2022-2023學年陜西省西安高級中學高一（上）期中數學試卷

1.設集合4={x[l<xW2},則CRA=()

A.{x|x<1或x>2}B.(x\x<1或x>2}

C.{x\x<1或x>2}D.[x\x<1或x>2]

2.下列函數是基函數的是()

A.y=_gB.y=x—1C.y=VxD.y=2x2

3.“x>7”是“x>8”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.對于變量“氣壓”的每一個值，變量“水的沸點”都有唯一確定的值與之對應.對于變量

“油面寬度”，至少存在一個值，使得變量“儲油量”的值與之對應的值不唯一.根據這兩

條信息，給出下列四個結論：

①水的沸點是氣壓的函數；

②水的沸點不是氣壓的函數；

③儲油量是油面寬度的函數；

④儲油量不是油面寬度的函數.

其中正確結論的序號為（）

A.①④B.①③C.②④D.②③

5.已知函數/(x)滿足Vx,yeR,+y)=/(x)+/(y)+1,且/(I)=1,則f⑶=()

A.3B.4C.5D.6

6.若晝+a=1,則4%2+9y2的最小值為()

A.16B.20C.24D.25

7,若函數f(x)=在R上是增函數，則〃的取值范圍是()

A.(2,102]B.(2,+oo)C.(2,102)D.[102,+oo)

8.已知函數/（%）=Q/+bx+c（a00）的圖象如圖所示，則關于x

的不等式8/+ex+a<0的解集為（）

A.B.(-oo,-2]U[l,+oo)

1

C.[-2,1]D.(-8,一目U[1,4-00)

9.已知命題“存在ae[-1,+8),使得/(x)=/_ax+a-2為偶函數”，則()

A.該命題是全稱量詞命題B.該命題是真命題

C.該命題是存在量詞命題D.該命題是假命題

10.如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，點E在線段AO上，

點F在線段A8上,且線段BF與線段QE的長度相等，設DE=x,

△4EF的面積為S(x),則()

A.函數S(x)的定義域為[0,2)

B.5(1)<1

C.函數S(x)的定義域為(0,2)

D.S(x)有最大值

11.已知集合4={x|-1〈xW7},8={x|a+2<x<2a-l},若使BU4成立的實數a的

取值集合為M,則M的一個真子集可以是()

A.(—00,4]B.(—oo,3]C.(3,4]D.[4,5)

12.下列命題是真命題的是()

A.若a>b>0,則：>寢

bb+1

B.若一或<%<0,則:n/2-出的最大值為一i

C.若a>0,b>0,則令一代之逐一白

D.若a2(￡>2-1)=1,則@2+Z?2的最小值為3

13.命題p：VmeQ,|m|21的否定為.

14.若f(x)為奇函數,當x>1時,/(x)=3x-7,則〃-2)=.

15.若集合{x《<x<9}恰有8個整數元素，寫出整數。的一個值：.

16.如圖所示，定義域和值域均為R的函數f(x)的圖象給人以

“一波三折”的曲線之美.

(1)若/(乃在(一2,。+2)上有最大值，則a的取值范圍是

(2)方程/'(/(乃)=3的解的個數為.

17.已知集合集={1,4,6,7},B=[a,a+b].

(1)若Q=b=4,求AnB,AUB；

(2)若b=3,且4CB=B,求a的值.

18.已知函數/'(x-2)=x2-2x.

(1)求/'(x)的解析式；

(2)若/(尤)在［a-6,a-4］上單調遞減,求a的取值范圍.

19.己知f(x)是定義在［-3,3］上的偶函數.

(1)將所給的圖補充完整;

(2)當一3<m<0時,討論f(x)在［一3,6］上的值域.

20.小張同學在求解“若ab>0,求4+%謂+》的最小值”這道題時，他的解答過程如下:

(第一步)因為ab>0,所以小b同號，所以《，牛,胃，料為正數，

(第二步)所以&+^>2花田=4,-+^>2區？=2V2,

''ab\abab7ab

(第三步)所以4+卷)常+^)>8V2,故(，+券)譚+》的最小值為8口

請你指出他在解答過程中存在的問題，并作出相應的修改.

21.近幾年，極端天氣的天數較往年增加了許多，環境的保護越來越受到民眾的關注，企業的

節能減排被國家納入了發展綱要中，這也為檢測環境的儀器企業帶來了發展機遇.某儀器公

司的生產環境檢測儀全年需要固定投入500萬元,每生產x百臺檢測儀器還需要投入y萬元，

(3x2+14x,0<%<50

其中0<x4100,x€可且、=,8000?me，每臺檢測儀售價2萬元，

220%4---——7500,50<x<100

'x-40

且每年生產的檢測儀器都可以售完.

(1)求該公司生產的環境檢測儀的年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(百臺)的函數關系式；

(2)求該公司生產的環境檢測儀年利潤的最大值.

22.已知函數/Xx)

(1)判斷f(x)在(0,1］上的單調性，并用定義加以證明；

(2)設函數g(x)=//+1+需岑一a，若VXi€［0,l］,€弓,月，9(/)=f(%2)，求。的

取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={x|l<x<2},

則CR4={x|x>2或x<1}.

故選：D.

根據已知條件，結合補集的定義，即可求解.

本題主要考查補集的運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：根據形如丫=乂。（a為常數）的函數為募函數，

由選項可知，C符合.

故選：C.

利用幕函數的定義即可得出結論.

本題主要考查某函數的定義，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：丫{x|x>8}些{x\x>7）,

:.“x>7”是“x>8”的必要不充分條件.

故選：B.

根據充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵,

屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：根據函數定義，自變量每確定一個值，變量就有唯一確定的值與之對應，根據題意,

水的沸點與氣壓符合這個對應關系，而儲油量與油面寬度的對應不唯一，不符合定義.

故①④正確，

故選：A.

結合函數的定義即可判斷.

本題考查函數的定義，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：函數/(X)滿足Vx,y&R,f(x+y)=/Q)+/(>)+1，且f(1)=1，

令x=y=1,則/(2)=/(I)+/(I)+1=3,

令久=1,y=2,貝療(3)=/(l)+/(2)+1=1+3+1=5.

故選：C.

利用賦值法可先求出f(2),再令x=Ly=2,即可求出/(3)的值.

本題主要考查抽象函數及其應用，考查賦值法的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：由已知可得4/+9y2=(4/+9、2)6+電=4+9+竽+餐213+

2/岑考=13+12=25,

、yL

當且僅當等=等,即/=|,y2=|時取得最小值為25,

故選：D.

利用“1”的代換以及基本不等式化簡即可求解.

本題考查了基本不等式的應用，涉及到“1”的代換，屬于基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：因為函數在R上是增函數，

所以憶父；+99,

解得2<aS102.

故選：A.

由已知結合分段函數的單調性即可求解.

本題主要考查了分段函數單調性的應用，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：由圖可知，函數/(x)的圖象與x軸相切，對稱軸為直線x=l,

函數的圖象開口向下，

所以，a<0,且f(x)=a/+bx+c=a(x—1產=a/-2ax+a,則b=-2a,c=a,

所以，不等式b/+ex+aW0即為—2a/+ax+aW0,BP2x2—x—1<0,解得一

故不等式b/+ex+a<0的解集為[一^,1].

故選：A.

分析可知a<0,/(x)=a(x-l)2,可得出b=-2a,c=a,再利用二次不等式的解法解不等式

bx2+ex+a<0,即可得解.

本題考查二次函數的圖象與性質的應用，二次不等式的解法，是基礎題.

9.【答案】BC

【解析】解：“存在a+8),使得/(%)=/一。%+。一2為偶函數”為存在量詞命題，c正

確，

當a=0時,f［x}=x2-2為真命題.

故選：BC.

由己知結合量詞的定義及偶函數定義即可判斷.

本題主要考查了含有量詞的命題的真假判斷，屬于基礎題.

10.【答案】BD

【解析】解:依題意DE=BF=X,四邊形A3C￡>是正方形，于是4E=AF=2—%,故S(x)=?之"),

點E在線段4。上，故04%42,定義域是［0,2］,故AC錯誤；

5(1)=1<1,故8正確；

S。)=生券是開口向上，對稱軸為x=2的二次函數，故在［0,2］上單調遞減，故x=0時，S(x)有

最大值S(0)=2,故。正確.

故選：BD.

根據題意用x表示出S(x),然后分析該函數的性質即可.

本題考查函數的實際應用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題.

11.【答案】BC

【解析】解：當8=。時，a+2>2a-l,解得a<3,

當BH0時，-1Wa+2W2a-1W7,解得3<a<4,

故實數。的取值范圍為(一8,旬,即M=(-8,旬，

所以”的一個真子集可以是(一8,3］或(3,4］.

故選：BC.

根據已知條件，分集合8是否為空集討論，求出a的取值范圍，再結合真子集的定義，即可求解.

本題主要考查真子集的定義，以及集合的包含關系，屬于基礎題.

12.【答案】ACD

【解析】解：A：當a>b>0時，稱一得=迪轉等9=品>0，故A正確，

B：因為-&<x<0,則-=—Jx2(2—/)2-X+=一1,當且僅當*2=2—

即工=-1時取得最小值為-1,故B錯誤，

C：因”0,8>0,則*_乃_(窈_9)=*_四_曰+9=嗟一若=(。—)4一盍)

2

(Va-V5)(Va+V5)n

海-u，

故C正確；

D：a2(62-1)=1,

匕2=+1,

■■.a2+b2=a2+-^+1>2Ja2x~2+1=3,當且僅當a?=今即a=±1時取等號，故D正確.

故選：ACD.

對選項進行逐個分析，即可解出.

本題考查了不等式的性質，學生的數學運算能力，屬于基礎題.

13.【答案】3mGQ,|7n|<1

【解析】解：命題為全稱命題，則命題的否定為mnieQ,

故答案為：3mG(?,|m|<1.

根據含有量詞的命題的否定即可得到結論.

本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎.

14.【答案】1

【解析】解：若/Q)為奇函數，當x21時，/(x)=3x-7,

則/'(-2)=-/(2)=-(6-7)=1,

故答案為：1.

由奇函數的定義和已知區間上的解析式，計算可得所求值.

本題考查函數的奇偶性的定義和運用，考查運算能力，屬于基礎題.

15.【答案】1(答案不唯一)

【解析】解：當a=l時，集合｛*<x<9｝的整數元素為1,2,3,4,5,6,7,8.

故答案為：1(答案不唯一).

根據已知條件，結合元素與集合關系，即可求解.

本題主要考查元素與集合關系的判斷，屬于基礎題.

16.【答案】(-3,3]4

【解析】解：(1)由圖象可知函數在(一8,-1)上單調遞增，在(-1,3)上單調遞減，在(3,+8)上單

調遞增，且/(一1)=f(5)=3,

若在(—2,a+2)上有最大值，

則有{彳m，，

1—1<a+2<5

所以—3<a43,

故a的取值范圍是(—3,3]；

(2)令/'(x)=t,/(t)=3nt=—1,或t=5,

若“切=-1,根據函數的圖象可知，方程有三個不相等實根；

若f(x)=5,根據函數的圖象可知，方程有一個實根，

所以方程/(/(%))=3的解的個數為4,

故答案為：(—3,3];4.

(1)利用數形結合思想，結合最大值的定義進行求解即可；

(2)利用換元法，結合數形結合法進行求解即可.

本題主要考查了函數的定義域及值域的求解，還考查了方程的根與函數圖象的交點之間關系的轉

化，體現了數形結合思想的應用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(l)a=6=4.

則B={4,8},

A={146,7},

則力CB={4},AUB={1,4,6,7,8}.

(2)AC\B=B,

???BQA,

當a=l時，集合8={1,4},符合題意，

當a=4時，集合B={4,7},符合題意，

當a=6時，集合B={6,9},不符合題意，

當a=7時，集合B={7,10},不符合題意，

綜上所述，a的值為1或4.

【解析】(1)先求出集合8,再結合交集、并集的定義，即可求解.

(2)由題意可得，BQA,再分類討論，即可求解.

本題主要考查并集、交集及其運算，屬于基礎題.

18.【答案】解：(1)因為/(x-2)=/—2x,令t=x—2,則x=t+2,

則/'?)=?+2)2-2(t+2)=t2+2t,

則/(%)=x2+2x；

(2)因為/"(X)=X2+2X,根據二次函數的性質可得，“X)在(―8,-1］上單調遞減，

則a-4W-l,即aW3,

故a的取值范圍為(-8,3］.

【解析】(1)根據換元法可解；

(2)根據二次函數的性質可解：

本題考查函數解析式求法以及性質，屬于基礎題.

19.【答案】解：⑴因為/(x)是定義在［一3,3］上的偶函數，所以圖像關于y軸對稱，作出圖像如下

圖所示：

(2)可設/(x)=kx+b,(-3<%<-1)

由圖像可知：/(-3)=4,/(-I)=-2.

所以｛-氏第U，解得：｛?=

所以f(x)=-3x-5,(-3<x<-1).

同理可求：/(x)=5x4-3,(-1<x<0).

當一3<mW-l時，/(%)在［-3,利上單減，，則f(x)的值域為［-3m-5,4］；

當一l<m<0時，/(乃在上單減，在［-1,澗上單增,且/(m)</(0)=3<4,則f(x)的

值域為［-2,4］.

綜上,當一3cm4—1時,f(x)的值域為［一3巾—5,4］：當—l<m<0時，f(x)的值域為［―2,4］.

【解析】(1)利用偶函數的性質，保持)，軸右側圖象不變，將右側圖像關于y軸對稱；

(2)利用單調性及函數圖象求值域.

本題考查偶函數的圖象和性質，以及分段函數求值域，屬于基礎題.

20.【答案】解：第二步，兩次等號成立的條件分別為6=2a且a=夜兒此時a,〃不存在，顯然

等號不成立，

修改：因為ab>0,所以小b同號，所以巴卷，織奧為正數，

abab

(1+y)(^+》=今+整+929+4歷當且僅當/=夜a2時取等號，

故(5+專)譚+9的最小值9+4^2.

【解析】由已知結合基本不等式即可求解.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，解題的關鍵是應用條件的配湊，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由題意知，當0<x<50時，L(x)=200x-3x2-14x-500=-3x2+186x-

500,

當50<x<100,L(x)=200x-220x-+7500-500=-(20x++7000,

3x2+186x—500,0<x<50,x6N

綜上，'(x)=1(20%+鬻)+7000,50<x<100,%GN'

(2)當0<x<50時，L(x)=-3x2+186%-500=-3(x-31)2+2383,

所以當x=25時，L(x)取得最大值2383,

當50d)0,L(x)=-(20%+鬻)+7000,

L'M=-20+-^2，

(x-40)z

令-20+8。00=o則x=60,

(x-40)z

當50Wx<60時,L'(x)>0,L(x)遞增，當x>60時,Lz(x)<0,L(x)遞減，

故當x=60時，L(x)取得最大值L(60)=5400,因為5400>2383,

故當x=60(百臺)，該公司生產的環境檢測儀年利潤最大，最大值為5400萬元.

【解析】(1)根據利潤=銷售收入-固定成本-投入成本，即可得到年利潤〃%)(萬元)關于