江蘇省南通市如皋市丁堰鎮初級中學2025屆數學九上期末質量跟蹤監視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，已知AB是?O的直徑，點P在B的延長線上，PD與⊙O相切于點D，過點B作PD的垂線交PD的延長線于點C．若⊙O的半徑為1．BC＝9，則PA的長為（）A．8 B．4 C．1 D．52．關于反比例函數圖象，下列說法正確的是()A．必經過點 B．兩個分支分布在第一、三象限C．兩個分支關于軸成軸對稱 D．兩個分支關于原點成中心對稱3．如圖所示,將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形AB′C′D′的位置,旋轉角為α(0°<α<90°).若∠1=110°,則α等于()A．20° B．30° C．40° D．50°4．一個布袋里裝有2個紅球，3個黑球，4個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則下事件中，發生的可能性最大的是()A．摸出的是白球 B．摸出的是黑球C．摸出的是紅球 D．摸出的是綠球5．下列方程中不是一元二次方程的是（）A． B． C． D．6．計算的結果是（）A． B． C． D．97．近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）是鏡片的度數x（單位：度）的函數，下表記錄了一組數據，在下列函數中，符合表格中所給數據的是：（）（單位：度）…100250400500…（單位：米）…1.000.400.250.20…A．y=x B．y= C．y=﹣x+ D．y=8．如下圖形中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是()A． B． C． D．9．下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．10．如圖，⊙是的外接圓，，則的度數為()A．60° B．65° C．70° D．75°11．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A． B． C． D．12．若，設，，，則、、的大小順序為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．已知x1、x2是關于x的方程x2+4x5＝0的兩個根，則x1x2＝_____．14．反比例函數()的圖象經過點A，B（1,y1），C（3,y1），則y1_______y1．（填“<,=,>”）15．如圖，沿傾斜角為30°的山坡植樹，要求相鄰兩棵樹間的水平距離AC為2m，那么相鄰兩棵樹的斜坡距離AB約為________m．（結果精確到0.1m）16．已知，則的值為_______．17．如圖，平行四邊形中，，如果，則___________．18．如圖，點在反比例函數的圖象上，軸，垂足為，且，則__________.三、解答題（共78分）19．（8分）（1）問題發現如圖1，在中，，點為的中點，以為一邊作正方形，點恰好與點重合，則線段與的數量關系為______________；（2）拓展探究在（1）的條件下，如果正方形繞點旋轉，連接，線段與的數量關系有無變化?請僅就圖2的情形進行說明；（3）問題解決．當正方形旋轉到三點共線時，直接寫出線段的長．20．（8分）如圖，為的直徑，切于點，交的延長線于點，且.(1)求的度數.(2)若的半徑為2，求的長.21．（8分）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造．如圖2所示，改造前的斜坡米，坡度為；將斜坡的高度降低米后，斜坡改造為斜坡，其坡度為．求斜坡的長．（結果保留根號）22．（10分）開學初，某文具店銷售一款書包，每個成本是50元，銷售期間發現：銷售單價時100元時，每天的銷售量是50個，而銷售單價每降低2元，每天就可多售出10個，當銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤達到4000元？要求銷售單價不低于成本，且商家盡量讓利給顧客．23．（10分）如圖為一機器零件的三視圖．（1）請寫出符合這個機器零件形狀的幾何體的名稱；（2）若俯視圖中三角形為正三角形，那么請根據圖中所標的尺寸，計算這個幾何體的表面積（單位：cm2）24．（10分）如圖，為的直徑，、為上兩點，且點為的中點，過點作的垂線，交的延長線于點，交的延長線于點.（1）求證：是的切線；（2）當，時，求的長.25．（12分）已知關于x的一元二次方程（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是方程的兩個實數根，第三邊BC的長為1．當△ABC是等腰三角形時，求k的值26．如圖，直線AB和拋物線的交點是A（0，﹣3），B（5，9），已知拋物線的頂點D的橫坐標是1．（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；（1）在x軸上是否存在一點C，與A，B組成等腰三角形？若存在，求出點C的坐標，若不在，請說明理由；（3）在直線AB的下方拋物線上找一點P，連接PA，PB使得△PAB的面積最大，并求出這個最大值．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】連接OD,利用切線的性質可得∠PDO＝90°，再判定△PDO∽△PCB，最后再利用相似三角形的性質列方程解答即可．【詳解】解：連接DO∵PD與⊙O相切于點D，∴∠PDO＝90°，∵BC⊥PC，∴∠C＝90°，∴∠PDO＝∠C，∴DO//BC，∴△PDO∽△PCB，∴，設PA＝x，則，解得：x＝1，∴PA＝1．故答案為C．【點睛】本題考查了圓的切線性質以及相似三角形的判定與性質，證得△PDO∽△PCB是解答本題的關鍵．2、D【分析】把(2，1)代入即可判斷A，根據反比例函數的性質即可判斷B、C、D．【詳解】A．當x=2時，y=-1≠1，故不正確；B．∵-2＜0，∴兩個分支分布在第二、四象限，故不正確；C．兩個分支不關于軸成軸對稱，關于原點成中心對稱，故不正確；D．兩個分支關于原點成中心對稱，正確；故選D．【點睛】本題考查了反比例函數的圖象與性質，反比例函數(k是常數，k≠0)的圖象是雙曲線，當k＞0，反比例函數圖象的兩個分支在第一、三象限；當k＜0，反比例函數圖象的兩個分支在第二、四象限．反比例函數圖象的兩個分支關于原點成中心對稱．3、A【解析】由性質性質得，∠D′=∠D=90°,∠4=α,由四邊形內角和性質得∠3=360°-90°-90°-110°=70°,所以∠4=90°-70°=20°.【詳解】如圖,因為四邊形ABCD為矩形,所以∠B=∠D=∠BAD=90°,因為矩形ABCD繞點A順時針旋轉得到矩形AB′C′D′,所以∠D′=∠D=90°,∠4=α,因為∠1=∠2=110°,所以∠3=360°-90°-90°-110°=70°,所以∠4=90°-70°=20°,所以α=20°.故選：A【點睛】本題考核知識點：旋轉角.解題關鍵點：理解旋轉的性質.4、A【分析】個數最多的就是可能性最大的．【詳解】解：因為白球最多，所以被摸到的可能性最大．故選A．【點睛】本題主要考查可能性大小的比較：只要總情況數目相同，誰包含的情況數目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相當，那么它們的可能性就相等．5、C【分析】根據一元二次方程的定義進行排除選擇即可，一元二次方程的關鍵是方程中只包含一個未知數，且未知數的指數為2.【詳解】根據一元二次方程的定義可知含有一個未知數且未知數的指數是2的方程為一元二次方程，所以A，B，D均符合一元二次方程的定義，C選項展開移項整理后不含有未知數，不符合一元二次方程的定義，所以錯誤，故選C.【點睛】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知此定義是解題的關鍵.6、D【分析】根據負整數指數冪的計算方法：，為正整數），求出的結果是多少即可．【詳解】解：，計算的結果是1．故選：D．【點睛】此題主要考查了負整數指數冪：，為正整數），要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：（1）計算負整數指數冪時，一定要根據負整數指數冪的意義計算；（2）當底數是分數時，只要把分子、分母顛倒，負指數就可變為正指數．7、B【分析】根據表格數據可得近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）與度數x（單位：度）成反比例，依此即可求解；【詳解】根據表格數據可得，100×1=250×0.4=400×0.25=500×0.2=100，所以近視鏡鏡片的焦距y（單位：米）與度數x（單位：度）成反比例，所以y關于x的函數關系式是y=．故選：B．【點睛】此題主要考查了根據實際問題列反比例函數關系式，關鍵是掌握反比例函數形如（k≠0）．8、B【解析】根據中心對稱圖形的定義以及軸對稱圖形的定義進行判斷即可得出答案．【詳解】A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項正確；C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的定義，根據定義得出圖形形狀是解決問題的關鍵．9、C【分析】根據同類二次根式的定義即可判斷.【詳解】A.=，不符合題意；B.，不符合題意；C.=，符合題意；D.=，不符合題意；故選C.【點睛】此題主要考查同類二次根式的識別，解題的關鍵是熟知二次根式的性質進行化簡.10、C【分析】連接OB，根據等腰三角形的性質和圓周角定理即可得到結論．【詳解】連接OB，∵OC＝OB，∠BCO＝20，∴∠OBC＝20，∴∠BOC＝180?20?20＝140，∴∠A＝140×＝70，故選：C．【點睛】本題考查了圓周角定理，要知道，同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半．11、A【分析】根據中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故答案為A．【點睛】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念,理解這兩個概念是解答本題的關鍵.12、B【分析】根據，設x=1a，y=7a，z=5a，進而代入A，B，C分別求出即可．【詳解】解：∵，設x=1a，y=7a，z=5a，

∴=，

==1，

==1．

∴A＜B＜C．

故選：B．【點睛】本題考查了比例的性質，根據比例式用同一個未知數得出x，y，z的值進而求出是解題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、-1【分析】根據根與系數的關系即可求解．【詳解】∵x1、x2是關于x的方程x2+1x5＝0的兩個根，∴x1x2＝-=-1，故答案為：-1．【點睛】此題主要考查根與系數的關系，解題的關鍵是熟知x1x2＝-．14、>【分析】根據反比例函數的性質得出在每個象限內，y隨x的增大而減小，圖象在第一、三象限內，再比較即可．【詳解】解：由圖象經過點A，可知，反比例函數圖象在第一、三象限內，y隨x的增大而減小，由此可知y1>y1.【點睛】本題考查反比例函數的圖象和性質，能熟記反比例函數的性質是解此題的關鍵．15、2.3【解析】AB是Rt△ABC的斜邊，這個直角三角形中，已知一邊和一銳角，滿足解直角三角形的條件，可求出AB的長．【詳解】在Rt△ABC中,∴∴即斜坡AB的長為2.3m.故答案為2.3.【點睛】考查解直角三角形的實際應用，熟練掌握銳角三角函數是解題的關鍵.16、【分析】令連等式的值為k，將a、b、c全部轉化為用k表示的形式，進而得出比值．【詳解】令則a=6k，b=5k，c=4k則故答案為：．【點睛】本題考查連比式的應用，是一類比較常見的題型，需掌握這種解題方法．17、【分析】由平行四邊形的性質可知△AEF∽△CDF，再利用條件可求得相似比，利用面積比等于相似比的平方可求得△CDF的面積．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAF＝∠DCF，且∠AFE＝∠CFD，∴△AEF∽△CDF，∵AE：EB＝1：2∴，∴，∵，∴S△CDF＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比、面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．18、6【分析】根據三角形的面積等于即可求出k的值.【詳解】∵由題意得：=3，解得，∵反比例函數圖象的一個分支在第一象限，∴k=6，故答案為：6.【點睛】此題考查反比例函數的比例系數k的幾何意義，掌握三角形的特點與k的關系是解題的關鍵.三、解答題（共78分）19、（1）；（2）無變化，說明見詳解；（3）或【分析】(1)先利用等腰直角三角形的性質得出AB=AD，再得出AD=AF，即可得出結論；

(2)先利用等腰直角三角形和正方形的性質得：，并證明夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進而得出結論；（3）分當點E在線段BF上時和當點E在線段BF的延長線上時討論即可求得線段的長．【詳解】解：(1)在Rt△ABC中，AB=AC，

∵D是BC的中點，

∴AD=BC=BD，AD⊥BC，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴AB=AD，

∵正方形CDEF，

∴DE=EF，

當點E恰好與點A重合，

∴AB=AD=AF，即BE=AF，

故答案為：BE=AF；(2)無變化；如圖2，在中，∴，∴在正方形中，在中，∴∵∴在和中∴∽∴∴線段和的數量關系無變化．(3)或.當點E在線段BF上時,如圖2，∵正方形，由（1）知AB=AD=AF，∴CF=EF=CD=2,在Rt△BCF中，CF=2,BC=4,根據勾股定理得，BF=,∴BE=BF-EF=-2,由（2）得，，∴AF=;當點E在線段BF的延長線上時，如圖，同理可得，BF=,BE=BF+EF=+2,∴AF=,綜上所述，當正方形旋轉到三點共線時，線段的長為或．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，正方形的性質，旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，解題的鍵是判斷出△ACF∽△BCE．20、(1)；(2).【分析】（1）根據等腰三角形性質和三角形外角性質求出∠COD=2∠A，求出∠D=∠COD，根據切線性質求出∠OCD=90°，即可求出答案；（2）由題意的半徑為2，求出OC=CD=2，根據勾股定理求出BD即可．【詳解】解：（1）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，∵∠D=2∠A，∴∠D=∠COD，∵PD切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=∠COD=45°；（2）∵∠D=∠COD，的半徑為2，∴OC=OB=CD=2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22=（2+BD）2，解得：．【點睛】本題考查切線的性質，勾股定理，等腰三角形性質，三角形的外角性質的應用，主要考查學生的推理能力，熟練掌握切線的性質，勾股定理，等腰三角形性質，三角形的外角性質是解題關鍵．21、斜坡的長是米．【解析】根據題意和銳角三角函數可以求得的長，進而得到的長，再根據銳角三角函數可以得到的長，最后用勾股定理即可求得的長．【詳解】∵，，坡度為，∴，∴，∴，∵，∴，∵，斜坡的坡度為，∴，即，解得，，∴米，答：斜坡的長是米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數和數形結合的思想解答．22、銷售單價為70元時，每天的銷售利潤達到4000元，且商家盡量讓利顧客．【分析】根據“單件利潤×銷售量=總利潤”可列一元二次方程求解，結合題意取舍可得【詳解】解：設銷售單價為x元時，每天的銷售利潤達到4000元，由題意得，（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝4000，解得x1＝70，x2＝90，因為晨光文具店銷售單價不低于成本，且商家盡量讓利顧客，所以x2＝90不符合題意舍去，故x＝70，答：銷售單價為70元時，每天的銷售利潤達到4000元，且商家盡量讓利顧客．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，理解題意確定相等關系，并據此列出方程是解題的關鍵．23、（1）直三棱柱；（2）【解析】試題分析：（1）有2個視圖的輪廓是長方形，那么這個幾何體為棱柱，另一個視圖是三角形，那么該幾何體為三棱柱；（2）根據正三角形一邊上的高可得正三角形的邊長，表面積=側面積+2個底面積=底面周長×高+2個底面積．試題解析：（1）符合這個零件的幾何體是直三棱柱；（2）如圖，△ABC是正三角形，CD⊥AB，CD=2，，在Rt△ADC中，，解得AC=4，∴S表面積=4×2×3+2××4×2=(24+8)（cm2）.24、（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）連接，如圖，由點為的中點可得，根據可得，可得，于是，進一步即可得出，進而可證得結論；（2）在中，利用解直角三角形的知識可求得半徑的長，進而可得AD的長，然后在中利用∠D的正弦即可求出結果.【詳解】解：（1）連接，如圖，∵點為的中點，∴，∴.∵，∴，∴.∴.∵，∴.∴，即.∴是的切線；（2）在中，∵，∴設，則，則，解得：.∴，，∴.在中，∵，∴.【點睛】本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定和性質以及解直角三角形的知識，屬于中檔題型，熟練掌握上述知識是解題的關鍵.25、（5）詳見解析（4）或【分析】（5）先計算出△=5，然后根據判別式的意義即可得到結論；（4）先利用公式法求出方程的解為x5=k，x4=k+5，然后分類討論：AB=k，AC=k+5，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．【詳解】解：（5）證明：∵△=（4k+5）4-4（k4+k）=5＞0，∴方程有兩個不相等的實數根；（4）解：一元二次方程x4-（4k+5）x+k4+k=0的解為x=，即x5=k，x4=k+5，∵k＜k+5，∴AB≠AC．當AB=k，AC=k+5，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；當AB=k，AC=k+5，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+5=5，解得k=4，所以k的值為5或4．【點睛】5．根的判別式；4．解一元