第31講平面對量的綜合應用（達標檢測）[A組]—應知應會1．已知作用在坐標原點的三個力，，，則作用在原點的合力的坐標為A． B． C． D．【分析】依據平面對量的坐標運算公式，計算即可．【解答】解：，，，則，，．故選：．2．如圖在平行四邊形中，已知，，，，則A．6 B． C．3 D．【分析】將結合，將中的向量用來表示，即可解出的值．【解答】解：因為平行四邊形中，，，．所以，，故由得，即，解得．故選：．3．如圖，邊長為1的等邊中，為邊上的高，為線段上的動點，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【分析】可設，且，它們的夾角為，然后設，，，然后結合向量的加減法運算，將表示為關于的函數的形式，問題即可解決．【解答】解：由已知設，則，且，由等邊三角形的性質可知：，故可設，所以，所以，，．易知時，原式取最小值；或1時，原式取最大值0．故則的取值范圍是．故選：．4．設圓的半徑為1，，，是圓上不重合的點，則的最小值是A． B． C． D．【分析】用表示出，作，垂足為，設，，用，表示出即可得出最值．【解答】解：，由題意可知，，均為單位向量，故，連接，作，垂足為，設，，則，，，，，，當，時，取得最小值．故選：．5．在中，，，，且，，則A．3 B．5 C． D．【分析】依據已知，可得出，在三角形上的位置，則，通過化簡代入數值，即可得結論．【解答】解：由題，中，，，，，，，是線段的中點．可得如圖：．故選：．6．在內使的值最小的點是的A．外心 B．內心 C．垂心 D．重心【分析】令，，設，依據．結合二次函數的性質即可求解【解答】解：令，，設，則，，于是．所以當時，最小，此時，則點為的重心．故選：．7．在中，點，在線段上，，當點在線段上運動時，總有，則確定有A． B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，設，由，得，代入，再令，結合已知轉化為關于的不等式，再由判別式恒小于等于0求得的值，然后利用數量積的幾何意義可得，則答案可求．【解答】解：如圖，設，由，得，又，，即有，，令，則，即恒成立．可得．化為，則．，即在上的投影為的中點．．故選：．8．點，，在所在平面內，滿足，，且，則，，依次是的A．重心，外心，內心 B．重心，外心，垂心 C．外心，重心，內心 D．外心，重心，垂心【分析】由三角形五心的性質即可推斷出答案．【解答】解：，，設的中點，則，，，三點共線，即為的中線上的點，且．為的重心．，，為的外心；，，即，，同理可得：，，為的垂心；故選：．9．已知是半圓的直徑，，等腰三角形的頂點、在半圓弧上運動，且，，點是半圓弧上的動點，則的取值范圍A． B． C． D．【分析】由圓的參數方程設出，，點的坐標，進而找出與角的關系，通過三角化簡轉化成三角函數，結合角的范圍可求最值．【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可得，，設，則，，設，其中，，，，所以，，，所以，因為，，，，所以，，，，所以．故選：．10．在日常生活中，我們會看到如圖所示的情境，兩個人共提一個行李包．假設行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為．給出以下結論：①越大越費勁，越小越省力；②的范圍為，；③當時，；④當時，．其中正確結論的序號是．【分析】依據為定值，求出，再對題目中的命題分析、推斷正誤即可．【解答】解：對于①，由為定值，所以，解得；由題意知時，單調遞減，所以單調遞增，即越大越費勁，越小越省力；①正確．對于②，由題意知，的取值范圍是，所以②錯誤．對于③，當時，，所以，③錯誤．對于④，當時，，所以，④正確．綜上知，正確結論的序號是①④．故答案為：①④．11．設為內一點，且滿足關系式，則．【分析】化簡可得，設，分別為、的中點，則，再依據等底的三角形面積之比等于高之比即可求解．【解答】解：由題可得，，則，即，設，分別為、的中點，則，設，為的中位線，，是的中點，，又，，是的中點，，又，，故．故答案為：．12．在平面直角坐標系中，已知點，、為圓上的兩動點，且，若圓上存在點，使得，則的取值范圍為．【分析】作圖，可得，由弦長、弦心距及半徑之間的關系可得點的軌跡方程，進而得到的幾何意義，由此即可得解．【解答】解：取的中點，連接，則，又圓上存在點，使得，所以，因此，故，因為、為圓上的兩動點，且，所以，設，則，即點的軌跡方程為，表示圓上的點與定點之間的距離，因此，即，即．故答案為：．13．如圖，在平面直角坐標系中，，，．（1）求點，點的坐標；（2）求四邊形的面積．【分析】（1）設，，依據題中條件，得到，，再由向量的坐標表示，依據，即可求出點的坐標；（2）先用向量的方法，證明四邊形為等腰梯形；連接，延長交軸于點，得到，均為等邊三角形，進而可求出四邊形面積．【解答】解：（1）在平面直角坐標系中，，，，又，設，，則，，點；又，，即點；（2）由（1）可得，，，，即，又，四邊形為等腰梯形．連接，延長交軸于點，則，均為等邊三角形，．14．在中，是線段上靠近的一個三等分點，是線段上靠近的一個四等分點，，設，．（1）用，表示；（2）設是線段上一點，且使，求的值．【分析】（1）利用已知條件，通過向量的三角形法則與平行四邊形法則，轉化求解即可．（2）通過向量關系，結合向量共線，轉化求解向量的模的關系，推出結果．【解答】解：（1）因為是線段上靠近的一個三等分點，所以．因為是線段上靠近的一個四等分點，所以，所以．因為，所以，則．又，，所以．（2）因為是線段上一點，所以存在實數，使得，則，因為，所以存在實數，使，即，整理得解得，故．15．如圖，在正方形中，點是邊上中點，點在邊上．（1）若點是上靠近的三等分點，設，求的值．（2）若，當時，求的長．【分析】（1）用表示出，得出，的值即可得出的值；（2）設，用表示出，依據計算，從而可得的長．【解答】解：（1）點是邊上中點，點是上靠近的三等分點，，，，，，故．（2）設，則，又，，，故，．[B組]—強基必備1．已知點，，傾斜角為的直線與單位圓在第一象限的部分交于點，與軸交于點，與軸交于點．（1）設，，試用表示與；（2）設，試用表示；（3）求的最小值．【分析】（1）由題意知點的坐標為，利用坐標表示，，得出、的表達式；（2）由，利用、、三點共線得出，、、三點共線得出；聯立方程組求得的解析式；（3）由的解析式，利