，且滿足eq\x\to(z)1·z2是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z2等于()A．1－2i B．1＋2iC．2－i D．2＋i解析：由z1＝2＋i得eq\x\to(z)1＝2－i.由z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x＝1上，可設(shè)z2＝1＋bi(b∈R)，則eq\x\to(z)1·z2＝(2－i)(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.由eq\x\to(z)1·z2為純虛數(shù)得2＋b＝0，且2b－1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i.答案：A6．已知a＜0，函數(shù)f(x)＝ax3＋eq\f(12,a)lnx，且f′(1)的最小值是－12，則實(shí)數(shù)a的值為()A．2 B．－2C．4 D．－4解析：f′(x)＝3ax2＋eq\f(12,ax)，所以f′(1)＝3a＋eq\f(12,a)≥－12，即a＋eq\f(4,a)≥－4.又a＜0，有a＋eq\f(4,a)≤－4，所以a＋eq\f(4,a)＝－4，故a＝－2.答案：B7．已知f(x)＝eq\f(1,4)x2＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(x)的圖象是()解析：f(x)＝eq\f(1,4)x2＋cosx，∴f′(x)＝eq\f(1,2)x－sinx，令g(x)＝f′(x)，則g(x)為奇函數(shù)，排除B，D；由g′(x)＝eq\f(1,2)－cosx知g(x)在y軸右側(cè)先單調(diào)遞減，排除C.故選A.答案：A8．我們知道，在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三條邊的距離之和為定值eq\f(\r(3),2)a，類比上述結(jié)論可得，在棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值()A.eq\f(\r(6),3)a B．eq\f(\r(6),4)aC.eq\f(\r(3),3)a D.eq\f(\r(3),4)a解析：正四面體內(nèi)任一點(diǎn)與四個(gè)面組成四個(gè)三棱錐，它們的體積之和為正四面體的體積．設(shè)該點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為h1，h2，h3，h4，由于每個(gè)面的面積均為eq\f(\r(3),4)a2，正四面體的體積為eq\f(\r(2),12)a3，則有eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝eq\f(\r(2),12)a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝eq\f(\r(6),3)a.答案：A9．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是()A．②③ B．①②③C．③ D．③④⑤解析：若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab＞1，故⑤推不出；對(duì)于③，若a＋b＞2，則a，b中至少有一個(gè)大于1.可用反證法證明：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2，與a＋b＞2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1.故選C.答案：C10．把一段長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是()A.eq\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：設(shè)一段為xcm，則另一段為(12－x)cm(0＜x＜12)，則S(x)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－x,3)))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2,9)－\f(8x,3)＋16))，所以S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3))).令S′(x)＝0，得x＝6，當(dāng)x∈(0,6)時(shí)，S′(x)＜0，當(dāng)x∈(6,12)時(shí)，S′(x)＞0，所以當(dāng)x＝6時(shí)，S(x)最小．所以S＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,9)×62－\f(8,3)×6＋16))＝2eq\r(3)(cm2)．故選D.答案：D11．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B．(－∞，4]C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)解析：由2xlnx≥－x2＋ax－3，得a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)，設(shè)h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)(x＞0)，則h′(x)＝eq\f(x＋3x－1,x2).當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)＜0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故選B.答案：B12．設(shè)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋5x＋6在區(qū)間[1,3]上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－eq\r(5)，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，－3]∪[－eq\r(5)，＋∞)D．[－eq\r(5)，eq\r(5)]解析：f′(x)＝x2＋2ax＋5，若f(x)在[1,3]上為單調(diào)函數(shù)且單調(diào)遞增，則x∈[1,3]時(shí)，x2＋2ax＋5≥0恒成立，即2a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,x)))，而x∈[1,3]時(shí)，x＋eq\f(5,x)≥2eq\r(5)，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,x)))≤－2eq\r(5)，所以2a≥－2eq\r(5)，a≥－eq\r(5)，若f(x)在[1,3]上單調(diào)遞減，則x∈[1,3]時(shí)，x2＋2ax＋5≤0恒成立，即2a≤－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,x)))，而x∈[1,3]時(shí)，記h(x)＝x＋eq\f(5,x)，hmax＝h(1)＝6，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,x)))≥－6，所以2a≤－6，a≤－3，所以a的取值范圍是(－∞，－3)∪[－eq\r(5)，＋∞)．故選C.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．設(shè)i為虛數(shù)單位，若2＋ai＝b－3i(a，b∈R)，則a＋bi＝________.解析：由2＋ai＝b－3i(a，b∈R)，得a＝－3，b＝2，則a＋bi＝－3＋2i.答案：－3＋2i14．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x＜0，,ex，0≤x≤1))的圖象與直線x＝1及x軸所圍成的封閉圖形的面積為________．解析：由題意知所求面積為答案：e－eq\f(1,2)15．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)－xf′(x)＜0，若m＝eq\f(f\r(3),\r(3))，n＝eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2))),ln\f(1,2))，k＝eq\f(flog25,log25)，則m，n，k的大小關(guān)系是________(用“＜”連接)．解析：設(shè)g(x)＝eq\f(fx,x)，則g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2).因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)－xf′(x)＜0，所以當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以g(x)在R上單調(diào)遞增．因?yàn)閘neq\f(1,2)＜eq\r(3)＜log25，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))＜g(eq\r(3))＜g(log25)，所以n＜m＜k.答案：n＜m＜k16．若直線l與曲線C滿足下列兩個(gè)條件：(1)直線l在點(diǎn)P(x0，y0)處與曲線C相切；(2)曲線C在點(diǎn)P附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點(diǎn)P處“切過(guò)”曲線C.下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號(hào))．①直線l：y＝0在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C：y＝x3；②直線l：x＝－1在點(diǎn)P(－1,0)處“切過(guò)”曲線C：y＝(x＋1)2；③直線l：y＝x在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C：y＝sinx；④直線l：y＝x在點(diǎn)P(0,0)處“切過(guò)”曲線C：y＝tanx；⑤直線l：y＝x－1在點(diǎn)P(1,0)處“切過(guò)”曲線C：y＝lnx.解析：對(duì)于①，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲線C：y＝x3在點(diǎn)P(0,0)處的切線，畫圖可知曲線C：y＝x3在點(diǎn)P(0,0)附近位于直線l的兩側(cè)，①正確；對(duì)于②，因?yàn)閥′＝2(x＋1)，y′|x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲線C：y＝(x＋1)2在點(diǎn)P(－1,0)處的切線，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，y′＝cosx，y′|x＝0＝1，所以l：y＝x是曲線C：y＝sinx在點(diǎn)P(0,0)處的切線，畫圖可知曲線C：y＝sinx在點(diǎn)P(0,0)附近位于直線l的兩側(cè)，③正確；對(duì)于④，y′＝eq\f(1,cos2x)，y′|x＝0＝eq\f(1,cos20)＝1，所以l：y＝x是曲線C：y＝tanx在點(diǎn)P(0,0)處的切線，畫圖可知曲線C：y＝tanx在點(diǎn)P(0,0)附近位于直線l的兩側(cè)，④正確；對(duì)于⑤，y′＝eq\f(1,x)，y′|x＝1＝1，所以l：y＝x－1是曲線C：y＝lnx在點(diǎn)P(1,0)處的切線．令h(x)＝x－1－lnx(x＞0)，可得h′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′(x)＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，h′(x)＞0，所以h(x)min＝h(1)＝0，故x－1≥lnx，可知曲線C：y＝lnx在點(diǎn)P(1,0)附近位于直線l的下側(cè)，⑤錯(cuò)誤．答案：①③④三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．解析：(1)由已知f′(x)＝3x2－a.因?yàn)閒(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立．因?yàn)?x2≥0，所以只要a≤0.又因?yàn)閍＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，所以f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0.即a的取值范圍為(－∞，0]．(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．所以a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．因?yàn)椋?＜x＜1，所以3x2＜3，只需a≥3.當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)＜0，即f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)，所以a≥3.故存在實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，＋∞)，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減．18．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝eq\r(2)，z2的虛部是2.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)設(shè)z，z2，z－z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積．解析：(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi，由題意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.(2)當(dāng)z＝1＋i時(shí)，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.當(dāng)z＝－1－i時(shí)，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.綜上，△ABC的面積為1.19．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．解析：(1)當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為1.(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.因?yàn)閙＞0，所以1＋m＞1－m.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，1－m)1－m(1－m，1＋m)1＋m(1＋m，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)極小值極大值所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)上是減函數(shù)，在(1－m,1＋m)上是增函數(shù)．函數(shù)f(x)在x＝1－m處取得極小值f(1－m)，且f(1－m)＝－eq\f(2,3)m3＋m2－eq\f(1,3).函數(shù)f(x)在x＝1＋m處取得極大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝eq\f(2,3)m3＋m2－eq\f(1,3).20．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值為eq\f(1,2)，求a的值．解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2－x)＋a.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)＝eq\f(－x2＋2,x2－x)，令f′(x)＝0，得x＝eq\r(2).當(dāng)0＜x＜eq\r(2)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)eq\r(2)＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，eq\r(2))，單調(diào)遞減區(qū)間為(eq\r(2)，2)．(2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f′(x)＝eq\f(2－2x,x2－x)＋a＞0，即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝eq\f(1,2).21．(本小題滿分12分)(1)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)；(2)類比(1)中的結(jié)論，在四面體ABCD中，你能得到怎樣的猜想？并說(shuō)明理由．解析：(1)證明：如圖(1)所示，由射影定理可知，圖(1)AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).(2)猜想：在四面體ABCD中，若AB，AC，AD兩兩垂直，且AE⊥平面BCD于E，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).圖(2)證明：如圖(2)所示，連接BE并延長(zhǎng)交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.又AF?平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正確