專題6圓錐曲線硬解定理微點2圓錐曲線硬解定理綜合訓練專題6圓錐曲線硬解定理微點2圓錐曲線硬解定理綜合訓練1．已知橢圓C:及點B(0,a),過B與橢圓相切的直線交x軸的負半軸于點A,F為橢圓的右焦點,則∠ABF等于(

)A．60° B．90° C．120° D．150°2．已知橢圓及圓O：，如圖，過點與橢圓相切的直線l交圓O于點A，若，則橢圓離心率的為（

）A． B． C． D．3．已知：橢圓，直線，當m為何值時，直線與橢圓相切?4．已知橢圓及.（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線方程.5．已知橢圓以，為左右焦點，且與直線：相切于點.（1）求橢圓的方程及點的坐標；（2）若直線：與橢圓交于兩點，且交于點（異于點），求證：線段長，，成等比數列.6．已知點是橢圓上一點是橢圓的兩焦點，且滿足．(1)求橢圓的標準方程；(2)求過與橢圓相切的直線方程．(2023·北京八十中模擬預測）7．已知橢圓的短軸長為2，離心率為，下頂點為A，右頂點為B.(1)求橢圓C的方程；(2)經過點的直線交橢圓C于P，Q兩點（點P在點Q下方），過點P作x軸的垂線交直線AB于點D，交直線BQ于點E，求證：為定值.(2023·湖南·邵陽二中模擬預測）8．，是橢圓：的左、右頂點，是橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線：分別交于，兩點，當點的坐標為時，．(1)求橢圓的方程；(2)記和的面積分別為和．求的取值范圍．(2023·四川成都·模擬預測）9．點P為曲線C上任意一點，直線l：x＝－4，過點P作PQ與直線l垂直，垂足為Q，點，且．(1)求曲線C的方程；(2)過曲線C上的點作圓的兩條切線，切線與y軸交于A，B，求△MAB面積的取值范圍．(2023·山東·煙臺二中模擬預測）10．在平面直角坐標系xOy中，已知點，，設的內切圓與AC相切于點D，且，記動點C的軌跡為曲線T．(1)求T的方程；(2)設過點的直線l與T交于M，N兩點，已知動點P滿足，且，若，且動點Q在T上，求的最小值．11．已知雙曲線過點，且的漸近線方程為．(1)求的方程；(2)如圖，過原點作互相垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點和，兩點，，在軸同側．①求四邊形面積的取值范圍；②設直線與兩漸近線分別交于，兩點，是否存在直線使，為線段的三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．(2023·天津和平·三模）12．已知橢圓的離心率為，且橢圓過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)過右焦點的直線與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線交直線于點，交直線于點，求的最小值．專題6圓錐曲線硬解定理微點2圓錐曲線硬解定理綜合訓練專題6圓錐曲線硬解定理微點2圓錐曲線硬解定理綜合訓練1．已知橢圓C:及點B(0,a),過B與橢圓相切的直線交x軸的負半軸于點A,F為橢圓的右焦點,則∠ABF等于(

)A．60° B．90° C．120° D．150°2．已知橢圓及圓O：，如圖，過點與橢圓相切的直線l交圓O于點A，若，則橢圓離心率的為（

）A． B． C． D．3．已知：橢圓，直線，當m為何值時，直線與橢圓相切?4．已知橢圓及.（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線方程.5．已知橢圓以，為左右焦點，且與直線：相切于點.（1）求橢圓的方程及點的坐標；（2）若直線：與橢圓交于兩點，且交于點（異于點），求證：線段長，，成等比數列.6．已知點是橢圓上一點是橢圓的兩焦點，且滿足．(1)求橢圓的標準方程；(2)求過與橢圓相切的直線方程．(2023·北京八十中模擬預測）7．已知橢圓的短軸長為2，離心率為，下頂點為A，右頂點為B.(1)求橢圓C的方程；(2)經過點的直線交橢圓C于P，Q兩點（點P在點Q下方），過點P作x軸的垂線交直線AB于點D，交直線BQ于點E，求證：為定值.(2023·湖南·邵陽二中模擬預測）8．，是橢圓：的左、右頂點，是橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線：分別交于，兩點，當點的坐標為時，．(1)求橢圓的方程；(2)記和的面積分別為和．求的取值范圍．(2023·四川成都·模擬預測）9．點P為曲線C上任意一點，直線l：x＝－4，過點P作PQ與直線l垂直，垂足為Q，點，且．(1)求曲線C的方程；(2)過曲線C上的點作圓的兩條切線，切線與y軸交于A，B，求△MAB面積的取值范圍．(2023·山東·煙臺二中模擬預測）10．在平面直角坐標系xOy中，已知點，，設的內切圓與AC相切于點D，且，記動點C的軌跡為曲線T．(1)求T的方程；(2)設過點的直線l與T交于M，N兩點，已知動點P滿足，且，若，且動點Q在T上，求的最小值．11．已知雙曲線過點，且的漸近線方程為．(1)求的方程；(2)如圖，過原點作互相垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點和，兩點，，在軸同側．①求四邊形面積的取值范圍；②設直線與兩漸近線分別交于，兩點，是否存在直線使，為線段的三等分點，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．(2023·天津和平·三模）12．已知橢圓的離心率為，且橢圓過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)過右焦點的直線與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線交直線于點，交直線于點，求的最小值．參考答案：1．B【解析】由題意畫出圖形，設出過的直線方程為，聯立直線方程與橢圓方程，化為關于的一元二次方程，由判別式等于0求得，進一步得到直線方程，求出的坐標，然后可求得．【詳解】解如圖，設過點的直線方程為：由得由，得由題意取，則過點的直線方程為：令，得，所以在中，，所以為直角三角形，即故選：B【點睛】本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，是中檔題．2．A分析：由條件列出的齊次方程，由此可求橢圓離心率的值.【詳解】由題意得是等邊三角形，則直線的傾斜角為，其斜率為，故直線的方程為，代入橢圓方程整理得，其判別式，化簡可得，則，又，所以，故選：A.3．.分析：由得，當直線與橢圓相切時，，解方程即可得出答案.【詳解】由得，當直線與橢圓相切時，，即，解得，即時直線與橢圓相切．4．（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）把直線代入得，由，即可求解實數的取值范圍；（2）設直線與橢圓交于兩點，，從而可求得的值，得到直線的方程.試題解析：（1）把直線代入得，①∴，（2）設直線與橢圓交于兩點，由①得，∴，∴，解得∴所求直線方程為考點：直線與圓錐曲線的位置及其綜合應用.5．(1)(2)見解析分析：(1)設橢圓方程為，聯立橢圓和直線的方程可得，由相切條件可得,從而得到橢圓的方程及點的坐標；(2)聯立直線與的方程解得點為，由弦長公式，聯立橢圓與直線的方程，消去得，可得，，從而可證線段長，，成等比數列.【詳解】（1）由題意，設橢圓方程為，聯立橢圓和直線的方程消去得所以，化簡得，由知，，所以橢圓方程為.將代回原方程組，解得切點的坐標為.（2）聯立直線與的方程解得點為，又因為，由弦長公式得，所以.設，，聯立橢圓與直線的方程，，消去得，，得則，又因為，，所以所以線段長，，成等比數列.【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．6．(1)橢圓的標準方程為(2)直線方程為分析：（1）根據橢圓的定義得出基本量的值，得出橢圓方程；（2）橢圓是封閉圖形，利用相切只有一個交點，將直線方程與橢圓方程聯立有一個實數解可解得.（1）∵橢圓上的點A滿足．∴，解得，∴橢圓的方程為，把代入得．，解得，∴橢圓方程的標準方程為．（2）解法1：過A與x軸垂直的直線與橢圓不相切，因此切線的斜率存在．設過的直線方程，由，消去y得關于x的方程：．令，解得，故所求的切線方程為：．解法2：改寫直線的方程為一般式，，相切時：，得到，化簡得，故所求的切線方程為：．7．(1)(2)，證明見解析.分析：（1）利用所給的條件列方程容易求解；（2）比較精確作圖，初步判斷D是EP的中點，運用韋達定理化簡證明即可求解.(1)依題意，b=1，，解得，橢圓C的方程為：；(2)依題意作下圖：設，直線l的方程為，將點(2,-1)代入得：m=-2k-1，直線l：y=kx-(2k+1)；由于橢圓C：，∴A（0，-1），B（2,0），聯立方程，得，，，直線AB的方程為：x-2y-2=0，直線BQ的方程為：，，，運用…①易證得：…②，下面證明②：，運用①中的韋達定理：=0，即②成立，∴，即點E和P的縱坐標之和等于D點縱坐標的2倍，∴D點是線段EP的中點，即；綜上，橢圓C的方程為：，，故為定值.【點睛】本題的難點在于發現D點是EP的中點，如果直接求出和（用k表示的代數式）則計算量較大，容易出錯，發現是中點后，直接用中點公式和韋達定理容易求解.8．(1)(2)分析：（1）根據題意列方程求解確定值即可；（2）分別求出和的表達式，作比根據基本不等式求最值.（1）由可得，∴，把代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的方程為．（2）顯然直線存在斜率，設直線的方程為，由得，設，則，，從而，即，∴，又，直線的方程為，得，，，則，當且僅當，即時取等號，故的取值范圍為．【點睛】解析幾何中與弦長相關的三角形面積常有兩種求法：（1），其中為弦長，為另一頂點到直線的距離；（2）面積等于水平寬與鉛錘高積的一半.9．(1)(2)分析：（1）設點，通過得到等式關系，化簡求得曲線方程；（2）設切線方程，通過點到切線的距離，化簡成的一元二次方程，再韋達定理得出與的等式關系，再求出弦長，消去，再求面積即可．（1）設，由，得，兩邊平方得，所以曲線C的方程為；（2）設點的切線方程為（斜率必存在），圓心為，r＝1所以到的距離為：平方化為，設PA，PB的斜率分別為，則，因為PA：，令x＝0有，同理所以又因為代入上式化簡為所以，令，，求導知在為增函數，所以．10．(1)(2)分析：（1）由切線長相等得，再結合橢圓的定義即可求得T的方程；（2）由解出點坐標，代入曲線T得，同理將點坐標代入曲線T得到關系式，由得出動點P軌跡，再利用直線和曲線T相切求得的最小值即可.（1）不妨設的內切圓與BC，BA分別相切于點E，F，由切線長相等可知，，，∴，∴，∴動點C的軌跡為以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓（且C不在直線AB上），設動點C的軌跡方程為：，易知，且，解得，∴T的方程為：．（2）設，，，∵，∴，若，則，，即P與R重合，與矛盾，∴，∴，，∴，代入，又，化簡得，同理可得，，∴，為方程的兩根，∵，∴，即，即動點P在定直線：上，令直線：，當與T相切時，記，的距離為d，則，聯立可得，由，解得，又，∴，此時，解得，，即切點為，且直線，的距離為，∴，當Q點坐標為，且時，，即，聯立得，此時，，且直線PR即直線l：，即顯然不過點和，符合題設條件，∴的最小值為．【點睛】本題關鍵點在于利用解出點坐標，代入曲線T得關系式，同理將點坐標代入曲線T得到關系式，進而得到，為一元二次方程的兩根，由得出動點P軌跡，將的最小值轉化為直線上一點和橢圓上一點距離的最小值即可求解.11．(1)(2)①；②不存在，理由見解析分析：（1）根據題意求得，即可得解；（2）①易知直線，的斜率均存在且不為，設，的方程為，則的方程為，聯立，消元，則，利用韋達定理求得，再根據弦長公式可求得，同理可求得的范圍及，再根據整理即可得出答案；②設直線的方程為，，聯立，消元，根據求得的關系，利用韋達定理求得，再利用弦長公式求得，易求得的坐標，即可求出，再根據，為線段的三等分點，可得，結合，可得兩個等量關系，從而可得出結論.(1)解：由題意有，則，將點代入雙曲線方程得，聯立解得，故的方程為；(2)解：①，易知直線，的斜率均存在且不為，設，的方程為，則的方程為，聯立，消整理得，直線與雙曲線交于兩點，故且，則，則，則，聯立，消整理得，直線與雙曲線交于兩點，故且，解得，則，則，根據對稱性可知四邊形為菱形，其面積，，∴，∴，∴，；②，假設滿足題意的直線存在，易知直線斜率存在，設直線的方程為，，聯立，整理得，則且，解得且，由韋達定理有，則，不妨設為直線與漸近線的交點，聯立，解得，，同理可得點的坐標為，則，因為，為線段的三等分點，，即，整理得，①，，則，即，，整理得,②聯立①②得，無解，故沒有滿足條件的直線．【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線及球求雙曲線的方程，還考查了直線與雙曲線的位置關系及弦長，考查了雙曲線中三角形的面積問題，考查了探究雙曲線中直線的存在性問題，考查了學生的計算能力及數據分析能力，計算量很大，屬于難題.12．(1)(2)2分析：（1）待定系數法求解橢圓方程；（2）考慮直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況，當直線斜率不存在時，求出，當直線斜率存在時，設出直線方程，聯立后利用弦長公