1.1.1任意角

學習目標：

1.理解并掌握任意角、象限角、終邊相同的角的定義。

2.會寫終邊相同的角的集合并且會利用終邊相同的角的集合判斷任意角所在的象限。

知識要點：

1、按方向旋轉形成的角叫做正角，按方向旋轉形成的角叫做負角，如果一條射

線沒有作任何旋轉，我們稱它形成了一個—角。零角的與___________重合。如果a是

零角，那么a=?

2、任意角包括、和。

3、象限角

為了討論問題的方便，我們總是把任意大小的角放到平面直角坐標系內加以討論，具體做法是：

（1）使角的頂點和坐標______重合；（2）使角的始邊和x軸__________重合.這時，角的終邊落在第幾

象限，就說這個角是的角（有時也稱這個角屬于第幾象限）；如果這個角的終邊落在坐標軸上,

那么這個角就叫做,這個角不屬于任何一個象限。

4、把角放到平面直角坐標系中后，給定一個角，就有唯一的與之對應。反之，對于直角坐標

系內任意一條射線，以它為終邊的角是否唯一？如果不唯一，終邊相同的角有什么關系？

5、所有與角a終邊相同的角，連同角a在內可構成集合為%即任

一與角a終邊相同的角，都可以表示成角。與的和。

典型例題：

【例1】在0。?360°之間，找出與—95（712'終邊相同的角，并指出它是第幾象限角：

【例2】（1）寫出終邊在x軸上角的集合_______________________________________________

（2）寫出終邊在y軸上角的集合；

（3）寫出終邊在坐標軸上角的集合.

【例3.］寫出終邊在直線y=x上角的集合s,并把s中適合不等式-360。＜夕＜720。元素夕寫出來。

當堂檢測：

1、鐘表經過4小時，時針與分針各轉了度

2、設人=｛。用為正銳角｝,B=｛0|。為小于9m的角｝,c=｛e|e為第一象限的角｝

D=｛0|。為小于90。的正角｝。則下列等式中成立的是()

A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D

3、在直角坐標系中，若a與P的終邊互相垂直，那么a與p的關系為()

A.p=a+90°B.p=a±90°C.p=a+90°+k-360°D.p=a±90°+k-36OokeZ

4、若a為銳角，則180,+a在第象限，-a在第象限.

5、在平面直角坐標系中作出下列各角并指出它們是第幾象限角：

(1)420°(2)-75°(3)855°(4)-510°

6、第一象限角的集合可表示為.

第二象限角的集合可表示為.

第三象限角的集合可表示為.

第四象限角的集合可表示為.

n

7、設6為第一象限角，求26,—,-6所在的象限.

2

8、在0。?360。之間，找出與下列各角終邊相同的角，并分別指出它們是第幾象限角:

(1)-54°18((2)39508'(3)-1190°30z

9、寫出與下列各角終邊相同的角的集合并把集合中適合不等式-720。＜夕＜360。的元素寫出來:

(1)1303°18'(2)-225°

10、與角一1560°終邊相同角的集合中最小的正角是

1.1.2弧度制

學習目標：

1.理解弧度制的意義；

2.能正確的應用弧度與角度之間的換算：

3.記住公式|同=，（/為以a作為圓心角時所對圓弧的長，r為圓半徑）；

4.熟練掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式及其應用。

知識要點：

1.叫做］弧度的角，用符號表示，讀作o

2.正角的弧度數是一個,負角的弧度數是一個,零角的弧度數是

如果半徑為r的圓的圓心角a所對的弧長為/,那么角a的弧度數的絕對值是：

a的正負由決定?

3.角度與弧度的換算

360°=____rad1800=____rad1°=____rad1rad=（____）°?________O

4.一些特殊角的度數與弧度數的互相轉化，請補充完整

30°90°120°150°270°

冗713萬

0n2%

7T

5.弧度是一個量，弧度數表示弧長與半徑的比，是一個實數，

/正角’

這樣在角集合與實數集之間就建立了一個一一對應關系.零角

、負角）

W實數

6.弧度制下的扇形弧長公式和扇形面積公式

（1）；（2）___________________；（3）_________________________________O

典型例題：

【例1】按照下列要求，把67°30'化成弧度：（1）精確值；（2）精確到0.001的近似值.

【例2】將3.14md換算成角度（用度數表示，精確到0.001）。

［例3］證明知識要點6中的三個公式。

【例4】利用計算器比較sin1.5和sin85°的大小。

當堂檢測：

1、把下列各角從度化為弧度：

(1)22°30,=(2)—210°=(3)1200°=

2、把下列各角從弧度化為度：

3、用弧度制表示：終邊在x軸上的角的集合為；

終邊在y軸上的角的集合為o

4、在4LBC中，若NA:ZB:NC=3:5:7,則A,B,C的弧度數分別為

5、半徑變為原來的,，而弧長不變，則該弧所對的圓心角是原來的_____________倍。

2

6、以原點為圓心，半徑為1的圓中，一條弦48的長度為所對的圓心角a的弧度數為—

7、半徑為120mm的圓上，有一條弧的長是144mm,則該弧所對的圓心角的弧度數為

8、直徑為20cm的滑輪，每秒鐘旋轉45°,則滑輪上一點經過5秒鐘轉過的弧長是多少？

9、扇形0A3的面積是4c機2,它的周長是8c加，求扇形的中心角及弦A3的長。

1.2.1任意角的三角函數(1)

學習目標：

1、通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數定義，理解三角函數是以實數為自變量的函數，并從任意

角的三角函數定義認識正弦、余弦、正切函數的定義域，理解并掌握正弦、余弦、正切函數在各象限內

的符號.

2、能初步應用定義分析和解決與三角函數值有關的一些簡單問題.y,/

知識要點：I/

1、K銳%a的頂點與原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在它的終邊/P(a'b)

上任取一點尸(a,6),它與原點的距離1=+/>0,過p作x軸的垂線，

0Mx

垂足為M,根據初中的三角函數定義有：

sina=；cosa=；tana=。

2、單位圓：在直角坐標系中，我們稱以為圓心，以為半徑的圓為單位圓.

3、由相似三角形的知識，對于確定的角a,這三個比值不會隨的改變而改變，因

此可以將點P取在使的位置上。

4、利用單位圓定義任意角的三角函數：設a是一個任意角,

它的終邊與單位圓交于點尸(x,y),則

(1)叫做a的正弦，記作sina,即；

(2)叫做a的余弦，記作cosa,即；

⑶叫做a的正切，記作tana，即。

TT

可以看出，當。=5+左萬(左€2)時，a的終邊在上，此時tana,除此之外,

對于確定的角a,上訴三個比值都是的，所以,正弦、余弦、正切都是以為自變量,

以或為函數值的函數，我們將它們統稱為三角函數.

5、利用坐標的比值定義三角函數：

設角a的頂點與原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在它的終邊上任取一點尸(x,y),它與原點

的距離r=y/x2+y2>0>則sinc=；cosa=；tana=。

6、三種三角函數的定義域各是什么：o

7、三種三角函數的值在各個象限的符號：________________________________________________

8、公式一：終邊相同的同名三角函數的值，即：；

典型例題：

【例1】求也57r的正弦、余弦和正切值.

3

［例2］已知角a的終邊經過點P。(-3,-4),求角a的正弦、余弦和正切值.

sin。<0,

【例3］求證:當且僅當下列不等式組成立時，角0為第三象限角.反之也對。

tan>0.

【例4】確定三角函數值的符號:

式

(1)cos250°(2)sin(一一)(3)tan(-672J)(4)tan3^-

4

【例5】求下列三角函數值：

941\71

(1)sinl480°10'(2)cos—(3)tan(——-)

46

隨堂訓練：

7萬

1、用三角函數的定義求匕的三個三角函數值

2、已知角。的終邊過點P(T2,5),求夕的正弦、余弦和正切三個三角函數值.

a

3,設a是三角形的一個內角，在sina,coscz,tana,tan—中，那些可能為負值?

2

4、填表

a0。30°45°60°90°120°135°150°180。270°360°

弧度

sina

cosa

tana

5、確定符號：

(1)sin156°(2)cos電巴114Ajr

(3)cos(-450°)(4)tan(-----)(5)sin(----)(6)tan556°

583

6、選擇序號填空：

①sin（9>0②sin8<0③cos。>0④cos。<0⑤tan9>0⑥tan<9<0

（1）當。在第一象限時，,反之也對；（2）當。在第二象限時，,反之也對;

（3）當。在第三象限時，,反之也對；（4）當。在第四象限時，,反之也對。

9、確定下列各式的符號：（l）sinl00Jcos240°（2）sin5+tan5

10、已知cos0,tan9<0,那么角0是（）

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角

2

11、若點尸（一3,y）是角a終邊上一點，且sina=-一，則y的值是.

3

1.2.1任意角的三角函數（2）

學習目標：

正確利用與單位圓有關的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數值表示出來，即用正弦線、余弦

線、正切線表示出來.

知識要點：

1、有向線段：的線段。

2、三角函數線：

設任意角a的頂點在原點。，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交點P（x,y）。當角a的終邊

不在坐標軸上時，過P作x軸的垂線，垂足為“；過點A（l,0）作單位圓的切線，它與角a的終邊或其

反向延長線交與點T.規定有向線段MP,AT向上為正，0M向右為正

則sina=________________cosa-；tana=

我們就分別稱有向線段MP,OM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

當角a的終邊與x軸重合時:

當角a的終邊與y軸重合時:

典型例題：

【例1】作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。

(/八2)--5-4-

⑴T6

【例21利用三角函數線比較下列各組數的大小:

27r4萬/、24一4萬

(1)sin——與sin——(2)tan——與tan——

35

隨堂訓練：

1、作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線

24

(1)---；

36

2、利用單位圓尋找適合下列條件的0。到360。的角

⑵tana>^

(1)sina>—

23

3、利用三角函數線證明：當0<x〈會時

(1)sinx<x<tanx；(2)sinx+cosx>1o

1.2.2同角三角函數的基本關系

學習目標：

1.掌握同角三角函數的基本關系式.

2.能用同角三角函數的基本關系式化簡或證明三角函數的恒等式

知識要點：

I.同角三角函數的基本關系式及公式成立的條件：

平方關系：:商數關系：

2.語言表述：。

典型例題：

3

【例1】已知sina=——,求cosa,tan(z的值.

cosx1+sinx

【例2】求證:

1—sinxcosx

當堂檢測：

4

1、已知cosa=-m，且a為第三象限角，求sine,tana的值。

2、已知tane=-6,求sin*,cose的值.

3、已知sin6=3，求cose,tan。的值。

4、化簡:

2cos2a-\

(1)cosJ■tang=

1-2sin2a

(3)71-sin2100°(4)Vl-2sinl0°cosl()°=

5、求證：(1)sin4cif-cos4a=sin26Z-cos2a

(2)sin4cr+sin2?cos2ctr+cos2cr=1

6、已知tana=2,求下列各式的值:

/、2sina-3cosa

(1)---------------；(2)4sin2a-3sinacosa+5cos2a

5sina-7cosa

7、已知sinB+cos。=5,8￡求下列各式的值:

(1)sin0-cos^；(2)cosO-sin。

1.3三角函數的誘導公式

學習目標：

1、利用單位圓探究得到誘導公式二，三，四，并且概括得到誘導公式的特點。

2、理解求任意角三角函數值所體現出來的化歸思想。

3、能初步運用誘導公式進行求值與化簡。

知識要點：

1、4的終邊與a的終邊關于—對稱；-a的終邊與a的終邊關于—對稱;

n-a的終邊與a的終邊關于—對稱。

7T

2、上-a的終邊與a的終邊關于對稱；

2

公式五：_________________________________________________

3、用己有公式推導工TT+a的誘導公式：

2

公式六：_____________________________________________________

4>一句話概括公式一?六:_______________________________________

5、把任意角的三角函數轉化為銳角的三角函數的步驟：

典型例題：

【例1】求三角函數值：

(1)cos225°(2)sin^-^-(3)sin(-今(4)cos(-20400)

cos(180°+a)?sing+360°)

【例2】化簡:

sin(-a-180°)?cos(-180°-a)

...、/、7V、1、

sin(24-a)cos(7r+a)cosj+----a)

【例3】化簡：--------------------------2---------伊------

9萬

cos(zr-a)sin(3^--tz)sin(-^-a)sin(?+a)

隨堂訓練：

1、講下列三角函數轉化為銳角三角函數:

(1)sin(l+乃)=________.；(2)sin(-y)=________,；(3)cos(-70°6')=_

3〃3U

(4)tan—二；(5)tan70°21'=；(6)tan----=

536

(7)tan32432'=_______；(8)cos(-1182°13')=______?

;、求值：

./7%、

(1)cos(-420°)=_______；(2)sm(---)=_______⑶sin(-1300°)=.

/79兀、19萬65萬

(4)cos(—)=；(5)cos----=;(6)cos----=

636

./3br、/26乃、

(7)sm(一——)=；(8)tan()=O

43

3、化簡：(1)sin(a+180°)cos(-a)sin(-a-180°)(2)sin3(-a)cos(2TT+a)tan(-a-7r)

4、填表:

5%547乃8乃114

a44

'TTT-T丁

sina

cosa

tan。

八i'2，*7八、△、/八2/tan(3600+d)

5、化間：(1)---------?sin(fz-2zr)?cos^-a)(2)cos(-a)--------------

.,5兀、sin(-a)

sin(—+a)

6^已知sin(a+乃)=§,兀<a<：,貝iJcosQa-24)的值是

22

7、cos(工-a)+cos(―+a)=__________o

44

1.4.1正弦函數、余弦函數的圖象

學習目標：

1、通過本節學習，理解正弦函數、余弦函數圖象的畫法.

2、通過三角函數圖象的三種畫法:描點法、幾何法、五點法，體會用“五點法”作圖給我們學習帶來的好處,

并會熟練地畫出一些較簡單的函數圖象.

知識要點：

I、借助單位圓中的正弦線畫出正弦函數y-sinx,xe[0,24]的圖象。

說明：使用三角函數線作圖象時，1.自變量要采用弧度制；2.將單位圓分的份數越多，圖象越準確。

2、利用公式一及上面的圖像畫出正弦函數y=sinx,xeR的圖象（正弦曲線）。

1-

-6n-5TC一4兀一3九一2兀一兀。兀2兀37c4兀5兀67tx

-1■

3、觀察正弦函數丫=5M%/€[0,2萬]的圖象，找到起關鍵作用的五個點：

4、用“五點作圖法”畫出丁=5批%%€（0,2萬]的圖象。

%

1-

_I________4_____I1?L??

。冗__271X

-1-

5、sin（x+—）=,所以的圖象可由y=sinx而得到。

6、畫出y=cosx的圖象（余弦曲線）

1-

-6n-5兀-4K-3K-2K一兀。兀2兀3兀4兀5兀6兀x

-1-

7、觀察正弦函數^=??%%€[0,2句的圖象，找到起關鍵作用的五個點:

8、用“五點作圖法”畫出y=以《羽》€[0,2乃]的圖象。

斗

1-

~0兀2兀X

—1?

典型例題：

【例1】畫出y=l+sinx,xe[0,2T的簡圖。

%

1■

——I----------------------------------------J----------------------------1--------------------------1----------------------------r?a

0兀271X

【例2】畫出y=-cosx,xe[0,2句的簡圖。

斗

1-

---------1------------------------------------------d?j--------------------------1----------------------------r-a

0兀2兀X

—1-

當堂檢測：

1、畫出了=卜山斗工€[°，2乃]的圖象，并通過猜想畫出y=binX在整個定義域內的圖象。

1-

11dI/II1______LIJ1_______

-6n一5兀-4TI一3兀一2兀一兀。兀2兀3兀4兀5n6兀x

2、畫出y=|cosX，xe[0,2%]的圖象，并通過猜想畫出y=|cosM在整個定義域內的圖象。

外

1-

_______________1II_______I/______IIILI*I1Tl,1______,I，______111，4

-6兀-5K-4兀-3兀-2TI-7i。兀2兀3兀4兀5兀6兀x

3、為得到函數丁=cos[x+§J的圖象,只需將函數y=sinx的圖像（）

7T1T

A.向左平移2個長度單位B.向右平移2個長度單位

66

5兀5兀

C.向左平移四個長度單位D.向右平移四個長度單位

66

1.4.2正弦函數、余弦函數的性質(1)

學習目標：

1、通過創設情境，如單擺運動、四季變化等，讓學生感知周期現象；

2、理解周期函數的概念；

3、能熟練地求出簡單三角函數的周期。

4、能根據周期函數的定義進行簡單的拓展運用.

知識要點：

1.周期函數：對于函數/(x),如果,使得當時，都有

,那么函數/(x)就叫o叫做這個函數的周期。

2.最小正周期：周期函數的周期；如果所有的周期中存在一個,那么這個

就叫做?

3.y=sinx是周期函數，都是它的周期，最小正周期是。

4.y=cosx是周期函數，都是它的周期，最小正周期是。

5.y=Asin((ur+°)(A0,a)>0)的最小正周期是。

6.y=Acos@x+°)(AW0,0>>0)的最小正周期是。

7.如果函數y=/(x)的最小正周期是T,那么函數丁=/(以)的周期是o

8.在學習中，如果不加特別說明，教科書提到的周期，一般都是指最小正周期。

典型例題：

［例I］求下列函數的周期：

..171

(1)y—3cosx,xGR；(2)y=sin2x,xGR；(3)y-2sin(—x---),xGR

當堂檢測：

l.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如果這個等式成立，能否說120°是正弦函數y=sinx,xCR.的一

個周期？為什么？

2.求下列函數的周期：

3

(1)y-sin—R；(2)y=cos4x,xeR；

4

(3)y=^cosx,xeR171

(4)y=sin(-x+—),XGR

3.函數y=卜山^的最小正周期為；y=|Asin(G￥+砌的最小正周期為

4.函數y=|cos乂的最小正周期為；y=|Asin(@r+砌的最小正周期為

1.4.2正弦函數、余弦函數的性質（2）

學習目標：

1、會利用正、余弦函數的單調區間求與弦函數有關的單調區間及函數值域。

2、能根據正弦函數和余弦函數圖象確定相應的對稱軸、對稱中心。

3、通過圖象直觀理解奇偶性、單調性，并能正確確定弦函數的單調區間。

知識要點：

一、正弦函數：

（二）性質：

1.定義域：;2.值域：；3.周期性：；4.奇偶性：;

5.單調性：在每一個閉區間上都是增函數，其值從—增大到—

在每一個閉區間上都是減函數，其值從減小到。

6.最值：當且僅當_______________________時取最大值____;

當且僅當_________________________時取最小值____?

7.對稱性：正弦函數的對稱軸方程為;對稱中心為

二、余弦函數：

（二）性質：

1.定義域：；2.值域：；3.周期性：；4.奇偶性：；

5.單調性：在每一個閉區間上都是增函數，其值從一增大到一

在每一個閉區間上都是減函數，其值從—減小到o

6.最值：當且僅當___________________時取最大值一；

當且僅當時取最小值一?

7.對稱性：余弦函數的對稱軸方程為;對稱中心為

典型例題：

【例1】求下列函數有最大值、最小值，并寫出取最大值、最小值時的自變量x的集合。

(1)y=cosx+l,xeR；

(2)y=-3sin2x,xGR。

【例2】函數的單調性，比較下列各組數的大小：

2317

(1)sin(-M)與sin(-2)(2)cos(---4)與cos(---n~)

181054

【例3】函數y=sin(—x+y),xe[―2乃,2%]的單調遞增區間。

當堂檢測：

1.寫出滿足條件的區間：

(1)sinx>0；(2)sinx<0；

(3)cosx>0；(4)cosx<0。

2.下列等式能否成立？

(1)2cosx=3；(2)sin2x=0.5。

3.求使下列函數取最大值、最小值時的自變量x的集合，并寫出最大值、最小值各是多少.

(1)y=2sinx,xeR

(2)y=2—cos—R

3

4.下列關于函數y=4sinx,xw［-肛向的單調性的敘述，正確的是()

A.在上肛0］是增函數，在［0,%］是減函數

71TITTTT

B.在是增函數，在一葉上及~,71是減函數

~2~2L2」|_2」

C.在［0,萬］是增函數，在［-肛0］是減函數

ITTT7171

D.在一葉L及勺，乃是增函數，在是減函數

2J\_2

5.設函數/(x)=sin［2x-3,xeR,則/(%)是()

A.最小正周期為乃的奇函數B.最小正周期為乃的偶函數

C.最小正周期為王IT的奇函數D.最小正周期為主7T的偶函數

22

37r

6.函數y=sin(2x+二)圖象的對稱軸方程是；對稱中心是一

7.方程2cos1在區間(0,萬)內的解是.

8.求函數y=3sin(2x+?),xe［0,乃］的單調遞減區間。

9.利用三角函數的單調性，比較大小：

1514

(1)sin250°與sin260°(2)cos—乃與cos—n

89

sin(-多)與sin(卷乃)

(3)cos515°與cos530°(4)

1.4.3正切函數的性質與圖象

學習目標：

1、用單位圓中的正切線作正切函數的圖象；

2、用正切函數圖象解決函數有關的性質；

3、理解并掌握作正切函數圖象的方法；

4、理解用函數圖象解決有關性質問題的方法；

知識要點：

一、正切函數y=tanx的性質：

1.定義域：?

2.周期性：由誘導公式知，正切函數是周期函數，其最小正周期T=

y=Atan(art+0)(A70,0>0)的最小正周期是。

3.奇偶性：由誘導公式知，正切函數是—函數。

4.單調性：觀察右圖中的正切線，正切函數在xe為——函數；

結合周期性知，正切函數____________________________________________

5.值域：由上圖的正切線知正切函數在x時，ye

結合周期性知，正切函數的值域為；最值情況為

二、正切函數的圖象：

1.利用正切線作正切函數y=tanx在xe-2，工的圖象;

<227

2.結合周期性，畫出正切函數在整個定義域內的圖象。

22

4.正切函數丁=1211%的漸近線方程為：。

5.正切函數y=tanx的對稱中心為：；

對稱軸情況如何？

6.利用圖象知函數y年曲可的最小正周期為；y=|Asin(s+砌的最小正周期為

典型例題：

【例1】求函數y=tan(卷x+()的定義域、周期和單調區間。

當堂檢測：

1.觀察正切曲線，寫出下列條件的x的范圍：

(1)tanx>0；

(2)tanx=0;

(3)tanx<0。

2.求y=tan3x的定義域。

jrk/X

3.求周期：(1)y=tan2x,xw—+'—(ZeZ)；(2)y=5tan-,xw(2攵+1)"(〃eZ)。

422

4.(1)正切函數在整個定義域是增函數嗎？為什么？

(2)正切函數會在某一區間是減函數嗎？為什么？

5.比較大小：