教學目標

1.知識與技能：

(1)引導學生發現正弦定理的內容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡單運用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計算

有關的實際問題

2.過程與方法：

通過對定理的探究，培養學生發現數學規律的思維方法與能力；

通過對定理的證明和應用，培養學生獨立解決問題的能力和體會分類

討論和數形結合的思想方法.

3.情感、態度與價值觀：

(1)通過對三角形邊角關系的探究學習，經歷數學探究活動的過程,

體會由特殊到一般再由一般到特殊的認識事物規律，培養探索精神和

創新意識；

(2)通過本節學習和運用實踐，體會數學的科學價值、應用價值，

學習用數學的思維方式解決問題、認識世界,進而領會數學的人文價

值、美學價值，不斷提高自身的文化修養.

教學重點、難點

教學重點：1.正弦定理的推導.2.正弦定理的運用

教學難點：1.正弦定理的推導.2.正弦定理的運用.

學情分析

本節授課對象是高二學生，是在學生學習了必修④基本初等函數

n和三角恒等變換的基礎上，由實際問題出發探索研究三角形邊角關

系，得出正弦定理。高二學生對生產生活問題比較感興趣，由實際問

題出發可以激起學生的學習興趣，使學生產生探索研究的愿望。

1.在aABC中，A=60。，a=43,b=42,則（）

A.B=45。或135。B.B=135°

C.B=45°D.以上答案都不對

2.AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=2,b=6,B=120。，貝i]a等于（）

A.6B.2

C.3D.2

3.在AABC中，a=5,b=3,C=120°.則sinA：sinB的值是（）

A.5：3B.3：5

C.3：7D.5：7

4.在aABC中，若sinAa=cosCc,則C的值為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

5.在aABC中，a=bsinA,則AABC一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

6.（2011年天津質檢）在AABC中，如果A=60。，C=4,a=4,則此三角形有（）

A.兩解B.一解

C.無解D.無窮多解

二、填空題

7.在aABC中，已知BC=5,sinC=2sinA,則AB=.

8.在AABC中，B=30°,C=120°,則a：b：c=.

三、解答題

9.在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=4：5：6,且a+b+c=30,求a.

10.在AABC中，角A,B,C所對的三邊分別為a,b,c.已知a=5,b=2,B=120°,

解此三角形.

1o這是一節師生互動好、教師有激情的課。教師講解清楚，透徹，由于教師的親和力

大，學生積極性調動得較充分，感覺到課堂的一種和諧的氛圍。

2。教師有鉆研，課堂條理清晰，但重點處理有偏頗。本節課教學重點是正弦定理的證

明與定理的簡單應用。

3。正弦定理的證明方法講哪種更好呢？有老師認為，用三角形面積法證明更易于學生

理解和接受，能夠更好地進行定理應用的例題講解；有老師認為，定理證明的幾種應該都介

紹給學生，讓學生更好掌握定理的形成過程，這更符合新課標的要求；有老師認為，定理講

解就針對不同層次學生，對于基礎較好班級可以更深入去挖掘一下，拓展學生思維，反之，

不提倡講得太多；有老師認為，定理推導要創設情境，引導學生去發現、類比等。

教材分析

正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的內容。在

初中，學生已經學習了三角形的邊和角的基本關系；同時在必修4,

學生也學習了三角函數、平面向量等內容。這些為學生學習正弦定理

提供了堅實的基礎。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三

角形邊、角之間數量關系的重要公式，本節內容同時又是學生學習解

三角形，幾何計算等后續知識的基礎，而且在物理學等其它學科、工

業生產以及日常生活等常常涉及解三角形的問題。

正弦定理

1.問題的引入：

(1)在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事.明月高懸,我們仰望夜空,

會有無限遐想,不禁會問，

月亮離我們地球有多遠呢?科學家們是怎樣測出來的呢？

(2)設A,B兩點在河的兩岸，只給你米尺和量角設備,不過河你可

以測出它們之間的距離嗎？

我們這一節所學習的內容就是解決這些問題的有力工具.

這節課我們就要從正弦這個側面來研究三角形邊角的關系即正弦

定理。

【師】：請同學們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣

表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA=—,sinB=—,sinC=1

【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯系起來?

【生】：邊C可以把他們聯系起來，即c=q,c=上,c=，，也

sinAsinBsinC

就是說在RtAABC中，-=―絲=—J

sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個

直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立

呢？

通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的

角的正弦值相等。在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三

個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴格的數學證明，所以，只是直觀的

驗證是不夠的，那能不能對這個定理給出一個證明呢？

2.定理的推導

回憶一下直角三角形的邊角關系？

a=csinAZ>=csin區兩等式間有聯系嗎？

B

b

sinAsin

sjnc=1」sinAsin8sinC

思考:

對一般的三角形，這個結論還能成立嗎?

⑴當AABC是銳角三角形時,結論是否還成立呢?

如圖:作A3上的高是C僅根據

三角形的定義，得到

CD=asinB,CD=bsinA

所以asinB=bsmAB

a_b

得到

sinAsin8

同理，作A￡1BC.有——=——

sinBsinC

a?____b—____c—____

sinAsinBsinC

3.正弦定理

⑵當AABC是鈍角三角形時，以上等式是否仍然成立?

正弦定理:

a_b_c

sinAsinBsinC

(1)文字敘述

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角

的正弦的比相等,

(2)結枸特點和諧美、對稱美.

(3)方程的觀點

正弦定理實際上是已知其中三個,求另一個.

能否運用向量的方法來證明正弦定理呢?

在銳看角形中兩邊同取寫的數量積得

J(AC+CB)=JAB

(根據向量的數量積的定義)

|)|-|AC|?cos90+p|.|CB|-COS(900-C)

=|)|-Afi|-cos(90'-A)

］與前的夾角為—",即。?sinC=c?siiiA

］與曰的夾角為9(r-c,sinAsinC

］與標的夾角為型二.同理過C點作，?垂直于國可得

由向量加法的三角形法則?.在銳角三角形目

sinCSinn

b_c

AC+CB=AJB也有

sinAsinBsinC

在鈍角三角形中

設NA>90"

過點4作與菽垂直的里位向量］,

則］與蒜的夾角為

］與赤的夾角為""C

具體證明過程

課下完成！

【師】：經過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，

并且得到了正弦定理對于直角、銳角、鈍角三角形都是成立

的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于

一個比例式來說，如果我們知道其中的三項，那么就可以根

據比例的運算性質得到第四項。因此正弦定理的應用主要有

哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或

者兩角一邊求出另外一邊。

【師】：其實大家如果聯系三角形的內角和公式的話，其實只要有上

面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊

和角。下面我們來看正弦定理的一些應用。

回扣引入

4.例題講解

例1.在AA5C中，已知c=10,A=45。,C=30°.

求角5和瓦

例2.在aABC中，已知a=2,b=2M,A=45°,

求B和c。

變式1：在AABC中，已知a=4,b=2G,A=45°,

一

變式2：在AABC中，已知a=-V3,b=272，

5.課堂練習3

1.在AA5C中

(1)已知)=12,4=30°,5=120°,求〃；

(2)已知義二退,。=1,5=60°,求。,和不C;

6.課堂小結

知識：1.正弦定理的內容

2.正弦定理的應