考點18導數的綜合應用8種常見考法歸類-【考點通關】備戰2024年高考數學一輪題型歸納與解題策略(新高考地區專用)考點18導數的綜合應用8種常見考法歸類考點一利用導數研究函數的圖象和性質考點二證明不等式作差函數證明不等式構造雙函數證明不等式（三）適當放縮法證明不等式（四）利用結論證明不等式（五）利用隱零點證明不等式（六）與數列有關的不等式證明考點三恒(能)成立問題（一）分離參數法（二）分類討論法（三）同構法（四）隱零點法考點四討論零點個數考點五根據函數零點情況求參數范圍考點六與零點有關的不等式問題（一）比值代換（二）消參減元法（三）構造關聯(對稱)函數考點七利用導數研究雙變量問題考點八導數中的極值點偏移問題1．利用導數研究函數的圖象與性質函數圖象的識別主要利用函數的定義域、值域、奇偶性、單調性以及函數值的符號等.解決此類問題應先觀察選項的不同之處，然后根據不同之處研究函數的相關性質，進而得到正確的選項.如該題中函數解析式雖然比較復雜，但借助函數的定義域與函數的單調性很容易利用排除法得到正確選項.2．利用導數證明不等式利用導數證明不等式問題一般要用到構造法，構造法是指在證明與函數有關的不等式時，根據所要證明的不等式，構造與之相關的函數，利用函數單調性、極值、最值加以證明．常見的構造方法有：(1)直接構造法：證明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))轉化為證明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，進而構造輔助函數h(x)＝f(x)－g(x),然后利用h(x)的最值證明不等式；注：作差構造法：待證不等式的兩邊含有相同的變量時，一般地，可以直接構造“左減右”或“右減左”的函數，通過研究其單調性等相關函數性質證明不等式．利用構造差函數證明不等式的基本步驟：①作差或變形；②構造新的函數g(x)；③利用導數研究g(x)的單調性或最值；④根據單調性及最值，得到所證不等式．(2)適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮，二是利用常見的放縮結論，導數方法證明不等式中，最常見的是ex和lnx與其他代數式結合的問題，對于這類問題，可以考慮先對ex和lnx進行放縮，使問題簡化，簡化后再構建函數進行證明．如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx<x<ex(x>0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)構造“形似”函數：稍作變形再構造，對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數，把不等式轉化為左、右兩邊是相同結構的式子的形式，根據“相同結構”構造輔助函數；(4)構造雙函數：若直接構造函數求導難以判斷符號，導函數零點也不易求得，函數單調性與極值點都不易獲得，則可構造函數f(x)和g(x)，利用其最值求解．在證明過程中，“隔離”轉化是關鍵，將不等式不等號兩端分別“隔離”出兩個函數式f(x)，g(x)，使f(x)min>g(x)max恒成立，從而f(x)>g(x)，但f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個“x的值”；若不能直接轉化為最值問題的不等式證明可將不等式的某一部分“隔離”開，單獨進行研究，然后再納入整體進行論證．(5)利用“隱零點”證明不等式：關鍵在于“設而不求”及“等量代換”，常見的有不含參和含參兩種類型：①不含參函數的隱零點問題：已知不含參函數f(x)，導函數方程f′(x)＝0的根存在，卻無法求出，設方程f′(x)＝0的根為x0，則(i)有關系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意確定x0的合適范圍.②含參函數的隱零點問題：已知含參函數f(x，a)，其中a為參數，導函數方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無法求出，設方程f′(x，a)＝0的根為x0，則(i)有關系式f′(x0，a)＝0成立，該關系式給出了x0，a的關系；(ii)注意確定x0的合適范圍，往往和a的取值范圍有關.3.對于函數f(x)＝ex在x＝0處的泰勒展開式如下：ex＝1＋eq\f(x,1！)＋eq\f(x2,2！)＋eq\f(x3,3！)＋…＋eq\f(xn,n！)＋…?ex≥x＋1.類似的，常用泰勒展開式擬合的不等式還有：ln(1＋x)＝x－eq\f(x2,2)＋eq\f(x3,3)－eq\f(x4,4)＋…＋(－1)n－1·eq\f(xn,n)＋…?ln(x＋1)≤x；sinx＝x－eq\f(x3,3！)＋eq\f(x5,5！)－…＋(－1)n－1·eq\f(x2n－1,（2n－1）！)＋…?sinx≤x；cosx＝1－eq\f(x2,2！)＋eq\f(x4,4！)－eq\f(x6,6！)＋…＋(－1)n·eq\f(x2n,（2n）！)＋…?cosx≥1－eq\f(1,2)x2.4.由ex≥x＋1演繹出的一些常見不等結構：5．與不等式恒成立、有解、無解等問題有關的參數范圍問題（1）利用導數解決不等式的恒成立或有解問題的主要策略：①構造函數，利用導數求出最值，進而求出參數的取值范圍；②分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.有些不易分參的也可采用“同構”技巧.（2）若a>f(x)對x∈D恒成立，則只需a>f(x)max；若a<f(x)對x∈D恒成立，則只需a<f(x)min；若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，則只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，則只需a<f(x0)max．由此構造不等式，求解參數的取值范圍．（3）分離參數法利用分離參數法確定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ為參數)恒成立問題中參數范圍的步驟：①將參數與變量分離，化為f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；②求f2(x)在x∈D時的最大值或最小值；③解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范圍．6．與函數零點有關的參數范圍問題（1）方程有實根函數的圖象與軸有交點函數有零點．（2）求極值的步驟：①先求的根（定義域內的或者定義域端點的根舍去）；②分析兩側導數的符號：若左側導數負右側導數正，則為極小值點；若左側導數正右側導數負，則為極大值點.（3）求函數的單調區間、極值、最值是統一的，極值是函數的拐點，也是單調區間的劃分點，而求函數的最值是在求極值的基礎上，通過判斷函數的大致圖象，從而得到最值,大前提是要考慮函數的定義域.（4）函數的零點就是的根，所以可通過解方程得零點，或者通過變形轉化為兩個熟悉函數圖象的交點橫坐標.（5）含參數的函數零點個數，可轉化為方程解的個數，若能分離參數，可將參數分離出來后，用x表示參數的函數，作出該函數的圖象，根據圖象特征求參數的范圍．由于利用零點存在定理時，一般不使用極限語言，故常常需要“取點”，可借助ex≥x＋1，lnx≤x－1等結構放縮，必要時可構造函數證明所取點的符號.（6）根據函數零點的情況求參數值或取值范圍的基本方法：①利用零點存在的判定定理構建不等式求解；②分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解；③轉化為兩個熟悉的函數圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解.7．與不零點有關的不等式問題（1）證明雙變量不等式的基本思路：首先進行變量的轉化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關系式，或者通過比值代換eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用關系式將其中一個變量用另一個變量表示，代入要證明的不等式，化簡后根據其結構特點構造函數，再借助導數，判斷函數的單調性，從而求其最值，并把最值應用到所證不等式.（2）消參減元的主要目的是減元，進而建立與所求解問題相關的函數．消參減元法，主要是利用導數把函數的極值點轉化為導函數的零點，進而建立參數與極值點之間的關系，消去參數或減少變元，從而簡化目標函數．其解題要點如下．①建方程：求函數的導函數，令f′(x)＝0，建立極值點所滿足的方程，抓住導函數中的關鍵——導函數解析式中變號的部分(一般為一個二次整式)；②定關系：即根據極值點所滿足的方程，利用方程解的知識，建立極值點與方程系數之間的關系；③消參減元：即根據兩個極值點之間的關系，利用和差或積商等運算，化簡或轉化所求解問題，消掉參數或減少變量的個數；④構造函數：即根據消參減元后的式子的結構特征，構造相應的函數；⑤求解問題：即利用導數研究所構造函數的單調性、極值、最值等，解決相關問題．（3）極值點偏移問題，除了前述方法外，也常通過構造關聯(對稱)函數求解，常見步驟如下：①構造奇函數F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②對F(x)求導，判斷F′(x)的符號，確定F(x)的單調性；③結合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)<f(x0＋x))；④由f(x1)＝f(x2)＝f(x0－(x0－x2))>(或<)f(x0＋(x0－x2))＝f(2x0－x2)得f(x1)>(或<)f(2x0－x2)；⑤結合f(x)的單調性，得x1>(或<)2x0－x2，得x1＋x2>(或<)2x0.其中也可考慮構造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)等，具體視已知條件“執果索因”.8．解析式中含有,的兩個模型（1）含有的函數模型常用的構造方法如下，①直接利用原函數，有時也可分為兩個初等函數模型；②構造成“常數+因式·”型，求導后的運算不易受的干擾；③分離參數法構造函數模型，沒有參數，避免了分類討論，但是有時函數較復雜需多次求導.（2）含有的函數模型“獨立與不獨立”法消掉使的系數為常數，即“獨立”,可一次求導解決單調性問題；當的系數不能消掉時，即"不獨立",需兩次求導，才能依次推導出單調性、零點、極值點等問題.考點一利用導數研究函數的圖象和性質1．（2023·安徽蕪湖·統考模擬預測）函數在區間的圖像大致為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若存在三個不相等的實數a，b，c，使得成立，則的取值范圍是________.3．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知函數，若不等式有且僅有1個整數解，則實數a的取值范圍為______．4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若關于的方程有3個不同的實數根，則的取值范圍為______．考點二證明不等式（一）作差構造函數證明不等式5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．(1)若，證明：當時；(2)當時，，求a的取值范圍．6．（2023春·河南開封·高三統考期中）已知函數，.(1)若函數在上單調遞增，求a的取值范圍；(2)若，求證：.7．（2023春·吉林延邊·高三延邊第一中學校考開學考試）已知函數(1)當，且時，證明：；(2)是否存在實數a，使函數在上單調遞增?若存在，求出a的取值范圍；不存在，說明理由．8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，曲線與曲線在處的切線互相平行．（1）求的值；（2）求證：在上恒成立．（二）構造雙函數證明不等式9．（2023秋·黑龍江大慶·高三鐵人中學校考期末）已知.(1)求曲線在處的切線方程；(2)當時，證明.10．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考期中）已知函數.(1)當時，求在點處的切線方程；(2)時，求證：.11．（2023·全國·高三專題練習）設函數，其中為自然對數的底數，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．（1）求的值；（2）證明：．（三）適當放縮法證明不等式12．（2023·全國·高三專題練習）函數，其中，，為實常數(1)若時，討論函數的單調性；(2)若，當時，證明：.13．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學校考期中）已知函數．(1)討論函數的極值情況；(2)證明：當時，．14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，.(1)求函數的極值；(2)證明：當時，在上恒成立.（四）利用結論證明不等式15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.(1)證明：；(2)當時，證明不等式，在上恒成立.16．（2023春·吉林長春·高三長春市實驗中學校考階段練習）已知函數，.(1)求證：在區間上單調遞增；(2)求證：.17．（2023·陜西寶雞·寶雞中學校考模擬預測）已知函數.(1)若都有，求正數的最大值；(2)求證：.（五）利用隱零點證明不等式18．（2023春·廣東深圳·高三紅嶺中學校考期中）已知函數，其中.(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：.19．（2023春·山東日照·高三校聯考期中）設函數.（1）討論的導函數零點的個數；（2）證明：當時，.20．（2023春·四川成都·高三成都外國語學校校考期中）已知．(1)若，且對任意恒成立，求a的范圍；(2)當時，求證：．21．（2023·河北保定·統考一模）已知函數．(1)當時，證明：當時，；(2)當時，恒成立，求a的取值范圍．（六）與數列有關的不等式證明22．（2023·全國·高三專題練習）已知.(1)求函數的單調區間；(2)設函數，若關于的方程有解，求實數的最小值；(3)證明不等式：.23．（2023·全國·高三專題練習）設函數，，.(1)求在上的單調區間；(2)若在y軸右側，函數圖象恒不在函數的圖象下方，求實數a的取值范圍；(3)證明：當時，.24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，.(1)當時，，求實數的取值范圍；(2)已知，證明：.25．（2023·四川自貢·統考三模）已知函數（e為自然對數底數）．(1)判斷，的單調性并說明理由；(2)證明：對，．考點三恒(能)成立問題（一）分離參數法26．（2023秋·北京·高三北京交通大學附屬中學校考階段練習）已知函數，若在區間內恒成立，則實數的范圍為__．27．（2023秋·江西·高三校聯考期中）已知函數(為自然對數的底數)，若在上恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．28．（2023·河南開封·統考二模）已知函數，若在上有解，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．29．（2023春·廣東江門·高三臺山市第一中學校考階段練習）已知函數.（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.（二）分類討論法30．（2023春·吉林長春·高三東北師大附中校考期中）已知函數．(1)，恒成立，求實數的取值范圍．(2)若存在兩個不等正實數，，，且，求實數的取值范圍．31．（2023春·安徽安慶·高三校考階段練習）當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是A． B． C． D．32．（2023·陜西榆林·陜西省神木中學校考模擬預測）已知函數.（1）當時，討論的單調性；（2）設，若關于的不等式在上有解，求的取值范圍.33．（2023·廣西·統考模擬預測）已知函數，在處的切線與x軸平行.（1）求的單調區間；（2）若存在，當時，恒成立，求k的取值范圍.34．（2023·全國·高三專題練習）已知為自然對數的底數，為常數，函數.(1)求函數的極值；(2)若在軸的右側函數的圖象總在函數的圖象上方，求實數的取值范圍.（三）同構法35．（2023·全國·高三專題練習）若不等式恒成立，則的取值范圍為______.36．（2023春·湖南長沙·高三長沙麓山國際實驗學校校考期中）已知函數，對任意的，恒成立，則的取值范圍是__________.37．（2023·全國·高三專題練習）若，則實數的最大值為________.38．（2023·遼寧·大連二十四中校聯考三模）關于的不等式在上恒成立，則的最小值是__________.（四）隱零點法39．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實驗中學校聯考期中）已知函數，．(1)求函數的單調區間；(2)若恒成立，求實數m的取值范圍．40．（2023春·山東濟南·高三統考期中）已知函數，若對任意兩個不相等的正實數，都有，則實數a的取值范圍為_________．考點四討論零點個數41．（2023春·重慶九龍坡·高三統考期末）設函數，則（

）A．在區間，內均有零點B．在區間，內均無零點C．在區間內有零點，在區間內無零點D．在區間內無零點，在區間內有零點42．（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知函數.(1)若，證明：當時，；(2)討論函數在上零點個數.43．（2023·浙江紹興·統考二模）設函數，其中.(1)當時，求函數的值域；(2)設，當時，①證明：函數恰有兩個零點；②若為函數的極值點，為函數的零點，且，證明：.44．（河南省安陽市2023屆高三三模文科數學試題）已知函數.(1)證明：曲線在點處的切線經過坐標原點；(2)若，證明：有兩個零點.45．（2023秋·河南濮陽·高三濮陽南樂一高校考階段練習）已知函數．(1)證明：在區間存在唯一的極值點；(2)試討論的零點個數.46．（2023·河南·校聯考三模）已知函數.(1)判斷的導函數在上零點的個數，并說明理由；(2)證明：當時，.注：.考點五根據函數零點情況求參數范圍47．（2023春·河北·高三校聯考期中）已知函數；(1)若無零點，求a的取值范圍；(2)若有兩個相異零點，證明：．48．（2023·安徽六安·六安一中校考模擬預測）已知函數（），若函數有唯一零點，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．49．（2023秋·黑龍江雞西·高三雞西實驗中學校考階段練習）已知函數，若存在唯一的零點，且．則的取值范圍是__．50．（2023·河北唐山·統考一模）已知，函數.（1）討論的單調性；（2）若在上僅有一個零點，求的取值范圍.51．（2023春·山東聊城·高三統考期末）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.52．（2023秋·山西陽泉·高三統考期末）已知函數.（1）討論的單調性；（2）設，若且有兩個零點，求的取值范圍.53．（2023春·四川宜賓·高三統考期末）已知函數恰有三個零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．54．（2023秋·山東濟南·高三濟南市歷城第二中學校考階段練習）已知函數，.（1）求的極值；（2）若方程有三個解，求實數的取值范圍.55．（2023春·浙江寧波·高三寧波市北侖中學校考期中）已知函數，．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）設是函數的四個不同的零點，問是否存在實數，使得其三個零點成等差數列？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由．56．（2023秋·江西撫州·高三臨川一中階段練習）已知函數在區間上至少有一個零點，則實數的取值范圍是A． B． C． D．考點六與零點有關的不等式問題（一）比值代換57．（2023·廣東·高三專題練習）已知函數（是自然對數的底數）有兩個零點.(1)求實數的取值范圍；(2)若的兩個零點分別為，，證明：.58．（2023春·河北·高三校聯考階段練習）已知函數.(1)討論的單調性.(2)若存在兩個零點，且曲線在和處的切線交于點.①求實數的取值范圍；②證明：.59．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在區間上有兩個極值點，．(1)求實數a的取值范圍；(2)證明：．60．（2023·云南曲靖·統考模擬預測）已知函數是的導函數.(1)求函數的極值；(2)若函數有兩個不同的零點，證明：.61．（2023·廣西·校聯考模擬預測）已知函數(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，是方程的兩個不等實根，且，證明：．（二）消參減元法62．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．(1)討論函數的單調性；(2)設函數有兩個極值點，，證明：．63．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯考期中）已知函數.(1)討論函數的單調性；(2)若是函數的兩個不同極值點，且滿足：，求證：.64．（2023秋·山西·高三校聯考期末）已知函數，其中為非零實數.(1)討論的單調性；(2)若有兩個極值點，且，證明：.（三）構造關聯（對稱）函數65．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.(1)討論的單調性；(2)若有兩個零點，且，證明：.66．（2023·浙江紹興·統考模擬預測）已知函數，a為實數．(1)求函數的單調區間；(2)若函數在處取得極值，是函數的導函數，且，，證明：67．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，為常數，且.(1)判斷的單調性；(2)當時，如果存在兩個不同的正實數，且，證明：.考點七利用導數研究雙變量問題68．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯考期中）已知函數，．(1)求函數的導函數在上的單調性；(2)證明：，有．69．（2023·全國·高三專題練習）已知，，若存在，，使得成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．70．（2023秋·山東濟寧·高三校考階段練習）已知函數，，若，，使得，則實數的取值范圍是____．71．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三校考階段練習）已知，，若對，，使得成立，則a的取值范圍是______．72．（2023·河南·高三校聯考階段練習）已知函數.（1）討論的單調性；（2）如果方程有兩個不相等的解，且，證明：.73．（2023·湖北·校聯考模擬預測）已知函數，（）．(1)若存在兩個極值點，求實數的取值范圍；(2)若，為的兩個極值點，證明：．74．（2023·江蘇·高三專題練習）已知函數．（1）若，證明：當時，；當時，．（2）若存在兩個極值點，證明：．75．（2023秋·重慶巴南·高三重慶市清華中學校校考階段練習）已知函（）有兩個極值點，．（1）求的取值范圍；（2）當時，證明：．76．（2023·海南·校聯考模擬預測）已知函數在上單調遞增.(1)求的取值范圍；(2)若存在正數滿足（為的導函數），求證：.考點八導數中的極值點偏移問題77．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，其中．(1)若有兩個零點，求的取值范圍；(2)若，求的取值范圍．78．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．(1)若，求函數在為自然對數的底數）上的零點個數；(2)若方程恰有一個實根，求的取值集合；(3)若方程有兩個不同的實根，，求證：．79．（2023·云南·高三校聯考期中）已知函數在點處的切線方程與軸平行．(1)求函數的極值；(2)若函數有兩個不同的零點，．①求的取值范圍；②證明：．80．（2023·浙江·高三專題練習）已知函數．（1）討論f（x）的極值點的個數；（2）若f（x）有3個極值點x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），證明：x1x3＜x22．81．（2023·全國·高三專題練習）82．（2023·江西鷹潭·統考二模）設函數，().（1）若在處的切線平行于直線，求實數的值；（2）設函數，判斷的零點的個數；（3）設是的極值點，是的一個零點，且，求證：.考點18導數的綜合應用8種常見考法歸類考點一利用導數研究函數的圖象和性質考點二證明不等式作差函數證明不等式構造雙函數證明不等式（三）適當放縮法證明不等式（四）利用結論證明不等式（五）利用隱零點證明不等式（六）與數列有關的不等式證明考點三恒(能)成立問題（一）分離參數法（二）分類討論法（三）同構法（四）隱零點法考點四討論零點個數考點五根據函數零點情況求參數范圍考點六與零點有關的不等式問題（一）比值代換（二）消參減元法（三）構造關聯(對稱)函數考點七利用導數研究雙變量問題考點八導數中的極值點偏移問題1．利用導數研究函數的圖象與性質函數圖象的識別主要利用函數的定義域、值域、奇偶性、單調性以及函數值的符號等.解決此類問題應先觀察選項的不同之處，然后根據不同之處研究函數的相關性質，進而得到正確的選項.如該題中函數解析式雖然比較復雜，但借助函數的定義域與函數的單調性很容易利用排除法得到正確選項.2．利用導數證明不等式利用導數證明不等式問題一般要用到構造法，構造法是指在證明與函數有關的不等式時，根據所要證明的不等式，構造與之相關的函數，利用函數單調性、極值、最值加以證明．常見的構造方法有：(1)直接構造法：證明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))轉化為證明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，進而構造輔助函數h(x)＝f(x)－g(x),然后利用h(x)的最值證明不等式；注：作差構造法：待證不等式的兩邊含有相同的變量時，一般地，可以直接構造“左減右”或“右減左”的函數，通過研究其單調性等相關函數性質證明不等式．利用構造差函數證明不等式的基本步驟：①作差或變形；②構造新的函數g(x)；③利用導數研究g(x)的單調性或最值；④根據單調性及最值，得到所證不等式．(2)適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮，二是利用常見的放縮結論，導數方法證明不等式中，最常見的是ex和lnx與其他代數式結合的問題，對于這類問題，可以考慮先對ex和lnx進行放縮，使問題簡化，簡化后再構建函數進行證明．如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx<x<ex(x>0)，eq\f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)構造“形似”函數：稍作變形再構造，對原不等式同解變形，如移項、通分、取對數，把不等式轉化為左、右兩邊是相同結構的式子的形式，根據“相同結構”構造輔助函數；(4)構造雙函數：若直接構造函數求導難以判斷符號，導函數零點也不易求得，函數單調性與極值點都不易獲得，則可構造函數f(x)和g(x)，利用其最值求解．在證明過程中，“隔離”轉化是關鍵，將不等式不等號兩端分別“隔離”出兩個函數式f(x)，g(x)，使f(x)min>g(x)max恒成立，從而f(x)>g(x)，但f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個“x的值”；若不能直接轉化為最值問題的不等式證明可將不等式的某一部分“隔離”開，單獨進行研究，然后再納入整體進行論證．(5)利用“隱零點”證明不等式：關鍵在于“設而不求”及“等量代換”，常見的有不含參和含參兩種類型：①不含參函數的隱零點問題：已知不含參函數f(x)，導函數方程f′(x)＝0的根存在，卻無法求出，設方程f′(x)＝0的根為x0，則(i)有關系式f′(x0)＝0成立；(ii)注意確定x0的合適范圍.②含參函數的隱零點問題：已知含參函數f(x，a)，其中a為參數，導函數方程f′(x，a)＝0的根存在，卻無法求出，設方程f′(x，a)＝0的根為x0，則(i)有關系式f′(x0，a)＝0成立，該關系式給出了x0，a的關系；(ii)注意確定x0的合適范圍，往往和a的取值范圍有關.3.對于函數f(x)＝ex在x＝0處的泰勒展開式如下：ex＝1＋eq\f(x,1！)＋eq\f(x2,2！)＋eq\f(x3,3！)＋…＋eq\f(xn,n！)＋…?ex≥x＋1.類似的，常用泰勒展開式擬合的不等式還有：ln(1＋x)＝x－eq\f(x2,2)＋eq\f(x3,3)－eq\f(x4,4)＋…＋(－1)n－1·eq\f(xn,n)＋…?ln(x＋1)≤x；sinx＝x－eq\f(x3,3！)＋eq\f(x5,5！)－…＋(－1)n－1·eq\f(x2n－1,（2n－1）！)＋…?sinx≤x；cosx＝1－eq\f(x2,2！)＋eq\f(x4,4！)－eq\f(x6,6！)＋…＋(－1)n·eq\f(x2n,（2n）！)＋…?cosx≥1－eq\f(1,2)x2.4.由ex≥x＋1演繹出的一些常見不等結構：5．與不等式恒成立、有解、無解等問題有關的參數范圍問題（1）利用導數解決不等式的恒成立或有解問題的主要策略：①構造函數，利用導數求出最值，進而求出參數的取值范圍；②分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.有些不易分參的也可采用“同構”技巧.（2）若a>f(x)對x∈D恒成立，則只需a>f(x)max；若a<f(x)對x∈D恒成立，則只需a<f(x)min；若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，則只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，則只需a<f(x0)max．由此構造不等式，求解參數的取值范圍．（3）分離參數法利用分離參數法確定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ為參數)恒成立問題中參數范圍的步驟：①將參數與變量分離，化為f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式；②求f2(x)在x∈D時的最大值或最小值；③解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范圍．6．與函數零點有關的參數范圍問題（1）方程有實根函數的圖象與軸有交點函數有零點．（2）求極值的步驟：①先求的根（定義域內的或者定義域端點的根舍去）；②分析兩側導數的符號：若左側導數負右側導數正，則為極小值點；若左側導數正右側導數負，則為極大值點.（3）求函數的單調區間、極值、最值是統一的，極值是函數的拐點，也是單調區間的劃分點，而求函數的最值是在求極值的基礎上，通過判斷函數的大致圖象，從而得到最值,大前提是要考慮函數的定義域.（4）函數的零點就是的根，所以可通過解方程得零點，或者通過變形轉化為兩個熟悉函數圖象的交點橫坐標.（5）含參數的函數零點個數，可轉化為方程解的個數，若能分離參數，可將參數分離出來后，用x表示參數的函數，作出該函數的圖象，根據圖象特征求參數的范圍．由于利用零點存在定理時，一般不使用極限語言，故常常需要“取點”，可借助ex≥x＋1，lnx≤x－1等結構放縮，必要時可構造函數證明所取點的符號.（6）根據函數零點的情況求參數值或取值范圍的基本方法：①利用零點存在的判定定理構建不等式求解；②分離參數后轉化為函數的值域(最值)問題求解；③轉化為兩個熟悉的函數圖象的位置關系問題，從而構建不等式求解.7．與不零點有關的不等式問題（1）證明雙變量不等式的基本思路：首先進行變量的轉化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關系式，或者通過比值代換eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用關系式將其中一個變量用另一個變量表示，代入要證明的不等式，化簡后根據其結構特點構造函數，再借助導數，判斷函數的單調性，從而求其最值，并把最值應用到所證不等式.（2）消參減元的主要目的是減元，進而建立與所求解問題相關的函數．消參減元法，主要是利用導數把函數的極值點轉化為導函數的零點，進而建立參數與極值點之間的關系，消去參數或減少變元，從而簡化目標函數．其解題要點如下．①建方程：求函數的導函數，令f′(x)＝0，建立極值點所滿足的方程，抓住導函數中的關鍵——導函數解析式中變號的部分(一般為一個二次整式)；②定關系：即根據極值點所滿足的方程，利用方程解的知識，建立極值點與方程系數之間的關系；③消參減元：即根據兩個極值點之間的關系，利用和差或積商等運算，化簡或轉化所求解問題，消掉參數或減少變量的個數；④構造函數：即根據消參減元后的式子的結構特征，構造相應的函數；⑤求解問題：即利用導數研究所構造函數的單調性、極值、最值等，解決相關問題．（3）極值點偏移問題，除了前述方法外，也常通過構造關聯(對稱)函數求解，常見步驟如下：①構造奇函數F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②對F(x)求導，判斷F′(x)的符號，確定F(x)的單調性；③結合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)<f(x0＋x))；④由f(x1)＝f(x2)＝f(x0－(x0－x2))>(或<)f(x0＋(x0－x2))＝f(2x0－x2)得f(x1)>(或<)f(2x0－x2)；⑤結合f(x)的單調性，得x1>(或<)2x0－x2，得x1＋x2>(或<)2x0.其中也可考慮構造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)等，具體視已知條件“執果索因”.8．解析式中含有,的兩個模型（1）含有的函數模型常用的構造方法如下，①直接利用原函數，有時也可分為兩個初等函數模型；②構造成“常數+因式·”型，求導后的運算不易受的干擾；③分離參數法構造函數模型，沒有參數，避免了分類討論，但是有時函數較復雜需多次求導.（2）含有的函數模型“獨立與不獨立”法消掉使的系數為常數，即“獨立”,可一次求導解決單調性問題；當的系數不能消掉時，即"不獨立",需兩次求導，才能依次推導出單調性、零點、極值點等問題.考點一利用導數研究函數的圖象和性質1．（2023·安徽蕪湖·統考模擬預測）函數在區間的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據函數解析式判斷函數的奇偶性，發現是奇函數，排除C、D；觀察A、B兩項，發現圖像在處的增減趨勢不同，所以對函數進行求導，再把特殊值代入導函數中判斷即可.【詳解】因為，所以是奇函數，排除C、D兩項；當時，，則，所以，所以在處的切線斜率為負數，故排除A項；故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若存在三個不相等的實數a，b，c，使得成立，則的取值范圍是________.【答案】【分析】先求導得到的單調性，極值情況，得到若存在三個不相等的實數a，b，c，使得，則，將化為，得到.【詳解】的定義域為R，且，令得或，令得，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，，，畫出的圖象如下：設存在三個不相等的實數a，b，c，使得，對于方程可化為，整理得，故.故答案為：【點睛】設一元三次方程的三個根為，原方程可化為，整理得，比較左右兩邊同類項，得到一元三次的根與系數關系：.3．（2023春·河南·高三校聯考階段練習）已知函數，若不等式有且僅有1個整數解，則實數a的取值范圍為______．【答案】【分析】在同一直角坐標系中，作出函數與直線的圖象，根據恒過點和有且僅有一個整數解得不等式，從而解得a的取值范圍．【詳解】易知的定義域為，由有且僅有1個整數解，所以不等式有且僅有1個整數解．設，則，當時，，為增函數；當時，，為減函數．又，則當時，；當時，．設，則直線恒過點，在同一直角坐標系中，作出函數與直線的圖象，如圖所示，由圖象可知，，要使不等式有且僅有1個整數解，則，解得，實數a的取值范圍為．故答案為:．4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若關于的方程有3個不同的實數根，則的取值范圍為______．【答案】【分析】將方程有3個不同的實數根，轉化為必有一正一負兩個根，利用數形結合及二次函數的性質結合條件即得.【詳解】當，，則，令，得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，，作出函數的大致圖象，設，則有兩個不同的實數根，由可知，與異號，不妨設，要使方程有3個不同的實數根，則或，①當時，，得；②當時，設，則，得，綜上，的取值范圍為．故答案為：．【點睛】已知函數有零點求參數常用的方法和思路：直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍；分離參數法：先將參數分離，轉化成函數的值域問題解決；數形結合法：先對解析式變形，在同一個平面直角坐標系中，畫出函數的圖像，然后數形結合求解.考點二證明不等式（一）作差構造函數證明不等式5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，．(1)若，證明：當時；(2)當時，，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）令，對求導，得到的單調性可證得，令，對求導，可得在上單調遞增，即可證得，即可證得；（2）由題意分析可得要使恒成立即時，恒成立，通過放縮變形證明恒成立，即可求出a的取值范圍.【詳解】（1）當時，，所以即證：，，先證左邊：，令，，在單調遞增，∴，即．再證右邊：，令，，∴在上單調遞增，∴，即，∴時，．（2），令，，因為，所以題設等價于在恒成立，由（1）知，當時，，于是：①當時，恒成立；②當時，等價于，（i）當時，，令，因為在上遞增，且，所以存在，使，所以當，，即，不合題意；(ii)當時，令，，則，，所以在上單調遞增，所以，所以，所以.綜上：a的取值范圍為．【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式或在不等式中求參數的取值范圍的問題，常見的幾種方法有：（1）直接構造函數法：證明不等式轉化為證明，進而構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.6．（2023春·河南開封·高三統考期中）已知函數，.(1)若函數在上單調遞增，求a的取值范圍；(2)若，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）對求導后，問題轉化為在[1,4]上恒成立，進而求得的最小值即可求解；（2）由可得只需證明，令，求導后求得；令，求導后求得，從而可得，問題得證.【詳解】（1），因為函數在[1,4]上單調遞增，所以在[1,4]上恒成立，又在[1,4]上單調遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.（2）因為，所以要證，只需證，令，則.當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.所以，令，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增.所以時，取最小值,則,所以時，，因此.所以.7．（2023春·吉林延邊·高三延邊第一中學校考開學考試）已知函數(1)當，且時，證明：；(2)是否存在實數a，使函數在上單調遞增?若存在，求出a的取值范圍；不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】（1）將代入，利用導數求出函數在上的最小值，再借助對數函數的單調性推理作答.（2）求出函數的導數，利用導函數在上不小于0恒成立求解作答.【詳解】（1）當時，，，求導得，當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，所以.（2）若存在實數，使在上是增函數，則，恒成立，即在上恒成立，而函數，在時取得最小值，因此，又當時，，當且僅當時，，即函數在單調遞增，所以當時，在上單調遞增.8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，曲線與曲線在處的切線互相平行．（1）求的值；（2）求證：在上恒成立．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）先對函數求導，然后結合導數的幾何意義即可求解；（2）轉化為證，構造函數，結合導數分析函數的性質，可證．【詳解】解：（1）因為，所以，，由題意得，所以，解得；證明（2），令，，則，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故當時，取得最小值，所以，故，所以．（二）構造雙函數證明不等式9．（2023秋·黑龍江大慶·高三鐵人中學校考期末）已知.(1)求曲線在處的切線方程；(2)當時，證明.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導數的幾何意義可求解；（2）將問題轉化為證明成立，再分別求與的最值即可證明.【詳解】（1）因為，則，，則，所以所求切線方程為，即.（2）由題意，可知，要證明，即證，令，則，當，當，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以.令，則，因為，所以當，當，所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以，所以恒成立，即恒成立，所以當時，.【點睛】解決本題的關鍵一是對要證明的不等式進行變形，二是分別求兩個新函數的最值.10．（2023春·四川成都·高三成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考期中）已知函數.(1)當時，求在點處的切線方程；(2)時，求證：.【答案】(1)y=2x－2ln2(2)證明見解析【分析】（1）將代入的解析式，求出和，再運用點斜式直線方程求解；（2）運用導數求出的最小值，只要證明最小值即可.【詳解】（1）當a=1時，，x＞0，則，，而，所以在點處的切線方程為，即；（2）對求導得，x＞0，當a＞0時，令得，當時，f（x）單調遞減；當時，f（x）單調遞增，所以，只需證明≥

，即≥0

恒成立；設，，則，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；所以是的最小值，故，表明≥0（a＞0）恒成立，故.11．（2023·全國·高三專題練習）設函數，其中為自然對數的底數，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．（1）求的值；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）求出函數的導函數，再代入計算可得；（2）依題意即證，即，構造函數，，利用導數說明其單調性與最值，即可得到，從而得證；【詳解】解：（1）因為，所以，，解得．（2）由（1）可得即證．令，，于是在上是減函數，在上是增函數，所以（取等號）．又令，則，于是在上是增函數，在上是減函數，所以（時取等號）．所以，即．（三）適當放縮法證明不等式12．（2023·全國·高三專題練習）函數，其中，，為實常數(1)若時，討論函數的單調性；(2)若，當時，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）代入t的值，求得導函數，對a進行分類討論，根據導數的正負確定單調區間即可．（2）要證明不等式成立，根據分析法得到只需證明成立即可．通過構造函數，利用導數研究其單調性與最值，根據最小值即可得證．【詳解】（1）定義域為，，當時，，，在定義域上單調遞增；當時，時，，單調遞增；當時，．單調遞減；綜上可知：當時，的增區間為，無減區間；當時，增區間為，減區間為；（2）要證明，即證明，只要證，即證，只要證明即可，令，在上是單調遞增，，在有唯一實根設為，且，當時，單調遞減，當時，，單調遞增從而當時，取得最小值，由得，即，，故當時，證得：.【點睛】關鍵點睛：根據導數的正負分類討論函數的單調性，結合分析法和構造法是解題的關鍵.13．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學校考期中）已知函數．(1)討論函數的極值情況；(2)證明：當時，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求定義域，求導，分與兩種情況，得到函數單調性和極值情況；（2）轉化為證明，構造，二次求導，結合隱零點和基本不等式證明出結論.【詳解】（1）函數，定義域為，①當時，，單調遞增，沒有極值；②當時，由，得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；∴，無極大值綜上討論得：①當時，無極值；②當時，有極小值，無極大值．（2）當時，要證，即證，只需證；令，則，令，則，∴在單調遞增，而，，故方程有唯一解，即，∴，則，∴，且時，，在單調遞減；時，，在單調遞增；∴，∴，故當時，.【點睛】隱零點的處理思路：第一步：用零點存在性定理判定導函數零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區間，有時還需結合函數單調性明確零點的個數；第二步：虛設零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數與對數互換，超越函數與簡單函數的替換，利用同構思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，.(1)求函數的極值；(2)證明：當時，在上恒成立.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)證明見解析【分析】（1）求得，令，求得，結合，得到函數的單調性，進而求得極值；（2）由，根據題意，由且，放縮得到，令，求得，得出函數單調性，結合單調性求得，得出，即可得證.【詳解】（1）解：由函數，可得定義域為，且，令，可得，所以單調遞增，又因為，所以當時，，可得，單調遞減；當時，，可得，單調遞增，所以當時，函數取得極小值，極小值為，無極大值.（2）解：由，因為且，可得令，可得，因為，即或，又因為方程的兩根都是負數根（舍去），所以，可得當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當時，函數取得極小值，同時也為在上的最小值，即，所以，所以，所以，

故當時，在恒成立.【點睛】方法點睛：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．（四）利用結論證明不等式15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數.(1)證明：；(2)當時，證明不等式，在上恒成立.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）求導，根據導函數分析的單調性，即可得到，即可證明；（2）令，求導，根據放縮的思路得到，然后利用在上的單調性即可證明.【詳解】（1）證明：，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，，故，當且僅當時取等號，∴.（2）令，則，由（1）可得，即，又，所以，令，則，當時，，所以在上單調遞增，所以當時，，則，在上單調遞增，當時，，即，所以當時，不等式，在上恒成立.【點睛】導數中常見的放縮形式：（1）；（2）；（3）.16．（2023春·吉林長春·高三長春市實驗中學校考階段練習）已知函數，.(1)求證：在區間上單調遞增；(2)求證：.【答案】(1)證明詳見解析(2)證明詳見解析【分析】（1）利用導數證得結論成立.（2）結合（1）的結論證得不等式成立.【詳解】（1），，所以在上單調遞增.（2）由（1）得在上單調遞增，，所以當時，，當時，，對于不等式，當時，可化為，即，由上述分析可知：當時，成立.當時，可化為，即，由上述分析可知：當時，成立.綜上所述，不等式成立.17．（2023·陜西寶雞·寶雞中學校考模擬預測）已知函數.(1)若都有，求正數的最大值；(2)求證：.【答案】(1)(2)證明見解析．【分析】（1）求出導函數，由的正負確定的單調性得最小值，其取得最小值的的值也使得函數的最大值，因此由的最大值不大于的最小值可得結論；（2）時，，不等式成立，在時，證明小于的最小值即可，為此用導數證明即可得．(1)，由已知，時，，時，，所以在上遞減，在上遞增，，時，又，，得時，，即，因此若都有，則，所以的最大值為；(2)由（1）時，設，時，，時，設，則，在上是增函數，所以，即，，所以，而，所以，綜上，時，．（五）利用隱零點證明不等式18．（2023春·廣東深圳·高三紅嶺中學校考期中）已知函數，其中.(1)求曲線在處的切線方程；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由導數的幾何意義求出切線的斜率，進而得出切線的方程；（2）根據在區間上的單調性，結合零點存在定理求得有唯一的根，且，利用函數的單調性求出的最小值，結合的范圍即可證得結論.【詳解】（1）因為，且，，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）證明：由（1），知，，易知在區間上單調遞增，且，，，所以，存在，使得，即有唯一的根，記為，則，對兩邊取對數，得，整理得，因為時，，函數單調遞減，時，，函數單調遞增，所以，，令，，，則在上單調遞減，從而，所以．19．（2023春·山東日照·高三校聯考期中）設函數.（1）討論的導函數零點的個數；（2）證明：當時，.【答案】(1)當時，沒有零點；當時，有一個零點；(2)證明見詳解.【分析】（1）求導，將零點問題轉化為函數值域的求解問題，則問題得解；（2）判斷的單調性，求得其最小值，根據的零點與極值點之間的關系，即可容易證明.【詳解】（1）因為，故可得，令，即可得.令則零點的個數等價于與圖像的交點個數.又，故可得在單調遞減.且當趨近于正無窮時，趨近于負無窮；當趨近于零時，趨近于零，繪制的圖像如下所示：故當時，沒有零點；當時，有一個零點.（2）由（1）可知，當時，為單調增函數，且存在唯一零點，故可得在區間單調遞減，在單調遞增，且；則，，故.故當時，恒成立.【點睛】本題考查利用導數研究函數的值域和單調性，涉及利用導數證明不等式，屬綜合困難題.20．（2023春·四川成都·高三成都外國語學校校考期中）已知．(1)若，且對任意恒成立，求a的范圍；(2)當時，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用分離參數得對任意恒成立，再設，利用導數求出其最值即可；（2）證法1：通過隱零點法得，然后構造新函數求解其范圍即可；證法2：令，利用導數證明，則得.【詳解】（1）∵，若對任意恒成立，則對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，令，解得，當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減，所以當時，函數取得最大值．所以.（2）證法1，由（1）可得時，在上單調遞增．又因為，當x趨近于0時，趨近于．∴使得，即．當時，，時，．∴在遞減，在遞增．∴，，令，，當時，，，則在上，，∴單調遞減，∴．∴當時，．證法2：令，，，當時，，當時，．∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴，∴．∵，∴．∴．【點睛】關鍵點睛：本題通過隱零點法得到，利用導函數與函數最值關系得，再次構造函數，利用導數求出其范圍即可.21．（2023·河北保定·統考一模）已知函數．(1)當時，證明：當時，；(2)當時，恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）法一：求導后利用放縮法得到，故；法二：多次求導，結合隱零點，得到先增后減，結合端點值的符號，得到在上恒成立，求出；（2）法一：構造，變形后結合，，，且在處取等號，得到時，符合題意，時，結合函數單調性及零點存在性定理得到矛盾，求出答案；法二：構造，求導后考慮，利用放縮法及函數單調性可證，再考慮，由在單調遞增，且，分與兩種情況，進行求解，得到答案.【詳解】（1）法一：首先證明，，理由如下：構造，，則恒成立，故在上單調遞減，故，所以，，，，，故在上恒成立，所以在單調遞增，故法二：，，，且，令，則，令，則在上恒成立，所以單調遞減，又，其中，故，故，使得，且當時，，當時，，所以先增后減，又，，∴在上恒成立，所以單調遞增，；（2）法一：，，下證：，，，且在處取等號，令，則，故單調遞增，故，且在處取等號，在（1）中已證明；令，則，故單調遞增，故，且在處取等號，當時，，當時，即時，符合題意，當時，，，，其中當時，，，，故，令，，則在上恒成立，故在上單調遞增，故，使得，在單調遞減，故與矛盾，舍去；綜上：a的取值范圍為；法二：，，，①當時，，，在單調遞增，且符合題意，②當時，在單調遞增，，③當時，即時，

在單調遞增，符合題意，②當時，即時，，，，其中當時，，，，故，令，，則在上恒成立，故在上單調遞增，故，使得，在單調遞減，故與矛盾，舍去；綜上：a的取值范圍為.【點睛】方法點睛：隱零點的處理思路：第一步：用零點存在性定理判定導函數零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區間，有時還需結合函數單調性明確零點的個數；第二步：虛設零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數與對數互換，超越函數與簡單函數的替換，利用同構思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.（六）與數列有關的不等式證明22．（2023·全國·高三專題練習）已知.(1)求函數的單調區間；(2)設函數，若關于的方程有解，求實數的最小值；(3)證明不等式：.【答案】(1)單調增區間為，單調減區間為.(2)0.(3)證明見解析.【分析】（1）求導函數，分析導函數的符號，可得原函數的單調性；（2）求得函數的解析式，并對求導函數，分析其導函數的符號，得出函數的單調性和最值，從而求得答案；（3）由（2）得在上恒成立，令，則有，運用累加法可得證.【詳解】（1）解：，，由得，當時，.函數的單調增區間為，單調減區間為.（2）解：函數，，，令，得.時，，時，，在遞減，在遞增，，關于的方程有解，則實數的最小值為0.（3）證明：由（2）得在上恒成立，令，則有，，，，，，，.23．（2023·全國·高三專題練習）設函數，，.(1)求在上的單調區間；(2)若在y軸右側，函數圖象恒不在函數的圖象下方，求實數a的取值范圍；(3)證明：當時，.【答案】(1)答案見解析(2)a≤1(3)證明見解析【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結合導數的符號，即可求解函數的單調區間；（2）設函數，求得，令，求得，分和，兩種情況討論，求解函數的單調，進而求得的取值范圍.（3）取，由（2）知，令，，令，化簡得到，進而證得結論.【詳解】（1）解：由函數，可得，當，即時，，此時函數在上單調遞增；當，即時，令，解得；令，解得，函數在上單調遞增，在上單調遞減，綜上，當時，函數單調遞增區間為；當時，單調遞增區間為，遞減區間為.（2）解：設函數，則，令，則，當，即時，，即，即，所以成立，此時符合題意；當，即時，令，解得，所以在區間上單調遞減，又由，此時在上單調遞減，所以，顯然不滿足題意.綜上可得，實數的取值范圍為.（3）證明：取，由（2）知，因為，令，代入得到，即，且，令，，即，代入化簡得到，所以成立.【點睛】方法總結：利用導數證明或判定不等式問題：1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，從而判定不等關系；3、適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；4、構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，.(1)當時，，求實數的取值范圍；(2)已知，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）證明出，在時，可得出，在時，，分析可知，綜合可得出實數的取值范圍；（2）由（1）變形可得，令，可得出，可得出，，證明出，可得出，，利用不等式的基本性質可證得結論成立.【詳解】（1）解：令，則，當時，，則函數在上單調遞增，當時，，則函數在上單調遞減，所以，，即，所以，當時，，即，當時，取，由于，而，得，故，不合乎題意.綜上所述，.（2）證明：當時，由（1）可得，則，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，所以，，，令，則，且不恒為零，所以，函數在上單調遞增，故，則，所以，，，所以，.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.25．（2023·四川自貢·統考三模）已知函數（e為自然對數底數）．(1)判斷，的單調性并說明理由；(2)證明：對，．【答案】(1)在上單調遞增，理由見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）通過二次求導，即可求解；（2）由（1）可得，變形為，令得，令得，從而可得，利用裂項相消法，即可整理得證.【詳解】（1）在上單調遞增.理由如下：因為，所以，令，則，所以當，單調遞增，所以，即，所以在上單調遞增.（2）由（1）知，，令，則，令，則而所以，故對，.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式常見類型及解題策略：（1）構造差函數，根據差函數導函數符號，確定差函數單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式；（2）根據條件，尋找目標函數，一般思路為利用條件將所求問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數轉化為一元函數.考點三恒(能)成立問題（一）分離參數法26．（2023秋·北京·高三北京交通大學附屬中學校考階段練習）已知函數，若在區間內恒成立，則實數的范圍為__．【答案】【分析】在區間內恒成立，即在區間內恒成立，令，利用導數求出函數的最大值即可得出答案.【詳解】解：在區間內恒成立，即在區間內恒成立，令，則，所以函數在上遞減，所以，因為在區間內恒成立，所以實數的范圍為.故答案為：.27．（2023秋·江西·高三校聯考期中）已知函數(為自然對數的底數)，若在上恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上恒成立，等價于在上恒成立，構造，對函數求導判斷出單調性與最值，可得實數的取值范圍．【詳解】在上恒成立，等價于在上恒成立，構造，則當時，；當時，故在單調遞減，在單調遞增的最小值為實數的取值范圍是故選：D【點睛】本題考查利用導數解決恒成立問題，考查導數研究函數的單調性與最值，屬于中檔題．28．（2023·河南開封·統考二模）已知函數，若在上有解，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，分析可得為上的增函數，結合可得在上有解，即存在使得，有解，在同一坐標系里畫出函數與函數的圖象；分析可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：根據題意，函數，函數，其導數，在上為增函數，函數，在上為增函數，則函數在上為增函數；又由，即在上有解，即存在使得，有解，進而可得存在使得，有解，在同一坐標系里畫出函數與函數的圖象；對于，其導數，當時，曲線的切線的斜率；要滿足存在使得，有解，則直線的斜率；故實數的取值范圍為；故選：A．【點睛】本題考查函數的導數與單調性的關系，涉及數形結合的解題思想方法，曲線導數的幾何意義，屬于中檔題.29．（2023春·廣東江門·高三臺山市第一中學校考階段練習）已知函數.（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；（2）當x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當時，單調遞減，當時，單調遞增.（2）【分析】(1)由題意首先對函數二次求導，然后確定導函數的符號，最后確定原函數的單調性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數，構造新函數，結合導函數研究構造所得的函數的最大值即可確定實數a的取值范圍.【詳解】(1)當時，，，由于，故單調遞增，注意到，故：當時，單調遞減，當時，單調遞增.(2)[方法一]【最優解】：分離參數由得，，其中，①.當x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當時，分離參數a得，，記，，令，則，，故單調遞增，，故函數單調遞增，，由可得：恒成立，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；因此，,綜上可得，實數a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當時，恒成立．只需證當時，恒成立．當時，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當時，單調遞減；當單調遞增；當單調遞減．從而，即，⑤式成立．所以當時，恒成立．綜上．[方法三]：指數集中當時，恒成立，記，，①.當即時，，則當時，，單調遞增，又，所以當時，，不合題意；②.若即時，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當時，成立；③當即時，，又由②可知時，成立，所以時，恒成立，所以時，滿足題意.綜上，.【整體點評】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，本題主要考查利用導數解決恒成立問題，常用方法技巧有：方法一，分離參數，優勢在于分離后的函數是具體函數，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結果，但是解答題需要證明，具有風險性；方法三，利用指數集中，可以在求導后省去研究指數函數，有利于進行分類討論，具有一定的技巧性！（二）分類討論法30．（2023春·吉林長春·高三東北師大附中校考期中）已知函數．(1)，恒成立，求實數的取值范圍．(2)若存在兩個不等正實數，，，且，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分類討論解決恒成立問題，恒成立及反例否定解題；（2）根據題意，化簡變形已知，構造新函數，利用導數再應用零點存在定理求解即可.【詳解】（1），定義域為，則，當單調遞增,,故恒成立.當當時，單調遞增；當時，單調遞減，,不合題意舍；當單調遞減；,不合題意舍.所以，.（2）設，由得，則，，又，，設，則，令，則，且，由題意可知，函數在區間上有零點，函數在上有一個實根，，解得.當單調遞增，，當單調遞減，，應用零點存在定理綜上，實數的取值范圍為.31．（2023春·安徽安慶·高三校考階段練習）當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：當x=0時，原式恒成立；當時，原式等價于恒成立；當時，原式等價于恒成立；令，，令，即，，可知為y的增區間，為y的減區間，所以當時，即時，t=1時，即；當時，即時，y在上遞減，在上遞增，所以t=-1時，即；綜上，可知a的取值范圍是，故選C.考點：不等式恒成立問題.32．（2023·陜西榆林·陜西省神木中學校考模擬預測）已知函數.（1）當時，討論的單調性；（2）設，若關于的不等式在上有解，求的取值范圍.【答案】(1)在上單調遞增，在上單調遞減；(2).【解析】（1）先對函數求導，得到，由判定恒成立，進而可確定函數單調性；（2）先得到，根據題中條件，得出存在，使得成立，令，對其求導，討論，，三種情況，分別判定函數單調性，求出最值，列出對應不等式求出的值，即可得出結果.【詳解】(1)由題意知，，令，當時，恒成立，∴當時，，即；當時，，即；∴函數在上單調遞增，在上單調遞減.

(2)因為，由題意知，存在，使得成立.即存在，使得成立；令，，①當時，對任意，都有，∴函數在上單調遞減，成立，解得，；②當時，令，解得；令，解得，∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，，解得無解；③當時，對任意的，都有，∴函數在上單調遞增，，不符合題意，舍去；綜上所述，的取值范圍為.【點睛】思路點睛：根據導數的方法研究不等式恒成立（或能成立）求參數時，一般可對不等式變形，分離參數，根據分離參數后的結果，構造函數，由導數的方法求出函數的最值，進而可求出結果；有時也可根據不等式，直接構造函數，根據導數的方法，利用分類討論求函數的最值，即可得出結果.33．（2023·廣西·統考模擬預測）已知函數，在處的切線與x軸平行.（1）求的單調區間；（2）若存在，當時，恒成立，求k的取值范圍.【答案】（1）在遞增，在遞減；（2）的取值范圍是．【分析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為，令，，通過討論的范圍，求出函數的單調區間，從而確定的范圍即可．【詳解】（1）由已知可得的定義域為，，（1），解得：，，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減；（2）不等式可化為，令，，，，令，的對稱軸是，①當時，即，易知在上遞減，，若，則，，在遞減，（1），不適合題意．若，則（1），必存在使得時，，在遞增，（1）恒成立，適合題意．②當時，即，易知必存在使得在遞增，（1），，在遞增，（1）恒成立，適合題意．綜上，的取值范圍是．【點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，屬于較難題．34．（2023·全國·高三專題練習）已知為自然對數的底數，為常數，函數.(1)求函數的極值；(2)若在軸的右側函數的圖象總在函數的圖象上方，求實數的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【分析】（1）首先求函數的導數，討論和兩種情況，求函數的極值；（2）根據不等式構造函數，并求函數的二階導數，利用二階導數，討論的取值范圍，判斷函數的單調性，利用，即可求實數的取值范圍.【詳解】（1），當時，，函數單調遞減，無極值；當時，由得，當時，，當時，，所以在區間單調遞減，在單調遞增，當時，函數取得極小值，極小值為，無極大值；（2），關于的不等式恒成立，設，則，，（ⅰ）當時，，單調遞增，，當時，，所以存在，使，所以在上單調遞減，當時，矛盾；（ⅱ）當時，令，解得：，在區間單調遞減，在單調遞增，若，即時，在單調遞增，，在上單調遞增，，滿足條件；若時，在上單調遞減，此時，在上單調遞減，，矛盾綜上，實數的取值范圍.【點睛】本題考查利用導數研究函數的性質，以及研究不等式恒成立的綜合應用，本題第二問的關鍵利用二階導數討論，由的正負，討論函數的單調性，轉化為判斷是否成立.（三）同構法35．（2023·全國·高三專題練習）若不等式恒成立，則的取值范圍為______.【答案】【分析】由題設得，構造研究單調性得，再構造研究單調性有，最后構造，利用導數研究最大值即可得參數范圍.【詳解】由題設且，即，令，易知在上單調遞增，故，即，所以，又是單調遞增函數，故.令，則.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.故，故.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：將已知不等式化為，根據形式構造函數，根據單調性轉化不等式為關鍵.36．（2023春·湖南長沙·高三長沙麓山國際實驗學校校考期中）已知函數，對任意的，恒成立，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】分類討論a，當時，則，即，設，求導得到在上單調遞增，進而得到，設，求出，則可得到的取值范圍.【詳解】當時，不符合題意.當時，則，即，設，則恒成立，故在上單調遞增.因為，，所以.因為，即，所以，所以，所以.設，則.由，得，由，得，則在上單調遞增，在上單調遞減，故，即的取值范圍是.故答案為：37．（2023·全國·高三專題練習）若，則實數的最大值為________.【答案】【分析】將不等式化為，令，即，利用導數分析函數單調性，即可得到，即恒成立，令，利用導數分析函數單調性，進而求得，進而求解.【詳解】由，則，令，即，所以，所以函數在上單調遞增，由，可得，即恒成立，所以，令，則，令，則；令，則，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，即，所以實數的最大值為.故答案為：.38．（2023·遼寧·大連二十四中校聯考三模）關于的不等式在上恒成立，則的最小值是__________.【答案】【分析】不等式轉化為，構造函數，判斷函數單調遞增得到，轉化為，構造函數，根據函數的單調性計算最小值即得到答案.【詳解】，即，設，恒成立，故單調遞增.原不等式轉化為，即，即在上恒成立.設，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；故，即，解得.所以的最小值是.故答案為：.【點睛】方法點睛：將不等式化為，這種方法就是同構法，同構即結構形式相同，對于一個不等式，對其移項后通過各種手段將其變形，使其左右兩邊呈現結構形式完全一樣的狀態，接著就可以構造函數，結合函數單調性等來對式子進行處理了．（四）隱零點法39．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實驗中學校聯考期中）