漳州市2023-2024學(xué)年（下）期末高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）考生注意：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名。考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回。一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.曲線在原點(diǎn)處的切線斜率為（）A. B.0 C. D.12.某統(tǒng)計(jì)部門(mén)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，將四組數(shù)據(jù)相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，正確的是（）相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)A. B.C. D.3.已知事件，相互獨(dú)立，且，，那么（）A.0.12 B.0.3 C.0.4 D.0.754.已知向量，，，若，，三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.45.在一個(gè)關(guān)于智能助手的準(zhǔn)確率測(cè)試中，有三種不同的模型，，.模型的準(zhǔn)確率為0.8，模型的準(zhǔn)確率為0.75，模型的準(zhǔn)確率為0.7.已知選擇模型，，的概率分別為，，.現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)模型進(jìn)行測(cè)試，則準(zhǔn)確率為（）A.0.56 B.0.66 C.0.76 D.0.866.設(shè)函數(shù)在附近有定義，且，，，為常數(shù)，則（）A.0 B. C. D.7.若關(guān)于的不等式有唯一的整數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.正方體的棱長(zhǎng)為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.函數(shù)，則（）A. B.的增區(qū)間為C.最大值為1 D.有兩個(gè)零點(diǎn)10.已知在某次試驗(yàn)中獲得數(shù)據(jù)如下：23410251915124與線性相關(guān)，且回歸方程為，則下列正確的是（）A.與具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系 B.C.點(diǎn)落在回歸直線下方 D.估計(jì)時(shí)的值為11.如圖，六面體的一個(gè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則下列正確的有（）A.B.直線與直線所成角的余弦值為C.平面與平面所成角的余弦值為D.當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到平面的距離的最小值為1三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.13.已知，且，則______.14.已知關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為_(kāi)_____.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.（13分）在一次對(duì)外星文明的探索中，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種外星生物，它們具有一種特殊的繁殖方式.科學(xué)家記錄了這種外星生物在連續(xù)8天內(nèi)的繁殖數(shù)量，發(fā)現(xiàn)繁殖數(shù)量與天數(shù)之間存在線性關(guān)系.（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，得到以下表格：天數(shù)12345678繁殖數(shù)量1315181920202225請(qǐng)利用最小二乘法求出線性回歸方程；（2）科學(xué)家從這種外星生物中隨機(jī)抽取了10個(gè)樣本進(jìn)行基因分析，以研究其基因多樣性，發(fā)現(xiàn)這10個(gè)樣本中有3個(gè)樣本具有某種特殊基因.現(xiàn)從這10個(gè)樣本中隨機(jī)抽取2個(gè)樣本進(jìn)行深入研究，記隨機(jī)抽取的2個(gè)樣本中具有某種特殊基因的樣本數(shù)量為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.（參考公式與數(shù)據(jù)：，，，，）16.（15分）已知函數(shù)在處取得極值6.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.17.（15分）2024年5月1日，“花樣漳州啤酒之夜群星演唱會(huì)”在漳州激情開(kāi)唱，為現(xiàn)場(chǎng)2萬(wàn)名觀眾帶來(lái)一場(chǎng)音樂(lè)盛宴.現(xiàn)隨機(jī)抽取200名現(xiàn)場(chǎng)觀眾，對(duì)他們的年齡和是否購(gòu)買(mǎi)周邊產(chǎn)品進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：年齡（歲）購(gòu)買(mǎi)周邊不購(gòu)買(mǎi)周邊總計(jì)小于304030及以上4580總計(jì)200（1）請(qǐng)完成上面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為年齡與是否購(gòu)買(mǎi)周邊產(chǎn)品有關(guān)？（2）已知現(xiàn)場(chǎng)觀眾對(duì)某首歌曲的喜愛(ài)程度得分（單位：分），請(qǐng)估計(jì)現(xiàn)場(chǎng)觀眾對(duì)該首歌曲的喜愛(ài)程度得分在內(nèi)的人數(shù)約為多少？（參考公式及表格：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828若，則，，.）18.（17分）如圖，多面體是三棱臺(tái)和四棱錐的組合體，底面四邊形為正方形，，，，平面平面.（1）證明：平面；（2）若平面與平面的交線為，（i）作出交線（需要寫(xiě)出必要的作圖步驟，保留作圖痕跡，無(wú)需證明）；（ii）求直線與平面所成角的正弦值.19.（17分）定義：對(duì)于空間向量，，其“導(dǎo)數(shù)積”為.已知空間向量，為常數(shù)，記.（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）若為的極大值點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，，，且滿足，，證明：.

漳州市2023-2024學(xué)年（下）期末高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)參考答案評(píng)分說(shuō)明：1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.2.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.D2.A3.B4.B5.C6.D7.B8.A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.9.AB10.AD11.ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.13.514.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）【解析】（1），，，，所以，線性回歸方程為.（2）依題意，，的可能取值為：，，.，，，的分布列為012的數(shù)學(xué)期望為.16.（15分）【解析】（1）依題意有解得此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；在處取得極大值，因此，，（2）由（1）知，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以在上的最大值為6，最小值為.17.（15分）【解析】（1）列聯(lián)表如下：年齡（歲）購(gòu)買(mǎi)周邊不購(gòu)買(mǎi)周邊總計(jì)小于30804012030及以上453580總計(jì)12575200假設(shè)年齡與是否購(gòu)買(mǎi)周邊產(chǎn)品無(wú)關(guān)，因?yàn)椋詻](méi)有的把握認(rèn)為年齡與是否購(gòu)買(mǎi)周邊產(chǎn)品有關(guān).（2）依題意正態(tài)分布的均值，標(biāo)準(zhǔn)差，人，現(xiàn)場(chǎng)觀眾對(duì)該首歌曲的喜愛(ài)程度得分在內(nèi)的人數(shù)約為16372.18.（17分）【解析】法一：（1）證明：如圖，在上取點(diǎn)，使連接，，因?yàn)椋运裕矣衷谡叫沃校裕衷谌馀_(tái)中，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）（i）如圖，延長(zhǎng)和交于一點(diǎn)，連接，則直線即為平面與平面的交線.（ii）由平面平面，平面平面，，所以平面，又，所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，又因?yàn)椋栽谥校裕≈本€的方向向量為設(shè)平面的法向量為，由得，取，設(shè)直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為法二：（1）由平面平面，平面平面，，所以平面，，所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由得，取，因?yàn)椋裕制矫妫云矫?（2）（i）同解法一.（ii），，，設(shè)平面的法向量為，由，令，則，，取，設(shè)直線的方向向量為，由（1）知，平面的法向量，由，令，則，，取，（下同解法一）19.（17分）【解析】（1）依題意，，即，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，得證.（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，令，解得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，①當(dāng)時(shí)，，注意到及在單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，由（1）知，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，不合題意，舍去；③當(dāng)時(shí)，，注意到及在單調(diào)遞增，當(dāng)