第2課時(shí)兩條直線的位置關(guān)系[考試要求]1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．考點(diǎn)一兩條直線的位置關(guān)系的判斷及應(yīng)用直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0提醒：在判定兩條直線平行或垂直的情況時(shí)不要忽略了一條直線或兩條直線斜率不存在的情形．[常用結(jié)論]三種直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)過(guò)直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．[典例1](1)(2024·桂林模擬)已知直線l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值是()A．0或－1 B．－1或1C．－1 D．1(2)(2023·南昌三模)若a為實(shí)數(shù)，則“a＝1”是“直線l1：ax＋y＋2＝0與l2：x＋ay－3－a＝0平行”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(3)(多選)已知直線l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，則()A．l1恒過(guò)點(diǎn)(2，－2)B．若l1∥l2，則a2＝1C．若l1⊥l2，則a2＝1D．當(dāng)0≤a≤1時(shí)，l2不經(jīng)過(guò)第三象限(1)A(2)C(3)BD[(1)由題意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意．(2)若“直線l1：ax＋y＋2＝0與l2：x＋ay－3－a＝0平行”，則a2－1＝0，解得a＝1或a＝－1，當(dāng)a＝1時(shí)，直線l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y－4＝0，此時(shí)l1∥l2，符合題意；當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l1：－x＋y＋2＝0，即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，此時(shí)l1，l2重合，不符合題意；綜上所述：“直線l1：ax＋y＋2＝0與l2：x＋ay－3－a＝0平行”等價(jià)于a＝1.所以“a＝1”是“直線l1：ax＋y＋2＝0與l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要條件．故選C.(3)l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0?a(x＋y)＋x＋2＝0，當(dāng)x+y=0，x+2=0，即x＝－2，y＝2時(shí)，直線l1恒過(guò)點(diǎn)(－2，2)，故A不正確；若l1∥l2，則有(a＋1)·(1－a)＝a2，解得a2＝12，故B正確；若l1⊥l2，則有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C不正確；若直線l2不經(jīng)過(guò)第三象限，則當(dāng)1－a≠0時(shí)，11-a≥0，－a1-a≤0，解得0≤a<1，當(dāng)1－a＝0，即a＝1時(shí)，直線l2：解決兩直線平行與垂直的參數(shù)問(wèn)題要“前思后想”跟進(jìn)訓(xùn)練1(多選)(2023·遼寧師大附中模擬)已知直線l1：x－y－1＝0，動(dòng)直線l2：k+1x＋ky＋k＝0k∈RA．存在k，使得l2的傾斜角為90°B．對(duì)任意的k，l1與l2都有公共點(diǎn)C．對(duì)任意的k，l1與l2都不重合D．對(duì)任意的k，l1與l2都不垂直ABD[對(duì)于A，當(dāng)k＝0時(shí)，直線l2：x＝0，此時(shí)直線l2的傾斜角為90°，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，直線l1與l2均過(guò)點(diǎn)0，-1，所以對(duì)任意的k，l1與l2都有公共點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，當(dāng)k＝－12時(shí)，直線l2為12x－12y－12＝0，即x－y－1＝0與l1重合，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線l1的斜率為1，若l2的斜率存在，則斜率為－k+1k≠－1，所以l1與l2不可能垂直，所以對(duì)任意的k，考點(diǎn)二兩條直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題1．已知兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，則交點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組A12．三種距離公式(1)平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝x2特別地，原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝x2(2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝Ax(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝C1[典例2](1)(2020·全國(guó)Ⅲ卷)點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為()A．1B．2C．3D．2(2)經(jīng)過(guò)直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程為________．(3)(易錯(cuò)題)直線l過(guò)點(diǎn)P(－1，2)且到點(diǎn)A(2，3)和點(diǎn)B(－4，5)的距離相等，則直線l的方程為________．(1)B(2)5x＋3y－1＝0(3)x＋3y－5＝0或x＝－1[(1)法一：由點(diǎn)到直線的距離公式知點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離d＝k·0--1+kk2+1＝k+1k2+1＝k2+2k+1k2+1＝1+2kk2+1.當(dāng)k＝0時(shí)，d＝1；當(dāng)k≠0時(shí)，d＝1+法二：記點(diǎn)A(0，－1)，直線y＝k(x＋1)恒過(guò)點(diǎn)B(－1，0)，當(dāng)AB垂直于直線y＝k(x＋1)時(shí)，點(diǎn)A(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離最大，且最大值為|AB|＝2，故選B.(2)法一：解方程組3x+2y-1=0，5x+2y+1=0，得l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，2)，設(shè)垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程為5x＋3y＋c＝0，于是－5＋6＋c＝0，解得c＝－1，即直線l法二：設(shè)經(jīng)過(guò)直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)的直線系方程為3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，即(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋λ－1＝0，由其垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0，得3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，得λ＝15，即直線l的方程為5x＋3y(3)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由題意知2k-3+k+2k即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13，∴直線l的方程為y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．即直線l的方程為x＋3y－5＝0或x1.求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程，也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程．2．點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式．(2)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．跟進(jìn)訓(xùn)練2(2023·涼山三模)已知直線l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，點(diǎn)P(1，2)到直線l2的距離d＝()A．55B．255C．D[由l1⊥l2可得2×1－1×a＝0，解得a＝2，故d＝1+2×2-11考點(diǎn)三對(duì)稱問(wèn)題1．點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)(0，0)的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，－y)，點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，2b－y)．2．點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝a的對(duì)稱點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2b－y)．3．點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為(－y，－x)．4．點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x＋b的對(duì)稱點(diǎn)為(y－b，x＋b)，關(guān)于直線y＝－x＋b的對(duì)稱點(diǎn)為(b－y，b－x)．中心對(duì)稱問(wèn)題[典例3]過(guò)點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為________．x＋4y－4＝0[設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.]軸對(duì)稱問(wèn)題[典例4](1)已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4，2)，(3，1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A．(－2，4) B．(－2，－4)C．(2，4) D．(2，－4)(2)已知入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－3，4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2，6)，則反射光線所在直線的方程為________．(1)C(2)6x－y－6＝0[(1)設(shè)A(－4，2)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x，y)，則y解得x=4，y=-2，∴A′(4，－2)，由題意知，A′在直線BC上，∴BC所在直線方程為y－1＝-2-14-3(x(2)設(shè)點(diǎn)M(－3，4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)M′，所以b-4即M′(1，0)．又反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2，6)，所以所求直線的方程為y-06-0即6x－y－6＝0.]對(duì)稱問(wèn)題的求解策略跟進(jìn)訓(xùn)練3如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是()A．33 B．6C．210 D．2C[直線AB的方程為x＋y＝4，點(diǎn)P(2，0)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4，2)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(－2，0)，則光線經(jīng)過(guò)的路程為|CD|＝62+2故選C.]課后習(xí)題(四十三)兩條直線的位置關(guān)系1．(人教B版選擇性必修第一冊(cè)P100練習(xí)B組T4改編)已知點(diǎn)A(－1，2)，B(2，1)，C(0，4)，則△ABC的面積是()A．72B．7C．10A[kAB＝2-1-1-2＝－13，所以直線AB的方程為y－2＝－1∴點(diǎn)C到直線AB的距離d＝71又|AB|＝10，∴S△ABC＝12×2．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P67習(xí)題2.2T8改編)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－1)，且與直線2x－y－5＝0垂直，則直線l的方程為()A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0C[∵直線l與直線2x－y－5＝0垂直，∴設(shè)直線l的方程為x＋2y＋c＝0，∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1.∴直線l的方程為x＋2y＋1＝0.]3．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P79習(xí)題2.3T9改編)若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點(diǎn)，則m的值為________．－9[由y=2x，x+y=3所以點(diǎn)(1，2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.]4．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P79練習(xí)T2改編)已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________．2[由兩直線平行可知36＝4m≠－314(m∴兩直線方程分別為3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，則它們之間的距離d＝7+39+165．(2024·淮安模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，n＝(3，4)是l的一個(gè)法向量，則直線l傾斜角的余弦值為()A．－45B．45C．3A[因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，n＝(3，4)是l的一個(gè)法向量，所以直線l的方程為3x＋4y＝0，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則tanθ＝－34又tanθ=sinθ解得cosθ＝－456．(2024·衡水階段練習(xí))已知點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，則線段AB的垂直平分線方程為()A．4x＋2y－5＝0 B．4x－2y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0B[由題設(shè)，kAB＝1-23-1＝－12，故線段所以線段AB的垂直平分線方程為y－32＝2(x－2)，整理得4x－2y7．(2024·無(wú)錫模擬預(yù)測(cè))直線l1：ax＋y＋1＝0與l2：x＋ay－1＝0平行，則實(shí)數(shù)a＝()A．1 B．－1C．1或－1 D．0A[因?yàn)橹本€l1：ax＋y＋1＝0與l2：x＋ay－1＝0平行，所以a2－1＝0且－a－1≠0，解得a＝1.故選A.]8．(2024·吉林模擬預(yù)測(cè))在△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，則AB邊上的高所在的直線方程是()A．2x＋y－7＝0 B．2x－y－1＝0C．x＋2y－8＝0 D．x－2y＋4＝0A[設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，由已知可得，kAB＝1-21-3＝12又l過(guò)C(2，3)，所以l的方程為y－3＝－2(x－2)，整理可得2x＋y－7＝0.故選A.]9．(多選)(2024·六安開學(xué)考試)已知直線l1：x－y＋m＝0，l2：2x＋my－1＝0，則下列結(jié)論正確的有()A．若l1∥l2，則m＝－2B．若l1⊥l2，則m＝2C．若l1，l2在x軸上的截距相等，則m＝1D．l2的傾斜角不可能是l1傾斜角的2倍AB[若l1∥l2，則21＝m-1≠-若l1⊥l2，則1×2－m＝0，得m＝2，選項(xiàng)B正確；若l1，l2在x軸上的截距相等，則－m＝12，解得m＝－1當(dāng)m＝0時(shí)，l2的傾斜角為π2，恰好是l1的傾斜角π10．已知兩條直線l1：ax＋3y－3＝0，l2：2x＋6y＋1＝0，若l1∥l2，則直線l1與l2之間的距離d＝________．71020[因?yàn)閘1∥l2，則a2＝36≠－31，解得a＝1，所以直線因此，直線l1與l2之間的距離d＝-6-12211．(2024·虹口期末)已知平面直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)A(－2，－1)，B(2，2)，C(0，3)，若直線l過(guò)點(diǎn)C且與直線AB平行，則l的方程為________．3x－4y＋12＝0[依題意，直線AB的斜率k＝-1-2-2-2＝34，因?yàn)閘又直線l過(guò)點(diǎn)C，所以直線l的方程為y＝34x故答案為3x－4y＋12＝0.]12．直線l1：(m＋2)x－y－m＝0(m∈R)過(guò)定點(diǎn)________；若l1與直線l2：3x－my－1＝0平行，則它們之間的距離為________．(1，2)423[l1：(m＋2)x－y－m＝0?m(x－1)＋2x－故x-1=0，即定點(diǎn)為(1，2)．若l1與直線l2：3x－my－1＝0平行，則(m＋2)·(－m)－3×(－1)＝0?(m－1)(m＋3)＝0，故m＝1或m＝－3.當(dāng)m＝1時(shí)l1與直線l2重合不滿足題意．故m＝－3.則l1：x＋y－3＝0，l2：3x＋3y－1＝0，即l2：x＋y－13所以兩直線間的距離為：-3+13故答案為(1，2)；42階段提能(十四)直線方程的應(yīng)用1．(人教B版選擇性必修第一冊(cè)P102習(xí)題2－2BT4)一條直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，－3)，并且傾斜角是直線y＝33x的傾斜角的2倍，求直線l[解]直線y＝33x的斜率k＝3∴直線l的傾斜角為60°，∴直線l的斜率k1＝tan60°＝3，由點(diǎn)斜式得直線l的方程為y＋3＝3(x－2)，即3x－y－23－3＝0.2．(北師大版選擇性必修第一冊(cè)P26習(xí)題1－1B組T4)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，3)，且點(diǎn)P(1，－1)到直線l的距離為2，求直線l的方程．[解]法一：若直線l的斜率不存在，方程為x＝－1，此時(shí)點(diǎn)P(1，－1)到l的距離為d＝|－1－1|＝2.若直線l的斜率存在，設(shè)方程為y－3＝k(x＋1)，即kx－y＋3＋k＝0，所以k+1+3+kk所以k＝－34所以l：y－3＝－34(x即3x＋4y－9＝0，所以l的方程為x＋1＝0或3x＋4y－9＝0.法二：因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)A(－1，3)，所以直線l的方程可設(shè)為C(x＋1)＋B(y－3)＝0，即Cx＋By＋C－3B＝0.所以C-所以C＝34B或B所以l的方程為34Bx＋By＋34B－3B＝0或Cx＋所以l的方程為3x＋4y－9＝0或x＋1＝0.3．(北師大版選擇性必修第一冊(cè)P26習(xí)題1－1B組T6)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)的直線l被兩條直線2x－y＝0和x＋y＋2＝0所截得的線段恰被點(diǎn)A平分，求直線l的方程．[解]設(shè)直線l與兩條直線2x－y＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，2x1)，(x2，－2－x2)，所以x1+所以其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為43所以直線l的方程為y－0＝83-04即8x－y－8＝0.4．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P79習(xí)題2.3T10)已知△ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，邊AB上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，邊AC上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0.求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)直線BC的方程．[解]法一：(1)如圖，由x－2y－5＝0得kBH＝12，由AC⊥BH得kAC所以直線AC的方程為y－1＝－2(x－5)，即2x＋y－11＝0.解方程組2x-y-(2)設(shè)B(x，y)，則Mx+52所以2×x+52即2x－y－1＝0，解方程組x得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，－3)．又C(4，3)，所以直線BC的方程為y-3-3-3＝法二：(1)因?yàn)辄c(diǎn)C在直線CM上，所以可設(shè)C(x0，2x0－5)．同方法一得kAC＝－2，所以kAC＝2x0-5所以C(4，3)．(2)因?yàn)辄c(diǎn)B在直線BH上，所以可設(shè)B(2t＋5，t)．由題知點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，所以M2t+5+52，t+12又點(diǎn)M在直線CM上，所以2(t＋5)－t+12解得t＝－3，則B(－1，－3)．同法一得直線BC的方程為6x－5y－9＝0.5．(2024·錦州模擬預(yù)測(cè))已知直線2x－y＋1＝0的傾斜角為α，則cos2αA．－3B．－13C．－19B[因?yàn)橹本€2x－y＋1＝0的傾斜角為α，所以tanα＝2.所以cos2α1+sin2α＝cos2α-sin6．(2024·通化模擬預(yù)測(cè))若直線kx－y＋2k－1＝0恒過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均為正數(shù)，則mn的最大值為()A．14B．1B[因?yàn)閗x－y＋2k－1＝0，則k(x＋2)－(y＋1)＝0，令x+2=解得x=即直線kx－y＋2k－1＝0恒過(guò)點(diǎn)A(－2，－1)．又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線mx＋ny＋2＝0上，則－2m－n＋2＝0，可得2m＋n＝2，且m，n>0，則2m＋n＝2≥22mn，即0<mn≤12，當(dāng)且僅當(dāng)2m＝n＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以mn的最大值為17．(2024·鄭州模擬預(yù)測(cè))已知直線l與直線x＋2y＋1＝0垂直，若直線l的傾斜角為θ，則sinθsin3πA．35B．12C．－1D[因?yàn)橹本€l與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率為2，所以tanθ＝2，所以sinθsin3π2+θ＝sinθ·(－cosθ)＝－sinθcosθ故選D.]8．(2024·畢節(jié)模擬預(yù)測(cè))直線l1：x＋(1＋a)y＝1－a(a∈R)，直線l2：y＝－12xA．?a∈R，使得l1∥l2B．?a∈R，使得l1⊥l2C．?a∈R，l1與l2都相交D．?a∈R，使得原