第二十二章二次函數

22.1二次函數的圖象和性質

22.二次函數

卜學'習?標〉

結合具體情境體會二次函數的意義，理解二次函數的有關概念；能夠表示簡單變量之間

的二次函數關系.

重點：能夠表示簡單變量之間的二次函數關系.

難點：理解二次函數的有關概念.

k預'習■&?當:

一、自學指導.(io分鐘)

自學：自學課本728?29,自學“思考”，理解二次函數的概念及意義，完成填空.

總結歸納：一般地，形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常數，且a#0)的函數叫做二次函

數，其中二次項系數、一次項系數和常數項分別為a,b,c.現在我們已學過的函數有一次

函數、二次函數,其表達式分別是y=ax+b(a,b為常數，且aWO)、y=ax?+bx+c(a,b,

c為常數，且aWO).

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(5分鐘)

1.下列函數中，是二次函數的有A,B,C.

A.y—(x—3)2—1

B.y=l一業2

C.y=J(x+2)(x—2)

D.y—(x—I)2—x2

2.二次函數y=-x'+2x中，二次項系數是一1,一次項系數是2,常數項是

3.半徑為R的圓，半徑增加x,圓的面積增加y,則v與x之間的函數關系式為y="

x2+2"Rx(x20).

點撥精講：判斷二次函數關系要緊扣定義.

7合，作賽先,

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(10分

鐘)

探究1若y=(b-2)x2+4是二次函數，則bW2.

探究2某超市購進一種單價為40元的籃球，如果以單價50元出售，那么每月可售出

500個，根據銷售經驗，售價每提高1元，銷售量相應減少10個，如果超市將籃球售價定

為x元(x>50),每月銷售這種籃球獲利y元.

(1)求y與x之間的函數關系式；

(2)超市計劃下月銷售這種籃球獲利8000元，又要吸引更多的顧客，那么這種籃球的售

價為多少元？

解：(1)y=-10x2+1400x-40000(50<x<100).

(2)由題意得：一lOx?+H00X-40000=8000,

化簡得x?—140x+4800=0,Xi=60,x2=80.

???要吸引更多的顧客，，售價應定為60元.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(8分鐘)

1.如果函數y=(k+l)xl?+l是y關于X的二次函數，則k的值為多少？

2.設y=yi-y2,若1與x?成正比例，y?與:成反比例，則y與x的函數關系是(A)

A.二次函數B.一次函數

C.正比例函數D.反比例函數

3.已知，函數y=(m—4)xm2—m+2x2—3x—1是關于x的函數.

(Dm為何值時，它是y關于x的一次函數？

(2)m為何值時，它是y關于x的二次函數？

點撥精講：第3題的第(2)問，要分情況討論.

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=2cm,BC=4cm,P是BC上的一動點，動點Q僅在PC

或其延長線上，且BP=PQ,以PQ為一邊作正方形PQRS,點P從B點開始沿射線BC方向運

動，設BP=xc〃，正方形PQRS與矩形ABCD重疊部分面積為y試分別寫出0〈xW2和

2WxW4時，y與x之間的函數關系式.

W0.

2.有時候要根據自變量的取值范圍寫函數關系式.

遮里小韁一學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

上當-堂科薛＞學習至此,請使用本課時的對應訓練部分.(10分鐘)

22.二次函數丫=2*2的圖象和性質

k學'習閏彝,

1.能夠用描點法作出函數的圖象，并能根據圖象認識和理解其性質.

2.初步建立二次函數表達式與圖象之間的聯系，體會數形的結合與轉化，體會數學內

在的美感.

卜重，點犀焉＞

重點：描點法作出函數的圖象.

難點：根據圖象認識和理解其性質.

k預'習導。,

一、自學指導.(7分鐘)

自學：自學課本用0?31“例1”“思考”“探究”，掌握用描點法作出函數的圖象，

理解其性質，完成填空.

(1)畫函數圖象的一般步驟：取值一描點一連線;

⑵在同一坐標系中畫出函數y=x°,y=*和y=2x?的圖象；

點撥精講：根據y'O,可得出y有最小值，此時x=0,所以以(0,0)為對稱點，對稱

取點.

(3)觀察上述圖象的特征：形狀是拋物線,開口向上，圖象關于y軸對稱,其頂點坐標

是(0,0),其頂點是最低點(最高點或最低點)；

(4)找出上述三條拋物線的異同：.

(5)在同一坐標系中畫出函數y=-X，y=—/x?和y=—2x''的圖象，找出圖象的異同.

點撥精講：可從頂點、對稱軸、開口方向、開口大小去比較尋找規律.

總結歸納：一般地，拋物線的對稱軸是y軸，頂點是(0,0),當a>0時，拋物線的開口

向上，頂點是拋物線的最低點.a越大，拋物線的開口越小；當a<0時，拋物線的開口向下,

頂點是拋物線的最高點，a越大，拋物線的開口越大.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(5分鐘)

1.教材網1,4題.

I合，作法先:

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(13分

鐘)

探究1填空：(1)函數y=(-/x)2的圖象形狀是，頂點坐標是，對稱

軸是,開口方向是.

(2)函數y=d,y=5x2和y=-2x2的圖象如圖所示，請指出三條拋物線的解析式.

解：(1)拋物線，(0,0),y軸，向上；

(2)根據拋物線y=ax2中，a的值來判斷，在x軸上方開口小的拋物線為y=x?,開口大

的為y=Bx)在x軸下方的為y=-2x：

點撥精講：解析式需化為一般式，再根據圖象特征解答，避免發生錯誤.拋物線y=ax?

中，a>0時，開口向上；a<0時，開口向下；|a|越大，開口越小.

探究2已知函數y=(m+2)xn?+m-4是關于x的二次函數.

(1)求滿足條件的m的值；

(2)m為何值時，拋物線有最低點？求這個最低點；當x為何值時,y隨x的增大而增大？

(3)m為何值時，函數有最大值？最大值為多少？當x為何值時，y隨x的增大而減小？

[nf+m—4=2,

解：(1)由題意得，一

[m+2W0.

|m=2或m=—3,

解得c.?.當m=2或01=-3時，原函數為二次函數.

[mr—2.

(2)若拋物線有最低點，則拋物線開口向上，，m+2>0,即m>-2,...只能取m=2.

?.?這個最低點為拋物線的頂點，其坐標為(0,0),...當x>0時，y隨x的增大而增大.

(3)若函數有最大值，則拋物線開口向下，...m+ZVO,即水一2,

只能取m=-3.

???函數的最大值為拋物線頂點的縱坐標，其頂點坐標為(0,0),

3時，函數有最大值為0.

，x>0時，y隨x的增大而減小.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.（5分鐘）

1.二次函數丫=@*'與y=—ax'的圖象之間有何關系？

2.已知函數y=ax?經過點（一1,3）.

（1）求a的值；

（2）當x<0時，y的值隨x值的增大而變化的情況.

3.二次函數y=~當xi>X2>0,則yi與y?的關系是yiVy?.

4.二次函數y=ax?與一次函數y=—ax（aWO）在同一坐標系中的圖象大致是（B）

點撥精講：1.二次函數y=ax2的圖象的畫法是列表、描點、連線，列表時一般取5?7

個點，描點時可描出一側的幾個點，再根據對稱性找出另一側的幾個點，連線將幾個點用平

滑的曲線順次連接起來，拋物線的兩端要無限延伸，要“出頭”；

2.拋物線y=ax，的開口大小與|a|有關，|a|越大，開口越小，1a|相等，則其形狀相

同.

課堂4渣—學生總結本堂課的收獲與困惑.（2分鐘）

?當'堂叫薛>學習至此,請使用本課時對應訓練部分.（10分鐘）

22.二次函數y=a（x—h）2+k的圖象和性質（1）

?學'習日彝>

1.會作函數y=ax2和y=ax2+k的圖象，能比較它們的異同；理解a,k對二次函數圖

象的影響，能正確說出兩函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

2.了解拋物線y=ax?上下平移規律.

hr點碓叔:

重點：會作函數的圖象.

難點：能正確說出兩函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

?預'習尋生,

一、自學指導.（10分鐘）

自學：自學課本02?33“例2”及兩個思考，理解y=ax?+k中a,k對二次函數圖象

的影響，完成填空.

總結歸納：二次函數y=ax?的圖象是一條拋物線,其對稱軸是y軸,頂點是（0,0）,

開口方向由a的符號決定：當a〉0時，開口向上；當a〈0時，開口向下..當a>0時，在

對稱軸的左側，y隨x的增大而減小;在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大.拋物線有最

低點,函數丫有最小值.當a〈0時，在對稱軸的左側，v隨x的增大而增大;在對

稱軸的右側，y隨x的增大而減小.拋物線有最高點,函數y有最大值.

拋物線y=ax2+k可由拋物線v=ax?沿丫軸方向平移J物單位得到,當k>0時，

向上平移;當k<0時，向下平移.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.（7分鐘）

1.在拋物線y=x2—2上的一個點是（C）

A.(4,4)B.(1,-4)

C.(2,2)D.(0,4)

2.拋物線y=x?-16與x軸交于B,C兩點，頂點為A,則4ABC的面積為64.

點撥精講：與x軸的交點的橫坐標即當y等于0時x的值，即可求出兩個交點的坐標.

3.畫出二次函數y=x?-1,y=x\y=x'+l的圖象，觀察圖象有哪些異同？

點撥精講：可從開口方向、對稱軸、形狀大小、頂點、位置去找.

k合，作繇先，

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(5分

鐘)

探究1拋物線丫=2/與丫=a/土C有什么關系？

解：(1)拋物線y=ax?±c的形狀Vy=ax2的形狀完全相同，只是位置不同；

⑵拋物線y=ax?向上平移c個單位得到拋物線y-ax2+c；

拋物線y=ax。向下平移c個單位得到拋物線y=ax2-c.

探究2已知拋物線y=ax2+c向下平移2個單位后，所得拋物線為y=-2x?+4,試求

a,c的值.

Ja=-2,a=—2,

解：根據題意，得■]解得

[c—2=4,c=6.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(13分鐘)

1.函數y=ax2—a與y=ax—a(aWO)在同一坐標系中的圖象可能是(D)

2.二次函數的圖象如圖所示，則它的解析式為(B)

A.y=x2—4

B.y=—1X2+3

C.y=2(2—x)?

3

D.y=^(x2—2)

3.二次函數y=—x?+4圖象的對稱軸是退t，頂點坐標是(0,4),當x包，y隨x的

增大而增大.

4.拋物線y=ax?+c與y=-3x?的形狀大小，開口方向都相同，且其頂點坐標是(0,

5),則其表達式為y=-3/+5,它是由拋物線y=-3/向上平移5個單位得到的.

5.將拋物線y=-3x'+4繞頂點旋轉180。，所得拋物線的解析式為y=3x?+4.

6.已知函數丫=@*2+。的圖象與函數y=5x?+l的圖象關于x軸對稱，則2=—5,

c=—1.

點撥精講：1.函數的圖象與性質以及拋物線上下平移規律.(可結合圖象理解)

2.拋物線平移多少個單位，主要看兩頂點坐標，確定兩頂點相隔的距離，從而確定平

移的方向與單位長，有時也可以比較兩拋物線上橫坐標相同的兩點相隔的距離，從而確定平

移的方向與單位長.

,遇堂4渣f學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

?當'堂訓麻》學習至此,請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

22.二次函數y=a(x—h)?+k的圖象和性質(2)

?學'習日旗,

1.進一步熟悉作函數圖象的主要步驟，會作函數y=a(x—h)'的圖象.

2.能正確說出y=a(x—h)2的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

3.掌握拋物線y=a(x—h)?的平移規律.

卜重，點舉點、,

重點：熟悉作函數圖象的主要步驟，會作函數y=a(x-h)2的圖象.

難點：能正確說出圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標，掌握拋物線y=a(x—h)。的平

移規律.

k預'習導學,

一、自學指導.(10分鐘)

自學：自學課本用3?34“探究”與“思考”，掌握丫=a&-11)2與丫=2/之間的關系，

理解并掌握y=a(x—h)2的相關性質，完成填空.

畫函數y=—y=-*+1)2和y=-g(x—1尸的圖象，觀察后兩個函數圖象與拋

物線丫=一/2有何關系？它們的對稱軸、頂點坐標分別是什么？

點撥精講：觀察圖象移動過程，要特別注意特殊點(如頂點)的移動情況.

總結歸納：二次函數v=a(x-h)2的頂點坐標為(h,0),對稱軸為直線x=h.當a>0時，

在對稱軸的左側y隨x的增大而減小,在對稱軸的右側y隨x的增大而增大,拋物線有最低

點，函數y有最小值；當a<0時，在對稱軸的左側y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側y

隨x的增大而減小,拋物線有最直點，函數y有最大值.拋物線y=ax?向左平移k個單位，

即為拋物線y=a(x+h)“h>0)；拋物線y=ax?向右平移七個單位，即為拋物線y=a(x-

h)2(h>0).

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(7分鐘)

1.教材用5練習題；

2.拋物線y=—((X—的開口向工，頂點坐標是(1,0),對稱軸是x=l,通過向左

平移L個單位后，得到拋物線y=-1x2.

7合，作賽先、

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(8分

鐘)

探究1在直角坐標系中畫出函數y=T(x+3)2的圖象.

(1)指出函數圖象的對稱軸和頂點坐標；

(2)根據圖象回答，當x取何值時，y隨x的增大而減小？當x取何值時，y隨x的增大

而增大？當x取何值時，y取最大值或最小值？

(3)怎樣平移函數y=5z的圖象得到函數y=；(x+3T的圖象？

解：(1)對稱軸是直線x=-3,頂點坐標(一3,0)；(2)當x〈一3時，y隨x的增大而減

小；當x>一3時，y隨x的的增大而增大；當x=-3時，y有最小值；(3)將函數y=%?的

圖象沿x軸向左平移3個單位得到函數y=/(x+3)2的圖象.

點撥精講：二次函數的增減性以對稱軸為分界，畫圖象取點時以頂點為分界對稱取點.

探究2已知直線y=x+l與x軸交于點A,拋物線y=-2x，平移后的頂點與點A重合.(1)

求平移后的拋物線1的解析式；(2)若點B(x“y,),Ca,yj在拋物線1上，且一;<x《X2,

試比較y”y2的大小.

解：(l)Yy=x+l,.?.令y=0,則X=-1,-0),即拋物線1的頂點坐標為(一

1,0),又拋物線1是由拋物線y=-2x2平移得到的，二拋物線］的解析式為y=-2(x+l)2.

(2)由(1)可知，拋物線1的對稱軸為x=-l,?.”=一2〈0,...當x>-l時，y隨x的增

大而減小，又一g〈xi<X2,...yDyz.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(10分鐘)

1.不畫圖象，回答下列問題：

(1)函數y=3(x—l)z的圖象可以看成是由函數y=3x?的圖象作怎樣的平移得到的？

(2)說出函數y=3(x—1尸的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

(3)函數有哪些性質？

(4)若將函數y=3(x—l)2的圖象向左平移3個單位得到哪個函數圖象？

點撥精講：性質從增減性、最值來說.

2.與拋物線y=-2(x+5)z頂點相同，形狀也相同，而開口方向相反的拋物線所對應

的函數關系式是y=2(x+5)z.

3.對于函數y=-3(x+l))當x>—1時,函數y隨x的增大而減小，當x=-1時,

函數取得最大值，最大值y=3

4.二次函數y=ax'+bx+c的圖象向左平移2個單位長度得到y=x‘一2x+l的圖象，

則b——6,c=g.

點撥精講：比較函數值的大小，往往可根據函數的性質，結合函數圖象，能使解題過程

簡潔明了.

遮里4選r學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

卜當'堂叫好>學習至此,請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

22.二次函數y=a(x—h)?+k的圖象和性質(3)

k學'習?":

1.進一步熟悉作函數圖象的主要步驟，會作函數y=a(x-h)2+k的圖象.

2.能正確說出y=a(x—h)'+k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

3.掌握拋物線y=a(x—h)?+k的平移規律.

k―，點舉點、:

重點：熟悉作函數圖象的主要步驟，會作函數y=a(x—h￥+k的圖象.

難點：能正確說出y=a(x-h)2+k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標，掌握拋物

線y=a(x—h￥+k的平移規律.

k預'習■&r

一、自學指導.(io分鐘)

自學：自學課本⑶5?36“例3、例4"，掌握y=a(x-h”+kVy=ax2之間的關系，

理解并掌握y=a(x—h￥+k的相關性質，完成填空.

總結歸納：一般地，拋物線y=a(x—h/+k與y=ax?的還相同，位置不同,把拋物

線y=ax?向上(下)向左(右)平移，可以得到拋物線y=a(x—h)2+k,平移的方向、距離要

根據h,k的值來決定：當h〉0時，表明將拋物線向直平移h個單位；當k<0時，表明將拋

物線向至平移|k|個單位.

拋物線y=a(x-h)2+k的特點是：當a>0時,開口向上；當a〈0時,開口向下；對稱

軸是直線正如頂點坐標是(h,k).

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(7分鐘

1.教材用7練習題

2.函數y=2(x+3)2—5的圖象是由函數y=2x"的圖象先向左平移之個單位，再向工平

移殳個單位得到的；

3.拋物線V=-2(X-3)2—1的開口方向是向下,其頂點坐標是(3,—1),對稱軸是直

線x=3,當x>3時，函數值y隨自變量x的值的增大而減小.

k合'作繇先:

一、小組討論：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(13分

探究1填寫下表:

解析式開口方向對稱軸頂點坐標

y=-2x2向下y軸(0,0)

12.

丫=產+1向上y軸(0,1)

y=-5(x+2)2向下x=-2(—2,0)

y=3(x+l)2—4向上x=-1(-1,-4)

點撥精講：解這類型題要將不同形式的解析式統一為y=a(x-h)2+k的形式，便于解

探究2已知y=a(x—h￥+k是由拋物線y=一向上平移2個單位長度，再向右平

移1個單位長度得到的拋物線.(1)求出a,h,k的值；(2)在同一坐標系中，畫出y=a(x

—h)?+k與y=—的圖象；(3)觀察y=a(x-h)z+k的圖象，當x取何值時，y隨x的增

大而增大；當x取何值時，y隨x的增大而減小，并求出函數的最值；(4)觀察y=a(x—h)?

+k的圖象，你能說出對于一切X的值，函數y的取值范圍嗎？

解：(1)；拋物線y=-3/向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到的拋

物線是y=一4(x—l)2+2,Aa=—h=l,k=2；

⑵函數y=-1(x-l)2+2與y=-#的圖象如圖；

(3)觀察y=-g(x-l)2+2的圖象可知，當x〈l時，y隨x的增大而增大；x＞l時，y

隨x的增大而減小；

(4)由y=—3x—1y+2的圖象可知，對于一切x的值，yW2.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(5分鐘)

1.將拋物線y=-2/向右平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線解析式

是y=-2(x—3)?+2.

點撥精講：拋物線的移動，主要看頂點位置的移動.

2.若直線y=2x+m經過第一、三、四象限，則拋物線y=(x-m^+l的頂點必在第二

象限.

點撥精講：此題為二次函數簡單的綜合題，要注意它們的圖象與性質的區別.

3.把y=2x?—1的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的新拋物線的

解析式是y=2式-1)一.

4.已知A(l,yi),B(—小,y2),C(—2,y3)在函數y=a(x+l)2+k(a〉0)的圖象上，

則y】，y2,y3的大小關系是匕＜為＜2.

點撥精講：本節所學的知識是：二次函數y=a(x—hl+k的圖象畫法及其性質的總結；

平移的規律.所用的思想方法：從特殊到一般.

上課'堂仲、第一學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

上當'堂訓.》學習至此,請使用本課時對應訓練部分.(io分鐘)

22.二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質⑴

7學'習3標

1.會畫二次函數y=ax?+bx+c的圖象，能將一般式化為頂點式，掌握頂點坐標公式，

對稱軸的求法.

2.能將一般式化為交點式，掌握拋物線與坐標軸交點坐標的求法.

3.會求二次函數的最值，并能利用它解決簡單的實際問題.

?重'點舉焉,

重點：會畫二次函數y=ax2+bx+c的圖象，能將一般式化為頂點式，掌握頂點坐標公

式，對稱軸的求法.

難點：能將一般式化為交點式，掌握拋物線與坐標軸交點坐標的求法.

?預'習導。,

一、自學指導.(10分鐘)

自學：自學課本⑶7?39“思考、探究”，掌握將一般式化成頂點式的方法，完成填空.

總結歸納：二次函數y=a(x—h),+k的頂點坐標是(h,k),對稱軸是x=h,當a>0時,

開口向上，此時二次函數有最小值,當x>h時,y隨x的增大而增大，當x〈h時,y隨x的

增大而減小；當a辿時，開口向下，此時二次函數有最大值，當xQ_時，y隨x的增大而增

大，當x也時，y隨x的增大而減小；

b4ac—b

用配方法將y=axL，+bx+c化成y=a(x—h)2+k的形式，則h=一釬，k=\方則

-za4a

h4ac—h"hh

二次函數的圖象的頂點坐標是(一十，對稱軸是*=一十；當x=一十時，二次函

-2a4a--------2a-2a

數丫=@/+6*+。有最大(最小)值，當a絲時，函數y有最大值，當a也時，函數y有最小

值.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(5分鐘)

1.求二次函數y=x'+2x-l頂點的坐標、對稱軸、最值，畫出其函數圖象.

點撥精講：先將此函數解析式化成頂點式，再解其他問題，在畫函數圖象時，要在頂點

的兩邊對稱取點，畫出的拋物線才能準確反映這個拋物線的特征.

k合'作繇帝:

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(13分

鐘)

探究1將下列二次函數寫成頂點式y=a(x-h￥+k的形式，并寫出其開口方向、頂點

坐標、對稱軸.

(l)y=|x2-3x+21；(2)y=-3x2-18x-22.

解：(l)y=1x2-3x+21

=1(X2-12X)+21

=1(X2-12X+36-36)+21

=[(x-6”+12

...此拋物線的開口向上，頂點坐標為(6,12),對稱軸是x=6.

(2)y=-3x2—18x—22

=-3(X2+6X)-22

=—3(X2+6X+9—9)—22

=-3(X+3)2+5

...此拋物線的開口向下，頂點坐標為(-3,5),對稱軸是x=-3.

點撥精講：第(2)小題注意h值的符號，配方法是數學的一個重要方法，需多加練習，

熟練掌握；拋物線的頂點坐標也可以根據公式直接求解.

探究2用總長為60m的籬笆圍成的矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長1的變化而

變化，1是多少時，場地的面積S最大？

(DS與1有何函數關系？

(2)舉一例說明S隨1的變化而變化？

(3)怎樣求S的最大值呢？

解：S-K30-1)

=-12+301(0<1<30)

=-(12-301)(1-15)2+225

畫出此函數的圖象，如圖.

.?.1=15時，場地的面積S最大(S的最大值為225).

點撥精講：二次函數在幾何方面的應用特別廣泛，要注意自變量的取值范圍的確定，同

時所畫的函數圖象只能是拋物線的一部分.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(5分鐘)

1.y=-2x?+8x—7的開口方向是恒LE，對稱軸是x=2,頂點坐標是(2,1)；當x=2

時，函數y有最大值，其值為y=l.

2.已知二次函數y=a/+2x+c(a#0)有最大值，且ac=4,則二次函數的頂點在第四

象限.

3.拋物線y=ax?+bx+c,與y軸交點的坐標是(。，g),當一一4ac=0時,拋物線與x

軸只有一個交點(即拋物線的頂點)，交點坐標是(二芭_且)；當b?-4ac>0時，拋物線與x

軸有兩個交點，交點坐標是(二0士乂二二4一,0當b2—4ac〈0時，拋物線與x軸沒有交點，

若拋物線與x軸的兩個交點坐標為(xi,0),(X2,0),則y=ax'+bx+c=a(x—xi)(x-xz).

點撥精講：與y軸的交點坐標即當x=0時求y的值；與x軸交點即當y=0時得到一個

一元二次方程，而此一元二次方程有無解，兩個相等的解和兩個不相等的解三種情況，所以

二次函數與x軸的交點情況也分三種.

注意利用拋物線的對稱性，已知拋物線與x軸的兩個交點坐標時，可先用交點式：y=

a(x—Xi)(x—x2),xi,X2為兩交點的橫坐標.

t典堂4遞一學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

?當'堂洌麻>學習至此,請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

22.二次函數y=ax?+bx+c的圖象和性質⑵

k學'習?標:

能熟練根據已知點坐標的情況，用適當的方法求二次函數的解析式.

卜重，點舉點、,

重難點：能熟練根據己知點坐標的情況，用適當的方法求二次函數的解析式.

k預'習導苦>

一、自學指導.(10分鐘)

自學：自學課本Ri。，自學"探究、歸納”，掌握用待定系數法求二次函數的解析式

的方法，完成填空.

總結歸納：若知道函數圖象上的任意三點，則可設函數關系式為y=axybx+c,利用

待定系數法求出解析式;若知道函數圖象上的頂點，則可設函數的關系式為y=a(x-h)2+k,

把另一點坐標代入式中，可求出解析式；若知道拋物線與x軸的兩個交點(X”0),(X”0),

可設函數的關系式為y=a(x-x)(x-xz),把另一點坐標代入式中，可求出解析式.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.(7分鐘)

1.二次函數y=4x?—mx+2,當x<—2時，y隨x的增大而減小；當x>—2時，y隨x

的增大而增大，則當x=l時，y的值為絲.

點撥精講：可根據頂點公式用含m的代數式表示對稱軸，從而求出m的值.

2.拋物線y=-x?+6x+2的頂點坐標是(3,11).

3.二次函數y=ax2+bx+c的圖象大致如圖所示，下列判斷錯誤的是(D)

第3題圖第4題圖第5題圖

4.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸是直線x=l,且經過點P(3,0),則a

一b+c的值為(A)

A.0B.-1C.1D.2

點撥精講：根據二次函數圖象的對稱性得知圖象與x軸的另一交點坐標為(一1,0),將

此點代入解析式，即可求出a-b+c的值.

5.如圖是二次函數丫=2/+3乂+1—1的圖象，a的值是二；.

點撥精講：可根據圖象經過原點求出a的值，再考慮開口方向.

上合作港先，

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.(13分

鐘)

探究1已知二次函數的圖象經過點A(3,0),B(2,-3),C(0,-3),求函數的關系

式和對稱軸.

解：設函數解析式為y=ax2+bx+c,因為二次函數的圖象經過點A(3,0),B(2,一3),

9a+3b+c=0,

C(0,-3),則有，4a+2b+c=-3,

=-3.

a=1,

解得卜=—2,

、c=-3.

...函數的解析式為y=x2-2x-3,其對稱軸為x=l.

探究2已知一拋物線與x軸的交點是A(3,0),B(-l,0),且經過點C(2,9).試求

該拋物線的解析式及頂點坐標.

解：設解析式為y=a(x—3)(x+l),則有

a(2-3)(2+1)=9,

.*.a=—3,

，此函數的解析式為丫=一3/+6*+9,其頂點坐標為(1,12).

點撥精講：因為已知點為拋物線與x軸的交點，解析式可設為交點式，再把第三點代入

即可得一元一次方程，較之一般式得出的三元一次方程組簡單.而頂點可根據頂點公式求出.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(5分鐘)

1.已知一個二次函數的圖象的頂點是(一2,4),且過點(0,-4),求這個二次函數的

解析式及與x軸

交點的坐標.

2.若二次函數y=ax?+bx+c的圖象過點(1,0),且關于直線x=,對稱，那么它的圖

象還必定經過原點.

3.如圖，已知二次函數y=-；x2+bx+c的圖象經過A(2,0),B(0,一6)兩點.

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)設該二次函數的對稱軸與x軸交于點C,連接BA,BC,求AABC的面積.

點撥精講：二次函數解析式的三種形式：1.一般式丫=2/+6*+口2.頂點式y=a(x—

2

h)+k;3.交點式y=a(x-xi)(x-xz).利用待定系數法求二次函數的解析式，需要根據已

知點的情況設適當形式的解析式，可使解題過程變得更簡單.

遮堇他韁-學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

上當'堂叫薛＞學習至此,請使用本課時的對應訓練部分.(10分鐘)

22.2二次函數與一元二次方程(1)

/學'習日庭:

1.理解二次函數與一元二次方程的關系.

2.會判斷拋物線與x軸的交點個數.

3.掌握方程與函數間的轉化.

k重'點舉點、:

重點：理解二次函數與一元二次方程的關系；會判斷拋物線與X軸的交點個數.

難點：掌握方程與函數間的轉化.

k預'習尋，:

一、自學指導.（io分鐘）

自學：自學課本網3?45.自學“思考”與“例題”，理解二次函數與一元二次方程的

關系，會判斷拋物線與x軸的交點情況，會利用二次函數的圖象求對應一元二次方程的近似

解，完成填空.

總結歸納：拋物線y=ax?+bx+c與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x°,那么當x=

Xo時，函數的值是。，因此x=①就是方程ax'+bx+cu。的一個根.

二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：當b2-4ac>0時，拋物線與x軸有兩個交點；

當b2-4ac=0時，拋物線與x軸有二個交點；當b2-4ac<0時，拋物線與x軸有個交點?這

對應著一元二次方程ax?+bx+c=0根的三種情況：有兩個不等的實數根,有兩個相等實數

根，沒有實數根.

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.（5分鐘）

y[y=F-x+l

y=f-6x+9

1.觀察圖中的拋物線與X軸的交點情況，你能得出相應方程的根嗎？

方程x^+x—2=0的根是：X[=-2,X2=l；

方程一6x+9=0的根是：XI=X2=3；

方程x2—x+l=0的根是：無實根.

2.如圖所示，你能直觀看出哪些方程的根？

點撥精講：此題充分利用二次函數與一元二次方程之間的關系，即函數y=-x?+2x+3

中，y為某一確定值m（如4,3,0）時，相應x值是方程一x2+2x+3=m（m=4,3,0）的根.

錯誤!，第3題圖）

3.已知拋物線ynax'+bx+c的圖象如圖所示，則關于x的方程ax?+bx+c—3=0的

根是X|—X2—1.

k合TT繇宛:

一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.（6分

探究已知二次函數y=2x?—（4k+l）x+2k'-I的圖象與x軸交于兩點.求k的取值范

解：根據題意知b2—4ac>0,

即[一（4k+l）『-4X2X（2k2-l）>0,

9

解得k>一1

O

點撥精講：根據交點的個數來確定判別式的范圍是解題關鍵，要熟悉它們之間的對應關

系.

二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交流，上臺展示并講解思路.(12分鐘)

1.拋物線y=ax?+bx+c與x軸的公共點是(-2,0),(4,0),拋物線的對稱軸是四

=1.

點撥精講：根據對稱性來求.

2.畫出函數y=x?—2x+3的圖象，利用圖象回答：

(1)方程x2-2x+3=0的解是什么？

(2)x取什么值時，函數值大于0?

(3)x取什么值時，函數值小于0?

點撥精講：x2—2x+3=0的解，即求二次函數y=x?-2x+3中函數值y=0時自變量x

的值.

3.用函數的圖象求下列方程的解.

(1)X2-3X+1=0；(2)X2-6X-9=0；

(3)x?+x—2=0;(4)2—x—x2=0.

y=ax：'+bx+c(aW0)與一元二次方程之間的關系，當y為某一確定值m時;相應的自

變量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根.

2.若拋物線y=ax'+bx+c與x軸交點為(xo,0),則xo是方程ax：'+bx+c=0的根.

3.有下列對應關系：

二次函數y=ax"+bx+c(aWO)的圖一元二次方程ax2+bx+c=0(a:#0)

b2—4ac的值

象與X軸的位置關系的根的情況

有兩個公共點有兩個不相等的實數根b2-4ac>0

只有一個公共點有兩個相等的實數根b2—4ac=0

無公共點無實數根b2-4ac<0

'課堂工'箍一＞學生總結本堂課的收獲與困惑.(2分鐘)

?當'堂叫好＞學習至此,請使用本課時對應訓練部分.(10分鐘)

22.2二次函數與一元二次方程(2)

?學'習@彝＞

1.會利用二次函數的圖象求對應一元二次方程的近似解.

2.熟練掌握函數與方程的綜合應用.

3.能利用函數知識解決一些簡單的實際問題.

hr點碓焉:

重點：根據函數圖象觀察方程的解和不等式的解集.

難點：觀察拋物線與直線相交后的函數值、自變量的變化情況.

k-'習■&?學＞

一、自學指導.(10分鐘)

自學：自學課本M6.理解二次函數與一元二次方程的關系，會判斷拋物線與x軸的交

點情況，會利用二次函數的圖象求對應一元二次方程的近似解，完成填空.

總結歸納：拋物線y=ax?+bx+c與x軸的交點坐標實質上是拋物線與直線y=0組成

x=0,

的方程組的解；拋物線y=ax?+bx+c與y軸的交點坐標實質上是----7,,,的解；拋

y=ax+bx+c

y=kx+b,

物線y=ax2+bx+c與直線的交點坐標實質上是的解.

y=ax2+bx+c

二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，教師巡視.（7分鐘）

1.若二次函數y=（k—3）x?+2x+l的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍為（D）

A.k<4B.kW4

C.k<4且kW3D.kW4且kW3

2.已知二次函數y=x2—2ax+（b+c）2,其中a,b,c是AABC的邊長，則此二次函數

圖象與x軸的交點情況是（A）

A.無交點B.有一個交點

C.有兩個交點D.交點個數無法確定

3.若二次函數y=x2+mx+m—3的圖象與x軸交于A,B兩點，則A,B兩點的距離的

最小值是（