第二章

§2.1直線的傾斜角與斜率2.1.1傾斜角與斜率1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導過程，會應用斜率公式求直線的斜率.學習目標XUEXIMUBIAO內容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一直線的傾斜角1.傾斜角的定義(1)當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸

與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.2.直線的傾斜角α的取值范圍為

.正向0°≤α<180°知識點二直線的斜率1.直線的斜率把一條直線的傾斜角α的

叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝

.正切值tanα2.斜率與傾斜角的對應關系圖示

傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03.過兩點的直線的斜率公式過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝

.思考任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？答案由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的.思考任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？答案由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的.思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.任一直線都有傾斜角，都存在斜率.(

)2.任何一條直線有且只有一個斜率和它對應.(

)3.若直線的傾斜角為α，則0°≤α≤180°.(

)4.經過兩點的直線的斜率公式適用于任何直線.(

)××××2題型探究PARTTWO一、直線的傾斜角例1

(1)已知直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角α的取值范圍是A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°C.90°<α<180° D.0°<α<180°√解析直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°，又直線l經過第二、四象限，所以直線l的傾斜角α的取值范圍是90°<α<180°.(2)(多選)設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為A.α＋45° B.α－135°C.135°－α D.α－45°√√解析根據題意，畫出圖形，如圖所示：通過圖象可知：當0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.反思感悟直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討論.(2)注意傾斜角的范圍.反思感悟直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討論.(2)注意傾斜角的范圍.跟蹤訓練1

(1)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為__________.60°或120°解析有兩種情況：①如圖(1)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.②如圖(2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為________.135°解析設直線l2的傾斜角為α2，l1和l2向上的方向所成的角為120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.二、直線的斜率例2經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)求經過兩點A(2,3)，B(4,5)的直線的斜率，并確定直線的傾斜角α；即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.(2)求經過兩點A(a，2)，B(3,6)的直線的斜率.解當a＝3時，斜率不存在；反思感悟求直線的斜率(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的.(2)斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關.跟蹤訓練2

(1)若直線的傾斜角為135°，則直線的斜率為_____.－1(2)過點P(－2，m)，Q(m，4)的直線的斜率為1，則m的值為_____.1三、傾斜角和斜率的應用例3已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.(1)求直線l的斜率k的取值范圍；要使l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.解由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，又PB的傾斜角是45°，PA的傾斜角是135°，∴α的取值范圍是45°≤α≤135°.反思感悟傾斜角和斜率的應用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯系.(2)涉及直線與線段有交點問題常數形結合利用公式求解.跟蹤訓練3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍.解如圖所示，當D由B運動到C時，直線AD的斜率由kAB增大到kAC，3隨堂演練PARTTHREE1.(多選)下列說法正確的是A.若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°B.若k是直線的斜率，則k∈RC.任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D.任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角√12345√√2.下面選項中，兩點確定的直線的斜率不存在的是A.(4,2)與(－4,1) B.(0,3)與(3,0)C.(3，－1)與(2，－1) D.(－2,2)與(－2,5)√12345解析D項，因為x1＝x2＝－2，所以直線垂直于x軸，傾斜角為90°，斜率不存在.3.若經過A(m，3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角為45°，則m等于A.2 B.1 C.－1 D.－2√12345解析設直線AB，BC的斜率分別為kAB，kBC，∵A，B，C三點共線，∴kAB＝kBC，123455.經過A(m，3)，B(1,2)兩點的直線的傾斜角α的取值范圍是__________.(其中m≥1)123450°<α≤90°解析當m＝1時，傾斜角α＝90°；∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.1.知識清單：(1)直線的傾斜角及其范圍.(2)直線斜率的定義和斜率公式.2.方法歸納：數形結合思想.3.常見誤區：忽視傾斜角范圍，圖形理解不清.課堂小結KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR1.若直線過坐標平面內兩點(4,2)，(1,2＋

)，則此直線的傾斜角是A.30° B.150° C.60° D.120°√基礎鞏固12345678910111213141516∴直線的傾斜角為150°.2.已知經過點P(3，m)和點Q(m，－2)的直線的斜率為2，則m的值為√123456789101112131415163.(多選)下列說法中，錯誤的是A.任何一條直線都有唯一的斜率B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C.任何一條直線都有唯一的傾斜角D.若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等√12345678910111213141516√√解析A錯，因為傾斜角為90°的直線沒有斜率；B錯，因為0°<α<90°時，k>0,90°<α<180°時，k<0；C顯然對；若兩直線的傾斜角為90°，則它們的斜率不存在，D錯.√123456789101112131415165.直線l過原點(0,0)，且不過第三象限，那么l的傾斜角α的取值范圍是A.0°≤α≤90°B.90°≤α<180°C.90°≤α<180°或α＝0°D.90°≤α≤135°√123456789101112131415166.已知三點A(a，2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，實數a的值為________.12345678910111213141516解析∵A，B，C三點共線，∴kAB＝kBC，7.如圖，已知直線l1的傾斜角是150°，l2⊥l1，垂足為B.l1，l2與x軸分別相交于點C，A，l3平分∠BAC，則l3的傾斜角為________.1234567891011121314151630°解析因為直線l1的傾斜角為150°，所以∠BCA＝30°，8.已知點A(2，－1)，若在坐標軸上存在一點P，使直線PA的傾斜角為45°，則點P的坐標為________________.(3,0)或(0，－3)解析若點P在x軸上，設點P的坐標為P(x，0)，∴x＝3，即P(3,0).若點P在y軸上，設點P的坐標為P(0，y)，∴y＝－3，即P(0，－3).123456789101112131415169.過兩點A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)的直線的傾斜角為135°，求m的值.12345678910111213141516解依題意可得，直線的斜率為－1，又直線過兩點A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)，經檢驗m＝－1不合題意，故m＝－2.證明由于A，B，C三點共線，所以此直線的斜率既可用A，B兩點的坐標表示，也可用A，C兩點的坐標表示，1234567891011121314151611.已知直線l過點A(1,2)，且不過第四象限，則直線l的斜率k的最大值是√12345678910111213141516綜合運用解析如圖，kOA＝2，kl′＝0，只有當直線落在圖中所示位置時才符合題意，故k∈[0,2].故直線l的斜率k的最大值為2.12.若三點A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能構成三角形，則實數k的取值范圍為____________________.12345678910111213141516(－∞，1)∪(1，＋∞)要使A，B，C三點能構成三角形，需三點不共線，13.若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關系是________.12345678910111213141516k1<k3<k2解析由題圖可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的傾斜角大.∴k1<k3<k2.14.已知O(O為坐標原點)是等腰直角三角形OAB的直角頂點，點A在第一象限，∠AOy＝15°，則斜邊AB所在直線的斜率為_____.12345678910111213141516解析如圖，設直線AB與x軸的交點為C，則∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－105°＝30°.15.已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(2，－1)的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是______________________.拓廣探究(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析∵直線l與線段AB有公共點，∴直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，當l的傾斜角小于90°時，k≥kPB；當l的傾斜角大于90°時，k≤kPA.∴直線l的斜率k的取值范圍是(－∞，－1]∪[3，＋∞).12345678910111213141516∵點M在函數y＝－2x＋8的圖象上，且x∈[2,5]，∴設該線段為AB且A(2,4)，B(5，－2).12345678910111213141516備用工具&資料15.已知兩點A(－3,4)，B(3,2)，過點P(2，－1)的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是______________________.拓廣探究(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析∵直線l與線段AB有公共點，∴直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間，當l的傾斜角小于90°時，k≥kPB