2022學年第一學期“三校聯考”綜合測試高二數學（問卷）第Ⅰ卷（選擇題共60分）班級_________姓名_________學號_________一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線經過原點和，則的傾斜角是（）A.－60° B.60° C.120° D.150°2.直線一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（）A. B.C.或 D.與的位置關系不能判斷3.直線在軸，軸上的截距相等，則的值為A. B.2 C.或2 D.4或4.已知直線，，且，點到直線的距離（）A. B.C. D.5.棱長為1的正四面體ABCD中，點E，F分別是線段BC，AD上的點，且滿足，，則（）A. B. C. D.6.已知點，．若直線與線段相交，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.7.若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（）A. B. C. D.8.平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，,，，則m，n所成角的正弦值為A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知空間中三點，，，則下列說法正確的是（）A.與是共線向量 B.與同向的單位向量是C.和夾角的余弦值是 D.平面的一個法向量是10.已知直線的傾斜角等于，且經過點，則下列結論中正確的有（）A.的一個方向向量為B.直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為C與直線垂直D.與直線平行11.如圖，在所有棱長均為2的四棱錐中，O為底面正方形的中心，M為側棱的中點，N為側棱上的動點，則下列結論正確的有（）A.無論動點N在什么位置，平面B.直線和直線所成角的大小為C.的正弦值的最大值為D.二面角的大小為12.古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現；平面內到兩個定點A、B的距離之比為定值（且）的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，，.點P滿足，設點P所構成的曲線為C，下列結論正確的是（）A.C方程為 B.在C上存在點D，使得D到點（1，1）的距離為10C.在C上存在點M，使得 D.C上的點到直線的最大距離為9第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13.已知向量，，若與垂直，則___________.14.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別是AB，CC1的中點，則點D1到直線GF的距離為________．15.圓：關于直線：對稱的圓的標準方程為_____________.16.已知，則的最小值為_____________．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或推演步驟．17.如圖，在邊長為2的正方體中，分別為的中點.（1）證明：；（2）求點到平面的距離.18.己知的三個頂點分別為，求：（1）求邊中垂線所在的直線方程；（2）求與直線平行且距離為的直線方程；（3）求的外接圓的方程．19.如圖，直三棱柱中，為中點.（1）證明：平面；（2）若此三棱柱的體積為1，，，求直線與平面所成角的正弦值.20.已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，（1）求頂點坐標；（2）求的面積．21.如圖甲，在矩形中，為線段的中點，沿直線折起，使得，如圖乙.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面所成角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點的位置.22.已知圓C經過，兩點.（1）當時，圓C與x軸相切，求此時圓C的方程；（2）如果AB是圓C的直徑，證明：無論a取何正實數，圓C恒經過除A外的另一個定點，求出這個定點坐標.（3）已知點A關于直線的對稱點也在圓C上，且過點B的直線l與兩坐標軸分別交于不同兩點M和N，當圓C的面積最小時，試求的最小值；

2022學年第一學期“三校聯考”綜合測試高二數學（問卷）第Ⅰ卷（選擇題共60分）班級_________姓名_________學號_________一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線經過原點和，則的傾斜角是（）A.－60° B.60° C.120° D.150°答案：C【解析】分析：根據直線經過兩點的坐標求出斜率，進而根據以及直線傾斜角的范圍即可求出結果.【詳解】因為直線經過原點和，所以，設直線的傾斜角為，故，因為，所以，故選：C.2.直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則（）A. B.C.或 D.與的位置關系不能判斷答案：B【解析】分析：觀察到的直線的方向向量與平面的法向量共線，由此得到位置關系．【詳解】解：直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，顯然它們共線，所以．故選：B．3.直線在軸，軸上的截距相等，則的值為A. B.2 C.或2 D.4或答案：C【解析】分析：先考慮直線過原點情況，再考慮截距不為0情況,分別求得直線在軸，軸上的截距，由截距相等求得m的值．【詳解】若直線過（0，0）點，則-4-m=0,則m=-4,令x=0,則y=,再令y=0,則，由在軸，軸上的截距相等，得，解得m=2.綜上m=2或m=-4.選C.【點睛】截距相等要分兩種情況考慮，一種是直線過原點，即截距為0，另一種是截距不為0的情況．4.已知直線，，且，點到直線的距離（）A. B.C. D.答案：D【解析】分析：根據兩直線垂直公式求得，再用點到線的距離求解即可【詳解】由可得，解得，故故選：D5.棱長為1的正四面體ABCD中，點E，F分別是線段BC，AD上的點，且滿足，，則（）A. B. C. D.答案：D【解析】分析：用表示，然后計算數量積．【詳解】由已知，因為，，所以，，．故選：D．6.已知點，．若直線與線段相交，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.答案：A【解析】分析：直線l過定點P（1，1），且與線段AB相交，利用數形結合法，求出PA、PB的斜率，從而得出l的斜率的取值范圍,即得解【詳解】設直線過定點，則直線可寫成，令解得直線必過定點．，．直線與線段相交，由圖象知，或，解得或，則實數的取值范圍是．故選：A【點睛】本題考查了直線方程的應用，過定點的直線與線段相交的問題，考查了學生綜合分析、數形結合的能力，屬于中檔題．7.若直線始終平分圓的周長，則的最小值為（）A. B. C. D.答案：D【解析】分析：直線始終平分圓的周長，即直線經過點,即故點在直線上,可看作動點到定點的距離的平方，利用點到直線的距離公式即可求得.【詳解】解：，故圓的圓心坐標為，直線始終平分圓的周長，即直線經過點,故，即.可看作動點到定點的距離的平方，又因為，故點在直線上,所以的最小值為點到直線的距離.∵∴∴即的最小值為.故選：D.8.平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，,，，則m，n所成角的正弦值為A. B. C. D.答案：A【解析】【詳解】試題分析：如圖，設平面平面=，平面平面=，因為平面，所以，則所成的角等于所成的角.延長，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【點睛】求解本題的關鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知空間中三點，，，則下列說法正確的是（）A.與是共線向量 B.與同向的單位向量是C.和夾角的余弦值是 D.平面的一個法向量是答案：BD【解析】分析：根據共線向量的坐標表示可知A錯誤；根據與同向的單位向量為，計算可知B正確；利用向量夾角公式計算可知C錯誤；根據法向量的求法可知D正確.【詳解】對于A，，，可知，與不共線，A錯誤；對于B，，，，即與同向的單位向量是，B正確；對于C，，，即和夾角的余弦值為，C錯誤；對于D，設平面的法向量，則，令，解得：，，，即平面的一個法向量為，D正確.故選：BD.10.已知直線的傾斜角等于，且經過點，則下列結論中正確的有（）A.的一個方向向量為B.直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為C.與直線垂直D.與直線平行答案：AC【解析】分析：根據點斜式求得直線的方程，結合直線的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題意直線的斜率為，直線方程為，即，它與直線重合，D錯誤；，因此是直線的一個方向向量，A正確；在直線方程中令得，令得，直線與兩坐標軸圍成三角形的面積為，B錯誤；由于，C正確故選：AC11.如圖，在所有棱長均為2的四棱錐中，O為底面正方形的中心，M為側棱的中點，N為側棱上的動點，則下列結論正確的有（）A.無論動點N在什么位置，平面B.直線和直線所成角的大小為C.的正弦值的最大值為D.二面角的大小為答案：ABC【解析】分析：對于A：利用線面平行的判定定理直接證明平面；對于B：求出與所成角為；對于C：先判斷出，即可求出的最大值；對于D：取中點中點,連接,判斷出為二面角的平面角.即可求解.【詳解】對于A：因為底面為正方形，所以.又面，面，所以平面，即平面.故A正確；對于B：連接.因為分別為中點,所以.又在等邊△中,與所成角為，所以與所成角為.故B正確；對于C：連接交于點O，則O為的中點.因為所有棱長均為2，所以,.又,平面,平面,所以平面.又平面,所以,所以.在△中,,所以的最大值為.故C正確；對于D：取中點中點,連接.因為,所以；因為為正方形，所以，所以為二面角的平面角.因為，所以，所以，所以.故D錯誤.故選：ABC.12.古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現；平面內到兩個定點A、B的距離之比為定值（且）的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，，.點P滿足，設點P所構成的曲線為C，下列結論正確的是（）A.C的方程為 B.在C上存在點D，使得D到點（1，1）的距離為10C.在C上存在點M，使得 D.C上的點到直線的最大距離為9答案：AD【解析】分析：由題意可設點，由兩點的距離公式代入化簡可判斷A選項；由兩點的距離公式和圓的圓心得出點（1，1）到圓上的點的最大距離，由此可判斷B選項.設，由已知得，聯立方程求解可判斷C選項；由點到直線的距離公式求得C上的點到直線的最大距離，由此可判斷D選項.【詳解】解：由題意可設點，由，，，得，化簡得，即，故A正確；點（1，1）到圓上的點的最大距離，故不存在點D符合題意，故B錯誤.設，由，得，又，聯立方程消去得，解得無解，故C錯誤；C的圓心（-4，0）到直線的距離為，且曲線C的半徑為4，則C上的點到直線的最大距離，故D正確；故選：AD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13.已知向量，，若與垂直，則___________.答案：【解析】分析：根據與垂直，可知，根據空間向量的數量積運算可求出的值，結合向量坐標求向量模的求法，即可得出結果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.14.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點F，G分別是AB，CC1的中點，則點D1到直線GF的距離為________．答案：【解析】分析：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點到直線的距離．【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則點到直線的距離：．點到直線的距離為．故答案為：．15.圓：關于直線：對稱的圓的標準方程為_____________.答案：.【解析】分析：由圓C的一般方程化為其標準方程，求得圓C的圓心和半徑，再求得圓心C關于直線l的對稱點，由圓的標準方程可求得答案.【詳解】解：由圓：得其標準方程為，圓心的坐標為，半徑.設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，所以所求圓的方程為.故答案為：.16.已知，則的最小值為_____________．答案：【解析】分析：已知提取，剩下的部分表示點到原點的距離與它到直線的距離之和，而這個和的最小值是原點到直線的距離，由此可得結論．【詳解】,表示點到原點的距離與它到直線的距離之和，由平面幾何知識可知這個距離和的最小值是原點到直線的距離．所以題中所求的最小值是．故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或推演步驟．17.如圖，在邊長為2正方體中，分別為的中點.（1）證明：；（2）求點到平面的距離.答案：（1）見解析（2）【解析】分析：（1）建立坐標系求出點的坐標，利用向量的坐標運算求平面法向量即可求解，（2）利用向量法求解點面距離即可．【小問1詳解】建立以為坐標原點，，，分別為，，軸的空間直角坐標系如圖：則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，分別為，的中點，，1，，，1，，，0，，，2，，設平面的法向量為，則,即，令，則因為，，所以平面．【小問2詳解】,,設點到平面的距離為，所以18.己知的三個頂點分別為，求：（1）求邊中垂線所在的直線方程；（2）求與直線平行且距離為的直線方程；（3）求的外接圓的方程．答案：（1）；（2）或；（3）．【解析】分析：（1）求出中點坐標，直線的斜率得出中垂線的斜率，從而得直線方程；（2）求出直線后設出與其平行的直線方程，由平行間距離求得參數，得直線方程；（3）設出圓的一般方程，代入三點坐標后求解．【小問1詳解】邊中點坐標為，，邊中垂直的斜率為，直線方程為，即；【小問2詳解】直線方程為，即，設所求直線方程為，由，或，所以所求直線方程為或；【小問3詳解】設外接圓方程為，則，解得，圓方程為．19.如圖，直三棱柱中，為中點.（1）證明：平面；（2）若此三棱柱的體積為1，，，求直線與平面所成角的正弦值.答案：（1）證明見解析（2）【解析】分析：（1）連接交于點，連接，證得，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（2）以B點為坐標原點，BC，BA，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，求得平面的一個法向量為和，結合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：連接交于點，連接，在直三棱柱中，為矩形，所以為中點，又因E為BC中點，所以，又由平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：在直三棱柱中，平面ABC，所以，又因為，，所以平面，所以，由，可得，以B點為坐標原點，BC，BA，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，可得，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以為平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，（1）求頂點的坐標；（2）求的面積．答案：（1）；（2）.【解析】分析：（1）首先設，根據題意得到，再解方程組即可.（2）首先設，得到，從而得到，解方程得到，再求出和點到直線的距離，即可得到答案.【詳解】（1）設，因為直線與直線垂直，且點在直線上，所以，解得，故.（2）設由題知：，所以，解得，即.，直線，即：.，點到直線的距離，所以.【點睛】本題主要考查直線的方程，同時考查點到直線的距離公式，屬于中檔題.21.如圖甲，在矩形中，為線段的中點，沿直線折起，使得，如圖乙.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點的位置.答案：（1）證明見解析（2）存在，點是線段的中點【解析】分析：（1）作出輔助線，得到，，從而得到線面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性質得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，設出的坐標，求出平面的法向量，從而列出方程，求出的值，確定點位置.【小問1詳解】證明：連接，取線段的中點，連接，在Rt中，，，在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又