第5課時函數的圖像及應用編寫：廖云波【回歸教材】1.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點如下表所示：xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函數y＝sinx的圖象經變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑3.y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ4.【常用結論】正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；

【典例講練】題型一“五點法”作的圖像【例1-1】已知函數.(1)利用“五點法”完成下面的表格，并畫出在區間上的圖象；(2)解不等式.歸納總結：【練習1-1】設函數f(x)＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝，此對稱軸相鄰的對稱中心為（）(1)求函數y＝f(x)的解析式；(2)用五點法畫出函數y＝f(x)在區間[0，π]上的圖象．題型二三角函數的圖像變換【例2-1】怎樣由函數的圖象變換得到的圖象，試敘述這一過程．【例2-2】要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【例2-3】將函數的圖象向右平移個單位后得到的函數圖象關于直線對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【練習2-1】【多選題】要得到函數到的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向左平移單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的B．向右平移單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的C．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向右平移單位長度D．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移單位長度【練習2-2】為了得到函數的圖像，可以將函數的圖像（

）A．向左平行移動個單位 B．向右平行移動個單位C．向左平行移動個單位 D．向右平行移動個單位【練習2-3】為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位題型三已知函數圖像求解析式【例3-1】已知函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為_______________．【例3-2】函數（）的部分圖像如下圖，則最小值為（

）A． B． C． D．【例3-3】如圖，為了研究鐘表與三角函數的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置P(x，y).若初始位置為P0，當秒針從P0(注：此時t＝0)正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數關系式為（

）A．y＝sin B．y＝sinC．y＝sin D．y＝sin歸納總結：【練習3-1】如圖是函數的圖像的一部分，則此函數的解析式為___________．【練習3-2】已知函數,的部分圖象如圖所示,則A．3 B． C．1 D．題型四三角函數的綜合應用【例4-1】已知函數(1)求函數的對稱軸方程；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若關于x的方程在上恰有一解，求實數m的取值范圍．【例4-2】建設生態文明，是關系人民福祉，關乎民族未來的長遠大計.某市通宵營業的大型商場，為響應節能減排的號召，在氣溫超過時，才開放中央空調降溫，否則關閉中央空調.如圖是該市夏季一天的氣溫（單位：）隨時間（，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近似的滿足函數關系.（1）求函數的表達式；（2）請根據（1）的結論，判斷該商場的中央空調應在本天內何時開啟？何時關閉？歸納總結：【練習4-1】已知函數，，是方程的兩個不相等的實根，且的最小值為.（1）求函數的解析式；（2）若，的值域是，求m的取值范圍【完成課時作業（二十八）】

【課時作業（二十八）】A組礎題鞏固1．將圖象上每一個點的橫坐標變為原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，則的解析式為（

）A． B． C． D．2．函數的定義域為（

）A．B．，C．， D．，3．已知函數的圖象向左平移個單位長度后與原圖象重合，則實數的最小值是（

）A． B． C． D．84．函數部分圖象如圖右所示，則的值為（

）A．B．C． D．15．若要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位6．已知函數的最小正周期為，且滿足，則要得到函數的圖象，可將函數的圖象（

）A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位7．已知函數滿足，將函數圖象向左平移個單位后其圖象關于y軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．【多選題】函數的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．B．若把函數的圖像向左平移個單位，則所得函數是偶函數C．函數的圖像關于直線對稱D．若把函數圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數在上是增函數9．【多選題】已知函數，若，且的最小值為，則下列說法正確的是（

）A．B．函數在上單調遞減C．對，都有D．將函數的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱10．將函數的圖像向右平移個單位長度后所得圖像的解析式為，則________，再將函數圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后得到的圖像的解析式為__________.11．用五點法畫出在內的圖象時，應取的五個點為______；12．某游樂場中半徑為米的摩天輪逆時針（固定從一側觀察）勻速旋轉，每分鐘轉一圈，其最低點離底面米，如果以你從最低點登上摩天輪的時刻開始計時，那么你與底面的距離高度（米）隨時間（秒）變化的關系式為_____.13．已知函數，（其中，，）的圖象如圖所示.(1)求函數的解析式及其對稱軸方程；(2)若的圖象向右平移個單位，再將所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數的圖象，當時，方程有兩個不等的實根，，求實數的取值范圍.B組挑戰自我1．已知函數，圖象上每一點橫坐標伸長到原來的2倍，得到的圖象，的部分圖象如圖所示，若，則等于（

）A． B． C． D．2．已知函數，將的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變，得到函數的圖象，若，則的值不可能為（

）A． B． C． D．3．已知函數（）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，將的圖象上所有點向右平移個單位后，所得函數圖象關于y軸對稱，則的最小正值為___________.第5課時函數的圖像及應用編寫：廖云波【回歸教材】1.用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點如下表所示：xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函數y＝sinx的圖象經變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑3.y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ4.【常用結論】正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；

【典例講練】題型一“五點法”作的圖像【例1-1】已知函數.(1)利用“五點法”完成下面的表格，并畫出在區間上的圖象；(2)解不等式.【答案】(1)答案見解析(2)【解析】【分析】（1）根據正弦函數的五點作圖法可完成表格，利用五點作圖法可得圖象；（2）根據函數圖象列式可求出結果.(1)完成表格如下：00200在區間上的圖象如圖所示：(2)不等式，即.由，解得.故不等式的解集為.歸納總結：【練習1-1】設函數f(x)＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝，此對稱軸相鄰的對稱中心為（）(1)求函數y＝f(x)的解析式；(2)用五點法畫出函數y＝f(x)在區間[0，π]上的圖象．【答案】(1)；(2)見解析.【解析】【分析】（1）解方程即得解；（2）用五點法畫出函數y＝f(x)在區間[0，π]上的圖象．(1)解：是函數的一條對稱軸，，即，所以.令得.所以函數的對稱中心為，所以函數的解析式為.(2)解：由可知故函數在區間上的圖像為：題型二三角函數的圖像變換【例2-1】怎樣由函數的圖象變換得到的圖象，試敘述這一過程．【答案】答案見解析【解析】【分析】利用函數與函數的關系直接敘述即可.【詳解】把函數的圖象向右平移個單位得函數的圖象，再將所得圖象上每一點的橫坐標變為原來的(縱坐標不變)，即得函數的圖象.【例2-2】要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】B【解析】【分析】由誘導公式化為同名函數，然后由圖象平移變換求解．【詳解】因為函數，，所以要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向左平移個單位長度.故選：B.【例2-3】將函數的圖象向右平移個單位后得到的函數圖象關于直線對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據三角函數的圖象變換，求得，結合，列出三角方程，即可求解.【詳解】將函數的圖象向右平移個單位后，可得，因為的圖象關于直線對稱，，即，可得，解得，又因為，所以的最小值為.故選：A.歸納總結：【練習2-1】【多選題】要得到函數到的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向左平移單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的B．向右平移單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的C．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向右平移單位長度D．每個點的橫坐標縮短為原來的，再向左平移單位長度【答案】AD【解析】【分析】根據圖象的兩種變換方式即可求解;先平移再伸縮可判斷A,B,先伸縮再平移可判斷C,D.【詳解】方式一：（先平移再伸縮）；將先向左平移單位長度得到，然后將圖像上每個點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變得到，故A對，方式二：（先伸縮再平移）；將圖像上每個點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變得到，再將向左平移單位長度得到，故D對，故選：AD【練習2-2】為了得到函數的圖像，可以將函數的圖像（

）A．向左平行移動個單位 B．向右平行移動個單位C．向左平行移動個單位 D．向右平行移動個單位【答案】B【解析】【分析】利用兩角和差公式先將函數化簡為，然后再通過三角函數圖像的伸縮平移得出答案.【詳解】由題意得，所以應把函數的圖像向右平移個單位.故選：B.【練習2-3】為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向右平移個單位 D．向左平移個單位【答案】B【解析】【分析】先通過誘導公式將化為，設平移了個單位，從而得到方程，求出，得到答案.【詳解】，設平移了個單位，得到，則，解得：，即向右平移了個單位.故選：B題型三已知函數圖像求解析式【例3-1】已知函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為_______________．【答案】【解析】【分析】根據給定的的圖象，結合三角函數的性質，分別求得和的值，即可求解.【詳解】由題意，函數的部分圖象，可得，所以，可得，即，又由，結合三角函數的五點對應法，可得，即，又因為，所以，所以.故答案為：.【例3-2】函數（）的部分圖像如下圖，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由圖象根據周期得出，再由即可求解.【詳解】由圖知，由解得所以當時，.故選：A【例3-3】如圖，為了研究鐘表與三角函數的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針尖位置P(x，y).若初始位置為P0，當秒針從P0(注：此時t＝0)正常開始走時，那么點P的縱坐標y與時間t的函數關系式為（

）A．y＝sin B．y＝sinC．y＝sin D．y＝sin【答案】C【解析】【分析】根據題意，求得初相，再根據周期，即可判斷選擇.【詳解】由題意可得，初始位置為P0，不妨設初相為，故可得，，則.排除B、D.又函數周期是60(秒)且秒針按順時針旋轉，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－.故滿足題意的函數解析式為：.故選：.歸納總結：【練習3-1】如圖是函數的圖像的一部分，則此函數的解析式為___________．【答案】【解析】【分析】首先由周期求出，再根據函數過點，即可求出，從而求出函數解析式.【詳解】解：由圖可知，所以，解得，再由函數過點，所以，所以，解得，因為，所以，所以.故答案為：【練習3-2】已知函數,的部分圖象如圖所示,則A．3 B． C．1 D．【答案】A【解析】【分析】由可求得，由可求得，再由可求得，從而可得的解析式，進而可求.【詳解】，，代入得，，又，，，，故選A.題型四三角函數的綜合應用【例4-1】已知函數(1)求函數的對稱軸方程；(2)將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若關于x的方程在上恰有一解，求實數m的取值范圍．【答案】（1）對稱軸方程為；（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數f（x）的解析式，再利用正弦函數的對稱性，求得函數f（x）的對稱軸方程．（2）由題意sin（2x﹣）＝在[0，）上恰有一解，再利用正弦函數的單調性，結合函數y＝sin（2x﹣）的圖象，求得實數m的取值范圍．【詳解】（1）∵函數f（x）＝2sinxcosx+2sin（x+）cos（x+）＝sin2x+sin（2x+）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∴令2x+＝kπ+，求得x＝，k∈Z，故函數f（x）的對稱軸方程為x＝，k∈Z．（2）將函數f（x）的圖象向右平移個單位長度，得到函數g（x）＝2sin（2x﹣+）＝2sin（2x﹣）的圖象，若關于x的方程g（x）﹣1＝m在[0，）上恰有一解，即2sin（2x﹣）＝1+m在[0，）上恰有一解，即sin（2x﹣）＝在[0，）上恰有一解．在[0，）上，2x﹣∈[﹣，），函數y＝sin（2x﹣），當2x﹣∈[﹣，]時，單調遞增；當2x﹣∈[，]時，單調遞減，而sin（﹣）＝﹣，sin＝1，sin（）＝，∴﹣≤＜，或＝1，求得﹣﹣1≤m＜-1，或m＝1，即實數m的取值范圍[﹣﹣1，﹣1）∪{1}．【例4-2】建設生態文明，是關系人民福祉，關乎民族未來的長遠大計.某市通宵營業的大型商場，為響應節能減排的號召，在氣溫超過時，才開放中央空調降溫，否則關閉中央空調.如圖是該市夏季一天的氣溫（單位：）隨時間（，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近似的滿足函數關系.（1）求函數的表達式；（2）請根據（1）的結論，判斷該商場的中央空調應在本天內何時開啟？何時關閉？【答案】（1）（2）上午10時開啟，下午18時關閉.【解析】【分析】（1）根據函數圖象可知周期T，進而根據求得的值；結合函數的最大值和最小值，可求得A，代入最低點坐標，即可求得，進而得函數的解析式．（2）根據題意，令，解不等式，結合t的取值范圍即可求得開啟和關閉中央空調時間．【詳解】（1）由圖知，，所以，得.由圖知，，，所以.將點代入函數解析式得，得，即又因為，得.所以.（2）依題意，令，可得，所以解得：，令得，，故中央空調應在上午10時開啟，下午18時關閉.歸納總結：【練習4-1】已知函數，，是方程的兩個不相等的實根，且的最小值為.（1）求函數的解析式；（2）若，的值域是，求m的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的性質，可知函數最小正周期，再根據三角函數的周期性即可求出，進而求出函數的解析式；（2）由題意可知，又的值域是，可知，結合的圖象可知，，由此即可求出結果.【詳解】（1）..因為的最小值為π，所以的最小正周期，解得，所以函數的解析式為.（2）由，可得，因為的值域是，所以，結合的圖象可知，解得，所以m的取值范圍是.【完成課時作業（二十八）】

【課時作業（二十八）】A組礎題鞏固1．將圖象上每一個點的橫坐標變為原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，則的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據三角函數圖象平移規律可得答案.【詳解】將圖象上每一個點的橫坐標變為原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖象，再將圖象向左平移，得到的圖象，故選：A.2．函數的定義域為（

）A． B．，C．， D．，【答案】C【解析】【分析】函數定義域滿足，解得答案.【詳解】要使函數有意義，必須有，即，解得．∴，∴函數的定義域為．故選：C．3．已知函數的圖象向左平移個單位長度后與原圖象重合，則實數的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】A【解析】【分析】由題意說明平移的單位是周期的整數倍，利用正切函數的周期可得．【詳解】由題可知，是該函數的周期的整數倍，即，解得，又，故其最小值為．故選：A．4．函數的部分圖象如圖所示，則的值為（

）A． B．C． D．1【答案】B【解析】【分析】先根據函數的圖象求出函數的解析式，再求得解.【詳解】由圖可得，∴，由圖可得，又，∴，所以，∴.故選：B.5．若要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】利用誘導公式化簡兩個函數的表達式為同名函數，然后利用左加右減的原則確定平移的方向與單位，即可得解．【詳解】因為，故將已知轉化為要得到函數的圖象，又，所以將的圖象向右平移個單位長度即可得到的圖象.故選：D6．已知函數的最小正周期為，且滿足，則要得到函數的圖象，可將函數的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】依題意可得，且是的一條對稱軸，即可求出的值，然后利用誘導公式將的解析式化為與同名同號的三角函數，再根據三角函數圖象的平移規則“左加右減”得到結論.【詳解】解：由已知得，由可知直線是函數的一條對稱軸，∴，又∵，∴，，所以要得到函數的圖象，可將函數的圖象向右平移個單位長度得到，故選：.7．已知函數滿足，將函數圖象向左平移個單位后其圖象關于y軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先根據，求得，再根據，確定函數的解析式，并求得平移后的解析式，最后根據函數的對稱性，確定的最小值.【詳解】因為，所以，即，，又因為，所以當時，，所以，將其圖象向左平移個單位后，所得函數，因為函數的圖象關于y軸對稱，所以，，即，，當時，，所以的最小值為.故選:A.8．【多選題】函數的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．B．若把函數的圖像向左平移個單位，則所得函數是偶函數C．函數的圖像關于直線對稱D．若把函數圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數在上是增函數【答案】AC【解析】【分析】由圖，先求得函數的周期，得到，再代入最高點可得，進而求得，再結合三角函數圖象伸縮平移與函數的性質逐個判斷即可【詳解】對A，由圖，，則，故，所以，又，即，所以，即，因為，故，所以，故A正確；對B，把函數的圖像向左平移個單位可得為奇函數，故B錯誤；對C，當時，為的對稱軸，故C正確；對D，把函數圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，得到，當時，不為的增區間，故D錯誤；故選：AC9．【多選題】已知函數，若，且的最小值為，則下列說法正確的是（

）A．B．函數在上單調遞減C．對，都有D．將函數的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱【答案】AC【解析】【分析】根據三角函數得圖象與性質，結合誘導公式，逐項分析即可.【詳解】由題意得，，故，故A正確，若，且的最小值為，所以,所以，當時，，所以函數在上不單調,故B錯誤，因為，又，故C正確，將函數的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，所以，圖象不關于原點對稱，故D錯誤.故選：AC.10．將函數的圖像向右平移個單位長度后所得圖像的解析式為，則________，再將函數圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后得到的圖像的解析式為__________.【答案】

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【解析】【分析】由三角函數圖象平移變換和周期變換可得.【詳解】將函數的圖像向右平移個單位長度得，由題可得，即；將函數圖像上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后得到的圖像的解析式為.故答案為：，11．用五點法畫出在內的圖象時，應取的五個點為______；【答案】、、、、【解析】【分析】利用正弦函數的五點法作函數的圖象．【詳解】由題意可知，令，則，，列表，描點.x0y020﹣20作圖：由列表可得，應取的五個點為、、、、，故答案為：、、、、．12．某游樂場中半徑為米的摩天輪逆時針（固定從一側觀察）勻速旋轉，每