指數函數的概念

[A級新教材落實與鞏固]

一、選擇題

1.下列函數中，指數函數的個數為(B)

①y=(1);②y=a*(a〉O,且aWl)；

③y=「(Dy=g)+2.

A.0B.1C.3D.4

【解析】由指數函數的定義知僅②是指數函數.

2.若f(4)=81,則指數函數f(x)的解析式為(B)

A.f(x)=x3B.f(x)=3X

C.f(x)=。D.f(x)=x-

3.若函數y=(2a—l)'(x是自變量)是指數函數，則a的取值范圍是(C)

A.a>0,且aWlB.a^O,且aWl

1

>-

C.a>2，且a7^1D.a\2

【解析】由題意得，2a—1>0,且2a—1W1,解得a>],

且a#l.

4.有n個數，第1個數是2,從第2個數起，每一個數都是它前一個數的2倍，則第n

個數可以表示為(C)

A.f(n)=2nB.f(n)=2n+2

C.f(n)=2"D.f(n)=2n-1

【解析】由題意得，f(l)=2,f(2)=4,f(3)=8,所以f(n)=21

5.下列函數關系中，可以看作是指數型函數y=ka*(kWO,a>0,aWl)模型的是(C)

A.自由落體運動中，物體離地面的高度與時間的關系

B.鐘表盤中，時針的運行角度與時間的關系

C.某省的人口自然增長率為L2%時，該省的人口總數與年份的關系

D.郵件的郵資與郵件質量之間的關系

【解析】選項A中的關系是二次函數關系，選項B中的關系是一次函數關系，選項C

中的關系是指數型函數關系，選項D中的關系是分段函數關系.

6.已知f(x)=(m+3)W*是指數函數，則下列結論錯誤的是(B)

A.m=—2B.m取任意實數

C.f(—2)=4D.f(l)=-

【解析】因為f(x)=(m+3)g)X是指數函數，所以m+3=l,解得m=-2,所以f(x)

,所以f(—2)=4,,所以選項B中結論錯誤.

二、填空題

7.若函數f(x)=a%a〉O,且aWl)的圖象經過點(一1,2),則a的值為

【解析】依題意得，解得a=1.

8.若函數f(x)=(1—2a+2)(a+l)'是指數函數，則a=1.

a2—2a+2=1,

【解析】由指數函數的定義得Ia+l>0,解得@=1.

9.已知函數f(x)=a、+b(a>0,且aWl),且f(—1)=5,f(0)=4,則f(—2)的值為

_1_*

[a-1+b=5,5'所以f(x)=/+3,所以f(—2)=3

【解析】由已知得。一,解得<

〔a+b=4,

b=3,

-2

+3=4+3=7.

三、解答題

10.已知某種放射性物質經過100年后剩余的質量是原來質量的96除設質量為1克的

這種物質，經過n年后剩余質量為y,求n與y之間的關系式.

解:設質量為1克的這種物質經過1年后的質量為a克，則aloo=O.96,所以a=0.96~,

所以y=an=O.96~(neN*).

11.春天來了，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知后一天荷葉覆蓋水面的面積是前一天的

2倍.若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，當荷葉剛好覆蓋水面面積的一半時，荷葉已生

長了多少天？

解：由題意設荷葉覆蓋水面的初始面積為1,則x天后荷葉覆蓋水面的面積丫=2x

YXCN*).因為荷葉20天可以完全長滿池塘水面，故當荷葉剛好覆蓋水面面積的一半時，!

X22°-1=21-1,解得x=19.即當荷葉剛好覆蓋水面面積的一半時，荷葉已生長了19天.

[B級素養養成與評價]

12.【多選題】設指數函數f(x)=a*(a>0,且aWl),則下列等式中正確的是(AC)

A.f(x-y)=F^

B.fe=f(x)-f(y)

C.f(nx)=[f(x)]11(n￡Q)

nnn

D.[f(xy)]=[f(x)][f(y)](nGN+)

1f(),x、x1

【解析】f(x-y)=ax-y=axa-y-—，故A中的等式正確；f-=a—=(I)「

af(y)wyy

1

f(x)-f(y)=a-aV(ax)-,故B中的等式錯誤；f(nx)=整=(1)"=及@)],故C中的等

y

式正確；[f(xy)]"=(aX')n,[f(x)]Tf(y)]n=(a>?。')"=6+'尸?(小尸，故D中的等式錯

誤.故選AC.

13.某股民購買一公司股票10萬元，在連續十個交易日內，前5個交易日平均每天上

漲5%,后5個交易日，平均每天下跌4.9%,則該股民的股票盈虧情況(不計其他成本)是

(D)

A.賺723元B.賺145元

C.虧145元D.虧723元

【解析】依題意得，100000X(1+5%)5(1-4.9%)5?100000X0.99277=99277,所

以100000-99277=723(元)，

所以該股民虧723元.

14.已知f(x)為奇函數，當x〉0時，f(x)=ax(a>0,且aWl)對應的圖象如圖所示,

那么當x<0時，f(x)=-2X.

【解析】由x>0時f(x)的圖象可知f(1)=-,

1??.f(x)=3(x>0).

當xVO時，-x>0,??.f(—x)=S—2X.

(x)為奇函數，??.f(—x)=—f(x),

f(x)=-2、(x<0).

15.某片森林原來面積為a,計劃每年砍伐的森林面積是上一年年末森林面積的p%,當

砍伐到原來面積的一半時，所用時間是10年，已知到2020年年末，森林剩余面積為原來面

(1)求每年砍伐面積的百分比P%;

(2)到2020年年末，該森林已砍伐了多少年？

解：(1)由題意可得，a(l-p%)10=1a,解得p%=l—/錯誤!，，每年砍伐面積的百

分