第九章

統計9.2用樣本估計總體

9.2.1

總體取值規律的估計

（第一課時）一二三學習目標了解頻率分布直方圖及相關概念會畫頻率分布直方圖。會用樣本的頻率分布估計總體分布學習目標新課導入

“二戰”期間，為了加強對戰機的防護，英美軍方調查了作戰后幸存飛機上彈痕的分布，決定哪里彈痕多就加強哪里．然而統計學家沃德力排眾議，指出更應該注意彈痕少的部位，因為這些部位受到重創的戰機很難有機會返航，而這部分數據被忽略了．事實證明，沃德是正確的．

沃德在分析問題的時候，能夠做到不被表面現象所迷惑，在獲取數據之后，通過數據分析，找出數據中蘊含的信息，進而得到正確的統計分析結果．復習引入隨機抽樣的基本抽樣方法簡單隨機抽樣分層隨機抽樣

前面研究了兩種抽樣方法來收集數據，還知道了一些常見的獲取數據的途徑。數據收集后，我們需要從中尋找數據中蘊含的信息，以使我們能通過樣本的規律估計總體的規律，進而解決相應的實際問題。

但由于實際問題中數據多而雜亂，往往無法從原始數據中發現規律，所以要根據問題的背景特點，選擇合適的統計圖表對數據進行整理和直觀描述。在此基礎上，通過數據分析找到數據中蘊含的信息，就可以利用這些信息來解決實際問題了。下面我們討論的是對隨機抽樣獲取的數據的處理方法。新知探究問題1

我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出。某市政府為了節約生活用水，計劃對居民生活用水費用實施階梯式水價制度，即確定一戶居民月均用水量標準a，用水量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費.

如果希望確定一個比較合理的標準，以使大部分居民用水的水費支出不受影響，你認為需要做哪些工作？確定一個較為合理的用水標準a確定調查方式：普查還是抽查？①全面調查（普查）：時間，經費允許②抽樣調查：總體：個體：變量：該市的全體居民用戶每戶居民用戶居民用戶的均用水量標準定太低——不利于節水，標準定太高——不利于民生新知探究假設通過簡單隨機抽樣，獲得了100戶居民用戶的月均用水量數據(單位：t)：9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6追問1

從這組數據我們能發現什么信息呢？

如果將這組數據按從小到大排序,發現這組數據的最小值是1.3t,最大值是28.0t,其他在1.3t和28.0t之間.為了更深入地挖掘數據蘊含的信息，需要對數據作進一步的整理與分析.新知探究為了探索一組數據的取值規律，一般先要用表格對數據進行整理，或者用圖將數據直觀表示出來.在初中，我們曾用頻數分布表和頻數分布圖來整理和表示這種數值型數據，由此能使我們清楚地知道數據分布在各個小組的個數.

在這個實際問題中，因為我們更關心月均用水量在不同范圍內的居民占全市居民用戶的比例，所以選擇頻率分布表和頻率分布直方圖在整理和表示數據.追問2

什么是頻數？什么是頻率？如何畫頻率分布表和頻率分布直方圖？

頻數：在總體(或樣本)中，某個個體出現的次數叫做這個個體的頻數.

頻率：某個個體的頻數與總體(或樣本)中所含個體的數量的比叫做這個個體的頻率.

與畫頻數分布直方圖類似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.

①求極差；

②決定組距與組數；

③將數據分組；

④列頻率分布表；

⑤畫頻率分布直方圖.

接下來我們具體分析如何制作頻率分布表、畫頻率分布直方圖.新知探究：頻率分布表和頻率分布直方圖1.求極差：極差為一組數據中最大值與最小值的差.28.0-1.3=26.7這說明樣本觀測的數據變化范圍是26.7t.2.決定組距與組數：組距：每個小組的兩個端點之間的距離。①數據的個數越多，所分的組數也越多.當樣本量不超過100時，常分成5—12組.②一般取等長組距，且組距應力求“取整”.（也可以不等距）③分組時可以先確定組距，也可以先確定組數.即可以將數據分成9組，這也說明這個組距是比較合適的.如果取組距為3，則新知探究3.將數據分組：

由于組距為3，9個組距的長度超過極差，我們可以使第一組的左端點略小于數據中的最小值，最后一組的右端點略大于數據中的最大值.

例如，可以取區間為[1.2,28.2]，按如下方式把樣本觀測數據以組距為3分為9組：[1.2，4.2)，[4.2，7.2)，···，[25.2，28.2].通常區間取左閉右開，最后一組取閉區間計算各小組的頻率,分組頻數累計頻數頻率[1.2,4.2)[4.2,7.2)[7.2,10.2)[10.2,13.2)[13.2,16.2)[16.2,19.2)[19.2,22.2)[22.2,25.2)[25.2,28.2]合計正2332139953421000.230.320.130.090.090.050.030.040.021正正正正正正正正正正正正正正新知探究4.列頻率分布表例如第一小組的頻率是由此方法作出頻率分布表追問：從表中你能找到恒定不變的數據嗎？頻率之和為1新知探究5.畫頻率分布直方圖根據頻率分布表可以得到如右的頻率分布直方圖.頻率/組距實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，它反映了各組樣本觀測數據的疏密程度。小長方形的面積=組距×=頻率各小長方形的面積和為1新知探究追問4

頻率分布直方圖與頻數分布直方圖有什么區別？頻率分布直方圖的縱軸是頻率/組距，而頻數分布直方圖的縱軸是頻數.

頻率分布直方圖把樣本數據落在各小組的比例大小直觀，更有利于我們從整體上把握數據分布的特點。歸納小結畫頻率分布直方圖的步驟：（1）求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)（2）決定組距與組數（將數據分組）（3）將數據分組（4）列出頻率分布表.(填寫頻率/組距一欄)（5）畫出頻率分布直方圖.組距：指每個小組的兩個端點的距離，組數：將數據分組，當數據在100個以內時，按數據多少常分5-12組.新知探究問題2

觀察頻率分布表和頻率分布直方圖，你覺得這組數據中蘊含了哪些有用的信息？你能從圖表中發現居民用戶月均用水量的哪些分布規律？你能給出適當的語言描述嗎？（2）從頻率分布直方圖能直觀地表明數據分布的形狀和總體趨勢.可以看出，數據的分布不對稱，圖形左邊高、右邊低，右邊有一個較長的“尾巴”。這表明大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區域，尤其在[1.2，7.2)最為集中，少數用戶居民的月均用水量偏多，而且隨著月均用水量的增加，居民用戶數呈現降低趨勢.（1）從頻率分布表中可以看出，樣本觀測數據落在各個小組的比例大小.例如，月均用水量在區間[4.2，7.2)內的居民用戶最多，在區間[1.2，4.2)內的次之，而月均用水量超過16.2的各區間內數據所占比例較小，等等.需要注意的是，由于樣本的隨機性，這種估計可能會存在一定誤差，但這一誤差一般不會影響我們對總體分布情況的大致了解.新知探究

有了樣本觀測數據的頻率分布，我們可以用它估計總體的取值規律.

根據100戶居民用戶的月均用水量的頻率分布，可以推測該市全體居民用戶月均用水量也會有類似的分布，即大部分居民用戶月均用水量集中在較低值區域.這使我們確定用水量標準時，可以定一個合適的值，以達到既不影響大多數居民用戶的水費支出，又能節水的目的.新知探究：不同的分組情況對直方圖呈現數據分布規律的影響問題3

分別以3和27為組數,對數據進行等距分組,畫出100戶居民用戶月均用水量的頻率分布直方圖.觀察圖形，你發現不同的組數對于直方圖呈現數據分布規律有什么影響？從上圖可以看出，同一組數據，組數不同，得到的直方圖形狀也不盡相同.組數少、組距大：易看出數據整體的分布特點，無法看出每組內的數據分布情況，損失了較多的原始數據信息；組數多、組距小：保留較多原始數據信息；但小長方形較多，有時圖形會變得不規則，不容易從中看出總體分布特點；直方圖會依賴樣本數據，穩定性差.新知探究

從上述分析可見，當頻率分布直方圖的組數少、組距大時，容易從中看出數據整體的分布特點，但由于無法看出每組內的數據分布情況，損失了較多的原始數據信息；當頻率分布直方圖的組數多、組距小時，保留了較多的原始數據信息，但由于小長方形較多，有時圖形會變得非常不規則，不容易從中看出總體數據的分布特點。同時，對于同一組數據，因為組距、組數不同而得到不同形狀的直方圖，會給人以不同的頻率分布印象，這種印象有時會影響人們對總體的判斷.因此，我們要注意積累數據分組、合理使用圖表的經驗.問題4

根據上圖你能發現組數少與組數大各有什么優缺點？

典例解析例

為加強對中學生實踐創新能力和團隊精神的培養，促進教育教學改革，某市教育局將舉辦全市中學生創新知識競賽.某校舉行選拔賽，共有200名學生參加，為了解學生的成績情況，從中抽取了50名學生的成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計，得到以下頻率分布表：分組頻數頻率0.2615180.36合計50（1）求a,b,c,d,e的值；

典例解析例

為加強對中學生實踐創新能力和團隊精神的培養，促進教育教學改革，某市教育局將舉辦全市中學生創新知識競賽.某校舉行選拔賽，共有200名學生參加，為了解學生的成績情況，從中抽取了50名學生的成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計，得到以下頻率分布表：分組頻數頻率0.2615180.36合計50（2）畫出頻率分布直方圖.[解析]

作出頻率分布直方圖，如圖所示.鞏固練習課本P1981.從某小區抽取100戶居民用戶進行月用電量調查，發現他們的用電量都在50~350kW?h之間，進行適當分組后(每組為左閉右開的區間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示.(1)直方圖中x的值為________；(2)在被調查的用戶中，用電量落在區間[100，250)內的戶數為_____.700.0044鞏固練習課本P1982.如圖，胡曉統計了他爸爸9月的手機通話明細清單，發現他爸爸該月共通話60次.胡曉按每次通話時間長短進行分組(每組為左閉右開的區間)，畫出了頻率分布直方圖.(1)通話時長在區間[15，20)，[20，30)內的次數分別為多少?(2)區間[20，30)上的小長方形高度低于[15，20)上的小長方形的高度，說明什么?解：(1)通話時長在區間[15,20),[20,30)內的次數分別為9次和12次.(2)區間[20,30)內的通話次數少于區間[15,20內的通話次數.課