第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年云南省大理州大理市下關一中教育集團高二（下）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.命題“?x∈(0,π2)，exA.“?x∈(0,π2)，ex+2sinx≥2x” B.“?x∈(0,π2)，ex+2sinx≤2x”

C.“?x∈(0,2.已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且P((A∪B)|C)=12，P(B|C)=16，A.112 B.16 C.133.函數y=lnx在x=1處的切線方程為(

)A.x?y+1=0 B.x?y?1=0 C.x+y+1=0 D.x+y?1=04.在學校組織的一次活動結束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相鄰，則不同的站法有(

)A.120種 B.72種 C.48種 D.24種5.已知α是銳角，cos(α+π6)=1A.4+26 B.4?266.函數y=f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是函數f(x)的導函數，令a=f(7)?f(5)2，b=f′(5)，c=f′(7)，則下列數值排序正確的是(

)A.b<a<c

B.c<b<a

C.a<b<c

D.b<c<a7.已知曲線x2+y2?4x?2y+1=0關于直線ax+by?1=0(a>0,b>0)對稱，則A.2 B.4 C.228.函數f(x)是定義在(?π,0)∪(0,π)上的奇函數，其導函數為f′(x)，且f(π2)=0，當0<x<π時，f′(x)sinx?f(x)cosx<0，則關于x的不等式f(x)<0的解集為A.(?π2,0)∪(π2,π) B.(?二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.復數z=3?i1+i，則下列說法正確的有(

)A.|z|=5 B.z的共軛復數z?=1+2i

C.z的虛部為?2i10.下列計算正確的有(

)A.(x2)′=2x B.(x+1x)′=1+11.(x?2x)A.展開式共7項 B.所有項的二項式系數之和為128

C.x項系數為280 D.所有項的系數之和為?112.拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F(0,1)，經過點F且傾斜角為α的直線l與拋物線C交于A，B兩點，分別過點A、點B作拋物線C的切線，兩切線相交于點E，則(

)A.當|AB|=16時，α=π3 B.△AOB面積的最大值為2

C.點E在一條定直線上 D.設直線EF傾斜角為β，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.在一次數學測試中，8名同學的成績如下：112、96、100、108、121、87、103、111.則這組數據的第60百分位數為______．14.已知向量a=(2,?3,1)，b=(m?1,2,1)，且a⊥b，則m=15.“楊輝三角”揭示了二項式展開式中的組合數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示，則在第10行中最大數為______．

16.甲、乙、丙三人做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人，則經過5次傳球后，球在甲手中的概率為______．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a(sinB+cosB)=c．

(1)求A；

(2)若c=2,a=5,D為18.(本小題12分)

2024年5月4日是“五四運動”105周年紀念日，為弘揚五四愛國主義精神，某學校開展了愛國主義知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關歷史的問題，每個人回答正確與否互不影響.已知甲回答正確的概率為13.甲、丙兩人都回答正確的概率是14，乙、丙兩人都回答正確的概率是12．

(1)若規定三名同學都回答這個問題，求甲、乙、丙三名同學都回答正確的概率；

(2)若規定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為16，119.(本小題12分)

已知等比數列{an}的公比q>1，滿足a1+a4=18，且a2a3=32．

(1)求數列{an}的通項公式；

20.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC/?/AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E為棱PD的中點，F是線段PC上一動點．

(1)求證：平面PBC⊥平面PAB；

(2)若直線BF與平面ABCD所成角的正弦值為33時，求點C到平面AEF的距離．21.(本小題12分)

已知函數f(x)=lnx?ax有兩個零點．

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：a(22.(本小題12分)

已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)中，焦距為42，且雙曲線過點P(?3,1).斜率不為零的直線與雙曲線交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過點P．

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)是否存在直線參考答案1.C

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.D

8.A

9.ABD

10.AC

11.BD

12.CD

13.108

14.7215.252

16.51617.解：(1)根據正弦定理得sinA(sinB+cosB)=sinC，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)，

則有sinA(sinB+cosB)=sin(A+B)，

∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinAsinB=cosAsinB，sinB≠0，

∴sinA=cosA，∴A=45°；

(2)根據余弦定理有a2=b2+c2?2bccosA，

則有5=b2+2?2b，解之得b=3，b=?1(舍去18.解：(1)設乙答題正確的概率為p2，丙答題正確的概率為p3，

則甲、丙兩人都回答正確的概率是13p3=14，解得p3=34，

乙、丙兩人都回答正確的概率是34p2=12，解得p2=23，

所以若規定三名同學都需要回答這個問題，

則甲、乙、丙三名同學都回答正確的概率為P=13×23×34=16；

19.解：(1)由a1+a4=18,a2a3=32?a1(1+q3)=18,a12q3=32,

因為q>1，解得a1=2,q=2或a120.解：(1)證明：∵PA⊥底面ABCD，又BC?底面ABCD，

∴BC⊥PA，又易知BC⊥AB，且PA∩AB=A，

PA,AB?平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，

∴平面PBC⊥平面PAB；

(2)如圖，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立直角坐標系，根據題意可得：

A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，E(0,2,1)，P(0,0,2)，

設PF=λPC，λ∈[0,1]，

則AF=AP+PF=AP+λPC=(0,0,2)+λ(2,2,?2)=(2λ,2λ,2?2λ)，

∴BF=AF?AB=(2λ,2λ,2?2λ)?(2,0,0)=(2λ?2,2λ,2?2λ)，

又易知平面ABCD的法向量為m=(0,0,1)，

設直線BF與平面ABCD所成角為θ，

則sinθ=|cos<BF,m>|=|2?2λ|(2λ?2)2+4λ2+(2?2λ)221.解：(1)f′(x)=1x?a=1?axx，(x>0)，

當a≤0時，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上遞增，f(x)至多一個零點；

所以a>0，且x∈(0,1a)時，f′(x)>0；x∈(1a,+∞)時，f′(x)<0，

所以f(x)在(0,1a)上單調遞增，在(1a,+∞)上單調遞減，

須有f(1a)=ln1a?1>0，∴0<a<1e．

又x→0時，f(x)→?∞；x→+∞時，f(x)→?∞．

所以f(x)有兩個零點，a的取值范圍為(0,1e)．

證明：(2)不妨設x1<x2，由f(x1)=f(x2)，則0<x1<1a<x2．

設F(x)=f(x)?f(2a?x)(0<x<1a)，

F′(x)=f′(x)?f′(22.解