第1講與有理數有關的概念

考點?方法?破譯

1.了解負數的產生過程，能夠用正、負數表示具有相反意義的量.

2.會進行有理的分類，體會并運用數學中的分類思想.

3.理解數軸、相反數、絕對值、倒數的意義.會用數軸比較兩個有理數的大小，會求一個數的相反數、絕對值、倒數.

經典?考題?賞析

【例1】寫出下列各語句的實際意義

⑴向前一7米⑵收入一50元⑶體重增加一3千克

【解法指導】用正、負數表示實際問題中具有相反意義的量.而相反意義的量包合兩個要素：一是它們的意義相反.二是它們具

有數量.而且必須是同類量，如“向前與向后、收入與支出、增加與減少等等”

解：（1）向前一7米表示向后7米（2）收入一50元表示支出50元（3）體重增加一3千克表示體重減小3千克.

【變式題組】

01.如果+10*表示增加10%,那么減少8%可以記作（）

A.-18%B.-8%C.+2%D.+8%

02.如果+3噸表示運入倉庫的大米噸數，那么運出5噸大米表示為（）

A.-5噸B.+5噸C.—3噸D.+3噸

22

【例2】在一亍，77,0.0333這四個數中有理教的個教（）

4.1個8.2個C.3個D.4個

,正整數'正整數

正有理數＜

、正分數整數，0

【解法指導】有理數的分類：⑴按正負性分類，有理數，0:按整數、分數分類，有理數?負整數

'負整數'正分數

負有理數,分數，

[,負份數.負分數

其中分數包括有限小數和無限循環小數，因為"=3.1415926…是無限不循環小數，它不能寫成分數的形式，所以"不是有理數，一

?y是分數0.0333是無限循環小數可以化成分數形式，。是整數，所以都是有理數，故選C.

【變式題組】

11

01.在7,0.15,-301.31.25,100./,-3001中，負分數為________,整數為_____,正整數_____________-

ZO

02.請把下列各數填入圖中適當位置

【例3】有一列數為一1,

【解法指導】從一系列的數中發現規律，首先找出不變量和變量，再依變量去發現規律.擊歸納去猜想，然后進行驗證.解本題會

有這樣的規律：⑴各數的分子部是1;（2）各數的分母依次為1,2,3,4,5,6,…（3）處于奇數位置的數是負數，處于偶數位置的數是

1

正數，所以第2007個數的分子也是1.分母是2007,并且是一個負數，故答案為一訴

【變式題組】

01.（湖北宜賓）數學解密：第一個數是3=24-1,第二個數是5=3+2,第三個數是9=5+4,第四十數是17=9+8…觀察并精想

第六個數是.

02.畢選哥拉斯學派發明了一種“馨折形”填數法，如圖則？填____.

03.有一組數/,2,5,10,17,26…請觀察規律，則第8個數為____.

【例4】若/十稱的相反數是一3,則用的相反數是____.

【解法指導】理解相反數的代數意義和幾何意義，代數意義只有符號不同的兩個數叫互為相反數.幾何意義：在數軸上原點的兩旁

且離原點的距離相等的兩個點所表示的數叫互為相反數，本題/=-4,加=—8

【變式題組】

01.-5的相反數是（）

11

A.5B.-C.—5D.——

□3

02.已知a與6互為相反數，c與d互為倒數，則a+b+cd=

03.如圖為一個正方體紙盒的展開圖，若在其中的三個正方形48、C內分別填入適當的教，使得它們折成正方體.若相對的面上的

兩個數互為相反數，則填入正方形48、C內的三個數依次為（）

A.-1,2,0B.0,-2,1C.-2,0,1D.2,1,0

【例5】a、6為有理數，且a>0,b<Q,\b\>a,則同仇一a,一6的大小順序是（）

A.6V—aVaV—bB.-a<b<aV—bC.-bVaV—a<bD.-aVaV—bVb

【解法指導】理解絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是數軸上表示a的點到原點的距離，即|a|,用式子表示為|司=

a[a>0）

1A111H

<0（。=0）.本題注意數形結合思想，畫一條數軸b-a0a-b標出a、6,依相反數的意義標出一6,一當故選4

-a（a<0）

【變式題組】

01.推理①若a=b,則|a|=|6|;②若|司=|引，則a=6:③若aWb,則|石|H㈤；④若|a|手|引，則a*b,其中正確的個數為（）

44個8.3個C.2個Z7.1個

02.a、b、c三個數在數軸上的位置如圖，則‘紅+州_+區~=

【例6】已知|a一4|+|b—8|=0,則一的值.

ao

【解法指導】本題主要考查絕對值概念的運用，因為任何有理數a的絕對值都是非負數，即|s|20.所以|a-4|20,|6一8|20.

而兩個非負數之和為0,則兩數均為0.

a?b

解：因為|a-4|20,|b-8|20,又|a—4|+|b—8|=0,|a—4|=0,|b—8|=0即1一4=0,b—8=0,a=4,6=8.故一―=

123

【變式題組】

已知|s|=1,\b\=2,|c\=3,且a>6>c,求a+b+C.

若|/TT-3|+|"+2|=0,則ZTT+2〃的值為（）

A.-4B.-1C.0D.4

已知|a|=8,|b|=2,且|a—b|=6—a,求a和6的值

【例7】已知（/H■而?+|加|=加，且|2m一〃一2|=0.求加的值.

【解法指導】本例關鍵是通過分析（加+42+|屈的符號，挖掘出加的符號特征，從而把問題轉化為（歷+,/,12/77—〃-21=0,找

到解題途徑.

解：V（/H-/7）2^0,|加

，（川+〃）?+|m|20,而（6+"）?+|m|=m

歷20,；?（川+〃）？+勿=加，即（6+/7）?=0

/./?H~n=0①

又?.?|26一勿一2|=0

A2/77-<7-2=0②

224

由①②得而§,"=_§，mn=~g

【變式題組】

已知（3+6）?+|6+5|=6+5且12a—b-/|=0,求a—B.

演練鞏固-反饋提高

111111

01.觀察下列有規律的數3,T,——,—而…根據其規律可知第9個數是（）

ZOIzzUJU4Z

1111

A.B.C.D.

567290iw

02.-6的絕對值是（）

11

A.6B.-6C.TD.-7

oo

03.在一亍，",8.0.3四個數中，有理數的個數為（）

41個8.2個C.3個24個

04.若一個數的相反數為a+6,則這個數是（）

A.a-bB.b-aC.-a+6D.~a—b

05.數軸上表示互為相反數的兩點之間距離是6,這兩個數是（）

A.。和6B.0和一6C.3和一3D,0和3

06.若一a不是負數，則a（）

A.是正數B.不是負數C.是負數D.不是正數

07.下列結論中，正確的是（）

①若a=b,則|a|=|引②若a=-b,則|a|=|引

③若|=Ib|,則a=-6④若|a|=|b|,則a=b

A.①②B.③④C.①④D.②③

08.有理數a、。在數軸上的對應點的位置如圖所示，則a、b,-a,|同的大小關系正確

的是（）

A.|b\>5>_a>bB.\b\>b>a>—a

C.a>\b\>b>~aD.a>\b\>-a>b

09.一個數在數軸上所對應的點向右移動5個單位后，得到它的相反數的對應點，則這個數是.

10.已知|x+2|+|y+2|=0,則xv=__.

11.石、b、c三個數在數軸上的位置如圖，求同~+巧~+"%+但~

ababcc

12.若三個不相等的有理數可以表示為1、a、a+b也可以表示成0、b、々的形式，試求a、b的值.

a

13.已知|a|=4,|d|=5,|c\=6,且a>b>c,求a+b—C.

第02講有理數的加減法

考點?方法?破譯

1.理解有理數加法法則，了解有理數加法的實際意義.

2.準確運用有理數加法法則進行運算，能將實際問題轉化為有理數的加法運算.

3.理解有理數減法與加法的轉換關系，會用有理數減法解決生活中的實際問題.

4.會把加減混合運算統一成加法運算，并能準確求和.

經典?考題?賞析

【例1】某天股票4開盤價18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盤時又漲了0.3元，則股票4這天的收盤價為()

A.0.3元B.16.2元C.16.8元D.18元

【解法指導】將實際問題轉化為有理數的加法運算時，首先將具有相反意義的量確定一個為正，另一個為負，其次在計算時正確

選擇加法法則，是同號相加，取相同符號并用絕對值相加，是異號相加，取絕對值較大符號，并用較大絕對值減去較小絕對值.解：18

+(-1.5)+(0.3)=16.8,故選C.

【變式題組】

01.今年陜西省元月份某一天的天氣預報中，延安市最低氣溫為一6"C,西安市最低氣溫2℃,這一天延安市的最低氣溫比西安低()

A.8℃B.-8℃C.6'CD.2℃

02.飛機的高度為2400米，上升250米，又下降了327米，這是飛機的高度為

03.珠穆朗瑪峰海拔8848m,吐魯番海拔高度為一155m,則它們的平均海拔高度為

【例2】計算(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)

【解法指導】應用加法運算簡化運算，-83與-17相加可得整百的數，+26與一26互為相反數，相加為0,有理數加法常見技

巧有：⑴互為相反數結合一起；(2)相加得整數結合一起；(3)同分母的分數或容易通分的分數結合一起；(4)相同符號的數結合一起.

解：(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)=[(-83)+(-17)]+[(+26)+(-26)]+15=(-100)+

15=-85

【變式題組】

131

01.(-2.5)4-(-3—)+(-1—)+(-1—)02.(-13.6)+0.26+(-2.7)+(-1.06)

244

II11

【例3】計算-----+------+------+H----------------------

1x22x33x42008x2009

【解法指導】依---------=-----------進行裂項，然后鄰項相消進行化簡求和.

及(〃+1)n〃+1

解：原式=(1_L)+(L-L)+(J_L)++(-.....—)

2233420082009

,1111111

2233420082009

,12008

20092009

【變式題組】

計算1+(-2)+3+(-4)+-+99+(-100)

【例4】試看下面一列數：25、23、21,19-

⑴觀察這列數，猜想第10個數是多少？第〃個數是多少？

⑵這列數中有多少個數是正數？從第幾個數開始是負數？

⑶求這列數中所有正數的和.

【解法指導】尋找一系列數的規律，應該從特殊到一般，找到前面幾個數的規律，通過觀察推理、猜想出第〃個數的規律，再用

其它的數來驗證.

解：⑴第10個數為7,第"個數為25—2("-1)

⑵T"=13時，25-2(13-1)=1,n=14St,25-2(14-1)=-1

故這列數有13個數為正數，從第14個數開始就是負數.

(3)這列數中的正數為25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,其和=(25+1)+(23+3)+--?+(15+11)+13=26X6+13=

169

【變式題組】

01.觀察下列等式的規律

9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20

⑴用關于"(/7>1的自然數)的等式表示這個規律；

⑵當這個等式的右邊等于2008時求n.

演練鞏固?反饋提高

01.m是有理數，則"+|。|()

A.可能是負數B.不可能是負數C.比是正數D.可能是正數，也可能是負數

02.如果|a|=3,|引=2,那么|a+b|為()

A.5B.1C1或5±1或±5

03.在1,-1,一2這三個數中，任意兩數之和的最大值是()

A.1B.0C.11D.一3

04.兩個有理數的和是正數，下面說法中正確的是()

4兩數一定都是正數B.兩數都不為0C.至少有一個為負數D.至少有一個為正數

05.下列等式一定成立的是()

A.\x\一x=0B.—x—x=0C.|x|+|-x\=0D.\x\-|x\=0

06.一天早晨的氣溫是一6℃,中午又上升了10℃,午間又下降了8℃,則午夜氣溫是()

4一40cB.4℃C.-3℃D.~5℃

07.若aV0,則|a—(一a)|等于()

A.-aB.0C.2aD.—2a

|X-|XII

08.設x是不等于0的有理數，則^——'~^值為()

2x

40或180或2C.0或一1D.0或一2

09.2+(—2)的值為

10.用含絕對值的式子表示下列各式：

⑴若aVO,b>0,則b-a=a—b=_________

⑵若a>b>0,則|a—6|=

⑶若a<b<0,則a~b=

11.計算下列各題：

(1)23+(-27)+9+5(2)-5.4+0.2-0.6+0.35-0.25

I123

⑶-0.5-3—+2.75—7—(4)33.1-10.7-(-22.9)-|--------|

4210

12.計算1-3+5—7+9-11+…+97—99

第03講有理數的乘除、乘■方

考點?方法?破譯

1.理解有理數的求法法則以及運算律，能運用乘法法則準確地進行有理數的乘法運算，會利用運算律簡化乘法運算.

2.掌握倒數的概念，會運用倒數的性質簡化運算.

3.了解有理教除法的意義，掌握有理數的除法法則，熟練進行有理數的除法運算.

4.掌握有理數乘除法混合運算的順序，以及四則混合運算的步驟，熟練進行有理數的混合運算.

5.理解有理數乘方的意義，掌握有理數乘方運算的符號法則，進一步掌握有理數的混合運算.

經典?考題?賞析

［例1］計算

【解法指導】掌握有理數乘法法則，正確運用法則，一是要體會并掌握乘法的符號規律，二是細心、穩妥、層次清楚，即先確定

積的符號，后計算絕對值的積.

1/1、J1、1

解：⑴一x(——)=-(—X—)=——

24248

(3)(-l)x(-l)=+(lxl)=l

(4)2500x0=0

3713371031

⑸(--)x(--)x(l-)x(--)=-<-x-x—x-)=--

569756973

【變式題組】

01.⑴(-5)x(—6)⑶(—8)x(3.76)x(-0.125)

(4)(-3)x(-l)x2x(-6)xOx(-2)⑸-12x(2—1—I-1—1—)

42612

2403.(2x3x4x5)x(l---l-l)

02.(-9—)x5004.(-5)x3-+2x3-+(-6)x3-

252345333

【例2】已知兩個有理數a、b,如果a6V0,里.a+bVO,那么()

A.a>0,b<QB.aVO,b>Q

C.a、6異號D.a.6異號且負數的絕對值較大

【解法指導】依有理數乘法法則，異號為負，故小。異號，又依加法法則，異號相加取絕對值較大數的符號，可得出判斷.

解：由abVO知a、6異號，文由a+bVO,可知異號兩數之和為負，依加法法則得負數的絕對值較大，選。.

【變式題組】

01.若a+b+c=O,且bVcVO,則下列各式中，錯誤的是()

A.a+6>0B.6+cV0C.ab+ac>0D.a+6c>0

02.乙知a+b>0,a-bVO,abVO,則^0,bOf/a//b/.

b

03.如果a*6V0,—>0,則下列結論成立的是()

a

A.a>Qfb>0B.aVO,b<0C.a>Q,b<0D.aVO,b>0

04.下列命題正確的是()

A.若ab>Qf則a>0,b>QB.若ab<0,則a<Ofb<Q

C.若ab=O,則a=0或6=0D.若ab=O,則a=0且b=0

【例3】計算

(11(-72)-(-18)(2)1+(—2；)13

(3)(——)+(——)⑷0+(-7)

【解法指導】進行有理數除法運算時，若不能整除，應用法則1,先把除法轉化成乘法，再確定符號，然后把絕對值相乘，要注

意除法與乘法互為逆運算.若能整除，應用法則2,可直接確定符號，再把絕對值相除.

解：⑴(一72)+(—18)=72+18=4

【變式題組】

⑶0+(一2；)13

01.(1)(-32)4-(-8)(2)2-)(4)(-)^(-1-)

3678

53

02.⑴29+3x—(3)0-(--)x-

335

113

以-.(--)+(l-0.2.-)x(-3)

【例4】2015年我省為135萬名農村中小學生免費提供教科書，減輕了農民的負擔，135萬用科學記數法表示為()

A.0.135X106B.1.35X106C.0.135X107D.1.35X107

【解法指導】將一個數表示為科學記數法的aX1(T的形式，其中a的整數位數是1位.故答案選8.

【變式題組】

01.武漢市今年約有103000名學生參加中考，103000用科學記數法表示為（）

A.1.03X105B.0.103X105C.10.3X104D.103X103

02.沈陽市計劃從2014年到2015年新增林地面積253萬畝，253萬畝用科學記數法表示正確的是（）

A.25.3X10'畝B.2.53X106畝C.253X10’畝D.2.53X10’畝

演練鞏固?反饋提高

01.三個有理數相乘，積為負數，則負因數的個數為（）

41個82個C.3個D.1個或3個

02.兩個有理數的和是負數，積也是負數，那么這兩個數（）

A.互為相反數B.其中絕對值大的數是正數，另一個是負數

C.都是負數D.其中絕對值大的數是負數，另一個是正數

03.已知a6c>0,a>0,ac<0,則下列結論正確的是（〉

A.b<0,c>0B.b>0,c<0C.b<G,c<0D.b>0,c>0

04.若|a6|=a6,則()

A.ab>0B.abNQC.a<0,b<0D.ab<0

,a+b

05.若m、6互為相反數，c、"互為倒數，m的絕對值為2,則代數式加一Cd+---------的值為()

m

A.-3B.1C.±3D.-3或1

1

06.若a>一,則a的取值范圍()

a

A.a>1B.0<a<1C.a>—1D.一1VaV0或m>1

07.已知a、6為有理數，給出下列條件：①a+b=O;?a-b=O;③abVO;④巴=-1,其中能判斷

6互為相反數的個數是（）

b

41個8.2個C.3個24個

ab

08.去ab豐0,則「+於的取值不可能為（）

同\b\

A.0B.1C.2D.-2

9.2014年一季度，全國城鎮新增就業人數289萬人,用科學記數法表示289萬正確的是（)

A.2.89X10’B.2.89X106C.2.89X105D.2.89X10"

10.已知4個不相等的整數a、b、c、d,它們的積abcd=2,帆a+b+c+d=.

第04講整式

考點?方法?破譯

1.掌握單項式及單項式的系數、次數的概念.

2.掌握多項式及多項式的項、常數項及次數等概念.

3.掌握整式的概念，會判斷一個代數式是否為整式.

4.了解整式讀、寫的約定俗成的一般方法，會根據給出的字母的值求多項式的值.

經典?考題?賞析

【例1】判斷下列各代數式是否是單項式，如果不是請簡要說明理由，如果是請指出它的系數與次數.

【解法指導】理解單項式的概念：由數與字母的積組成的代數式，單獨一個數或一個字母也是單項式，數字的次數為0,兀是常

數，單項式中所有字母指數和叫單項式次數.

解：(1)不是，因為代數式中出現了加法運算；

(2)不是，因為代數式是與x的商；

(3)4.,它的系數為n,次數為2;

3

(4)是，它的系數為一一，次數為3.

2

【變式題組】

01.判斷下列代數式是否是單項式

02.說出下列單項式的系數與次數

【例2】如果與都是關于*、y的六次單項式，且系數相等，求久"的值.

【解法指導】單項式的次數要弄清針對什么字母而言，是針對X或y或*、y等是有區別的，該題是針對*與y而言的，因此單

項式的次數指*、y的指數之和，與字母0無關，此時將用看成一個要求的已知數.

解：由題意得

【變式題組】

01.一個含有*、y的五次單項式，x的指數為3.且當*=2,/=—1時，這個單項式的值為32,求這個單項式.

02.寫出含有字母x、y的五次單項式.

【例3】已知多項式

⑴這個多項式是幾次幾項式？

(2)這個多項式最高次項是多少？二次項系數是什么？常數項是什么？

【解法指導】〃個單項式的和叫多項式，每個單項式叫多項式的項，多項式里次數最高項的次數叫多項式的次數.

解：⑴這個多項式是七次四項式；

(2)最高次項是，二次項系數為一1,常數項是1.

【變式題組】

01.指出下列多項式的項和次數

(1)(2)

02.指出下列多項式的二次項、二次項系數和常數項

⑴⑵

【例4】多項式是關于x的三次三項式，并且一次項系數為-7.求勿〃一"的值

【解法指導】多項式的次數是單項式中次數最高的次數，單項式的系數是數字與字母乘積中的數字因數.

解：因為是關于x的三次三項式，依三次知加=3,而一次項系數為一7,即一（3/7+-1）=-7,故〃=2.已有三次項為，一次項為一

7x,常數項為5,又原多項式為三次三項式，故二次項的系數"=0,故"加一4=3+2—0=5.

【變式題組】

01.多項式是四次三項式，則加的值為（）

A.2B.-2C.±2D.±1

02.已知關于x、y的多項式不含二次項，求5a—86的值.

03.已知多項式是六次四項式，單項式的次數與這個多項式的次數相同，求〃的值.

[例5]已知代數式的值是8,求的值.

【解法指導】由，現階段還不能求出x的具體值，所以聯想到整體代入法.

解：由得由

（3

【變式題組】

01.如果代數式一2>3加8的值為18,那么代數式96—6尹2的值等于（）

A.28B.-28C.32D.-32

02.若，則的值為.

03.代數式的值為9,則的值為.

【例6】證明代數式的值與加的取值無關.

【解法指導】欲證代數式的值與m的取值無關，只需證明代數式的化簡結果不出現字母即可.

證明：原式=

，無論加的值為何，原式值都為4.

，原式的值與m的取值無關.

【變式題組】

01.已知，且的值與x無關，求a的值.

02.若代數式的值與字母x的取值無關，求a、6的值.

【例7】（北京市選拔賽）同時都含有a、6、c,且系數為1的七次單項式共有（）個

A.4B.12C.15D.25

【解法指導】首先寫出符合題意的單項式,X、y、N都是正整數，再依A+J/+N=7來確定X、y、N的值.

解：為所求的單項式，則x、v、z都是正整數，且A+JH-Z=7.當x=1時，y=1,2,3,4,5,z=5,4,3,2,1.當x=2時，y=1,2,3,4,z

=4,3,2,1.當x=3時，y=1,2,3,N=3,2,1.當x=4時，y=1,2,N=2,1.當x=5時，y=N=1.所以所求的單項式的個數為5+4+3+2+1

=15,故選C.

【變式題組】

01.已知加、〃是自然數，是八次三項式，求加、。值.

02.整數==時，多項式是三次三項式.

演練鞏固?反饋提高

01.下列說法正確的是（）

A.是單項式B.的次數為5C.單項式系數為0D.是四次二項式

02.a表示一個兩位數，6表示一4"一位?數，如果把6放在a的右邊組成一個三位數.則這個三位數是（）

A.100Zrt-aB.10a^-bC.a^bD.100K6

03.若多項式的值為1,則多項式的值是（）

A.2B.17C.-7D.7

04.隨著計算機技術的迅猛發展，電腦價格不斷降低，某品牌電腦原售價為"元，降低m元后，又降低20$,那么該電腦的現售價為

（）

A.B.C.D.

05.若多項式是關于x的一次多項式，則4的值是（）

A.0B.1C.0或1D.不能確定

06.若更關于*、y的五次單項式，則它的系數是.

07.電影院里第1排有a個座位，后面每排都比前排多3個座位，則第10排有個座位.

08.若，則代數式xy+mn值為.

09.一項工作，甲單獨做需a天完成，乙單獨做需6天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是.

10.有一串單項式

（1）請你寫出第100個單項式；

⑵請你寫出第"個單項式.

11.一個含有*、y的五次單項式，*的指數為3,且當x=2,尸一1時，這個單項式值為32,求這個單項式.

12.已知x=3時多項式的值為一1,則當*=-3時這個多項式的值為多少？

13.若關于X、y的多項式與多項式的系數相同，并且最高次項的系數也相同，求a—b的值.

14.某地電話撥號入網有兩種方式，用戶可任取其一.

A-.計時制:0.05元/分

5：包月制：50元/月（只限一部宅電上網）.

此外，每種上網方式都得加收通行費0.02元/分.

（1）某用戶某月上網時間為*小時，請你寫出兩種收費方式下該用戶應該支付的費用；

（2）若某用戶估計一個月內上網時間為20小時，你認為采用哪種方式更合算.

第05講整式的加減

考點?方法?破譯

1.掌握同類項的概念，會熟練地進行合并同類項的運算.

2.掌握去括號的法則，能熟練地進行加減法的運算.

3.通過去括號，合并同類項和