備戰2020年高考數學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇概率與統計】專題06離散型隨機變量的期望與方差類型對應典例以古典概型為背景的期望和方差典例1以事件的獨立性為背景的的期望和方差典例2離散型隨機變量的期望的應用典例3兩個隨機變量之間的期望和方差的關系典例4離散型隨機變量的期望的方案判斷問題典例5【典例1】【2020屆湖南省婁底市高三上學期期末教學質量檢測數學】為響應“文化強國建設”號召，并增加學生們對古典文學的學習興趣，雅禮中學計劃建設一個古典文學熏陶室.為了解學生閱讀需求，隨機抽取200名學生做統計調查.統計顯示，男生喜歡閱讀古典文學的有64人，不喜歡的有56人；女生喜歡閱讀古典文學的有36人，不喜歡的有44人.(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認為喜歡閱讀古典文學與性別有關系？(2)為引導學生積極參與閱讀古典文學書籍，語文教研組計劃牽頭舉辦雅禮教育集團古典文學閱讀交流會.經過綜合考慮與對比，語文教研組已經從這200人中篩選出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜歡古典文學.現從這9名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加交流會，記為參加交流會的5人中喜歡古典文學的人數，求的分布列及數學期望.附：，其中.參考數據：0.500.400.250.150.100.050.4550.7081.3232.0722.7063.841【思路引導】（1）根據題意,可得列聯表.并由公式求得的觀測值.結合所給的參考數據即可判斷.（2）設5人中男生有表人,女生人,則.根據題意可知分別求得各概率值即可得分布列.由期望公式即可求得數學期望值.【典例2】甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據以往經驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結束.設各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：（1）前三局比賽甲隊領先的概率；（2）設本場比賽的局數為，求的概率分布和數學期望.(用分數表示)【思路引導】（1）分為甲隊勝三局和甲隊勝二局兩種情況，概率相加得到答案.（2）本場比賽的局數為有3,4,5三種情況，分別計算概率得到分布列，最后計算得到答案.【典例3】【2020屆安徽省安慶市上學期高三期末數學】某芯片公司對今年新開發的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調查了100顆芯片，并將所得統計數據分為五個小組（所調查的芯片得分均在內），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分數的平均數（同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試，該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分，手機公司將認定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續測試，現手機公司測試部門預算的測試經費為10萬元，試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．【思路引導】（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數公式求這100顆芯片評測分數的平均數；（2）先求出每顆芯片的測試費用的數學期望，再比較得解.【典例4】【云南省昆明市2019屆高三復習教學質量檢測】某地區為貫徹習近平總書記關于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農戶利用荒坡種植果樹.某農戶考察三種不同的果樹苗、、，經引種試驗后發現，引種樹苗的自然成活率為0.8，引種樹苗、的自然成活率均為.（1）任取樹苗、、各一棵，估計自然成活的棵數為，求的分布列及；（2）將（1）中的取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率.該農戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.①求一棵種樹苗最終成活的概率；②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種種樹苗多少棵？【思路引導】（1）依題意，得到的所有可能值為，求得相應的概率，得出隨機變量的分布列，利用公式求得數學期望；（2）由（1）可知當時，取得最大值，①利用概率的加法公式，即可求得一棵樹苗最終成活的概率；②記為棵樹苗的成活棵數，為棵樹苗的利潤，求得，要使，即可求解.【典例5】【江西省新八校2019屆高三第二次聯考】某種水果按照果徑大小可分為四類：標準果、優質果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取個，利用水果的等級分類標準得到的數據如下：等級標準果優質果精品果禮品果個數10304020（1）若將頻率視為概率，從這個水果中有放回地隨機抽取個，求恰好有個水果是禮品果的概率.（結果用分數表示）（2）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考.方案：不分類賣出，單價為元.方案：分類賣出，分類后的水果售價如下：等級標準果優質果精品果禮品果售價(元/kg）16182224從采購商的角度考慮，應該采用哪種方案？（3）用分層抽樣的方法從這個水果中抽取個，再從抽取的個水果中隨機抽取個，表示抽取的是精品果的數量，求的分布列及數學期望.【思路引導】（1）計算出從個水果中隨機抽取一個，抽到禮品果的概率；則可利用二項分布的概率公式求得所求概率；（2）計算出方案單價的數學期望，與方案的單價比較，選擇單價較低的方案；（3）根據分層抽樣原則確定抽取的個水果中，精品果個，非精品果個；則服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率計算公式可得到每個取值對應的概率，從而可得分布列；再利用數學期望的計算公式求得結果.【針對訓練】1.【2020屆安徽省蕪湖市高三上學期期末數學】小明和父母都喜愛《中國好聲音》這欄節目，年月日晚在鳥巢進行中國好聲音終極決賽，四強選手分別為李榮浩戰隊的邢晗銘，那英戰隊的斯丹曼簇，王力宏戰隊的李芷婷，庾澄慶戰隊的陳其楠，決賽后四位選手相應的名次為、、、，某網站為提升娛樂性，邀請網友在比賽結束前對選手名次進行預測.現用、、、表示某網友對實際名次為、、、的四位選手名次做出的一種等可能的預測排列，是該網友預測的名次與真實名次的偏離程度的一種描述.（1）求的分布列及數學期望；（2）按（1）中的結果，若小明家三人的排序號與真實名次的偏離程度都是，計算出現這種情況的概率（假定小明家每個人排序相互獨立）.2.【2020屆吉林省通化市梅河口市第五中學高三上學期期末】某工廠加工某種零件需要經過，，三道工序，且每道工序的加工都相互獨立，三道工序加工合格的概率分別為，，.三道工序都合格的零件為一級品；恰有兩道工序合格的零件為二級品；其它均為廢品，且加工一個零件為二級品的概率為.（1）求；（2）若該零件的一級品每個可獲利200元，二級品每個可獲利100元，每個廢品將使工廠損失50元，設一個零件經過三道工序加工后最終獲利為元，求的分布列及數學期望.3.為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費標準為元（不足1小時的部分按小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量（單位：元），求的分布列與數學期望，方差.4.【湖北省十堰市2019年高三年級四月調研考試理】某大型工廠有臺大型機器，在個月中，臺機器至多出現次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需名工人進行維修．每臺機器出現故障的概率為．已知名工人每月只有維修臺機器的能力，每臺機器不出現故障或出現故障時有工人維修，就能使該廠獲得萬元的利潤，否則將虧損萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資．（1）若每臺機器在當月不出現故障或出現故障時有工人進行維修，則稱工廠能正常運行．若該廠只有名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；（2）已知該廠現有名維修工人．（ⅰ）記該廠每月獲利為萬元，求的分布列與數學期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數學期望為決策依據，試問該廠是否應再招聘名維修工人？5.【2020年陜西省高三教學質量檢測卷（一)】2019年在印度尼西亞日惹舉辦的亞洲乒乓球錦標賽男子團體決賽中，中國隊與韓國隊相遇，中國隊男子選手A，B，C，D，E依次出場比賽，在以往對戰韓國選手的比賽中他們五人獲勝的概率分別是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比賽勝負相互獨立.賽會釆用5局3勝制，先贏3局者獲得勝利.（1）在決賽中，中國隊以3∶1獲勝的概率是多少？（2）求比賽局數的分布列及數學期望.6.【安徽省阜陽市2019-2020學年高三教學質量統測數學】追求人類與生存環境的和諧發展是中國特色社會主義生態文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數（）的檢測數據，結果統計如下：空氣質量優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數61418272510（1）從空氣質量指數屬于，的天數中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優的概率；（2）已知某企業每天的經濟損失（單位：元）與空氣質量指數的關系式為，試估計該企業一個月（按30天計算）的經濟損失的數學期望.7.【2020屆重慶市高三上學期期末測試卷理科數學】某地區在“精準扶貧”工作中切實貫徹習近平總書記提出的“因地制宜”的指導思想，扶貧工作小組經過多方調研，綜合該地區的氣候、地質、地理位置等特點，決定向當地農戶推行某類景觀樹苗的種植.工作小組根據市場前景重點考察了A，B，C三種景觀樹苗，經引種試驗后發現，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B、C的自然成活率均為0.75.（1）若引種樹苗A，B，C各一棵，求至少自然成活2棵的概率；（2）已知引種一棵樹苗B需花費100元，引種后沒有自然成活的樹苗B中有80%的樹苗可經過人工栽培技術處理，每棵需花費50元，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.引種后自然成活的樹苗B及經人工栽培技術處理后成活的樹苗B在后期（成活后至長成可出售的小樹）的培養過程中每棵均需再花費200元，記引種一棵樹苗B的總花費為X元，求隨機變量X的分布列及數學期望.8.【湖北省黃岡中學2019屆高三第三次模擬考試數學】10月1日，某品牌的兩款最新手機（記為型號，型號）同時投放市場，手機廠商為了解這兩款手機的銷售情況，在10月1日當天，隨機調查了5個手機店中這兩款手機的銷量（單位：部），得到下表：手機店型號手機銷量6613811型號手機銷量1291364（Ⅰ）若在10月1日當天，從，這兩個手機店售出的新款手機中各隨機抽取1部，求抽取的2部手機中至少有一部為型號手機的概率；（Ⅱ）現從這5個手機店中任選3個舉行促銷活動，用表示其中型號手機銷量超過型號手機銷量的手機店的個數，求隨機變量的分布列和數學期望；（III）經測算，型號手機的銷售成本（百元）與銷量（部）滿足關系.若表中型號手機銷量的方差，試給出表中5個手機店的型號手機銷售成本的方差的值.（用表示，結論不要求證明）9.【四川省高中2019屆畢業班第二次診斷性考】今年年初，習近平在《告臺灣同胞書》發表40周年紀念會上的講話中說道：“我們要積極推進兩岸經濟合作制度化打造兩岸共同市場，為發展增動力，為合作添活力，壯大中華民族經濟兩岸要應通盡通，提升經貿合作暢通、基礎設施聯通、能源資源互通、行業標準共通，可以率先實現金門、馬祖同福建沿海地區通水、通電、通氣、通橋要推動兩岸文化教育、醫療衛生合作，社會保障和公共資源共享，支持兩岸鄰近或條件相當地區基本公共服務均等化、普惠化、便捷化”某外貿企業積極響應習主席的號召，在春節前夕特地從臺灣進口優質大米向國內100家大型農貿市場提供貨源，據統計，每家大型農貿市場的年平均銷售量（單位：噸），以分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值和年平均銷售量的眾數和中位數；（2）在年平均銷售量為的四組大型農貿市場中，用分層抽樣的方法抽取11家大型農貿市場，求年平均銷售量在，的農貿市場中應各抽取多少家？（3）在（2）的條件下，再從這三組中抽取的農貿市場中隨機抽取3家參加國臺辦的宣傳交流活動，記恰有家在組，求隨機變量的分布列與期望和方差．備戰2020年高考數學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇概率與統計】專題06離散型隨機變量的期望與方差類型對應典例以古典概型為背景的期望和方差典例1以事件的獨立性為背景的的期望和方差典例2離散型隨機變量的期望的應用典例3兩個隨機變量之間的期望和方差的關系典例4離散型隨機變量的期望的方案判斷問題典例5【典例1】【2020屆湖南省婁底市高三上學期期末教學質量檢測數學】為響應“文化強國建設”號召，并增加學生們對古典文學的學習興趣，雅禮中學計劃建設一個古典文學熏陶室.為了解學生閱讀需求，隨機抽取200名學生做統計調查.統計顯示，男生喜歡閱讀古典文學的有64人，不喜歡的有56人；女生喜歡閱讀古典文學的有36人，不喜歡的有44人.(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認為喜歡閱讀古典文學與性別有關系？(2)為引導學生積極參與閱讀古典文學書籍，語文教研組計劃牽頭舉辦雅禮教育集團古典文學閱讀交流會.經過綜合考慮與對比，語文教研組已經從這200人中篩選出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜歡古典文學.現從這9名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加交流會，記為參加交流會的5人中喜歡古典文學的人數，求的分布列及數學期望.附：，其中.參考數據：0.500.400.250.150.100.050.4550.7081.3232.0722.7063.841【思路引導】（1）根據題意,可得列聯表.并由公式求得的觀測值.結合所給的參考數據即可判斷.（2）設5人中男生有表人,女生人,則.根據題意可知分別求得各概率值即可得分布列.由期望公式即可求得數學期望值.解：（1）根據所給條件,制作列聯表如下：男生女生總計喜歡閱讀古典文學6436100不喜歡閱讀古典文學5644100總計12080200所以的觀測值,因為的觀測值,由所給臨界值表可知,能夠在犯錯誤的概率不超過0.25的前提下認為喜歡閱讀古典文學與性別有關；（2）設參加交流會的5人中喜歡古典文學的男生代表人,女生代表人,則,根據已知條件可得；；；,所以的分布列是：12345所以.【典例2】甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據以往經驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結束.設各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：（1）前三局比賽甲隊領先的概率；（2）設本場比賽的局數為，求的概率分布和數學期望.(用分數表示)【思路引導】（1）分為甲隊勝三局和甲隊勝二局兩種情況，概率相加得到答案.（2）本場比賽的局數為有3,4,5三種情況，分別計算概率得到分布列，最后計算得到答案.解：（1）設“甲隊勝三局”為事件，“甲隊勝二局”為事件，則，，所以，前三局比賽甲隊領先的概率為（2）甲隊勝三局或乙勝三局，甲隊或乙隊前三局勝局，第局獲勝甲隊或乙隊前四局勝局，第局獲勝的分部列為：數學期望為【典例3】【2020屆安徽省安慶市上學期高三期末數學】某芯片公司對今年新開發的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調查了100顆芯片，并將所得統計數據分為五個小組（所調查的芯片得分均在內），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分數的平均數（同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試，該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分，手機公司將認定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續測試，現手機公司測試部門預算的測試經費為10萬元，試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．【思路引導】（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數公式求這100顆芯片評測分數的平均數；（2）先求出每顆芯片的測試費用的數學期望，再比較得解.解：（1）依題意，，故．又因為．所以，所求平均數為（萬分）（2）由題意可知，手機公司抽取一顆芯片置于一個工程機中進行檢測評分達到11萬分的概率．設每顆芯片的測試費用為X元，則X的可能取值為600，900，1200，1500，，，故每顆芯片的測試費用的數學期望為（元），因為，所以顯然預算經費不夠測試完這100顆芯片．【典例4】【云南省昆明市2019屆高三復習教學質量檢測】某地區為貫徹習近平總書記關于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農戶利用荒坡種植果樹.某農戶考察三種不同的果樹苗、、，經引種試驗后發現，引種樹苗的自然成活率為0.8，引種樹苗、的自然成活率均為.（1）任取樹苗、、各一棵，估計自然成活的棵數為，求的分布列及；（2）將（1）中的取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率.該農戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.①求一棵種樹苗最終成活的概率；②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種種樹苗多少棵？【思路引導】（1）依題意，得到的所有可能值為，求得相應的概率，得出隨機變量的分布列，利用公式求得數學期望；（2）由（1）可知當時，取得最大值，①利用概率的加法公式，即可求得一棵樹苗最終成活的概率；②記為棵樹苗的成活棵數，為棵樹苗的利潤，求得，要使，即可求解.解：（1）依題意，的所有可能值為0，1，2，3.則；，即，，；的分布列為：0123所以.（2）當時，取得最大值.①一棵樹苗最終成活的概率為.②記為棵樹苗的成活棵數，為棵樹苗的利潤，則，，，，要使，則有.所以該農戶至少種植700棵樹苗，就可獲利不低于20萬元.【典例5】【江西省新八校2019屆高三第二次聯考】某種水果按照果徑大小可分為四類：標準果、優質果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取個，利用水果的等級分類標準得到的數據如下：等級標準果優質果精品果禮品果個數10304020（1）若將頻率視為概率，從這個水果中有放回地隨機抽取個，求恰好有個水果是禮品果的概率.（結果用分數表示）（2）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考.方案：不分類賣出，單價為元.方案：分類賣出，分類后的水果售價如下：等級標準果優質果精品果禮品果售價(元/kg）16182224從采購商的角度考慮，應該采用哪種方案？（3）用分層抽樣的方法從這個水果中抽取個，再從抽取的個水果中隨機抽取個，表示抽取的是精品果的數量，求的分布列及數學期望.【思路引導】（1）計算出從個水果中隨機抽取一個，抽到禮品果的概率；則可利用二項分布的概率公式求得所求概率；（2）計算出方案單價的數學期望，與方案的單價比較，選擇單價較低的方案；（3）根據分層抽樣原則確定抽取的個水果中，精品果個，非精品果個；則服從超幾何分布，利用超幾何分布的概率計算公式可得到每個取值對應的概率，從而可得分布列；再利用數學期望的計算公式求得結果.解：（1）設從個水果中隨機抽取一個，抽到禮品果的事件為，則現有放回地隨機抽取個，設抽到禮品果的個數為，則恰好抽到個禮品果的概率為：（2）設方案的單價為，則單價的期望值為：從采購商的角度考慮，應該采用第一種方案（3）用分層抽樣的方法從個水果中抽取個，則其中精品果個，非精品果個現從中抽取個，則精品果的數量服從超幾何分布，所有可能的取值為：則；；；的分布列如下：【針對訓練】1.【2020屆安徽省蕪湖市高三上學期期末數學】小明和父母都喜愛《中國好聲音》這欄節目，年月日晚在鳥巢進行中國好聲音終極決賽，四強選手分別為李榮浩戰隊的邢晗銘，那英戰隊的斯丹曼簇，王力宏戰隊的李芷婷，庾澄慶戰隊的陳其楠，決賽后四位選手相應的名次為、、、，某網站為提升娛樂性，邀請網友在比賽結束前對選手名次進行預測.現用、、、表示某網友對實際名次為、、、的四位選手名次做出的一種等可能的預測排列，是該網友預測的名次與真實名次的偏離程度的一種描述.（1）求的分布列及數學期望；（2）按（1）中的結果，若小明家三人的排序號與真實名次的偏離程度都是，計算出現這種情況的概率（假定小明家每個人排序相互獨立）.【思路引導】（1）列舉出所有的事件，求出對應的的值，利用古典概型的概率公式可計算出在相應取值下的概率，由此可得出隨機變量的分布列，并根據分布列可計算出隨機變量的數學期望；（2）由（1）中分布列的數據可知，然后利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求概率.解：（1）以為一個基本事件，如下表所示：所以，的可能取值集合為.分布列如下表所示：因此，；（2）因為，將三人評分后都有的概率記作，由上述結果的獨立性得.2.【2020屆吉林省通化市梅河口市第五中學高三上學期期末】某工廠加工某種零件需要經過，，三道工序，且每道工序的加工都相互獨立，三道工序加工合格的概率分別為，，.三道工序都合格的零件為一級品；恰有兩道工序合格的零件為二級品；其它均為廢品，且加工一個零件為二級品的概率為.（1）求；（2）若該零件的一級品每個可獲利200元，二級品每個可獲利100元，每個廢品將使工廠損失50元，設一個零件經過三道工序加工后最終獲利為元，求的分布列及數學期望.【思路引導】（1）二級品說明第一道工序不合格，第二、三道工序合格，或第二道工序不合格，第一、三道工序合格，或第三道工序不合格，第一、二道工序合格，由獨立事件的概率公式可計算出；（2）的可能取值為200，100，，計算出概率后得分布列，由期望公式可計算期望．解：（1）設零件經，，三道工序加工合格的事件分別記為，，，則，，，，，.設事件為“生產一個零件為二級品”，由已知，，是相互獨立事件，則，所以.（2）的可能取值為200，100，，，，，則的分布列為200100-50所以.3.為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費標準為元（不足1小時的部分按小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量（單位：元），求的分布列與數學期望，方差.【思路引導】（1）甲、乙兩人所付費用相同即為、、，求出相應的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（2）確定隨機變量的可能取值，求出相應的概率，即可得出隨機變量的分布列，然后利用數學期望公式和方差公式求出和.解：（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為、、元，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為.則兩人所付費用相同的概率為；（2）設甲、乙所付費用之和為，可能取值為、、、、，則，，，，.所以，隨機變量的分布列為..4.【湖北省十堰市2019年高三年級四月調研考試理】某大型工廠有臺大型機器，在個月中，臺機器至多出現次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需名工人進行維修．每臺機器出現故障的概率為．已知名工人每月只有維修臺機器的能力，每臺機器不出現故障或出現故障時有工人維修，就能使該廠獲得萬元的利潤，否則將虧損萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資．（1）若每臺機器在當月不出現故障或出現故障時有工人進行維修，則稱工廠能正常運行．若該廠只有名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；（2）已知該廠現有名維修工人．（?。┯浽搹S每月獲利為萬元，求的分布列與數學期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數學期望為決策依據，試問該廠是否應再招聘名維修工人？【思路引導】（1）根據相互獨立事件的概率公式計算出事故機器不超過臺的概率即可；（2）（i）求出的可能取值及其對應的概率，得出的分布列和數學期望；（ⅱ）求出有名維修工人時的工廠利潤，得出結論．解：（1）因為該工廠只有名維修工人，故要使工廠正常運行，最多只有臺大型機器出現故障．∴該工廠正常運行的概率為：．（2）（i）的可能取值有，，，．∴的分布列為：X3144P∴．（ⅱ）若工廠再招聘一名維修工人，則工廠一定能正常運行，工廠所獲利潤為萬元，因為，∴該廠不應該再招聘名維修工人．5.【2020年陜西省高三教學質量檢測卷（一)】2019年在印度尼西亞日惹舉辦的亞洲乒乓球錦標賽男子團體決賽中，中國隊與韓國隊相遇，中國隊男子選手A，B，C，D，E依次出場比賽，在以往對戰韓國選手的比賽中他們五人獲勝的概率分別是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比賽勝負相互獨立.賽會釆用5局3勝制，先贏3局者獲得勝利.（1）在決賽中，中國隊以3∶1獲勝的概率是多少？（2）求比賽局數的分布列及數學期望.【思路引導】（1）首先要確定中國隊以3∶1獲勝需要滿足的條件，即前3局比賽中至少要勝2場，且第4局必勝，再利用獨立事件的概率計算公式即可求解；（2）首先要確定比賽結果的各種情況（包含中國勝和韓國勝），在3∶1，3∶2這兩種情況中要先確定哪局比賽輸了再計算出相應的概率，從而得到比賽局數的分布列和數學期望.解：（1）若中國隊以3∶1獲勝，則前三局中贏兩局輸局，第四局比賽勝利，設中國隊以3∶1獲勝為事件A，則.（2）設比賽局數為X，則X的取值分別為3，4，5，則，，，則X的的分布列為X345P0.5200.3120.168.6.【安徽省阜陽市2019-2020學年高三教學質量統測數學】追求人類與生存環境的和諧發展是中國特色社會主義生態文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數（）的檢測數據，結果統計如下：空氣質量優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數61418272510（1）從空氣質量指數屬于，的天數中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優的概率；（2）已知某企業每天的經濟損失（單位：元）與空氣質量指數的關系式為，試估計該企業一個月（按30天計算）的經濟損失的數學期望.【思路引導】(1)根據古典概型概率公式和組合數的計算可得所求概率；(2)任選一天，設該天的經濟損失為元，分別求出，，，進而求得數學期望，據此得出該企業一個月經濟損失的數學期望.解：（1）設為選取的3天中空氣質量為優的天數，則.（2）任選一天，設該天的經濟損失為元，則的可能取值為0，220，1480，，，，所以（元），故該企業一個月的經濟損失的數學期望為（元）.7.【2020屆重慶市高三上學期期末測試卷理科數學】某地區在“精準扶貧”工作中切實貫徹習近平總書記提出的“因地制宜”的指導思想，扶貧工作小組經過多方調研，綜合該地區的氣候、地質、地理位置等特點，決定向當地農戶推行某類景觀樹苗的種植.工作小組根據市場前景重點考察了A，B，C三種景觀樹苗，經引種試驗后發現，引種樹苗A的自然成活率為0.8，引種樹苗B、C的自然成活率均為0.75.（1）若引種樹苗A，B，C各一棵，求至少自然成活2棵的概率；（2）已知引種一棵樹苗B需花費100元，引種后沒有自然成活的樹苗B中有80%的樹苗可經過人工栽培技術處理，每棵需花費50元，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.引種后自然成活的樹苗B及經人工栽培技術處理后成活的樹苗B在后期（成活后至長成可出售的小樹）的培養過程中每棵均需再花費200元，記引種一棵樹苗B的總花費為X元，求隨機變量X的分布列及數學期望.【思路引導】（1）分別求出兩顆成活一顆不成活的概率和三顆均成活的概率，相加即可求解；（2）X的可能取值為：100，150，300，350.分別求出，，，，寫出分布列，按照期望公式，即可求解.解：（1）設事件D為：引種三種樹苗，至少自然成活2棵；則；（2）X的可能取值為：100，150，300，350.則有：，，，，所以其分布列如下X100150300350P0.050.040.750.16.8.【湖北省黃岡中學2019屆高三第三次模擬考試數學】10月1日，某品牌的兩款最新手機（記為型號，型號）同時投放市場，手機廠商為了解這兩款手機的銷售情況，在10月1日當天，隨機調查了5個手機店中這兩款手機的銷量（單位：部），得到下表：手機店型號手機銷量6613811型號手機銷量1291364（Ⅰ）若在10月1日當天，從，這兩個手機店售出的新款手機中各隨機抽取1部，求抽取的2部手機中至少有一部為型號手機的概率；（Ⅱ）現從這5個手機店中任選3個舉行促銷活動，用表示其中型號手機銷量超過型號手機銷量的手機店的個數，求隨機變量的分布列和數學期望；（III）經測算，型號手機的銷售成本（百元）與銷量（部）滿足關系.若表中型號手機銷量的方差