2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練等比數(shù)列等比數(shù)列的有關(guān)概念等比數(shù)列等比數(shù)列的有關(guān)概念通項(xiàng)公式推廣：an＝amqn－m(m，n∈N*)對任意的正整數(shù)m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，則am·an＝ap·at.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝aeq\o\al(2,p).定義通項(xiàng)公式等比中項(xiàng)前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．等比數(shù)列的性質(zhì)練高考明方向1.(2023·全國乙（理）T8）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.32.(2023·新高考Ⅱ卷T17）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．（1）證明：；（2）求集合中元素個(gè)數(shù)．3.(2023·浙江卷T20）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．（1）若，求；（2）若對于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．4．(2023·全國甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若S2＝4，S4＝6，則S6＝()A．7 B．8C．9 D．105．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．6．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)數(shù)列中，，，若，則 ()A．2 B．3 C．4 D．57．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則 ()A．16 B．8 C．4 D．28、【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5=____________．9．【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.10．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)(12分)等比數(shù)列中，，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，若，求．11．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差不為．若成等比數(shù)列，則前項(xiàng)的和為 ()A． B． C． D．12．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈 ()A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞13．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,其中.(Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,求.14．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2)已知等比數(shù)列滿足，，則() A．21 B．42 C．63 D．8415．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)已知數(shù)列滿足=1，．(Ⅰ)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)證明：16．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則等于 ()A． B．－ C． D．－講典例備高考類型一、等比數(shù)列的判斷與證明基礎(chǔ)知識：1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q.(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.基本題型：1．(多選)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)5＝－16 B．S5＝－63C．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{Sn＋1}是等比數(shù)列2．Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn.(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．3、已知數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，a1＝2，b1＝1，且an＋1＝a1＋2Tn.(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求Sn；(2)若bn＋1＝b1＋2Sn，證明：數(shù)列{an＋bn}和{an－bn}均為等比數(shù)列．基本方法：等比數(shù)列的三種常用判定方法：定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列注：當(dāng)q≠0，q≠1時(shí)，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)k＝eq\f(a1,1－q).類型二、等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用基礎(chǔ)知識：等比數(shù)列的性質(zhì)(1)對任意的正整數(shù)m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，則am·an＝ap·at.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝aeq\o\al(2,p).(2)若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．(3)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(4)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,q＞1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,0＜q＜1，))則等比數(shù)列{an}遞增；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,0＜q＜1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,q＞1，))則等比數(shù)列{an}遞減．基本題型：1．(多選)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若設(shè)其公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，則()A．q＝2 B．a(chǎn)n＝2nC．S10＝2047 D．a(chǎn)n＋an＋1<an＋22．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則（）A．315 B．155 C．120 D．803．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，，則數(shù)列的公比為（）A．3 B． C．2 D．4．設(shè)為正項(xiàng)遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則的值為（）A．63 B．64 C．127 D．1285．(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1>1，a9a10>1，eq\f(a9－1,a10－1)<0，則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1 B．a(chǎn)10a11>1C．Sn的最大值為S10 D．Tn的最大值為T96．已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的最小值為（）．A．10 B．5 C． D．7．已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_____．8．等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)為，已知=，=，則=_____．基本方法：等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．(2)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(3)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．(4)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).類型三、等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合性問題基本題型：1．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（）A． B． C． D．2．等比數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前16項(xiàng)和為（）A．20 B． C． D．3．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，為等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，則的值為（）A． B．4 C．2 D．4．(多選)已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}滿足a3，eq\f(3,2)a4,2a5成等差數(shù)列．其前n項(xiàng)和為Sn，且S5＝31，則()A．a(chǎn)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－5 B．a(chǎn)n＝2n－3C．Sn＝32－eq\f(1,2n－5) D．Sn＝2n－4－165．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且2，，成等差數(shù)列，設(shè)，則取得最小值時(shí)的值為_________．基本方法：在解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題時(shí)，要注意到兩個(gè)數(shù)列之間的相互滲透和相互影響，既要能眼觀全局從整體入手，又要能抽絲剝繭進(jìn)行單獨(dú)分析，并充分根據(jù)具體問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有針對性地進(jìn)行解決．新預(yù)測破高考1．已知等比數(shù)列滿足,,則（）2．已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A．3 B．5 C．-3 D．-53．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5與a9的等差中項(xiàng)為4，則{an}的公比是()A．1 B．2C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)4．在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列為各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則（）A．3 B． C．1 D．6.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a1>1，其前n項(xiàng)積為Tn，且T15＝T8，則Tn取得最大值時(shí)，n的值是()A．10 B．10或11C．11或12 D．12或137．已知是等比數(shù)列，，，則（）A． B． C． D．8．若是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，且，則（）A． B． C．4 D．129．(多選)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的為()A．若a1a2＞0，則a2a3＞0B．若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0C．若a2＞a1＞0，則a1＋a3＞2a2D．若a1a2＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＜010．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(2,3)，等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1＝12，若a9>b9且a10>b10，有以下四個(gè)結(jié)論：①a9a10<0；②a9>a10；③b10>0；④b9>b10.其中正確的為()A．①② B．③④C．①③ D．①④11．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且點(diǎn)在直線上，則（）A． B． C． D．312、在等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則數(shù)列的前11項(xiàng)和等于A．66 B．132 C．66 D．3213．(多選)在公比為q的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，a5＝27a2，則下列說法正確的是()A．q＝3 B．?dāng)?shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列C．S5＝121 D．2lgan＝lgan－2＋lgan＋2(n≥3)14．(多選)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，其前n項(xiàng)和Sn＝pan＋1＋r(n∈N*，p>0)，則()A．?dāng)?shù)列{an}的公比為pB．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列C．r＝－p－1D．當(dāng)p－eq\f(1,4r)取最小值時(shí)，an＝3n－115、設(shè)是等比數(shù)列，且，，則的通項(xiàng)公式為_______．16．是一個(gè)邊長為1的正三角形，是將該正三角形沿三邊中點(diǎn)連線等分成四份后去掉中間一份的正三角形后所形成的圖形，依次類推是對中所含有的所有正三角形都去掉中間一份（如圖），記為的面積，，則________17．設(shè)等比數(shù)列的公比為q.前n項(xiàng)和為.若，，成等差數(shù)列，則q的值為________.18．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于.19．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，．（I）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和．20、已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；(2)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．21．已知數(shù)列中，，，.（1）若，求的值；（2）是否存在，使為等比數(shù)列？若存在，求的前項(xiàng)和；若不存在，請說明理由.2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練等比數(shù)列等比數(shù)列的有關(guān)概念等比數(shù)列等比數(shù)列的有關(guān)概念通項(xiàng)公式推廣：an＝amqn－m(m，n∈N*)對任意的正整數(shù)m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，則am·an＝ap·at.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝aeq\o\al(2,p).定義通項(xiàng)公式等比中項(xiàng)前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．等比數(shù)列的性質(zhì)練高考明方向1.(2023·全國乙（理）T8）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.3答案：D分析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.2.(2023·新高考Ⅱ卷T17）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．（1）證明：；（2）求集合中元素個(gè)數(shù)．答案：（1）證明見解析；（2）．分析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．【小問2詳解】由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．3.(2023·浙江卷T20）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．（1）若，求；（2）若對于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．答案：（1）（2）分析：（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式化簡條件，求出，再求；(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.【小問1詳解】因?yàn)椋裕裕郑裕裕裕拘?詳解】因?yàn)椋傻缺葦?shù)列，所以，，，由已知方程的判別式大于等于0，所以，所以對于任意的恒成立，所以對于任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得當(dāng)時(shí)，，又，所以。4．(2023·全國甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若S2＝4，S4＝6，則S6＝()A．7 B．8C．9 D．10解析：選A設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S2＝\f(a11－q2,1－q)＝4，①,S4＝\f(a11－q4,1－q)＝6.②))②÷①，得1＋q2＝eq\f(3,2)，解得q2＝eq\f(1,2).代入①得eq\f(a1,1－q)＝8.所以S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(a1,1－q)·[1－(q2)3]＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))＝7.5．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．(1)求的公比；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．答案：（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，．6．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)數(shù)列中，，，若，則 ()A．2 B．3 C．4 D．5答案：C解析：在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得．7．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則 ()A．16 B．8 C．4 D．2答案：C【解析】法一：設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，則，解得，，故選C．法二：數(shù)感好的話由，立即會(huì)想到數(shù)列：，檢驗(yàn)是否滿足，可以迅速得出．8、【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若，則S5=____________．答案：【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．9．【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.答案：（I）見解析；（2），.【解析】（1）由題設(shè)得，即．又因?yàn)閍1+b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．由題設(shè)得，即．又因?yàn)閍1–b1=l，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，．所以，．10．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)(12分)等比數(shù)列中，，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，若，求．答案：(1)或；(2)【解析】法一：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得由已知得，解得（舍去），或故或（2）若，則，由，得，此方和沒有正整數(shù)解若，則，由，得，解得綜上，．法二：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，所以所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，由即，即，所以；當(dāng)時(shí)，由即，即，無解綜上可知．11．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差不為．若成等比數(shù)列，則前項(xiàng)的和為 ()A． B． C． D．答案：A【解析】數(shù)列的首項(xiàng)，設(shè)公差為，則由成等比數(shù)列可得，所以，即，整理可得，因?yàn)椋裕裕蔬xA．12．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈 ()A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞答案：B【解析】解法一：一座7層塔共掛了381盞燈，即；相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，即，塔的頂層為；由等比前項(xiàng)和，可知，解得．解法二：邊界效應(yīng)，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，則有，∴，解得，∴．13．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知數(shù)列的前項(xiàng)和,其中.(Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,求.答案：(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)由題意得,故,,.由,得,即.由,得,所以.因此是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得.14．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2)已知等比數(shù)列滿足，，則() A．21 B．42 C．63 D．84答案：B解析：設(shè)等比數(shù)列公比為，則，又因?yàn)椋裕獾茫裕蔬xB．15．(2023高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)已知數(shù)列滿足=1，．(Ⅰ)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)證明：解析：（Ⅰ）由，得，且所以是首相為，公比為的等比數(shù)列。因此，所以的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由（1）知當(dāng)時(shí)，，所以于是所以16．(2023高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則等于 ()A． B．－ C． D．－答案：C解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，即，又，所以．講典例備高考類型一、等比數(shù)列的判斷與證明基礎(chǔ)知識：1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q.(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.基本題型：1．(多選)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)5＝－16 B．S5＝－63C．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{Sn＋1}是等比數(shù)列答案：AC【解析】因?yàn)镾n為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1(n∈N*)，所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故C正確；因此a5＝－1×24＝－16，故A正確；又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B錯(cuò)誤；因?yàn)镾1＋1＝0，所以數(shù)列{Sn＋1}不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．2．Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn.(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．【解析】(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3＝9a1q，,\f(a11－q3,1－q)＝13，,q>0，))解得a1＝1，q＝3，所以an＝3n－1，Sn＝eq\f(1－3n,1－3)＝eq\f(3n－1,2).(2)假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列，因?yàn)镾1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝eq\f(1,2)，此時(shí)Sn＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)×3n，則eq\f(Sn＋1＋\f(1,2),Sn＋\f(1,2))＝3，故存在常數(shù)λ＝eq\f(1,2)，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))是等比數(shù)列．3、已知數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，a1＝2，b1＝1，且an＋1＝a1＋2Tn.(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求Sn；(2)若bn＋1＝b1＋2Sn，證明：數(shù)列{an＋bn}和{an－bn}均為等比數(shù)列．【解析】(1)由an＋1＝a1＋2Tn，得a2＝a1＋2b1，又a1＝2，b1＝1，所以a2＝4.因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以該數(shù)列的公差為a2－a1＝2，所以Sn＝2n＋eq\f(nn－1,2)·2＝n2＋n.(2)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋2Tn－1，因?yàn)門n－Tn－1＝bn，所以an＋1－an＝2bn，即an＋1＝an＋2bn，同理可得bn＋1＝bn＋2an.則an＋1＋bn＋1＝3(an＋bn)，所以eq\f(an＋1＋bn＋1,an＋bn)＝3(n≥2)，又a2＝a1＋2b1＝4，b2＝b1＋2a1＝5，所以eq\f(a2＋b2,a1＋b1)＝eq\f(4＋5,2＋1)＝3，所以eq\f(an＋1＋bn＋1,an＋bn)＝3(n∈N*)，所以數(shù)列{an＋bn}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．因?yàn)閍n＋1－bn＋1＝－(an－bn)，所以eq\f(an＋1－bn＋1,an－bn)＝－1(n≥2)，又eq\f(a2－b2,a1－b1)＝eq\f(4－5,2－1)＝－1，所以eq\f(an＋1－bn＋1,an－bn)＝－1(n∈N*)，所以數(shù)列{an－bn}是以－1為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列．基本方法：等比數(shù)列的三種常用判定方法：定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列注：當(dāng)q≠0，q≠1時(shí)，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)k＝eq\f(a1,1－q).類型二、等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用基礎(chǔ)知識：等比數(shù)列的性質(zhì)(1)對任意的正整數(shù)m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，則am·an＝ap·at.特別地，若m＋n＝2p，則am·an＝aeq\o\al(2,p).(2)若等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．(3)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(4)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,q＞1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,0＜q＜1，))則等比數(shù)列{an}遞增；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＞0，,0＜q＜1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＜0，,q＞1，))則等比數(shù)列{an}遞減．基本題型：1．(多選)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若設(shè)其公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，則()A．q＝2 B．a(chǎn)n＝2nC．S10＝2047 D．a(chǎn)n＋an＋1<an＋2答案：ABD【解析】由題意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(負(fù)值舍去)，選項(xiàng)A正確；an＝2×2n－1＝2n，選項(xiàng)B正確；Sn＝eq\f(2×2n－1,2－1)＝2n＋1－2，所以S10＝2046，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an>3an，選項(xiàng)D正確．2．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則（）A．315 B．155 C．120 D．80答案：B【解析】由題知：，又因?yàn)椋?因?yàn)椋?.故選：B3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，，則數(shù)列的公比為（）A．3 B． C．2 D．答案：A【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，可得，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕矗獾没颍钟桑傻茫?故選：A.4．設(shè)為正項(xiàng)遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則的值為（）A．63 B．64 C．127 D．128答案：A【解析】因?yàn)椋裕郑裕矗獾没颍ㄉ崛ィ裕?故選：A5．(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件a1>1，a9a10>1，eq\f(a9－1,a10－1)<0，則下列結(jié)論正確的是()A．0<q<1 B．a(chǎn)10a11>1C．Sn的最大值為S10 D．Tn的最大值為T9答案：AD【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為q，由a9a10>1得q>0，所以數(shù)列{lgan}為等差數(shù)列，公差為d＝lgq，由于a1>1，a9a10>1，則lga1>0，lga9＋lga10>0.若a10>a9，則q>1，而a1>1，則an＝a1qn－1>1，則a9>1，a10>1，此時(shí)eq\f(a9－1,a10－1)<0不成立，所以q<1，所以0<q<1，所以A正確；由a9>1，a10<1，得lga9>0，lga10<0，又因?yàn)閘ga1>0，所以數(shù)列{lgan}為遞減數(shù)列，從第10項(xiàng)開始小于零，故前9項(xiàng)和lgTn最大，即Tn的最大值為T9，所以D正確；因?yàn)閘ga10＋lga11<0，所以a10a11<1，所以B不正確；因?yàn)?<q<1，a1>1，所以數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以Sn沒有最大值，所以C不正確，故選A、D.6．已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的最小值為（）．A．10 B．5 C． D．答案：C【解析】是正項(xiàng)等比數(shù)列，仍然成等比數(shù)列，設(shè)公比為，，，當(dāng)時(shí)，原式。7．已知一個(gè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_____．答案：【解析】設(shè)這個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，公比為，則奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，，等比數(shù)列的所有項(xiàng)之和為，則，解得，因此，這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為.8．等比數(shù)列{}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)為，已知=，=，則=_____．答案：32【解析】由題意可得，所以兩式相除得代入得．基本方法：等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解．(2)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．(3)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用．(4)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).類型三、等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合性問題基本題型：1．已知數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.若的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（）A． B． C． D．答案：D【解析】根據(jù)題意，可知為等差數(shù)列，公差，由成等比數(shù)列，可得，∴，解得.∴.根據(jù)單調(diào)性，可知當(dāng)或時(shí)，取到最小值，最小值為.故選：D.2．等比數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前16項(xiàng)和為（）A．20 B． C． D．答案：B【解析】由題意得，則，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知構(gòu)成公比為等比數(shù)列，，且．3．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，為等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，則的值為（）A． B．4 C．2 D．答案：A【解析】數(shù)列{an}是公差d不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，∴=a1?a7，可得=a1（a1+6d），化為：a1=2d≠0．∴公比q====2．則==．4．(多選)已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}滿足a3，eq\f(3,2)a4,2a5成等差數(shù)列．其前n項(xiàng)和為Sn，且S5＝31，則()A．a(chǎn)n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－5 B．a(chǎn)n＝2n－3C．Sn＝32－eq\f(1,2n－5) D．Sn＝2n－4－16答案：AC【解析】由a3，eq\f(3,2)a4,2a5成等差數(shù)列，得3a4＝a3＋2a5，設(shè){an}的公比為q，則2q2－3q＋1＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝1，又∵{an}單調(diào)遞減，∴q＝eq\f(1,2)，∴S5＝eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝31，解得a1＝16，∴an＝16·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－5，∴Sn＝eq\f(16\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝32－eq\f(1,2n－5).5．正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且2，，成等差數(shù)列，設(shè)，則取得最小值時(shí)的值為_________．答案：【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，，成等差數(shù)列可得，則，所以，解得(舍去)或.因?yàn)椋?所以.所以.所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，取得最小值.故答案為：.基本方法：在解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題時(shí)，要注意到兩個(gè)數(shù)列之間的相互滲透和相互影響，既要能眼觀全局從整體入手，又要能抽絲剝繭進(jìn)行單獨(dú)分析，并充分根據(jù)具體問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有針對性地進(jìn)行解決．新預(yù)測破高考1．已知等比數(shù)列滿足,,則（）答案：C【解析】由題意可得,所以,故,選C.2．已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A．3 B．5 C．-3 D．-5答案：A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋矗獾茫钟傻缺葦?shù)列求和公式得，解得.3．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5與a9的等差中項(xiàng)為4，則{an}的公比是()A．1 B．2C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)答案：D【解析】設(shè)公比為q，由正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，可得aeq\o\al(2,3)＋2a3a7＋aeq\o\al(2,7)＝(a3＋a7)2＝16，即a3＋a7＝4，由a5與a9的等差中項(xiàng)為4，得a5＋a9＝8，則q2(a3＋a7)＝4q2＝8，解得q＝eq\r(2)(舍負(fù))，故選D.4．在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于（）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)閿?shù)列也是等比數(shù)列，所以，解得，所以.選A.5．已知數(shù)列為各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則（）A．3 B． C．1 D．答案：D【解析】設(shè)數(shù)列公比為，則，∵，，成等差數(shù)列，∴，即，解得，．故選：D.6.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a1>1，其前n項(xiàng)積為Tn，且T15＝T8，則Tn取得最大值時(shí)，n的值是()A．10 B．10或11C．11或12 D．12或13答案：C【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)積為Tn，且T15＝T8，所以a9·a10·a11·a12·a13·a14·a15＝1，所以aeq\o\al(7,12)＝1，所以a12＝1，又a1>1，所以當(dāng)n≤11時(shí)，an>1，當(dāng)n≥13時(shí)，0<an<1，所以T11，T12為前n項(xiàng)積的最大值．7．已知是等比數(shù)列，，，則（）A． B． C． D．答案：D【解析】由題得.所以，所以.所以，所以數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列.所以=.故選：D。8．若是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，且，則（）A． B． C．4 D．12答案：C【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)不成等差數(shù)列，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，∵成等差數(shù)列，∴，即，即，解得或（舍去）或（舍去），∴，，∴，故選C.9．(多選)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的為()A．若a1a2＞0，則a2a3＞0B．若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0C．若a2＞a1＞0，則a1＋a3＞2a2D．若a1a2＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＜0答案：AC【解析】易知A正確；對于B，取a1＝－1，q＝－2，則a1＋a3＜0，a1＋a2＞0，即B錯(cuò)誤；對于C，由a2＞a1＞0，得q＞1，則1＋q2＞2q，即a1＋a3＞2a2，即C正確；對于D，若a1a2＜0，則q＜0，所以(q－1)·(q－q2)＞0，所以(a2－a1)(a2－a3)＞0，即D錯(cuò)誤．故選A、C.10．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(2,3)，等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1＝12，若a9>b9且a10>b10，有以下四個(gè)結(jié)論：①a9a10<0；②a9>a10；③b10>0；④b9>b10.其中正確的為()A．①② B．③④C．①③ D．①④答案：D【解析】∵等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(2,3)，∴a9和a10異號，∴a9a10<0，故①正確；但不能確定a9和a10的大小關(guān)系，故②不正確；∵a9和a10異號，a9>b9且a10>b10，∴b9和b10中至少有一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，又∵b1＝12>0，∴d<0，∴b9>b10，故④正確；∴b10一定是負(fù)數(shù)，即b10<0，故③不正確．故選D.11．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且點(diǎn)在直線上，則（）A． B． C． D．3答案：B【解析】點(diǎn)在直線上，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得：且，又當(dāng)時(shí)，，則，是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，，.故選：B.12、在等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則數(shù)列的前11項(xiàng)和等于A．66 B．132 C．66 D．32答案：D【解析】因?yàn)椋欠匠痰膬筛裕郑裕蔬xD.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項(xiàng)，數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.13．(多選)在公比為q的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，a5＝27a2，則下列說法正確的是()A．q＝3 B．?dāng)?shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列C．S5＝121 D．2lgan＝lgan－2＋lgan＋2(n≥3)答案：ACD【解析】因?yàn)閍1＝1，a5＝27a2，所以有a1·q4＝27a1·q?q3＝27?q＝3，因此選項(xiàng)A正確；因?yàn)镾n＝eq\f(1－3n,1－3)＝eq\f(1,2)(3n－1)，所以Sn＋2＝eq\f(1,2)(3n＋3)，因?yàn)閑q\f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq\f(\f(1,2)3n＋1＋3,\f(1,2)3n＋3)＝1＋eq\f(2,1＋31－n)≠常數(shù)，所以數(shù)列{Sn＋2}不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B不正確；因?yàn)镾5＝eq\f(1,2)(35－1)＝121，所以選項(xiàng)C正確；an＝a1·qn－1＝3n－1>0，因?yàn)楫?dāng)n≥3時(shí)，lgan－2＋lgan＋2＝lg(an－2·an＋2)＝lgaeq\o\al(2,n)＝2lgan，所以選項(xiàng)D正確．14．(多選)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，其前n項(xiàng)和Sn＝pan＋1＋r(n∈N*，p>0)，則()A．?dāng)?shù)列{an}的公比為pB．?dāng)?shù)列{an}為遞增數(shù)列C．r＝－p－1D．當(dāng)p－eq\f(1,4r)取最小值時(shí)，an＝3n－1答案：BD【解析】設(shè)公比是q，n≥2時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝pan＋1＋r，,Sn－1＝pan＋r，))作差得，an＝pan＋1－pan，即(1＋p)an＝pan＋1，故eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1＋p,p)，即eq\f(1