專題9圓錐曲線第二定義的應用

微點2圓錐曲線第二定義的應用（二）

【微點綜述】

過圓錐曲線焦點的弦稱為焦點弦，關于焦點弦問題，除了運用弦長公式外，常利用

過焦點的特點，即用圓錐曲線統一定義求出焦半徑，從而得到焦點弦的長，也可使

與焦點弦相關的問題獲得簡解，達到優化解題、提高解題效率的效果.本節在上一

微點的基礎上，進一步概述圓錐曲線第二定義的應用.

（四）求離心率（或其取值范圍）

22

例1.已知點F是橢圓C:5+￡=l（a>0,0>0）的右焦點，點8是短軸的一個端

點，線段5斤的延長線交橢圓C于點。，且麗=2而，則橢圓C的離心率為

【答案】昱

3

【解析】解法1：BF=2FD,根據題意0/=c,OB=bBF=a,ED=g點。

2

橫坐標C+；c==3c,縱坐標bg,假設點。在第一象限，帶入橢圓方程

222

9c2b2]_

=1,9e?=3,73

彳+方3V

2-11百

解法2：tan￡=一,cos0--,—,e=——

ca1+133

【評注】應用以下兩個結論，可以快速求出橢圓或雙曲線的離心率（或其取值范

圍）.

88

（1）橢圓與雙曲線焦點弦長公式：|4同=至=越（恒網=至=之叵為直線與

112431243

2525

焦點所在軸的夾角）；

（2）在圓錐曲線中，若e|cos8|=C，則有e|cosq=KW|（恒同=?為直線

與焦點所在軸的夾角）.

22

例2.（2021?重慶?三模）已知雙曲線C：，-5=1（。＞0力＞0）的左右焦點分別為

月,F2,過月的直線交雙曲線C的左支于P,。兩點，若可;=西.西，且

△PQ6的周長為12a,則雙曲線C的離心率為（）

A*B.6C*D.2&

【答案】A

【分析】根據條件求得|P5|=3a,.?.歸耳|=%在RtZ^Pf；鳥中，由勾股定理可

得關于a,c的等式，進而可求得離心率.

【詳解】由雙曲線定義知|尸閭一|尸￡|=|。周一|。周=2a,

則|尸制=|尸閭-2a,|Q￡|=|Q周一2a,.?.|P2|=|尸制+|Q周=|尸閭+|Q周一4a,

APQK的周長為|%|+|＜2巴|+|P+=2（|P瑞|+|。/）-4a=1勿,

???I尸閭+|。國=8即|PQ|=4a,

由PgQ6）=OnP￡.PQ=OnPgLPQ,

2

AZF2PQ=90°,^\PF2f+16a=\QF2f,A\QF2\-\PF2\=2a,

.".\PF2\-3a,\QF2\-5a,.".\PF{\=a,

在RdPf；月中，a2+（3a）2=（2c）2,故6=￡=?.故選A.

a2

【評注】本題的關鍵點是：由%=%?函得到NEPQ=90°.

（五）求最值

22

例3.過橢圓二+匕=1的右焦點B并垂直于X軸的直線與橢圓的一個交點為B,橢

259

圓上不同的兩點A（N，y）,C（X2，%）,滿足條件：I5AM6⑸,1外C|成等差數列，則弦

AC的中垂線在）軸上的截距的范圍是（）

A.崎B?崎+臀）

【答案】C

【分析】利用焦半徑公式得％+Z=8,設AC中點M（4,y°）,利用點差法可求得

kAC,進而求得弦AC的中垂線方程，求得其在軸上的截距，利用加（4,%）在橢

圓“內”，可求得結果.

1Q

【詳解】?.?|乃川,1巴例,1乙。成等差數列，:.\F2A\+\F2C\=2\F2B\=—,

44

利用焦半徑公式得：因川=5-（玉，|瑪［=5-三9,代入可得芯+々=8

J。

設AC中點M（4,%）,橢圓上不同的兩點4（玉,凹）,。（*2,%），

2

V+支=1

259,兩式作差可得二=4?干，?&=《+，

左2

V,2玉一々25x+為25%

+^-=1

259

.?.弦AC的中垂線的方程為：>-%=筌氣》-4）,

36

當尤=0時，y=-等，此即AC的中垂線在y軸上的截距,

<1,得-*<%<］，故選C.

【評注】（1）對于弦中點問題常用“根與系數的關系'’或"點差法”求解，在使用根與

系數的關系時，要注意使用A>0條件，在用"點差法''時，要檢驗直線與圓錐曲線

是否相交.

（2）用"點差法''求解弦中點問題的解題步驟：

①設點，設出弦的兩端點的坐標；②代入：將兩端點的坐標代入曲線方程；③作

差：將兩式相減，再用平方差公式展開；④整理：轉化為斜率和中點坐標的關系

式，然后求解.

例4.（2017?新課標I理10）已知F為拋物線C：V=4x的焦點，過尸作兩條互相

垂直的直線4，6，直線4與C交于4、B兩點，直線4與C交于。、E兩點，則

|4卻+|。目的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

【答案】A

【解析】解法I：如圖，直線4與c交于A、8兩點，直線4與c交于。、

￡兩點，要使|A8|+|D￡|最小，則A與O,B,E關于x軸對稱，即直線OE的斜率

v2=

為I,又直線/,過點（1,0）,則直線乙的方程為y=x-i，聯立方程組一，則

y=x-l

y2-4j-4=0,乂+必=4,乂%=一4,

?|X—刃=血'阮=8,+目的最小值為2|。目=16,故

選A.

解法2：設直線4的傾斜角為。，則4的傾斜角為根據焦點弦長公式可得

加急=焉

2P4

阿2P

sin2[1+6>cos20cos20,

44416

\AB\+\DE\=--------1-----------------------------------

sin20cos20sin2<9cos20sin220

,.?0<sin228ql,.,?當6=45°時，|AB|+|DE|的最小，最小為16,故選A.

【評注】對于拋物線弦長問題，要重點抓住拋物線的定義，到定點的距離要想到轉

化到準線上.另外，直線與拋物線方程聯立，求判別式、韋達定理是通法，需要重

點掌握.考查到最值問題時要能想到用函數思想與方法及基木不等式進行解決.

例5.（2021?云南大理?二模）設拋物線V=8x的焦點為凡過F的直線/與拋物線

交于點A,B,與圓x2+y2—4x+3=0交于點p,Q,其中點A,P在第一象限，則

21Api+|QB|的最小值為（）

A.2V2+3B.272+5C.4^+5D.4V2+3

【答案】D

【分析】根據拋物線與圓的位置關系，利用拋物線的焦半徑公式，將2|用+|。目

表示為焦半徑與半徑的關系，然后根據坐標乙,4的特點結合基本不等式求解出

2|AP|+|Q8|的最小值.

【詳解】如圖所示，???圓的方程為丁+>2-48+3=0即為（x—2）2+產=1,.?.圓心

為（2,0）,即為拋物線V=8%的焦點且半徑R=l,

2\AP\+\QB\=2（|AF|-R）+（附-R）,2\AP\+\QB\=2\AF\+\BF\-3,

又,.14曰=4=x.+2,\BF\=xB+~=xB+2,/.2|AP|+|2B|=2xA+xg+3,

設/:x=/ny+2,/.\2，Ax2-（4+8m2）x+4=0,XX=4,

y=Sx'7AB

21AH+|Q6|=2/+/+322y]2xAxB+3=4行+3,取等號時

xA=&,4=2血.

綜上可知：（2|AP|+|Q即疝產40+3.故選D.

y

【評注】本題考查拋物線與圓的綜合應用，著重考查了拋物線的焦半徑公式的運

用，難度較難.（1）已知拋物線丁=2沖（〃>0）上任意一點幾）以及焦點

F,則有|用廠|=%+$（2）當過焦點的直線/與拋物線y2=2px（p>0）相交于

2

A（X,X）,B（&,y2）,則有貼=勺,y%=-P??

22

例6.（2022江蘇南京六合月考）已知橢圓,+3=1內有一點P（1,T）,尸是橢圓

的右焦點，M是橢圓上一點，則MP+迅的最小值為.

【答案】4

【詳解】如圖，F（l,0）,橢圓的離心率為￡=叱，由橢圓的第二定義可知

a5

y/5\MF\=\MN\,

+的最小值，就是由P作PN垂直于橢圓的準線于N,|PN|為所

2

求，橢圓的右準線方程為》=幺=5,；.MP+石的最小值為：5-1=4.

C

（六）解決存在型問題

22

例7.(2022?全國?模擬預測)已知橢圓C：鼻+#=l(a>Z?>0)的右焦點為尸，上

頂點為M,直線的斜率為-變，且原點到直線的距離為述.

23

(I)求橢圓C的標準方程；

(II)若不經過點廠的直線/：丁=丘+機伏<0,〃?>0)與橢圓。交于48兩點，且

與圓爐+)2=1相切.試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，

請說明理由.

2

【答案】(I)y+/=l(ID是，2G

【分析】(/)由題意設E(c,0)、M(0,b),由斜率公式、點到直線的距離公式列方

程即可得解；(〃)由直線與圓相切可得加=1+左2,設A&,y),B(孫冉)，由韋

達定理及弦長公式可得|4同，由焦半徑公式可得|AF|、|BF|,進而可得A/W尸的

周長，化簡即可得解.

【詳解】(Q設尸(c,0),M(0,&),則一2=一也，

c2

直線的方程為二+2=1,即法+。-仇?=0,

cb

...原點到直線FM的距離為-苫-=四,解得力=1,C=V2(負值舍去)，

yjb2+c23

尤

又〃=〃+。2=3，.?.橢圓C的標準方程為上2+y2=l.

3-

ImI

(〃)?.?直線/：丁=履+皿攵<0,加>。)與圓Y+V=1相切，.?.不二1,即

，1+攵~

m2=1+公，

V2_

設A(西,yj,8(%,%)，聯立了+)，得(3/+1卜2+6岐+3(加2_])=0,

y=kx+m

/.A=36k2>-12（3公+1）（〃/一。=設（3/-w2+l）=24公>o,

_-6km3（病一1）

%+*2=o；2,.，X,X,=-----，

3左+1123^+1

|AB|=Jl+父,歸-*21=Jl+公?J（X]+*2）~-4中2

l-42

,同理

\BF\=y/3-—X,,

3一

|AF|+|SF|=2>/3--（^+x2）,

...AABF的周長是

2癢部+切-袈-乎尚一黔=25貝3的周長

為定值2G.

【評注】本題考查了橢圓方程的確定及直線與橢圓的綜合應用，考查了橢圓中的定

值問題及運算求解能力，合理轉化條件、細心計算是解題關鍵，屬于中檔題.

2

例&設雙曲線方程"%"過v其右焦點且斜率不為零的直紹與雙曲線交于

43兩點，直線4的方程為1=心4,B在直線4上的射影分別為C，D.

（I）當4垂直于x軸，/=-2時，求四邊形ABCD的面積;

（II）。=0,《的斜率為正實數，A在第一象限，B在第四象限，試比較

與1的大小;

\BD\-\FA\

(Ill)是否存在實數使得對滿足題意的任意直線和直線的

交點總在X軸上，若存在，求出所有的「值和此時直線49和交點的位置；若不

存在，請說明理由.

【答案】(I)24(ID(III)，存在，f=；,此時兩直線的交點為

加

【分析】(/))當4垂直于x軸，直線4方程為x=2,四邊形ABOC為矩形，將

x=2代入雙曲線方程，求出A5坐標，得出|AB|,即可求解；

(〃)設4的方程為x=my+2,,篦>0,設A,6兩點的縱坐標分別為以，%,將4

的方程與雙曲線方程聯立，得到關于y的方程，根據韋達定理得出力，為關系，結

合力>0,為<0，將根據線段長公式化簡

\AC\-\FB\JAC\\BF\^XA|九1

，

\BD\-\FA\~\BD\'\AF\~xH'\yA\

n~r

T+

j?利田占川用在皿曲緯knTM—?'--3巾

丹小JHi吊、c，Q住以紙J-HJ1號11,由

XB\y\

A1+半.1%|\r+—

y}3

%>-%>°，即可得出結論.

(〃/)設4%,力)，B(xB,yB),則D(t,yH),求出直線A。和直線BC

的方程，利用兩條直線相交在％軸上,可得2/可，A%+Q-/)(%+%)=。，將%，%

關系，代入，得18/〃-12(2-?〃=0對一切加H±且都成立，有，=1，求出交點

32

的橫坐標，即可求解.

【詳解】(/)右焦點的坐標為尸(2,0).故4：x=2.

x=2,

聯立2y2解得y=±3.故|A3|=6,又|AC|=4,故四邊形A8OC的面積為

x----=1

I3

24.

(//)設4的方程為1=陽+2,這里加>0.

將4的方程與雙曲線方程聯立，得到3(my+2)2_y2_3=0,即

(3m2-l)y2+12沖+9=0.

由九%<°知3m2—1<0，此時,

2rr

l+y-l^l93

\AC\-\FB\=\AC\\BF\^XA㈤=■

TBDT\FA\~\BD\'\AF'\~x'\y\~2

BAn~+-

43

12m

由于一,=力+%>。，故%>-%>0,

3m2—

11IACI-IFBI,

即叼>卬>。，故丁房，因此兩而<1

(HI)由(〃)得⑶/一廳+口沖+9=0.(有兩交點表示加#±等)

設4%，%)，8(j,%),則C(f,%)，。?，力)?

4,巧)的絕對值不小于1，故乙7/,且巧,力/.

丁一力x-t

又因直線斜率不為零，故力力力.直線A。的方程為

力一力XA-f

x-t

直線8c的方程為

Xl

yB-yAB~

若這兩條直線的交點在x軸上，則當y=0時,

兩方程的X應相同,即x=/+f-')=t+

yA-yByB-yA

故力(加為+2—)+%(利為+2-。=0,即2而%為+(27)(%+%)=0.

912m

現.產而二I,以+%=一而n,代入上式,得1M一12（2-輸=°對一切

士走都成立，即18=24—12r,r=L

32

此時交點的橫坐標為％=，+一期⑴一）

力一打

J（〃%+2一）J?三（%+%）一（2—）%j?27=5

2%一九2%一力224

綜上，f存在，/=；,此時兩直線的交點為

【評注】本題考查雙曲線與直線的位置關系，聯立直線方程和雙曲線方程是解題的

基礎，應用韋達定理設而不求是解題的關鍵，將所研究的問題轉化為兩交點的坐標

關系，考查計算能力，屬于難題.

【總結】

通過上面幾個例子，我們對圓錐曲線的統一定義有了全面、完整、深刻的理解，

也為我們利用圓錐曲線的統一定義解題提供了思考的方法，同時彌補了教材講得

不透徹的局限.

從以上各題可以看出，解決這類問題的常規解法，是按照解析幾何問題求解的

“三部曲”，把直線和曲線方程聯立，消元得到關于x或y的一元二次方程，用韋

達定理得到交點坐標的關系式，最后將目標轉化表示，運算量往往不是一般的

大，若運用焦半徑公式的傾斜角形式，可以簡化運算，直達結論，起到事半功

倍的效果.

【針對訓練】

（2022綿陽三模）

22

1.已知雙曲線C：二一4=1（。＞0,匕＞0）的右焦點為F,過產且斜率為6的直

a~b~

線交。于A、B兩點,若通=5而，則C的離心率為（）

45〃-8

A.-B.-C.2D.一

335

【答案】A

【解析】

【分析】設出忸耳=x,|A同=5x,利用雙曲線的第二定義，結合直線的斜率為

G，建立等式，即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】設忸耳=x,則|A同=5x,

2

過A、8作雙曲線右準線％=幺的垂線，垂足分別為。、C,過8作4。的垂線，

C

垂足為E.

根據雙曲線的第二定義可得|人。|=寧，忸q='

.'.\AE\=—,

e

由直線的斜率為石，可得在RtZkABE中，ZA5E=30°,

4

：.\AB\^2\AE\,:.\AB\^\AF\+\BF\^6x^2\AE\^2x—r,

4

/.e=—.

3

故選：A.

22

2.已知雙曲線/>0）的右焦點為尸，過尸且斜率為6的直線

交C于A、B兩點,若衣=4而，則C的離心率為（）

569

A.—B.—C.—D.一

8555

【答案】B

【解析】

22

【分析】設雙曲線C：「-2=1的右準線為/,過A、B分別作40J_/于M,

ab~

BN上1于N,于。，根據直線A8的斜率為G，得到同口二3人用，再

利用雙曲線的第二定義得到=而而|），又|A8|=|而|+|方結合

/=4而求解.

22

【詳解】設雙曲線C:「-4=l的右準線為/,

a"b~

過A、B分別作于M,BN工1于N,BDLAA/于。，

如圖所示：

因為直線A3的斜率為6，

所以直線的傾斜角為60。，

Z.ABAD=60°,|A￡)|=^|AB|,

由雙曲線的第二定義得：

|刎一網=|明，(府卜阿毛|陰[(四+|阿,

又?.?麗=4而，

?二同臼啊

?e--

5

故選：B

【點睛】本題主要考查雙曲線的第二定義的應用以及離心率的求法，還考查了數形

結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.

3.已知片,鳥是雙曲線/的左、右焦點，P為雙曲線左支上一

點，若國T的最小值為8。，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()

A.(1,3)B.(1,2)C.(1,3JD.(1,2]

【答案】C

【解析】

\ppI2(2a+\PF\)24a2

【分析】由定義知：|列囹-伊乃|=2。，\PF^2a+\PF\\,產T=―,1,1

|P用|P司

4/

+4a+|PFi|>8a,當且僅當=|PFi|,即|PFi|=2a時取得等號.再由焦半徑公式得雙

冏I

曲線的離心率的取值范圍.

【詳解】由雙曲線定義可得:

\PF2f(2a+1P用f4a2

\PF2\-\PF\\=2a,\PF2\=2a+\PFy\,"聞Mi"

4a2

當且僅當同=\PFi\,即|PFi|=2a時取得等號.此時|P閭=4a

由雙曲線的幾何性質可得，PF2>c+a,即可4?2c+aneW3,又雙曲線的離心

率e>l,ee(l,3].

故選:C.

4.已知橢圓工+乙=1內有一點P(1,-1),尸為橢圓的右焦點，在橢圓上有一點

43

例，使|MP|+2|MF1取得最小值，則點M坐標為()

小高D；平』卜手

【答案】A

【解析】

【分析】利用橢圓的第二定義進行求解.

V-221

【詳解】因為橢圓方程為二+2v-=1,所以橢圓得離心率e=±,

432

設點M到橢圓右準線的距離為d,根據橢圓第二定義有：

等=e=g,所以d=2MF,所以|陰+2|"/|=|"青+1

表示橢圓上一點M到橢圓內定點P和到橢圓右準線的距離之和，

當MP垂直于右準線時，|陰+21M月取得最小值.此時M的縱

坐標為-1,代入橢圓方程看+^=1,求得M的橫坐標為2國.

433

所以點M坐標為-^-,-1，故B,C,D錯誤.

故選：A.

（2022.四川涼山.高二期末）

22

5.已知月，乃是橢圓C:?+q=l的兩個焦點，點M在橢圓C上，當

|"耳卜|叫|取最大值時，三角形“百鳥面積為（）

A.2GB.73C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據橢圓的焦半徑公式和橢圓中的X，〉的范圍可求得可取最大值

時，點M在橢圓的短軸上.

【詳解】設點M的坐標為M（X，X）,根據橢圓的焦半徑公式可得:

用=2+閭=2-9

則有：|“用也馬=4-%：

根據橢圓的特點，可知：-24占＜2

可得：當演=0時，|M耳可取最大值

此時，點M在橢圓的短軸上，則有：Sg釬=百

故選：B

（2021?廣州一模理）

6.已知以F為焦點的拋物線C：V=4x上的兩點A,B,滿足

而=2而則弦的中點到C的準線的距離的最大值是（）

cc8-10

A.2B.-C.—D.4

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據拋物線焦點弦的性質以及弁=%用，聯立可得進而

可用對勾函數的性質求|AB|=/l+J+2的最值，進而可求.

【詳解】解法1：拋物線y2=4X的焦點坐標為（1,0）,準線方程為x=T,

設A&,y）,B（x2,y2）,則=忸目，由拋物線定義可知

xl+l=/la+l）①，.,.X]=/U2+4T,又因為筋=2序，所以

（l一N，-y）=/l（x2-Ly2），即l-X=X（x2一l）②，由①②可得：%=%工2=?

A

所以|A創=4尸+8尸=（玉+1）+（工2+1）=丸+，+2二」4/143,

43

當4=3時，\AB\^A+-+2=—,當X=1時，|AB|=/L+，+2=3,

A33A3

.?/九+!+2）=?,則弦A8的中點到C的準線的距離d=網，d最大值是

I丸Znax32

8

31

Q

...弦AB的中點到C的準線的距離的最大值是],

故選：B.

2P

解法2：弦AB的中點到C的準線的距離p_2,根據

22sin20sin20

2_17i「3一

結論MsM=W7T=l一而e0,—,sin20=1-cos20G—,1,

2j|_4」

故選：B.

22

7.已知雙曲線=力＞0）的左、右焦點分別為6，6,過C的右

焦點工的直線/，與。的右支分別交于AB兩點，且|AB|=3忸勾，2\OB\=\F}F2\

（。為坐標原點），則雙曲線C的離心率為.

【答案】叵

3

【解析】

【分析】由題意易知設忸段=（>0）,由雙曲線定義可知

\BF}\^2a+t,\AF\^2a+2t,在Rs%瑪和中由勾股定理，分別可得

4c2=（2a+/）2+/2,（2"+2。2=（2〃+疔+（3/）2,兩式聯立化簡整理可得

4c2=竺二，由此即可求出結果.

9

【詳解】如圖，連接A耳，BF、.

因為2|0同=忻用，所以2耳_LBK，

設忸閭=d>0）,

因為|AB|=3忸段，所以|伍|=2f.

由雙曲線定義可得忸耳|-忸閭=2，即|跖|=%+反

由雙曲線定義可得|4耳|-|伍|=2a,即|A制=2a+2r,

在RtABF也中，由勾股定理可得忻且「=忸耳「+忸用2,即4c2=（2a+ty+*①,

在RtA4"B中，由勾股定理可得=忸耳「+|/叫2,即

（2a+2f）2=（2a+ry+（3r）2②，

由②得”當，代入①整理得叱=亞，所以C的離心率為姮.

393

故答案為：叵.

3

（2022四川涼山州模擬）

8.已知拋物線C：V=2x的焦點為尸，過點尸分別作兩條直線4，4，4直線與拋

物線。交于A、8兩點，直線4與拋物線。交于。、E兩點，若4與4的斜率的平

方和為2,則|筋|+|。目的最小值為—.

【答案】8

【解析】

【分析】設出兩條直線，分別和拋物線聯立，根據拋物線的弦長公式得到

\AB\=xi+x2+l=m（y]+y2）+2,\CD\=n（y3+yll）+2,再由韋達定理得到

\AB\+\CD\^2（m2+n2）+4,利用均值不等式得到最值.

【詳解】設4（%,加）,8（卬力），。（&，%），。（X4，%），

設直線4為x==，聯立直線4和拋物線得到/一2，町，一1=0,兩

根之和為：y+%=2，〃,同理聯立直線人和拋物線得到%+%=2〃

由拋物線的弦長公式得到|他|=玉+七+1=加（必+%）+2,|。|=〃（%+%）+2

代入兩根之和得到|AB|+|8|=2（m2+“2）+4,已知

11c221/，2\（11]兒/〃2）

—+—=2,m+〃=-（m+nJ-+—=-2+—+—>2,

mn~2'\mn'）2（nm~）

|A5|+|C￡）|=2（m2+n2）+4>8.

故答案為8.

【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直

線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為

方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓

錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解

決，但應注意不要忽視判別式的作用.

22

9.已知雙曲線工-匕=1的右焦點為耳，加是雙曲線右支上一點，定點4(9,2),

916

3

求1M+用的最小值.

一，36

【答案】y.

【解析】

【分析】運用雙曲線的第二定義，結合圖像即可得到最小值.

由題意得。=3,Z?=4,則作=+52=J32+42=5，

所以e=￡=],

a3

2

過點M作MN垂直于雙曲線的右準線》=幺，垂足為N,

C

設|MN=4,則也絲ll=e,即=

d3

3

所以MIA/用=|M4|+d

顯然，當M,N,A三點共線時，|M4|+沙用取得最小值,

22

10.如圖，已知橢圓工+匕=1的左、右焦點分別為片,招，過6的直線交橢圓于

32

民。兩點，過招的直線交橢圓于AC兩點，且AC求四邊形面積的最小值.

96

【答案】

【解析】

【分析】分類討論直線8D的斜率存在與否，當斜率存在時，聯立直線和橢圓方

程，根據弦長公式可求8D,AC,,進而根據基本等式即可求解面積的最小值，當無

斜率時，可求面積為4,進而可求最小值.

【詳解】當直線3。斜率A存在且不為0時，設80方程為：y=Mx+l）,聯立

y=Z（x+1）

<9n（3左2+2卜2+6攵2%+3%2_6=0,

132

設3a,凹）,。（孫必），則西+超=一盤萬，32=會言，

2

由弦長公式可得忸q=47淳人-司=+X2）-4X,X2=4里?；

46l）+1

因為ACJ.即，故3c=—1,進而可得|AC=一46（公+1）

3（j+22k2+3

所以四邊形的面積為

1,,,,14一（尸+1）4國爐+1）24（/+1）2

S=—8D?AC=-x——\------x——--------

2'11123k2+22左2+3一（2/+3）（3/+2）'

2

（2公+3）+（3/+2）

因為（2r+3）（3/+2）4，即

2

/29\25（公+1『

（2k2+3）（3公+2）<—~~匚'

=24伊+1）2〉24仰+1）［96

一（2公+3）（3-+2）-25卜2+］）2一25，當且僅當2公+3=3公+2n時，等

4

號成立，

當直線8。斜率不存在或者為0時、此時四邊形的面積為

S^-\BD\-\AC\=-x2ax—^2b2^4>—

T1112a25

???四邊形面積的最小值為券96.

22

11.已知雙曲線=-與=1（。>0/>0）的左、右兩個焦點分別為月，K，P是它左

支上一點，尸到左準線的距離為d,雙曲線的一條漸近線為y=gx,問是否存在

點尸，使d,|尸制，|尸可成等比數列？若存在，求出P的坐標；若不存在說明理由.

..（3a,\fl5a

【答案】存在，---,±---.

I22）

【解析】

【分析】假設存在點P（%,%）滿足題中條件，根據漸近線方程求出離心率，根據

等比數列的性質得到|P周=2|0耳］,再求出準線方程，利用焦半徑公式求出方,再

代入雙曲線方程求出方,即可得解.

【詳解】解：假設存在點P（方,%）滿足題中條件.

?.?雙曲線的一條漸近線為y=底,

—=-^3,b—,/.h2—3a2,/.c2—a2=3a2,——2,即e=2.

aa

因為乙I尸國產閭成等比數列，所以鳴=啰=2,所以上用=2|0周①,

2

?.?雙曲線的兩準線方程為x=±幺,

4|=2x0+—=|2x0+a|,\PF2\=2x0-=|2x0-a|.

,點P在雙曲線的左支上，，忸6|=—（a+外），|P周=a—氣，

3r2v2

代入①得q_氣=_2（。+%），二九0=__a,代入~4_科=1，

2cTb

解得先=±與，

???存在點尸使d,|尸耳筆|成等比數列，點尸的坐標是-半，土坐

（2022?江西九江?一模）

12.在直角坐標系宜內中，已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F,過點F的

直線交。于A,8兩點，|AB|的最小值為4.

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）若而=2礪一（1+4）礪，求△B4B面積的最小值.

【答案】（1）V=4x；

（2）4.

【解析】

【分析】（1）由題可得2P=4,即求；

（2）分類討論，利用條件可得S3A8=2SM"，然后利用韋達定理、弦長公式及

面積公式可表示S.8,即求；

【小問1詳解】

當A8垂直于x軸時，|4用最小，

其最小值為2，=4,p=2,

/.拋物線C的標準方程為/=4x.

【小問2詳解】

解法一：取加=_而=_幾次+(1+4)方,

則點M在直線上，且點。為線段的中點.

,?S&PAB=2s△OAB.

當A8垂直于x軸時，A,8的坐標分別為(1,2),(1,-2),

S△戶AS=2S&OAB—x4xl=4,

當A3不垂直于x軸時，設其斜率為％,則直線AB的方程為丁=%(》一1)(左H0).

\k\

則點。到直線AB的距離d=,

Jl+公

聯立方程［)；中川，消去建理得心2一(2公+4卜+二=0,

y=4x

mI2K+44IAoi/4

貝！Jx^+x2=—乒—=2+—,|AB|=玉+z+P=4+—,

“△.=2S△的=2x；|陰/=(4+?卜^^=^^=4^7^〉4,

綜上可得，△PAB面積的最小值為4.

解法二：當A3垂直于x軸時，48的坐標分別為(1,2),(1,-2),

由麗=4礪一(1+冷礪，得點P的坐標為(-1,奴+2),

則點P到直線A8的距離為2,

又|AB|=4,所以△PAB的面積為:x2x4=4,

當A8不垂直于x軸時，設其斜率為攵化。0）,

則直線AB的方程為y=A（x-1）,

設P,A,B的坐標分別為（％,M）,（占，匕），（與，，2），

則,=左（玉一1）,必=%（*2-1），

由麗=4麗一（1+4）礪，得毛=；1%―（1+;1）々，

%=—(1+4)%=4%(X]—1)—(1+4)2(工2~■1)=%[%甚—(1+之)々+1]，

即為=4（公+1）,故點P在直線y=Z（x+l）上，且此直線平行于直線A3.

則點尸到直線A3的距離d

\+k2

<：U；T'消去了整理得/x72-+4）x+/=0,

聯立方程

同12k~+441i4

貝ijx+x=-=2H--,|A4BD|=Xj+x+p=4A+—,

{2kkk2

.一“如外公二k+二卜回二呻二七口

2112Ik2)VTo7網Vk-

綜上可得，△PAB面積的最小值為4.

解法三：^OM=-OP=-AOA+(l+A