2024高考數(shù)學(xué)湫：平面向量與復(fù)數(shù)

目錄

1.平面向量的概念及線性運(yùn)算........................................1

2.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示...................................12

3.平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例............................22

4.復(fù)數(shù)..........................................................37

1.平面向量的概念及線性運(yùn)算

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

1.通過(guò)力和力的分析等實(shí)例，了解

向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量

相等的含義，理解向量的幾何表示.考情分析：平面向量的相關(guān)概念，

2.通過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的平面向量的線性運(yùn)算，共線向量定理及

運(yùn)算，并理解其幾何意義.其應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將

3.通過(guò)實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，是選擇與填空題.

并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、

的含義.數(shù)學(xué)抽象.

4.了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾

何意義.

?嫌分步落實(shí)

精梳理、巧診斷，過(guò)好雙基關(guān)

V學(xué)生用書(shū)P89

I整知識(shí)I................................................

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方面的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

⑵零向量：長(zhǎng)度為。的向量，其方向是任意的.

⑶單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量.規(guī)定：0與任一

向量共線.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相圓的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

［注意］單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同；與向量a

平行的單位向量有兩個(gè)，即向量言和一言.

2.向量的線性運(yùn)算

定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

(1)交換律：

a~\~b=b~Va

加求兩個(gè)向三角形法則

(2)結(jié)合律：(a

法量和的運(yùn)算

+b)+c=a+(b+

平行四邊形法則

向量a加

上向量b的相

減。一力=a+(一

反向量叫做Q

法b)

與b的差，即a三角形法則

+(—b)=a-b

設(shè)九〃是實(shí)

⑴模：|Aa|=|z||a|

數(shù).

⑵方向:

實(shí)數(shù)A與(lUfaa)=

當(dāng)2>0時(shí)，4a與。的方向相

數(shù)向量a的積是(〃/)a

回；

乘一個(gè)向量,記作(2)Q+〃)a=

當(dāng)k0時(shí)，4a與a的方向相

Xaa

反；

(3)23+。)=

當(dāng)2=0時(shí)，

勸

3.共線向量定理

向量a(aWO)與。共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)兒，使

1.三點(diǎn)共線的等價(jià)轉(zhuǎn)化

A,P,8三點(diǎn)共線=協(xié)=AABGWO)c罰=(1-/)OA+tOB(0為平面

內(nèi)異于A,P,B的任一點(diǎn)，PR)。源=xOA+yOB(0為平面內(nèi)異于A,P,

B的任一點(diǎn)，x￡R,y￡R,x+y=1).

2.向量的中線公式

若P為線段AB的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)一點(diǎn)，則罰=1(OA+OB).

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)|?|與1"是否相等與處方的方向無(wú)關(guān).()

(2)若a〃方，b//c,貝lja〃c.()

(3)向量箱與向量詼?zhǔn)枪簿€向量，則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.()

(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a,〃共線時(shí)，一定有8=癡，反之亦成立.()

答案：(1)J(2)X(3)X(4)V

2.如圖，設(shè)P,。兩點(diǎn)把線段A3三等分，則下列向量表達(dá)式錯(cuò)誤的是()

A.APABB.AQ=1AB

3上3

2

C.BP=一1ABD.AQ=BP

D［由數(shù)乘向量的定義可以得到A,B,C都是正確的，只有D錯(cuò)誤.］

3.（必修4P86例4改編）如圖，QABCO的對(duì)角線交于M,若筋=a,AD=

b,用a,b表示MD為（）

1,1,c11,

A.5a十］bB.5Q—2b

C.一；a~\bD.—；a+gb

D[MD=TBD(AD—AB)=：(/?—a)=—1a+：b.]

4.(必修4P87練習(xí)T2改編)化簡(jiǎn)：

(l)(Afi+MB)+B0+0M=；

⑵版+QP+MN-MP=.

解析：(1)原式=箱+B0+OM+MB=AB.

(2)原式=沛+PN=0.

答案：⑴加(2)0

5.已知a與8是兩個(gè)不共線向量，且向量Q+勸與一(萬(wàn)一30共線，則％=

{X=-k,

解析：由題意知存在女WR,使得a+2>=女[一(萬(wàn)一3a)],所以:解

[1=3攵，

〈學(xué)生用書(shū)P90

平面向量的基本概念

[題組練透]

1.設(shè)。是非零向量，兒是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是()

A.a與一癡的方向相反B.\—ka\'^\a\

C.。與乃a的方向相同D.|-za|=R|a

C[當(dāng)4<0時(shí)，a與一癡的方向相同，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)囚<1時(shí)，選項(xiàng)

B不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?是非零實(shí)數(shù)，所以N>0,因此。與乃a的方

向相同，所以選項(xiàng)C正確；又因?yàn)閨一癡|是一個(gè)實(shí)數(shù)，是一個(gè)向量，所以選

項(xiàng)D錯(cuò)誤.]

2.給出下列命題:

①零向量是唯一沒(méi)有方向的向量;

②零向量的長(zhǎng)度等于0;

③若都為非零向量，則使言+A=0成立的條件是。與）反向共線.

l?lI"

其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

B[①錯(cuò)誤，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正確，由零向量的定

義可知，零向量的長(zhǎng)度為0；③正確，因?yàn)檠耘c白都是單位向量，所以只有當(dāng)

言與看是相反向量，即。與方反向共線時(shí)才成立.]

3.（多選）給出下列命題，不正確的有（）

A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同

B.若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，且拔=DC,則ABC。為平行四邊

形

C.。=分的充要條件是⑷=|回且

D.已知九4為實(shí)數(shù)，若〃=9，則。與方共線

ACD[A項(xiàng)錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩

個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；B項(xiàng)正確，因?yàn)榍?DC,所以|油

|=|DC|且筋〃比，又A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCO為

平行四邊形；C錯(cuò)誤，當(dāng)a〃）且方向相反時(shí)，即使同=|例，也不能得到。=萬(wàn)，

所以⑷=|加且。〃分不是。=方的充要條件，而是必要不充分條件；D項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)

2=〃=0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足癡=〃），但Q與。不一定共線，故選

ACD項(xiàng).]

向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

（1）平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的；

非零向量的平行具有傳遞性；

相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有傳遞

性.

(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)

實(shí)數(shù)，可以比較大小.

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它

與函數(shù)圖象的平移混為一談.

(4)非零向量”與言的關(guān)系：言是與。同方向的單位向量.

1?11?1

平面向量的線性運(yùn)算

(1)(2020.長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)如圖，在正方形ABC。中，E是。。的

中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足前=2麗，那么浙=()

A.AB—IADB.1AB+；AD

；麗；

C.ABADD.+AD

(2)在銳角AABC中，CM=3MB，AM=xAB+yAC(x,y《R),貝2=

y

解析：(1)因?yàn)镋為。。的中點(diǎn)，所以比=；DC.因?yàn)殂?2FB,所以

CF=|CB.所以前=EC+CF=gDC+|CB=；AB+|DA=gAB

2.

一QAD,故選C.

rr—3f—3f_>,3

(2)由題設(shè)可得翁/=CM—CACB+AC(AB—AC)+AC

AB+|Ac,

31x

則x=W，y=4，故,=3.

答案：(1)C(2)3

平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略

(1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則.

(2)求已知向量的和或差.共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三

角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則.

(3)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出

來(lái)，與含參數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行比較，求出參數(shù)的值.

1.(多選)化簡(jiǎn)下列各式結(jié)果為0的是()

A.AB+BC+CA

B.AB-AC+BD-CD

C.OA+0D+AD

D.NQ+QP+MN-MP

ABD[AB+BC+CA=AC+CA=0；

AB-AC+BD-CD=AB+BD+DC+CA=0

OA+OD+AD=OA+AD+OD=2OD

NQ+QP+MN-MP=NQ+QP+PM+W=0,故選ABD.]

2.(2020?吉林梅河口五中模擬)在△ABC中，延長(zhǎng)8C至點(diǎn)M使得BC=2CM,

連接AM,點(diǎn)N為AM上一點(diǎn)且病=|AM,若病=2AB+〃危,則2+〃

=()

A.|；

C.-2D.—

A[由題意，知病=?AM=；(AB+BM)=4AB+〈XyBC=；

AB+'(AC—AB)=—7AB+1AC,所以％=—；，〃,則2+〃=},

2o2o2廠3

故選A.]

共線向量定理及其應(yīng)用講練型

設(shè)兩個(gè)非零向量a和萬(wàn)不共線.

(1)若筋=a+b,BC=2a+Sb,CD=3(a—b).求證：A,B,。三點(diǎn)共線;

(2)試確定實(shí)數(shù)上,使ka+5和a+必共線.

解析：(1)證明：因?yàn)橛?a+b,BC=2a+Sb,CD=3(a—》)，

所以說(shuō))=BC+CD=2a+Sb+3(a~b)=5(a+b)=5AB,

所以屈，BD共線.

又施與防有公共點(diǎn)B,

所以A,B,。三點(diǎn)共線.

(2)因?yàn)閗a+b與a+kb共線，

所以存在實(shí)數(shù)九使①+〃=/1(Q+奶)，

k=2,

即，一，解得Z=±1.

即k=±l時(shí)，ka+b與a+kb共線.

?歸納升華

共線向量定理的應(yīng)用

(1)證明向量共線，對(duì)于向量a,b,若存在實(shí)數(shù)人使。=勸，則。與》共線.

(2)證明三點(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)九使屈=Z4C,則A,B,C三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值，利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值

(如本例(2)).

［提醒］證明三點(diǎn)共線時(shí)，要說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn)(如本例(1)).

1.在四邊形A3CO中，AB=a+2b,BC=~Aa~b,CD=-5a~3b,則

四邊形ABC。的形狀是()

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對(duì)

C［由已知，得疝=AB+BC+CD=-Sa-2b=2(-4a~b)=2BC,

故疝//BC.又因?yàn)楦Ｅc而不平行，所以四邊形ABCO是梯形.］

2.已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若浦=XPA+PB,其中2GR,

則點(diǎn)尸一定在（）

A.△ABC的內(nèi)部B.AC邊所在直線上

C.邊所在直線上D.BC邊所在直線上

B［由麗=2/+PB得宓-PB=2或，&=2戌.則加，PA為共

線向量，又加，PA有一個(gè)公共點(diǎn)P,所以C,P,A三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在直線

AC上.］

3.（變條件）若將本例⑴中（（BC=2a+8b”改為UBC=a+mb”，若A,B,

。三點(diǎn)共線，則〃z=.

解析：BC+CD=（。+，泌）+3（。-6）=4a+（m—3）萬(wàn)，即8。=4a+（m—

3）b.

若A,B,。三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)人使筋,

即4a+（"?-3）b=2（a+b）,

4=A

?U.一解得〃2=7.

m-3=x,

故當(dāng)〃?=7時(shí)，A,B,。三點(diǎn)共線.

答案：7

4.（變結(jié)論）若將本例⑵中的“共線”改為“反向共線"，則％=.

解析：因?yàn)閗z+方與a+@反向共線，

所以存在實(shí)數(shù)九使總+方=/。+妨）（2<0）,

伙=2,

所以k1

-一=1,

所以k=±l.

又AVO,k=X,所以女=-1.

故當(dāng)k=-l時(shí)兩向量反向共線.

答案：一1

微專題系列22［交匯創(chuàng)新］

定義兩個(gè)平面向量的一種運(yùn)算。魴=MHMsin〈0,b),則關(guān)于平面向量

上述運(yùn)算的以下結(jié)論中，

Qaeb=b?a；

②X(a?b)=；

③若a=Xb,則。納=0；

④若a=勸且2>0,則(a+b)?c=(o?c)+S^c).

正確的序號(hào)是.

解析：①恒成立；②2(。她)=川〃|?網(wǎng)sin〈a,b},

(2a)M=|4a|?|Msin〈。,b),當(dāng)A<0時(shí)，

A(a汕)=(2a)她不成立；

③。=/1瓦則sin〈a,b)=0,故〃M=0恒成立;

@a=Ab9且不>0,則Q+B=(1+Q仇(a+b)?c=|(l+Q|步|?|c|sin<b,c〉，

(於c)+(旅O=|初?|c|sin(b,c)+步|?|c|sin〈b,c〉=

|l+2仙Hc|sin〈b,c〉，

故(a+b)?c=(mc)+S?c)恒成立.

答案：①③④

NSfe本例是新定義下平面向量的運(yùn)算，解答本題關(guān)鍵是把此定義運(yùn)算

轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)的平面向量數(shù)量積運(yùn)算，命題便可判斷.

變式訓(xùn)練

定義平面向量的一種運(yùn)算aOb=|a+回X|a—b|Xsin[a,b),其中〈a,b)

是。與8的夾角，給出下列命題：

①若〈a,b)=90°,則aQb=a1+b2；

②若同=步|,則(a+6)。(a一方)=4a如

③若⑷=|加，則aQb^2\a\2；

其中真命題的序號(hào)是.

解析：①中，因?yàn)椤碼,b1=90°,則aOA=M+"X|a—"=屋+瓜，所

以①成立；

②中，因?yàn)閨a|=\b\,所以〈(a+b),(a—b))=90°,所以(a+b)O(Q—b)

=\2a\X\2b\=4\a\\b\,所以②不成立;

③中，因?yàn)橥?|例，所以aOZ>=|a+A|X|a一回Xsin(a,b)W|a+A|X|a一

22

.|a+Z>|+|a-6|,匕「上、

b\^----弓----L=2|a|2,所以③成立；

答案：①③

［友情提示］每道習(xí)題都是一個(gè)高考點(diǎn)，每項(xiàng)訓(xùn)練都是對(duì)能力的檢驗(yàn)，認(rèn)真

對(duì)待它們吧！進(jìn)入“課時(shí)作業(yè)(二十九)"，去收獲希望，體驗(yàn)成功！本欄目?jī)?nèi)容

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2.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

1.理解平面向量的基本定理及其意

義.考情分析：平面向量基本定理及

2.借助平面直角坐標(biāo)系掌握平面向其應(yīng)用，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共

量的正交分解及其坐標(biāo)表示.線的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用仍是高考考查的

3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、熱點(diǎn)，題型仍將是選擇與填空題.

減法與數(shù)乘運(yùn)算.學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線數(shù)學(xué)抽象.

的條件.

?0分步落實(shí)精梳理、巧診斷，過(guò)好雙基關(guān)。

〈學(xué)生用書(shū)P92

]^32ir、|>>>

1.平面向量基本定理

如果勾，62是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向

量。，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)力，42,使a=4幺土及紇.

其中，不共線的向量臼，62叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)”=(九I,yi),b=(x2,yi),則

a+Z>=(xi+x2,vi+y2),a—b=(xi-X2,yi—V2),

?a=Clxi,兒yi),.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi,yi),8(x2,yi),

則AB=(X2—XI,丫2一丫1),

\AB|=A/(尤2-xi)2+(y2—yi/.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),>=(X2,yi),其中)#0.

a//b<=>xiV2X2Vi=0.

［注意］當(dāng)且僅當(dāng)X2y2Ho時(shí)，a//b與？=?等價(jià).

xiy2

即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例.

?常用結(jié)論

1.向量共線的充要條件的兩種形式

(1)。〃方ob=〃(aW0,4GR)；

(2)a〃》=xiy2—X2yi=0(其中a=(xi,yi),b=(x2,")).

2.已知△ABC的頂點(diǎn)A(xi,yi),8(x2,yi),C(X3,”)，則△ABC的重心G

的坐標(biāo)為.

I練基礎(chǔ)I...............................?>

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.()

(2)在△ABC中，向量油，BC的夾角為NABC()

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()

(4)若a=(xi,yi),。=(必"),則a〃》的充要條件可表示成?=合.()

X2yi

(5)若a,方不共線，且；ha+〃山=22。+〃2〃，則為=%2,〃i="2.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

2.(必修4P101習(xí)題T5改編)已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a〃4則

x的值是()

A.-6B.6

C.9D.12

B［因?yàn)閍〃b,所以4X3—2x=0,所以x=6.］

3.(必修4P101練習(xí)T6改編)設(shè)P是線段PP2上的一點(diǎn)，若是(1,3),P2(4,

0)且P是線段PR的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)Pi),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(2,2)B.(3,-1)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

A[由已知PiP=gP1P2,PIP2=(3,-3).

設(shè)y),則(x-l,y—3)=(1,-1),所以無(wú)=2,y=2,點(diǎn)P(2,2).]

4.已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量危=(-4,-3),則向量比=.

解析：根據(jù)題意得屈=(3,1),

：.BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(—7,-4).

答案：(-7,-4)

5.已知向量〃=(2,1),6=(1,—2),若小。+油=(9,一8)(機(jī)，〃￡R),則

m—n的值為.

解析：*.*ma+nb=(2m+n,加一2〃)=(9,—8),

2m+〃=9,[m—2,

?V?V

m-2n=-8,[〃=5.

:?m—n=2-5=-3.

答案：一3

6?分類突破微點(diǎn)撥、多維練，研:

V學(xué)生用書(shū)P93

平面向量基本定理及其應(yīng)用講練型

區(qū)向（1）（多選）（2020?文登區(qū)期中）四邊形A8C。中，AB//CD,ZA=90°,

AB=2AD=2DC,

BC=3EC,AE=2AF,則下列表示正確的是()

A.CB=-1AB+AD

B.AF=|AB+|AD

C.CFAB—|AD

D.BF=—|AB+|AD

(2)如圖，已知口ABC。的邊BC,CO的中點(diǎn)分別是K,L,且病=ei,AL=

e2,試用e\,e2表示8c,CD.

解析:由已知四邊形ABCD如圖所示:

由圖可得:

11

+荏+++

DA--2--2-AB

DA,故A錯(cuò)誤.

AF=gAE=；(AB+BE)=g(AB+|BC)=；AB+；BC=gAB

+g1—3屈+Ab)=(7—i)屈+；疝=3Afi+'AD,B正確.

CF=CD+DA+AF=—ABAD+；AB+1AD=-AB—|

AD,C錯(cuò)誤.

ii91

BF=AF-ABABAD~AB=~^ABAD,D正確.故選

BD.

(2)設(shè)比=a,CD=b,則城=|a,DL=~^b.

由油+BK=AK,AD+DL=AL,

—8+%=ei,①

{a—^b=ei,②

①+②義(-2),得］a—2a—e\—2ei,

224

即。=-M(ei-2e2)=-qei+gei,

24

所以BC=—gei+ge2.

2

同理可得辦=q(—2ei+e2),

即⑦=—3ei+|C2.

答案：(1)BD

博歸綱升華

平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路

(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形

法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該

基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.

變式訓(xùn)練

1.(2020?安徽阜陽(yáng)質(zhì)量診斷)如圖，若宓=a,OB=b,OC=c,B是線

段AC靠近一點(diǎn)C的一個(gè)四等分點(diǎn)，則下列等式成立的是()

2,1r4,,1

A.c=§4aB.c=§?十父a

4121

C.c=QZ>—aD.c=28+%a

C[由題意得，c=5t=OB+BC=OB+1AB=OB+|(OB-OA)

4一1一41

=1OB—§OA=§》一gA.故選C.]

2.已知在△ABC中，點(diǎn)。滿足次+OB+OC=0,點(diǎn)P是。。上異于端

點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且舁=mOA+nOB,則加+〃的取值范圍是.

解析：依題意，設(shè)舁=見(jiàn)而

由。X+OB+OC=0,知慶=-?9A+OB),

所以泳=~AOA-XOB.由平面向量基本定理可知，

m+n=—22,所以機(jī)+〃￡(—2,0).

答案：(一2,0)

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算自練型

［題組練透］

1.已知AB=(1,-1),C(0,1）,若⑦=2AB,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.(一2,3)B.(2,-3)

C.(-2,1)D.(2,-1)

D［設(shè)D(x,y),則加=(x,y—1),2AB=(2,-2),根據(jù)前=2AB,

得(x,y—1)=(2,—2),

x=2,x=2,

即C解得,故選D.］

)—1=-2,〔尸一1，

2.（2020?福建三明第一中學(xué)月考）已知a=（5,—2),6=(—4,—3),若a

2b+3c=0,則c的坐標(biāo)為（）

138'

A.L3.B.

3'X

134'4'

C.D.

3,

D［設(shè)c=(x,y).因?yàn)閍—2〃+3c=0,所以(5,—2)—2(—4,—3)+3(%,))

r13

x=一了,

13+3x=0,

=(0,0),即(5+8+3x,—2+6+3y)=(0,0),所以，4+3尸0,解得

4

產(chǎn)一亍

134'

所以c=|一，

3,

3.（一題多解）如圖，在正方形ABCD中，M,N分別是3C,

CD的中點(diǎn)，若危=AAM+fiBN,則％+〃=.

解析：法一：以AB,AO所在直線分別為x軸，y軸，建

立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則俞=fl,1C41)，

,BN

AC=(1,1),

VAC=/.AM+1.1BN

」5,

2

〃=亍

4+^=1.

法二：由巍=ABAD,BN=-3AB+AD,得危=AAM+fiBN

=(一?AB+g+“AD,又危=AB+AD,

A】,p4g

???\解得J2??〃+〃=>

丁〃=1，1^=5-

答案：|

/練后悟通

向量坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題的一般思路

(1)向量問(wèn)題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)

進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，通過(guò)建立平面直角

坐標(biāo)系，使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算.(如題3)

(2)巧借方程思想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)

算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程

中要注意方程思想的運(yùn)用.(如題3)

平面向量共線的坐標(biāo)表示講練型

ET2](1)(2020?河南、河北重點(diǎn)高中段考)已知向量，篦=(2+1,1),〃=(/1+2,

2),若(2/n+〃)〃(/則2=()

A.-1B.0

C.1D.2

(2)已知向量OA=伏,12),OB=(4,5),OC=(一匕10),且A,B,C三

點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)%的值是()

A--3B--3

C.；D.I

(1)B(2)A[(1)因?yàn)?m+〃=(32+4,4),機(jī)一2〃=(一丸一3,-3),且(2機(jī)

+n)//(m-2n),所以(一3>(34+4)—4?(一?一3)=0,解得2=0.故選B.

(2)AB=麗-OA=(4—k,-7),AC=OC~OA=(~2k,-2).

；A,B,。三點(diǎn)共線，：.AB,AC共線，

「?一2X(4_lc)=-7X(-2k),

解得攵=一2號(hào).]

慟歸納升華

平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略

(1)利用兩向量共線求參數(shù)：如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，

則利用“若a=(xi,ji),b=(x2,”)，則a〃分的充要條件是xiy2=X2yi”解題比

較方便.

(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)：一般地，在求與一個(gè)已知向量。共

線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為癡(AGR),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于丸的方程,

求出A的值后代入癡即可得到所求的向量.

(3)三點(diǎn)共線問(wèn)題.A,B,。三點(diǎn)共線等價(jià)于油與慶共線.

變式訓(xùn)練

3

已知向量。〃且〃力，若均為正數(shù)，則：

1.=(3,—2),=(x,y—1),ax,y4

十2:的最小值是()

85

A.24B.8C.D.

B［因?yàn)椤！◤乃砸?%—3&-1)=0,化簡(jiǎn)得2x+3y=3,又因?yàn)閤,y均

為正數(shù),所以:+~=(|+|)><|(2x+3y)=|義(6+?+與+6)*X(12+

2、件W)=8,當(dāng)且僅當(dāng)?=當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.所以1十:的最小值是81

\jyAyy

2.已知向量0=(1,1),點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)8為直線y=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若油

//a,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為.

解析：設(shè)B(x,lx),則卷=(x—3,lx),因?yàn)榍?/a,所以x—3—2x=0,

解得x=-3,所以5(—3,—6).

答案：(-3,—6)

微專題系列23［思想方法］

巧借坐標(biāo)系一一提升運(yùn)算能力

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形A3Q9中，動(dòng)圓。的

半徑為1,圓心Q在線段8C(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，尸是圓。上及

內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量能=mAB+nAD(m,〃為實(shí)數(shù))，則加

+〃的取值范圍是()

A.［1—乎,2+陰B,2+坐

C1］D.1—乎,I

A［如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則屈=(4,0),AD=(0,4),AP=mAB

+nAD=(4孫4〃),設(shè)(2(4,t),r￡［0,4］,則P在圓(x

-4)2+(y-r)2=l上，設(shè)尸(4+cos0,t+sin0),則

4+cos。=4m,

<4機(jī)+4〃=4+/+啦sin［夕+工］，

j+sin9=4〃，

,5n

當(dāng)r=0,0=—時(shí)，機(jī)+〃取得最小值1—,當(dāng)r=4,

0=~^時(shí)，〃?+〃取得最大值2+/，所以m+n的取值范圍是口一乎，2+

乎1-1

，名師點(diǎn)評(píng)

巧建系妙解題，常見(jiàn)的建系方法

(1)利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系

若圖形中有明顯互相垂直且相交于一點(diǎn)的兩條直線（如矩形、直角梯形等）,

可以利用這兩條直線建立坐標(biāo)系；

（2）利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系

圖形中雖沒(méi)有明顯互相垂直交于一點(diǎn)的兩條直線，但有一定對(duì)稱關(guān)系（如：

等腰三角形、等腰梯形等），可利用自身對(duì)稱性建系.建立平面直角坐標(biāo)系的基

本原則是盡可能地使頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，或在同一象限.

變式訓(xùn)練

如圖2,“六芒星”是由兩個(gè)全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn)。且三組對(duì)

邊分別平行.點(diǎn)A,B是“六芒星”（如圖1）的兩個(gè)頂點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P在“六芒星”

上（內(nèi)部以及邊界），若種=xOA+yOB,則x+y的取值范圍是（）

C［如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

令正三角形邊長(zhǎng)為3,則為=i,0A=—|J,

可得方，/=平0A+^3為，由圖知當(dāng)P在C點(diǎn)

時(shí)有，0P=事j=20A+30B,此時(shí)x+y有最大值5,同理點(diǎn)P在與。相對(duì)

的下頂點(diǎn)時(shí)有泳=一小j=-20A-3OB,此時(shí)x+y有最小值一5」

「友情提示］每道習(xí)題都是一個(gè)高考點(diǎn)，每項(xiàng)訓(xùn)練都是對(duì)能力的檢驗(yàn)，認(rèn)真

對(duì)待它們吧！進(jìn)入“課時(shí)作業(yè)（三十）"，去收獲希望，體驗(yàn)成功！本欄目?jī)?nèi)容以

活頁(yè)形式分冊(cè)裝訂！

3.平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例

課程標(biāo)準(zhǔn)考向預(yù)測(cè)

1.通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解

平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，

體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)

系.考情分析：平面向量數(shù)量積的概

2.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)念及運(yùn)算，與長(zhǎng)度、夾角、平行、垂直

行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.有關(guān)的問(wèn)題，平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)

3.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選

角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂擇題與填空題.

直關(guān)系.學(xué)科素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、

4.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的幾數(shù)學(xué)抽象.

何問(wèn)題，力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題，

體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作

用.

?等分步落實(shí)

精梳理、巧診斷，過(guò)好雙基關(guān)。

V學(xué)生用書(shū)P95

I整知識(shí)I...............................?>

1.向量的夾角

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量。和4作宓=a,OB=b,則NAOB就是向

量a與小的夾角.

(2)范圍：設(shè)。是向量a與方的夾角，則0°W〃W180°.

(3)共線與垂直：若。=0°,則a與9同向;若9=180°,則a與3反向;

若。=90°,則a與此垂直.

［注意］只有兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的前才是兩向量的夾角.

2.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個(gè)非零向量a,8的夾角為仇則數(shù)量㈤依cos，叫做a與1

定義

的數(shù)量積，記作。功

㈤cos.〃叫做向量a在8方向上的投影，

投影

依cos，叫做向量)在a方向上的投影

何數(shù)量積a*b等于a的長(zhǎng)度間與方在a的方向上的投影囹cos_。的

意義乘積

3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)m5都是非零向量，e是單位向量，。為a與伙或e)的夾角.則

(l)e?a=a?e=|a|cos0.

(2)a_Lbo。8=0.

(3)當(dāng)。與方同向時(shí)，a-b=\a\-\b\；

當(dāng)a與》反向時(shí)，a-b=~\a\-\b\.

特別地，或者㈤=、后.

q*b

GM"國(guó)

(5)a-b^\a\\b\.

4.數(shù)量積的運(yùn)算律

(1)交換律:ab=ba.

(2)數(shù)乘結(jié)合律：aa)b=A(a-b)=aqb).

(3)分配律：(a+b)-c=ac+bc.

5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=(xi,yi),b=(X2,yi),向量a與6的夾角為仇貝U

數(shù)量積a-b=x\xi+y\y2

模⑷=q於+yi

龍1尤2+)'1>2

夾角8s5+4證+族

向量垂

直的Q_L〃Oa?b=00XLX2+yiy2=0

充要條

件

平常用結(jié)論

1.求平面向量的模的公式

(1)a2=a-a=|a|2^c|a|=y[a-a=亞；

(2)|a±6|=\](a±b)2=-\]a2±2a'b+b2；

(3)若a=(x,y),則⑷.

2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論

(1)兩個(gè)向量a與5的夾角為銳角，則有。山〉0,反之不成立(因?yàn)閵A角為0

時(shí)不成立)；

(2)兩個(gè)向量。與5的夾角為鈍角，則有a山<0,反之不成立(因?yàn)閵A角為“時(shí)

不成立).

I練基礎(chǔ)I...............................?>

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).()

(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量.()

(3)由。力=0可得a=0或5=0.()

(4)(。2)c=a(萬(wàn)c).()

(5)兩個(gè)向量的夾角的范圍是[o,72Tj-()

答案：(1)7(2)V(3)X(4)X(5)X

2.(必修4P107例6改編)設(shè)a=(5,—7),。=(一6,。，若a仍=-2,則/

的值為()

A.-4B.4

「32「32

C.萬(wàn)D.—y

A[因?yàn)閍?力=5義(-6)—7t=-2,所以，=—4.]

3.(必修4P108習(xí)題T6改編)已知悶=2,\b\=6,a力=一6小，則a與。

的夾角。為()

-2兀-5兀

C-TD-~6

D[cos6，=nj77=o咤=一半，又0W6W兀，貝1J.]

\a\\b\2X62o

4.設(shè)向量a=(l,0),6=(—1,tri),若a_L(加a一5)，則〃?=

解析：a=(l,0),b=(—1,m),則機(jī)a—b=(加+1,lm).

由6)得a(ma—b)=0,

即〃z+l=0,m——1.

答案：一1

5.已知同=5,\b\=4,。與〃的夾角。為120°,則向量