《誤差理論與數據處理》

第一章緒論

1-1.研究誤差的意義是什么？簡述誤差理論的主要內容。

答：研究誤差的意義為：

(1)正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因，以消除或減小誤差；

(2)正確處理測量和實驗數據，合理計算所得結果，以便在一定條件下得到更接近于真

值的數據；

(3)正確組織實驗過程，合理設計儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經濟條件下，

得到理想的結果。

誤差理論的主要內容：誤差定義、誤差來源及誤差分類等。

1-2.試述測量誤差的定義及分類，不同種類誤差的特點是什么？

答：測量誤差就是測的值與被測量的真值之間的差；按照誤差的特點和性質，可分為系統

誤差、隨機誤差、粗大誤差。

系統誤差的特點是在所處測量條件下，誤差的絕對值和符號保持恒定，或遵循一定的規

律變化(大小和符號都按一定規律變化)；

隨機誤差的特點是在所處測量條件下，誤差的絕對值和符號以不可預定方式變化；粗

大誤差的特點是可取性。

1-3.試述誤差的絕對值和絕對誤差有何異同，并舉例說明。

答：(1)誤差的絕對值都是正數，只是說實際尺寸和標準尺寸差別的大小數量，不反映是

“大了”還是“小了”，只是差別量；

絕對誤差即可能是正值也可能是負值，指的是實際尺寸和標準尺寸的差值。+多少表明大了

多少，-多少表示小了多少。

(2)就測量而言,前者是指系統的誤差未定但標準值確定的，后者是指系統本身標準值未定

1-5測得某三角塊的三個角度之和為180。00’02〃，試求測量的絕對誤差和相對誤差

解：

絕對誤差等于：18000'02〃-180。=2〃

相對誤差等于：

__=0.00000308641氏0.000031%

180，、1xnV*6。//

1-6.在萬能測長儀上，測量某一被測件的長度為50已知其最大絕對誤差為卬叫試

問該被測件的真實長度為多少？

解：絕對誤差----測得值一真值，即：AL----L—Lo已知：L=50,△L=lpm----

0.001mm,

測件的真實長度Lo---L—L----50—0.001----49.999(mm)

1-7.用二等標準活塞壓力計測量某壓力得100.2Pa,該壓力用更準確的辦法測得為100.5Pa,

問二等標準活塞壓力計測量值的誤差為多少？

解：在實際檢定中，常把高一等級精度的儀器所測得的量值當作實際值。

故二等標準活塞壓力計測量值的誤差一一測得值一實際值，

即:

100.2—100.5------0.3(Pa)

1-8在測量某一長度時?，讀數值為2.31m,其最大絕對誤差為20R/,試求其最大相對誤差。

相對誤差maxy誤差maxxI00%

20X10-6

=------------x100%

2.31

=8.66x10-4%

1-9、解：

4兀2X1.04230

g==9.81053m/s2

2.0480

對g二中）進行全微分,

令h=h+h,并令1g,h,,77代替dg,dh,dr得

4兀避8兀

口"—7273

從而og=Q〃-2衛的最大相對誤差為：

0.00005.-0.0005

~-------2x-------

1.042302.0480

=5.3625x10-4%

由g二兀得了二14兀2h

__

丁二：尸！！嚴二2.04790

由口二-H——2fl—mex,有TTmax{ABS[1（口―a—匚Ig*）],ABS[—

（八min-—"tl~~}

ghTmax2hg2hg

170檢定2.5級（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發現50V刻度點的示

值

誤差2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？

某量程最大示值誤差

最大引用誤差二xlOO%

測量范圍上限

=2x100%=2%<2.5%

100

該電壓表合格

1-11為什么在使用微安表等各種表時，總希望指針在全量程的2/3

范圍內使用？

答：當我們進行測量時，測量的最大相對誤差：

AWS=mAs-%%即’Y=mAs-%%

A4maxA

所以當真值一定的情況下，所選用的儀表的量程越小，相對誤差越小，測量越準確。因此

我

們選擇的量程應靠近真值，所以在測量時應盡量使指針靠近滿度范圍的三分之二以上.

1T2用兩種方法分別測量Ll=50mm,L2=80mmo測得值各為50.004mm,80.006nm。試評定

兩種方法測量精度的高低。

相對誤差

L:50mmI;哭岫-50*100%=0.008%

?)50

L：80mm/=80.006—8。義曲%=0.0075%

2280

7/>72所以L2=80mm方法測量精度高。

1-13多級彈導火箭的射程為10000km時，其射擊偏離預定點不超過0.1km,優秀射手能在

距離50m遠處準確地射中直徑為2cm的靶心，試評述哪一個射擊精度高？

解：

多級火箭的相對誤差為：01

-------=0.00001=0.001%

10000

射手的相對誤差為：1皿0.01.

=0.0002=0.02%

50m50m

多級火箭的射擊精度高。

uR

1-14若用兩種測量方法測量某零件的長度Ll=110mm)其測量誤差分別為土'm和士9w

而用第三種測量方法測量另一零件的長度L2=150mm。其測量誤差為±12口加，試比較三種

測量方法精度的高低。

相對誤差

I=±=±0.01%

1110mm

=±0.0082%

2110mm

=±0.00%

315Qmm

/3V/2V4第三種方法的測量精度最高

第二章誤差的基本性質與處理

2-1.試述標準差、平均誤差和或然誤差的幾何意義。

答：從兒何學的角度出發，標準差可以理解為一個從N維空間的一個點到一條直線的距離

的函數；

從幾何學的角度出發，平均誤差可以理解為N條線段的平均長度；

2-2.試述單次測量的標準差和算術平均值的標準差，兩者物理意義及實際用途有何不同。

2-3試分析求服從正態分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在中的概率2-4.測量某物體重

量共8次，測的數據(單位為g)為236.45,236.37,236.51,236.34,236.39,

236.48,236.47,236.40,是求算術平均值以及標準差。

0.05+(-0.03)+0.11+(—0.06)+(-0.01)+0.08+0.07+0

x=236.4+------------------------------------------------------------------------

=236.43

(；■一=—==0.0212

*nn

2-5用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計算2-4,并比較

2-6測量某電路電流共5次，測得數據(單位為mA)為168.41,168.54,168.59,

168.40,168.50o試求算術平均值及其標準差、或然誤差和平均誤差。

-168.41+168.54+168.59+168.40+168.50%=

5

=168.488(mA)

:Z7

?，

。二［《一1=0.082(mA)

0.082

=0.037(mA)

y/n6

或然誤差：R=0.6745G=0.6745x0.037=0.025(mA)

平均誤差：T=0.7979G-=0.7979x0.037=0.030(/M)

2-7在立式測長儀上測量某校對量具，重量測量5次，測得數據(單位為mm)為20.0015,

20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。若測量值服從正態分布，試以99%的置信概率確定

-20.0015+20.0016+20.0018+20.0015+20.0011

測量結果。x=--------------------------------5-------------------------------

=20.0015(mm)

區2

g=0.00025

5-1

正態分布p=99%時，t=2.58

5=±to

limxx

0.00025

=±2.58x------A-v5

=±0.0003(mm)

測量結果:X=x+5,=(20.0015±0.0003)加加

iimA

2—7在立式測長儀上測量某校對量具，重復測量5次，測得數據(單位為mm)為20.0015,

20.0016,20.0018,20.0015,20.0011,若測量值服從正態分布,試以99%的置信概率確

定測量結果。

解：

求1［術平均值￡i

i

X=T=\=20.0015wmn

求單次測量的標準差V2……

26x108?T八

--------------=2.55xlO-4mm

求算術平均值的標準差

。_二二。九2.55x10-4.

〃5^1.14xlO-4mm

確定測量的極限誤差

因n=5較小，算術平均值的極限誤差應按t分布處理。現自由度為：v=n-l=4；a=1

—0.99=0.01,查t分布表有：ta=4.60

極限誤差為

5后士/o.=±4.60x1.14x10-4=5.24x10-4mm

lim

寫出最后測量結果^=X+5X=lim

0.0015±5.24x10-4

2-9用某儀器測量工件尺寸，在排除系統誤差的條件下，其標準差。二2004〃叫若要求

測量結果的置信限為士。.此〃〃〃，當置信概率為99%時，試求必要的測量次數。

正態分布p二99%時，t=2.58

2.58x0.004…彳

nn=-----------------=2.064

0.005

n=4.26

取〃二5

2-10用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標準差。=0.001mm,若要求測量的允許極限

誤差為±0.0015mm,而置信概率P為0.95時;應測量多少次？解：根據極限誤差的意義，

有

±。=±1=<0.0015

*nn

根據題目給定得已知條件，有

上<%=15

<n—0.001

查教材附錄表3有

若n=5,v=4,a=0.05,有t=2.78,

t2.782.78

~==-----=1.24

nn552.236

若n=4,v=3,a=0.05,有t=3.18,

t3.183.18

/二K二~T二g

即要達題意要求,必須至少測量5次。

2-12某時某地由氣壓表得到的讀數（單位為Pa）為102523.85,102391.30,102257.97,

102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其權各為1,3,5,7,8,6,

4,2,試求加權算術平均值及其標準差。

￡px.

X='二102028.34（尸。）

￡p

尸1

I￡PV2

o_=+專氏86.95（a）

x卜8,）￡pi1尸1

2T3測量某角度共兩次,測得值為\二24336〃，°2二24。13,24”,其標準差分別為

。k3T,02=13.8〃，試求加權算術平均值及其標準差。

p.p—=19044:961

1，262

x=24.13'20"+,9044X16"+96|X4"=24.13,35"19044+961

19044

o=o_3.1”x;x3.0M

；ifP*1OH/1/1J.。41

2-14甲、乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角。各重復測量5次，測得值如下:

a甲：7,2'20”,7.3'0”,7‘2,35”,7。2,20”,7。2'15”;

a乙：72'25"7225",7-220*7.2*50°,7.2'45”;

試求其測量結果。

20"+60"+35”+20M+15"

甲：元甲=7。*二7230

5°

.1'1(-10")2+(30")2+5"2+(-10")2+(-15")2

“甲寸耳「=18.4”

18.4"--

_o甲二二8.23

o;甲二5\：5

—...25"+25"+20"+50"+45")

乙：乙：72'+----------------------------=72'33"

5

(-8")2+(-8〃)2+(一］3“)2+(17〃)2+(12〃)2

3

=13.5"o.=°z=l!"=6.04"p:p==-A：AA=3648:6773

廣甲廠乙02028.2326.042

x甲,乙

-pX/S+pX3648X30"+6773x33".......

x=±2—-1乙二二------------------+72'=72'32"

p+p3648+6773。。

o_=o—p甲一=8.23"x:—3648—=4.87

x*甲，p甲+pz33648+6773

X=x±3o-=12'32"±15"

X

2-15.試證明n個相等精度測得值的平均值的權為n乘以任一個測量值的權。

證明：

解：因為n個測量值屬于等精度測量，因此具有相同的標準偏差：

n個測量值算術平均值的標準偏差為：°=o/

已知權與方差成反比，設單次測量的權為P1,算術平均值的權為P2,則

11

P:P=-：------=1:nn

X

Pi-nP、

2-16重力加速度的20次測量具有平均值為9.811帆/.$2、標準差為0.014m/.V2o另

外30次測量具有平均值為9.802〃〃S2,標準差為0.022m/S2。假設這兩組測量屬

于同一正態總體。試求此50次測量的平均值和標準差。

111I

r202210.01412V0.02212

XX2I育JI?J

242義9.811+147*-

cQno工9.808(〃?/s2)

242+147

0.014,242

o_=—xI-------------------x0.0025(m/s2)

x<20\'242+147

2-17對某量進行10次測量，測得數據為14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,

14.9,14.8,15.1,15.0,試判斷該測量列中是否存在系統誤差。X=14.96

按貝塞爾公式01=0.2633

嚴的

按別捷爾斯法…=1.253x.O(j^1)x0.2642

由-2-=1+〃得〃=—2--1=0.0034

OiOi

2

|?|<=0.67所以測量列中無系差存在。

n—1

278對一線圈電感測量10次，前4次是和一個標準線圈比較得到的，后6次是和另一個標準

線圈比較得到的，測得結果如下(單位為mH)：

50.82,50.83,50.87,50.89；

50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.8k

試判斷前4次與后6次測量中是否存在系統誤差。

使用秩和檢驗法：

排序：

序號12345

第一組

第二組50.7550.7850.7850.8150.82

序號678910

第一組50.8250.8350.8750.89

第二組50.85

T=5.5+7+9+10=31.5查表7=147=30

T>7+所以兩組間存在系差

2-19對某量進行10次測量，測得數據為14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,14.9,14.8,

15.1,15.0,試判斷該測量列中是否存在系統誤差。元=叱96

按貝塞爾公式0尸°.2633

按別捷爾斯法1=1253x士氏0.2642

<10(10-1)

00

由7?=1+〃得〃=7?-1=0.0034

0,0,

-2-

U<=0.67所以測量列中無系差存在。

n--1

2-20.對某量進行12次測量,測的數據為20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,

20.11,20.14,20.18,20.18,20.21,20.19,試用兩種方法判斷該測量列中是否存在系統

誤差。

解：

⑴殘余誤差校核法

%=20.125

口二(-0.065-0.055-0.065-0.045-0.025-0.005)-(-0.015+0.015+0.055+0.055+

0.085+0.065)=-0.54

因為顯著不為0,存在系統誤差。

⑵殘余誤差觀察法

殘余誤差符號由負變正，數值由大到小，在變大，因此繪制殘余誤差曲線，可見存在線形系

統誤差。

￡周

02=1.253》=0.66

O

-2-1+U

O

iou=-1=0.19oi

U<-A===0.603

所以不存在系統誤差。

2-22

①萊以特盛則：計募得

ir=3x（MB27=00JKI

IB據董以特徙則，第舊次a（h：值的殘余謀羞

M4f=0l04>005>St

?格羅布斯準則1下的M個制3

y=2&.504,仃二也口3rL

按型據恥曲的大小一解序作網附卜，廣登如，如?，=*總曳在育工個韶員近?）?町卻可忸疑“也

+

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A

升iyi47H2S-2S504=0026

故庖遵先懷蛙陽口是否含有出大誤工一

汁科

“修修一

=0.05,,安得，盤｛13。附”川，就

ft=3.!S04>gA15J105）=2.41

〈以『霜量處?：仃招大我小”」.?除

注意「此時不能而推時、《呼)迸行期曲，?次只傕聯除?個用港.

■重復上述步驟，判斷是否還含有粗差，

?③狄克松準則同理，判斷后每次剔除一個粗差后重復.

第三章誤差的合成與分配

3-1相對測量時需用"-255nm的量塊組做標準件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基本尺寸

為。=40,74=L0°5叫經測量，它們的尺寸偏差及其測量極限誤差分別為

m

Ah--0.7/w,/，2=+°3叫Ab=一網,

Al=+0.1pa,6.1=±0.35pm,&1=+0.25p肛&1=+0.20pm,H1=±0.20pw。試求量塊組按基本

尺寸使用時的修正值及給相對測量帶來的測量誤差。

修正值二-(A/,+A/2+Ah+A74)

=-(-0.7+0.5-0.3+0.1)

=0.4(ptn)

測量誤差：

6=±『62+62+62+62

)%lim%lim%limlim

=±v(0.35)2+(0.25)2+(0,20)2+(0.20R

=+0.51(pm)

3-2為求長方體體積V,直接測量其各邊長為a=⑹.6"叫

b=44.5mm，=1。皿，已知測量的系統誤差為=L2?",Ab=Q8""",

Ac=0.5mm測量的極限誤差為6?=±0.8mm,

6=±0.5mmb6-±o5mm)試求立方體的體積及其體積的極限誤差。

V=abc

Vo=abc=161.6X44.5x11.2

=80541.44(mmi)

體積V系統誤差AV為：

A.V=bcAa+acA.b+ahA.c

=2745.744(mm3)?2745.74(mm3)

立方體體積實際大小為：展4次/=77795.70(〃司)

4儀舒儀4'大

6=±.;(一)26+(—)26+(一)26

iimVaaaaahhacc

=±7—262+(ac)262+(ab)262abc

-±3729.11(mmi)

測量體積最后結果表示為：

V=Vi)-AV+6u=(77795.7013729.1

3—3長方體的邊長分別為ai,a/a3測量時：①標準差均為。：②標準差各為。

2、oso試求體積的標準差。

解：

長方體的體積計算公式為：

一,aVaVaV

體積的標準差應為：Oy.(------)2。2+()202+(-----)202

Yaa1aa2aa3

,]23

aV現可求出：一-aaa

右.：O1-02=。3

:avavav■avavav

0=.(---------)2O2+(--------------)2O2+(----------)2O2=O：(--------)2+(------------)2+(-一.)

vaa1aa2aa3aaaaa。

/I23,123

=0[(a4)2+(。Q)2+(。Q)2

若：0,WO2WO3

則有：。二J(Q〃)2。2+(QQ)2。2+(QQ)2。2串2231132123

3-4測量某電路的電流,=22.5妨，電壓U=12.6"測量的標準差分別為。,.=0.5〃乂

。(/二°7求所耗功率P=U及其標準差與。P=U[=12.6*22.5=283.5(〃而

P=f(U,I)U、/成線性關系/.P(//=1

0=：(工202+(/)202+2(/)(/')00

paaUuaz；aUa/u

a/a/...................

=o+—o=/o+t/o=22.5X0.1+12.6x0.5aUuatIUI

=8.55(mw)

3.9,測量某電路電阻R兩端的電壓U,按式l=U/R計算出電路電流，若需保證電流的誤差為

0.04A,試求電阻R和電壓U的測量誤差為多少？

解：在I=U/R式中，電流I與電壓U是線性關系，若需要保證電流誤差不大于0.04A,則要保證電壓的誤差也不大

于0.04xRo

3-12按公式V=nr2h求圓柱體體積，若己知r約為2cm,h約為20cm,要使體積的相對誤差

等于1%,試問r和h測量時誤差應為多少？

解：

若不考慮測量誤差，圓柱體積為

v=JL,n-h-3.14x22x20=251.2ctn^

根據題意，體積測量的相對誤差為1%,即測定體積的相對誤差為：

o

-=1%V

即0=u.1%=251.2X1%=2.51

現按等作用原則分配誤差，可以求出

測定r的誤差應為：

0=---------------------=A77.=0.007cm

r<2av/ar1.412兀hr

測定h的誤差應為：

012.511

o=------=-----------=0.142cm

h<2av/ah1.417L-n

3-14對某一質量進行4次重復測量，測得數據(單位g)為428.6,429.2,426.5,430.8。

已知測量的已定系統誤差△:一2.6g?測量的各極限誤差分量及其相應的傳遞系數如下表

所

若各誤差均服從正態分布，試求該質量的最可信賴值及其極限誤差。

極限誤差/g

序號誤差傳遞系數

隨機誤差未定系統誤差

12.1—1

2——1.51

3—1.01

4—0.51

54.5—1

6——2.21.4

71.0—2.2

8—1.81

_428.6+429.2+426.5+430.8

X=....................................................

4

=428.775(g)氏428.8(g)

最可信賴值x=X-A=428.8+2.6=431.4(g)

bxT(曇；...P(為2ii

±±±9(g)

測量結果表示為:X=X-A+5X=(431.4士4.9)g

第四章測量不確定度

4一1某圓球的半徑為r,若重復10次測量得r±o,=(3.132±0.005)cm,試求該圓球最大

截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99%o

解：①求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度

已知圓球的最大截面的圓周為：0=2九”

其標準不確定度應為："=-[O2=,bKbo2=\.4*3.141592*0.0052

(3rJrr

=0.0314cm

確定包含因子。查t分布表tool(9)=3.25,及K=3.25故圓球的最大截面的圓周的測量

不確定度為：

U=Ku=3.25X0.0314=0.102

②求圓球的體積的測量不確定度

圓球體積為：V=3?九?，3

其標準不確定度應為：

〃=if些TO2=4?兀.郎02二,16*3.141592*3.132義0.0052：0.616

"％jrr

確定包含因子。查t分布表to(9)=3.25,及K=3.25最后確定的圓球的體積的測量不確

定度為

U=Ku=3.25X0.616=2.002

4-2.望遠鏡的放大率D=fl/f2,已測得物鏡主焦距fl±a1=(19.8±0.10)cm,目

鏡的主焦距f2土02=(0.800±0.005)cm,求放大率測量中由fl、f2引起的不

確定度分量和放大率D的標準不確定度。

4-3.測量某電路電阻R兩端的電壓U,由公式I=U/R計算出電路電流I,若測得

U±ou=(16.50±0.05)V,R±oR=(4.26±0.02)Q、相關系數pUR=-O.36,試

求電流I的標準不確定度。

4-4某校準證書說明，標稱值10。的標準電阻器的電阻R在20C時為10.0007@塞12

9O(P=99%),求該電阻器的標準不確定度，并說明屬于哪一類評定的

不確定度。

??一由校準證書說明給定

,屬于B類評定的不確定度

-R在［10.000742c-129悶，10.000742。+129悶］范圍內概率為99%,不為100%

,不屬于均勻分布，屬于正態分布

a=129當p=99%時，Kp=2.58

a129

=50（悶）

KP2.58

4-5在光學計上用52.5mm的量塊組作為標準件測量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而

成，其尺寸分別是：＜=40mm,12=,h=2.5mm,量塊按“級”使用，經查

手冊得其研合誤差分別不超過土°戶-加、±。3。四加、士。.25四也(取置信概率P=99.73%

的正態分布)，求該量塊組引起的測量不確定度。L-52.5mmI-AQmm\

\Qmm1—2.5mm

p-99.73%Kp-3

U~~—一0.15(@ni)U---------0.10(@ni)

ak3ak3

pP

U--------------J―§--0.08(Sm)

13k3P

UL=<U(+UI+U3-<0,152+O.IO2+O.O82

-0.20(§in)

第五章線性參數的最小二乘法處理

3x+y-2.9

5-］測量方程為P-2y-0.9試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。誤差方程為2x-3y-

1.9

北-2.9-(3x+y)

<v-0.9-(x-2y)

v-1.9-(2x-3y)

列正規方程乳XZ=1日代入數據得

i2il+Zaay-Zal

i~\

14.凡4解得卜0-962

-5x+14y--4.61y-0.015

v-2.9-(3x0.962+0.015)-0.001

將x、y代入誤差方程式卜：=0.9-(0.962-2x0.015)--0.032；-

1.9-(2x0.962-3x0.015)-0.021

3

Zv2

測量數據的標準差-0.038

為。寸n-7

14d?5d=1

dd-5d+14dz10

求解不定乘數udd1112

\4d-5d=0

-5d+14d=1

2122

解得小戶J22=0.082

\y的精度分另i］為。x=O47=0.°i

x-3y--5.6,p

二1

5-7不等精度測量的方程組如下：〈4x+y=8.1,p二

2

2x-y-0.5,p-3

3

試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。

%―5.6-(x-3y1P/-1列誤差方程\u?

8.1-(4x+yip-2

v=0.5-(2x—y),p=3

￡paax+￡paay-￡palm