2.2.1橢圓的標準方程教學設計

【課標分析】2017版《普通高中數學課程標準》在圓錐曲線部分內容要求是：了解橢圓

的實際背景，感受橢圓在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；經歷從具體情境中抽象出

橢圓定義的過程；掌握橢圓的定義和橢圓的標準方程。

【教材分析】《橢圓的標準方程》是繼學習圓以后運用"曲線和方程"理論解決具體的

二次曲線的又一實例，也是圓錐曲線這一章的一節入門課。從知識上說，它是對前面所學的

運用坐標法研究曲線的幾何性質的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質的

基礎；從方法上說，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基

礎。因此，這節課有承前啟后的作用，是本章和本節的重點。另外，對橢圓定義與方程的研

究，將曲線與方程對應起來，體現了函數與方程、數與形結合的重要思想。而這種思想，將

貫穿于整個高中階段的數學學習。

【學情分析】高二的學生思維活躍勇于探索，初步具備了用舊知識解決新問題的能力。但

由于普通中學的學生基礎較差，思維能力較弱，導致自信心較弱，因此克服困難的勇氣和毅

力也較弱。而且對應用“坐標法”和“數形結合思想方法”只是初步了解，對“坐標法”解

決問題掌握不夠，對“數形結合思想方法”理解不夠透徹，從研究圓到研究橢圓，跨度較大，

學生思維上存在障礙，同時在求橢圓標準方程時，學生對根式方程的化簡有一定的難度，而

這些在目前初中代數中都沒有詳細介紹，初中代數不能完全滿足學習本節的需要。因此，在

教學過程中教師必須進行細致的啟發和引導，從而激發學生的學習興趣，充分發揮其主觀能

動性，才能達到預期的教學目的。

【教學目標】

1.了解橢圓的實際背景，感受橢圓在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用。

2.經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程。

3.掌握橢圓的定義和標準方程；進一步提升數學抽象、數學運算和數學建模核心素養。

【教學重點】1.掌握橢圓的定義。2.掌握橢圓的標準方程。

【教學難點】橢圓的標準方程的推導。

【教學方法】講授法、探究法、實驗法

【教學準備】教學課件、A4紙、錐形瓶、細繩。

【教學過程】

教學環節與內容教師活動學生活動設計意圖

教師操作錐形瓶，引導學生

,一、動手操作，感知橢圓

展示切割圓錐得學生前后四在動手操

【實踐】小組合作，利用手中的細繩、鉛到圓錐曲線的過人小組利用作的過程

筆等工具嘗試在白紙上畫出橢圓。程，讓學生舉出生手中的細繩中，發散思

活中的實例。提在白紙上嘗維。畫出線

問：怎樣畫橢圓。試畫橢圓。段、橢圓等

圖形

學生動手操作形學生同桌之培養學生

成橢圓軌跡后，及間討論，類比歸納推理

二、類比歸納，定義橢囪

時提問，抓住不變圓的定義嘗能力和數

【討論】量。類比圓的定試歸納橢圓學抽象核

1、在畫橢圓的過程中，有哪些定點？哪義，引導學生歸納的定義。心素養

些量是不變的？橢圓的定義。此處

預設學生歸納出

2、請你類比圓的定義（平面內到定點的距

“到兩定點的距

離等于常數（大于零）的點的軌跡）歸納離等于常數的點

出橢圓的定義。的軌跡叫做橢

圓”，給予學生充

分肯定，繼續類比

圓的定義中常數

大于零的限制條

件，拋出橢圓定義

中的常數是否有

限制條件？進一

步完善定義

三、折紙連線，理斛橢圓

教師設置圓紙片學生在預習動手操作

道具，作為預習作的過程中，積圓紙片，有

【操作】Stepl:找到紙片的圓心,記作F2；

業提前布置給學極動手，發現利于激發

Step2:在圓F2內部取一定點F1生。教師利用幾何軌跡。在觀察學生學習

（與點F2不重合）；畫板展示動點M軌跡的過程的興趣，滲

的軌跡，規范學生中，意識到變透橢圓上

Step3:在圓周上任取一點N,將點動手操作所形成中不變。的點所具

的軌跡有的性質，

N與圓心F2相連，得半徑F2N；

為進一步

Step4:折疊圓形紙片，使點N與理解橢圓

的定義做

點F1重合,將折痕與半徑F2N的交點記作

好腳手架。

M；

Step5:重復過程Step3至Step4,

得到若干交點，并用平滑曲線依次連接交

點。

【問題】用平滑曲線依次連接交點，會得

到什么圖形？請說明理由。

四、思維碰撞，推導方程

首先類比圓的標學生會有兩引導學生

【探究】1、建立平面直角坐標系：準方程的形成過種不同的建發散思維，

程，總結生成曲線系方式：一是發現建系

2、設橢圓上任意一點M(x,y)：的標準方程的一以某一焦點的多樣性。

般步驟：建系，設為原點，一是培養學生

3、設橢圓的焦距|FlF2|=2c,橢點，列式，化簡，以FlF2的中數學建模

圓上任意一點與Fl,F2的距離的和等于常證明。點為原點建的意識。

數2a,(其中a>c>0).根據橢圓的定義寫經過建系，設點，立直角坐標激發學生

出等量關系；列式后得到此方系。教師以簡思維，鼓勵

程，處理本問題的潔，對稱，關學生多角

4、根據等量關系列出方程并化過程是本節課的鍵點在軸上度，多層次

簡：重點和難點，是培等標準予以思考解決

養學生數學運算指導.方案。

素養的重要抓手，設置一人爬

必須充分引導思黑板，其它同

考學思考化簡

在此處預設5種寫在學案上，

解決方案：直接平在爬黑板的

方法，移項平方同學書寫的

法，分子有理化基礎上，全班

法，等差中項法和共同完善該

平方差法以呼應生的化簡過

學生可能生成的程。然后鼓勵

解決方案。化簡完學生積極展

成之后，形成焦點示自己的想

在X軸上的橢圓的法，互相交

標準方程。流，分享想

法，在交流展

示的過程中

碰撞思維，形

成“火花”。

五、教形結合,理解方程

【發現】1、從圖中找出長度為

/22找學生回答培養學生

a,c,7a—c的線段：在形成焦點在X軸

上的橢圓的標準化簡復雜

方程過程中，教師數學式和

1H會引導學生假設解決復雜

數學問題

Q少忠a2-c2=b2

的勇氣。

在逐步化

簡方程的

過程中感

受數學的

對稱美和

簡潔美。

2、嘗試寫上裝點在y軸上的橢圓

標準方程：

在學生順利生成啟發學生用

d%

焦點在X軸上的橢已知表示未

圓的標準方程后，知，將未知轉

引導學生類比焦化為已知。

點在X軸上的橢圓

V〃、

的標準方程形成

焦點在y軸上的

橢圓的標準方程。

3、對比兩種二6同標準方程的橢圓

異同點：通過簡單的表格學生口答幫助學生

總結整理更好的把

握兩種方

程的結構

特點，使學

生的知識

體系更加

條理完整。

六、學以致用，建立模型

【例1】已知折紙實驗中的圓形紙片的半

徑為10cm,定點Fl,F2的距離為8cm,

教師展示PPT學生展示自培養數學

求實驗中動點M的軌跡方程。己的解題過建模意識

程

【例2】由我國自主研發的北斗衛星導航

系統，共有36顆非靜止軌道衛星在軌運行。教師口述，為播放學生口答焦引導學生

已知非靜止軌道衛星的運行軌道是以地球視頻做鋪墊點坐標感受科技

發展與數

的中心為一個焦點的橢圓，若其中一顆衛學知識緊

22密相關，再

借助北斗

星的軌道方程為,求

10000-8000-導航系統

橢圓的焦點坐標。相關視頻，

激發學生

努力學習、

報效祖國

的情懷。

七、學有所思，感悟收獲

引導學生

本節課，你學到了哪些知識、思想和方法？梳理新知，

還有什么收獲？感悟收獲

入、鞏固新知，分層作業

基礎性作業：課本P42練習A第2題；

分層作業，

發展性作業：課本P42練習B第1、2題；

深化所學

探究性作業：1.嘗試用不同的方法畫橢圓；

2.探求推導橢圓標準方程的

不同方法。

【教學反思】

一、追本溯源，加強幾何直觀。

作為圓錐曲線的起始課，我借助演示錐形瓶，將切割圓錐的歷史事件直觀化，接著尋找

生活中的橢圓，繼續增強學生對橢圓的直觀認識，加強數學與生活的聯系。

二、發散思維，尋找變中不變。

本節課嘗試在開放條件下畫一個橢圓，引導學生在動點的變化中發現不變量，類比圓的

定義歸納橢圓的定義。然后利用幾何畫板再現課前折紙實驗，深化學生對橢圓的定義的理解，

使學生體會一一動是理解解析幾何問題的出發點，不動是解決解析幾何問題的落腳點。

三、多法歸一，感受數學之美。

本節課利用坐標法求橢圓的標準方程，重點是提升學生的數學運算素養。在課堂上讓學

生板演，投影展示學生的不同處理方法，雖然絕大部分學生不能獨立完成方程的化簡，但需

要通過落實，使學生發現化簡過程中的困難與障礙，給予學生試錯的機會，在交流合作中實

現思維的碰撞，培養學生化簡復雜數學式和解決復雜數學問題的勇氣。在逐步化簡方程的過

程中感受數學的對稱美和簡潔美。這也是本節課的特色。

四、德育滲透，培養應用意識。

例1將折紙實驗賦予數據，前后呼應，建立數學模型，落實橢圓的標準方程。例2以北

斗導航系統為背景，旨在引導學生感受科技發展與數學知識緊密相關，再借助北斗導航系統

相關視頻，激發學生努力學習、報效祖國的情懷。但是由于本人第一次上大型公開課，比較

緊張，時間把握不準確，沒有將例2展示出來，直接播放視頻，缺少鋪墊，略顯突兀。

學情分析

高二的學生思維活躍勇于探索，初步具備了用舊知識解決新問題的能力。但

由于普通中學的學生基礎較差，思維能力較弱，導致自信心較弱，因此克服困難

的勇氣和毅力也較弱。而且對應用“坐標法”和“數形結合思想方法”只是初步

了解，對“坐標法”解決問題掌握不夠，對“數形結合思想方法”理解不夠透徹，

從研究圓到研究橢圓，跨度較大，學生思維上存在障礙，同時在求橢圓標準方程

時，學生對根式方程的化簡有一定的難度，而這些在目前初中代數中都沒有詳細

介紹，初中代數不能完全滿足學習本節的需要。因此，在教學過程中教師必須進

行細致的啟發和引導，從而激發學生的學習興趣，充分發揮其主觀能動性，才能

達到預期的教學目的。

效果分析

1.能夠引導學生在動手操作的過程中，發散思維。畫出線段、橢圓等圖形

2.能夠培養學生歸納推理能力和數學抽象核心素養

3.動手操作圓紙片，有利于激發學生學習的興趣，滲透橢圓上的點所具有的性質，為進一步

理解橢圓的定義做好腳手架。

4.引導學生發散思維，發現建系的多樣性。培養學生數學建模的意識。激發學生思維，鼓勵

學生多角度，多層次思考解決方案。

5.培養學生化簡復雜數學式和解決復雜數學問題的勇氣。在逐步化簡方程的過程中感受數學

的對稱美和簡潔美。

6.幫助學生更好的把握兩種方程的結構特點，使學生的知識體系更加條理完整。

7.培養數學建模意識

8.引導學生感受科技發展與數學知識緊密相關，再借助北斗導航系統相關視頻，激發學生努

力學習、報效祖國的情懷。

9.引導學生梳理新知，感悟收獲

10.分層作業，深化所學

教材分析

《橢圓的標準方程》是繼學習圓以后運用"曲線和方程"理論解決具體的二次曲

線的又一實例，也是圓錐曲線這一章的一節入門課。從知識上說，它是對前面所

學的運用坐標法研究曲線的幾何性質的又一次實際演練，同時它也是進一步研究

橢圓幾何性質的基礎；從方法上說，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲

線提供了基本模式和理論基礎。因此，這節課有承前啟