課題:橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)科：數(shù)學(xué)教師：于幫利教材分析橢圓單元的內(nèi)容是學(xué)生在學(xué)習(xí)直線和圓的方程的基礎(chǔ)上，先抽象橢圓的幾何特征，然后建立它的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用方程研究它的幾何性質(zhì)，并利用它們解決簡單的實(shí)際問題.從知識(shí)的前后聯(lián)系看，本單元是坐標(biāo)法的進(jìn)一步運(yùn)用，所要解決的仍然是解析幾何的“兩個(gè)基本問題”：建立曲線的方程，通過方程研究曲線的幾何性質(zhì).從本章知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)看，橢圓、雙曲線、拋物線的研究背景、研究問題、研究方法具有高度的相似性，因而本單元的學(xué)習(xí)在全章的學(xué)習(xí)中具有基礎(chǔ)地位.橢圓單元，“橢圓的概念”部分，先在問題“橢圓具有怎樣的幾何特征？”的引領(lǐng)下進(jìn)行畫圖操作，從中發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何特征，進(jìn)而獲得橢圓的概念，明晰研究的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn).“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程”部分，先根據(jù)橢圓的幾何特征建立平面直角坐標(biāo)系，然后通過代數(shù)運(yùn)算得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”部分，在明確要研究的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過橢圓的方程研究橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等.上述過程體現(xiàn)了研究圓錐曲線的一般思路和方法，包括如何發(fā)現(xiàn)曲線的幾何特征、如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系、如何簡化和優(yōu)化方程、研究曲線的哪些性質(zhì)、如何運(yùn)用方程進(jìn)行研究等.橢圓單元最重要、最根本的數(shù)學(xué)思想方法是坐標(biāo)法.另外，在解決問題的過程中，數(shù)形結(jié)合、類比、特殊化與一般化、轉(zhuǎn)化與化歸等也發(fā)揮著重要作用.橢圓單元的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生學(xué)會(huì)合乎邏輯地、有條理地、嚴(yán)謹(jǐn)精確地思考和解決問題，有助于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等方面的素養(yǎng).學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，能夠根據(jù)方程清晰熟練地描述直線與圓的幾何特征，經(jīng)歷了用代數(shù)方法建立直線和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，初步掌握推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟，已經(jīng)了解平面解析幾何主要研究兩個(gè)問題：一是根據(jù)已知條件求曲線的方程；二是根據(jù)曲線方程研究曲線的性質(zhì).與直線、圓一樣，本節(jié)課仍然按照“建系—設(shè)點(diǎn)—列等式—代坐標(biāo)—化簡方程—說明”的步驟推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，為了便于研究橢圓的幾何性質(zhì)，同樣需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來使方程的形式更簡單.方程形式能否簡單要有一定的預(yù)判能力，充分利用好曲線的對稱性，盡可能讓曲線的中心、頂點(diǎn)的坐標(biāo)簡單；化簡含有兩個(gè)根式的橢圓方程時(shí)，因?yàn)閷W(xué)生以前沒有遇到過類似問題，缺乏對復(fù)雜根式的化簡經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)時(shí)應(yīng)詳細(xì)給出化簡過程，并從數(shù)學(xué)的對稱美、簡潔美、和諧美的角度對每一步的變形給予合理的解釋，通過引導(dǎo)學(xué)生反思，自主探究出橢圓其它兩種形式的定義，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成自覺根據(jù)曲線方程研究曲線性質(zhì)的習(xí)慣，也為后面學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。因此，本節(jié)課有承前啟后的作用。學(xué)情分析在此之前，學(xué)生在上一章已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓，已經(jīng)初步經(jīng)歷和體驗(yàn)了研究解析幾何的方法——坐標(biāo)法，所以，學(xué)生對用坐標(biāo)法研究本節(jié)內(nèi)容，并不陌生，已有相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為順利開展本節(jié)課的教學(xué)提供了方法保障.由于本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)就是利用解析思想推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)這也是本節(jié)的難點(diǎn).教學(xué)中，根據(jù)橢圓的定義，按著建系、設(shè)點(diǎn)、列式，化簡、說明這五個(gè)步驟推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.引導(dǎo)學(xué)生類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的簡潔、優(yōu)美的形式，小組討論，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這個(gè)運(yùn)算過程需要學(xué)生有沉著冷靜的思維品質(zhì)，特別有利于提升數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng).教學(xué)目標(biāo)（1）理解并掌握橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）能運(yùn)用“先定位，后定量”的方法求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（3）通過“先定位，后定量”求解方法，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力。（4）通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)，提高學(xué)生對知識(shí)的綜合運(yùn)用能力教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法。2.難點(diǎn)：運(yùn)用“先定位，后定量”求橢圓。教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件、一條定長的細(xì)繩、圖釘教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖問題導(dǎo)入教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧橢圓的歷史：古希臘時(shí)期，梅內(nèi)克繆斯先是從圓柱或圓錐的截口上發(fā)現(xiàn)橢圓以及另兩種圓錐曲線；阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中，用平面截對頂圓錐得到圓、橢圓、雙曲線、拋物線，并且探究了橢圓的性質(zhì)；17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家舒騰在前人的研究基礎(chǔ)上給出了橢圓的3種作圖工具，得到軌跡定義；1822年比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林由雙球模型得出橢圓的定義；至此，終于人們找到了古希臘的截線定義與17世紀(jì)的軌跡定義的關(guān)系。通過此環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會(huì)橢圓的歷史發(fā)展，了解數(shù)學(xué)文化。在日常生活中，我們經(jīng)常可以看到橢圓，例如我們常用的盤子和鏡子的輪廓是橢圓、國家大劇院及其倒影的輪廓線也是橢圓.那你知道如何畫一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓嗎？師:坐標(biāo)法是解析思想的具體體現(xiàn)，今天我們就是要用坐標(biāo)法推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。出標(biāo)題。通過生活情境激發(fā)學(xué)生的探究欲望，提升學(xué)習(xí)興趣，并引入新課內(nèi)容.探索新知教師引導(dǎo)學(xué)生由橢圓的定義畫出一個(gè)橢圓：取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的兩點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖作圖。教師通過視頻展示繪畫過程。師生一起動(dòng)手畫橢圓通過視頻展示繪畫過程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)。回憶求曲線方程的一般步驟板書：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建系，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡，說明師：類比求直線和圓的方程，誰能說一說求曲線方程的一般步驟嗎？說步驟，補(bǔ)充完整。師板書：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確求曲線方程的一般步驟，避免推導(dǎo)過程中思維的盲目性。掌握新知大屏幕出現(xiàn)，橢圓定義，和橢圓圖形師板書強(qiáng)化橢圓的幾何條件，為推導(dǎo)橢圓方程做準(zhǔn)備問題：如何根據(jù)橢圓的圖形特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？想一想你這樣建系基于哪些思考建系，適當(dāng)，盡可能多的對稱和零點(diǎn)設(shè)點(diǎn)，求什么設(shè)什么學(xué)生展示，說明理由教師通過視頻展示繪畫過程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)。橢圓定義教師從文字語言和符號語言兩個(gè)角度給出橢圓的定義，并帶領(lǐng)學(xué)生梳理定義中的易錯(cuò)點(diǎn)，并帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行概念辨析。橢圓定義的文字描述：我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。橢圓定義的符號描述：請根據(jù)橢圓的定義的推導(dǎo)橢圓的方程.概念辨析:請同學(xué)們思考以下兩個(gè)問題當(dāng)常數(shù)等于時(shí)，點(diǎn)的軌跡是什么？（2）當(dāng)常數(shù)小于時(shí)，點(diǎn)的軌跡還存在嗎？各種資料中的解析幾何題大都不需要建系，所以學(xué)生對用坐標(biāo)法解決問題的完整過程比較朦朧，這正是解析幾何學(xué)習(xí)需要認(rèn)真對待的問題.養(yǎng)成學(xué)生對解析思想的整體思考.觀察我們畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對稱性，而且過兩個(gè)焦點(diǎn)的直線是它的對稱軸，所以我們以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段設(shè)M（橢圓的焦距為2c（c＞0），那么焦點(diǎn)F1、F2（c，0），（c，0），根據(jù)橢圓的定義，設(shè)點(diǎn)M與焦點(diǎn)F1、F2的距離的和等于由橢圓的定義可知，橢圓可看作這樣一個(gè)點(diǎn)集PP=利用兩點(diǎn)間的距離公式可以得到MF1、MF|MF1|于是我們可以得到方程①（x+c）2+y如何對方程①化簡呢？將其中一個(gè)根號移到右邊得：（x+c）2+y2再平方：（x+c）2+y2=4a2即：a2cx=a（兩邊再平方，得：a42a2cx+c2x2=整理得：（a2c2）x2+a2y2=a同除“右邊項(xiàng)”因?yàn)椋篴2c2＞0所以：x2如果將M點(diǎn)放在Y軸上，則MF2=a，OF2=c，OM=不妨令OM=b則方程⑤可化為：x2a2+y2此方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（c，0），F(xiàn)2（c，類似地，以經(jīng)過橢圓兩焦點(diǎn)F1和F2的直線為y軸，線段F1F2的垂直平分線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系,可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a它表示焦點(diǎn)在y軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（0,c），F(xiàn)2（0,小結(jié)：方程的特點(diǎn)x2a2+y2y2a2+x2（1）方程的左邊是兩項(xiàng)平方和的形式，等號右邊是1；（2）在橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0；（3）a：橢圓上任意一點(diǎn)M到F1、F2距離和的一半；c：半焦距，且有關(guān)系式a2=先引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)，后利用課件展示推導(dǎo)過程通過自主探究、師生交流等活動(dòng)，使學(xué)生推導(dǎo)出焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)在y軸的上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用例1、求兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1?2,0、F2學(xué)生作答，引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)上、方法上心得體會(huì)等方面總結(jié).再次將課程中知識(shí)系統(tǒng)化，便于理解記憶，起到畫龍點(diǎn)睛的作用。鞏固練習(xí)求滿足：a=4,c=15,焦點(diǎn)在y解：橢