第11講用公式法求解一元二次方程模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，能熟練應用公式法解一元二次方程；2．會用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數的取值范圍；知識點一．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當時，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實根.知識點二、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即；（1）當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；（2）當△=0時，一元二次方程有2個相等的實數根；（3）當△<0時，一元二次方程沒有實數根.要點：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據的符號判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數根=0；（3）方程沒有實數根﹤0.要點：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個實數根則≥0.考點一：利用用公式法還原一元二次方程例1．（23-24八年級下·全國·假期作業）在用求根公式解方程的過程中，，，的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】略【變式1-1】（23-24八年級下·安徽安慶·期中）若關于的一元二次方程的根為，則這個方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了解一元二次方程．根據公式法解答，即可求解．【詳解】解：∵關于的一元二次方程的根為，∴二次項系數為1，一次項系數為，常數項為，∴這個方程為．故選：D【變式1-2】（2024八年級下·浙江·專題練習）是下列哪個一元二次方程的根（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，根據公式法解一元二次方程的方法即可得結論，用公式法解一元二次方程的一般步驟為：把方程化成一般形式，進而確定，，的值；求出的值（若，方程無實數根）；在的前提下，把的值代入公式進行計算求出方程的根，解題的關鍵是掌握去根公式．【詳解】解：、中，，不合題意；、中，，不合題意；、中，，不合題意；、中，x，符合題意；故選：．【變式1-3】（2024·河北石家莊·一模）若是一元二次方程的根，則（

）A． B．4 C．2 D．0【答案】D【分析】本題主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判斷即可【詳解】解：∵是一元二次方程方程的根，∴，，，∴，故選：D考點二：求一元二次方程中判別式的值例2.（23-24九年級上·山東德州·階段練習）在公式法解方程時，的值是（

）A．16 B．24 C．72 D．64【答案】B【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，先化為一元二次方程的一般形式，將的值代入，即可求解．【詳解】解：，即∴，故選：B．【變式2-1】（22-23九年級上·廣東梅州·階段練習）用公式法解一元二次方程時，計算的結果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據方程的系數的帶、、的值，再將其代入求值即可得到結果．【詳解】解：在一元二次方程中，，，，，故選D．【點睛】本題考查了一元二次方程的系數與根的判別式，熟練掌握基本知識是解題關鍵．【變式2-2】（23-24八年級下·安徽安慶·階段練習）當用公式法解方程時，的值為（

）A．2 B． C．17 D．【答案】C【分析】本題考查了根的判別式，將原方程變形為一般式找出、、的值是解題的關鍵．將原方程變形為一般式，找出、、的值，將其代入即可得出結論．【詳解】解：原方程可變形為，，，，．故選：C【變式2-3】（22-23九年級上·山東德州·階段練習）在公式法解方程時，的值是（

）A．16 B．4 C．32 D．64【答案】D【分析】首先把方程化簡為一般形式，再得出、、的值，最后求出判別式的值即可．【詳解】解：，，，，，；故選：D．【點睛】此題考查了公式法解一元二次方程，解此題時首先要化簡．還要注意熟練應用公式．考點三：用公式法求解一元二次方程例3.（23-24八年級下·吉林長春·期中）解方程：．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解題關鍵．本題直接利用公式法求解即可．【詳解】解：一元二次方程中，，，，∴，∴，∴．【變式3-1】（23-24九年級上·四川涼山·階段練習）用公式法解方程：．【答案】【分析】本題考查公式法解一元二次方程，根據公式法，按步驟求解即可得到答案，熟記公式法解一元二次方程是解決問題的關鍵．【詳解】解：，，，．【變式3-2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）解方程：【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，根據公式法解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：∴，∴解得：，【變式3-3】（23-24八年級下·全國·假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)方程無解【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用公式法求解方程是解題的關鍵；（1）由題意易得，然后根據公式法可進行求解；（2）由題意易得，然后根據公式法可進行求解；（3）由題意易得，然后根據公式法可進行求解．【詳解】（1）解：∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴，∴；（3）解：∴，∴，∴原方程無解．考點四：用公式法解一元二次方程的錯題復原問題例4.（2024九年級下·全國·專題練習）小明在解方程的過程中出現了錯誤，其解答如下：解：，，，第一步，第二步，第三步，．第四步(1)問：小明的解答是從第______步開始出錯的；(2)請寫出本題正確的解答．【答案】(1)一；(2)正確的解答見解析．【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關鍵．（1）先把方程化為一般式，再確定a、b、c的值，從而可判斷小明的解答從第一步開始出錯了；（2）方程化為一般式得到，，，再計算根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【詳解】（1）小明的解答是從第一步開始出錯的，故答案為：一；（2）解：方程化為一般式為，，，，，，，．【變式4-1】（23-24八年級下·全國·假期作業）解方程，某位同學的解答過程如下：解：∵，，，∴，∴，∴，.請你分析以上解答過程有無錯誤，如有錯誤，指出錯誤的地方，并寫出正確的結果.【答案】見解析【詳解】解：有錯誤，的值應為.將方程化為一般形式，得.∵，，，∴，∴，∴，.【變式4-2】（22-23九年級下·河北邢臺·開學考試）嘉淇在用公式法解方程時出現了錯誤，解答過程如下所示：解方程解：

（第一步）

（第二步）∴原方程無實數根

（第三步）(1)嘉淇的解答過程從第__________步開始出錯的，其錯誤的原因是__________；(2)請你寫出此題的正確的求解過程．【答案】(1)一，原方程沒有化成一般形式(2)見解析【分析】（1）運用公式法的前提是將一元二次方程化成一般形式；（2）將一元二次方程化成一般形式，即可代入公式法求解．【詳解】（1）解：確定各項系數時，應將一元二次方程化成一般形式故答案為：一；原方程沒有化成一般形式；（2）解：原方程化成一般形式是：∵，，∴∴即，【點睛】本題考查利用公式法求解一元二次方程．注意求解過程中的易錯點：未將一元二次方程化成一般形式，直接使用公式法．【變式4-3】（22-23八年級下·北京門頭溝·期末）閱讀材料，并回答問題：小明在學習一元二次方程時，解方程的過程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程無解問題：(1)上述過程中，從步開始出現了錯誤（填序號）；(2)發生錯誤的原因是：；(3)在下面的空白處，寫出正確的解答過程．【答案】(1)③(2)計算錯誤(3)見解析【分析】根據公式法的步驟判斷和求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：從③步開始出現了錯誤故答案為：③；（2）計算錯誤（負數乘以負數得負數）；（3）∵，，，∴，∴，解得：，．【點睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，解題的關鍵是掌握公式法的計算步驟．考點五：根據判別式判斷一元二次方程根的情況例5.（23-24九年級下·云南昆明·階段練習）已知關于x的一元二次方程的根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當時，一元二次方程沒有實數根．【詳解】解：∵，∴，∴方程兩個不相等的實數根．故選A．【變式5-1】（2024·河南周口·三模）關于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．沒有實數根 B．只有一個實數根C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根【答案】D【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．先計算根的判別式的值得到，再由非負數的性質可判斷，然后根據根的判別式的意義對各選項進行判斷．【詳解】解：∵，∴方程有兩個不相等的實數根．故選：D．【變式5-2】（2024·上海·中考真題）以下一元二次方程有兩個相等實數根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等實數根；當時，方程的兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判斷．【詳解】解：A．，該方程有兩個不相等實數根，故A選項不符合題意；B．，該方程有兩個不相等實數根，故B選項不符合題意；C．，該方程有兩個不相等實數根，故C選項不符合題意；D．，該方程有兩個相等實數根，故D選項不符合題意；故選：D．【變式5-3】（23-24八年級下·安徽六安·階段練習）下列方程中，沒有實數根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根是解題的關鍵．分別計算四個方程的根的判別式，然后根據判別式的意義判斷根的情況．【詳解】解：A、可化為：，方程有兩個不相等的實數根；B、，方程有兩個相等的實數根；C、，方程有兩個不相等的實數根；D、可化為：，方程沒有實數根；故選：D．考點六：根據一元二方程根的情況求參數例6.（2024·甘肅金昌·三模）已知關于的一元二次方程．(1)當時，求方程的解；(2)若該方程有實數根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判別式．（1）利用配方法解方程即可；（2）根據一元二次方程跟的判別式，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：當時，原方程可化為，配方，得，解得；（2）解：∵該方程有實數根，∴，解得，即若該方程有實數根，的取值范圍是．【變式6-1】（23-24八年級下·山東煙臺·期中）關于的一元二次方程有實數根．(1)求的取值范圍；(2)若為正整數，請用配方法求出此時方程的解．【答案】(1)且(2)，【分析】本題考查一元二次方程根的判別式及用配方法解方程，（1）由關于的一元二次方程有實數根，根據一元二次方程的定義和根的判別式的意義可得且，即，兩個不等式的公共解即為的取值范圍；（2）求出的值，用配方法解方程即可；解題的關鍵是掌握：式子是一元二次方程根的判別式，方程有兩個不等的實數根；方程有兩個相等的實數根；方程無實數根．【詳解】（1）解：∵關于的一元二次方程有實數根，∴且，解得：且，∴的取值范圍為且；（2）∵且，且m為正整數，∴，∴原方程為，∴，∴，∴，∴，∴此時方程的解為：，．【變式6-2】（23-24八年級下·山東泰安·期中）已知：關于x的一元二次方程．(1)當m取何值時，此方程沒有實數根；(2)若此方程有兩個實數根，求m的最小整數值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了根的判別式，熟知根的判別式為是解題的關鍵．（1）利用判別式的意義得到，根據題意可得，即可解答；（2）利用判別式的意義得到，根據題意可得，即可得到m的最小整數值．【詳解】（1）解：關于x的一元二次方程，可得，當，即時，此方程沒有實數根；（2）解：∵有兩個實數根，∴，∴；∴m的最小整數值為．【變式6-3】（23-24九年級上·黑龍江綏化·期末）已知關于x的方程．(1)求證：無論k取任何實數，該方程總有實數根；(2)如果這個方程的兩個根恰好是等腰三角形的兩邊長，其第三邊長為4，求的周長．【答案】(1)見詳解(2)的周長為11或10．【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，根據根的情況求參數和等腰三角形的性質.（1）先計算出，然后根據非負數的性質即可證明．（2）分兩種情況計算，當腰長為4時，代入方程，求出k值，得出方程，進而求得方程的另一個根，當底邊長為4時，此時方程有兩個相等的實數根，根據得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰長．【詳解】（1）證明：，∵，即，∴無論取任何實數，方程總有實數根．（2）當腰長為4時，把代入，得，，解得；方程化為，則其另一個解為，此時的周長為．當底邊長為4時，則方程有兩個相等的實數根，∴，∴，此時方程化為，即,解得：，此時的周長為．綜上所述，的周長為11或10．一、單選題1．（23-24九年級上·河北廊坊·階段練習）用求根公式解方程時，，的值是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】將方程化為一般形式即可得到a，b，c的值．【詳解】解：∵，∴，則，，．故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式：，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．2．（23-24八年級下·浙江溫州·期中）一元二次方程的實數根有（

）A．1個 B．2個 C．0個 D．無數個【答案】B【分析】本題考查了根的判別式，掌握判別式是解題的關鍵．計算出方程的進行判斷即可，當時，方程有兩個實數根，時，方程無實數根．【詳解】解：，∴方程有兩個不相等的實數根，故選：B．3．（23-24九年級上·福建泉州·期中）是下列哪個一元二次方程的根（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的求根公式，方程有兩個實數根，即，根據一元二次方程的求根公式，反推出一元二次方程各項的系數，即可得到答案．【詳解】解：設一元二次方程為，則方程的根為：，，，，，該一元二次方程為，故選：D．4．（23-24九年級上·河北保定·期中）已知方程的兩根是等腰三角形的兩條邊長，則等腰三角形的周長是（

）A．15 B．12 C．9 D．12或15【答案】A【分析】題考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三邊關系，等腰三角形的性質，利用因式分解法求出x的值，再根據等腰三角形的性質分情況討論是解題的關鍵．【詳解】解：解方程得，因為，所以等腰三角形的兩腰為6、6，底邊長為3，所以三角形周長．故選A．5．（2024·四川廣安·中考真題）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．由關于的一元二次方程兩個不相等的實數根，可得且，解此不等式組即可求得答案．【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，解得：，，，的取值范圍是：且．故選：A．二、填空題6．（23-24九年級上·全國·課后作業）方程的解是．【答案】，【分析】選擇公式法求解即可．【詳解】，整理，得，∵∴，∴，，故答案為：，．【點睛】本題考查了解方程，選擇適當的方法求解是解題的關鍵．7．（23-24九年級上·全國·課后作業）用公式法解方程時，其中求得的的值是．【答案】64【分析】先將方程化為一般式，準確找出a、b、c的值，代入計算即可．【詳解】解：，，∴，∴，故答案為：64．【點睛】本題主要考查了求一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是將方程化為一般式，準確找出二次項系數，一次項系數，常數項．8．（2024·上海徐匯·二模）關于的一元二次方程根的情況是：原方程實數根．【答案】有兩個不相等的【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根，據此求解即可．【詳解】解：由題意得，，∴原方程有兩個不相等的實數根，故答案為：有兩個不相等的．9．（2024·江蘇連云港·二模）若一次函數的圖像經過第一、二、四象限，則方程有個根．【答案】兩或2【分析】本題主要考查了一元二次方程的解、一次函數的圖象和性質等知識點，先根據一次函數的性質得到，再計算判別式的值得到，則，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．【詳解】∵一次函數（k、b為常數）的圖象經過第一、二、四象限，∴，∵，∵，∴，即，∴方程有兩個不相等的實數根．故答案為：兩．10．（2024·甘肅定西·三模）若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查一元二次方程的定義，根的判別式的意義，解題的關鍵是記住：當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當時，方程有兩個相等的兩個實數根；當時，方程無實數根．根據一元二次方程的定義結合根的判別式的意義列不等式求解即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，∴，且，解得，且，故答案為：且．三、解答題11．（21-22八年級上·上海靜安·期末）用公式法解方程：．【答案】【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，先求解，再利用求根公式解方程即可．【詳解】解：，，，則，∴原方程的根為.12．（23-24八年級下·全國·假期作業）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).【答案】(1)，(2)，.(3)【詳解】解：（1）∵，，，∴，∴，即，.（2）移項，得，∴，，，∴，∴，即，.（3）∵，，，∴，∴，即.13．（2024·江西·一模）課堂上，劉老