專題24畢達哥拉斯一、單選題1．公元前世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派探討發覺了黃金分割數，簡稱黃金數．離心率等于黃金數的倒數的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（

）A． B． C． D．2．中國古代數學家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明白勾股定理（西方稱之為“畢達哥拉斯定理”）.如圖，四個完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個大正方形，角為直角三角形中的一個銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積與大正方形面積之比為，則（

）A． B． C． D．3．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派探討過正五邊形和正十邊形的作圖，發覺了黃金分割均為0.618，這一數值也可以表示為，則（

）A． B．1 C． D．4．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派探討過正五邊形和正十邊形的作圖，發覺了黃金分割約為0.618，這一數值也可以表示為，若，則（

）A．－4 B．－2 C．2 D．45．中國數學家華羅庚提倡的“優選法”在各領域都應用廣泛，就是黃金分割比的近似值，古希臘的數學家畢達哥拉斯通過探討正五邊形和正十邊形的作圖，發覺了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示，即，則的值為（

）A． B． C． D．6．“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例依據記載，西周時期的數學家商高曾經和周公探討過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發覺勾股定理早了500多年，如圖，在矩形ABCD中，滿意“勾3股4弦5”，且，E為AD上一點，若，則的值為（

）A． B． C． D．17．古希臘的數學家畢達哥拉斯通過探討正五邊形和正十邊形的作圖，發覺了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示，則（

）A． B． C． D．8．古希臘的數學家畢達哥拉斯通過探討正五邊形和正十邊形的作圖，發覺了黃金分割率，且黃金分割率的值也可以用表示，則（

）A．1 B．2 C．4 D．89．黃金分割起源于公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統探討了這一問題，公元前300年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸取了歐多克索斯的探討成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數.已知焦點在軸上的橢圓的焦距與長軸長的比值恰好是黃金分割數，則實數的值為（

）A． B． C．2 D．10．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派探討發覺了黃金分割，簡稱黃金數．離心率等于黃金數的倒數的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（

）A． B． C． D．11．古希臘數學家畢達哥拉斯利用如圖證明白勾股定理.此圖將4個全等的直角三角形拼成邊長為的正方形，使中間留下一個正方形洞.已知，，在正方形內隨機取一點，則該點恰好取自陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．12．傳聞古希臘畢達哥拉斯學派的數學家在沙灘上面畫點或用小石子表示數，他們將1，3，6，10，15，…，，稱為三角形數；將1，4，9，16，25，…，，稱為正方形數.現從200以內的正方形數中任取2個，則其中至少有1個也是三角形數的概率為（

）A． B． C． D．13．古希臘哲學家畢達哥拉斯曾說過：“美的線型和其他一切美的形體都必需有對稱形式．”在中華傳統文化里，建筑、器物、書法、詩歌、對聯、繪畫幾乎無不講究對稱之美．如圖所示的是清代詩人黃柏權的《茶壺回文詩》，其以連環詩的形式呈現，20個字圍著茶壺成一圓環，無論順著讀還是逆著讀，皆成佳作．數學與生活也有很多奇異的聯系，如2024年02月02日（20240202）被稱為世界完全對稱日（公歷紀年日期中數字左右完全對稱的日期）．數學上把20240202這樣的對稱數叫回文數，若兩位數的回文數共有9個（11，22，…，99），則全部四位數的回文數中能被3整除的個數是（

）A．27 B．28 C．29 D．3014．聞名數學定理“勾股定理”的一個特例是“勾3股4弦5”，我國的西周時期數學家商高曾經和周公探討過“勾3股4弦5”的問題，比歐洲的畢達哥拉斯發覺勾股定理早500多年，如圖，在矩形中，滿意“勾3股4弦5”，設，為線段上的動點，且滿意，若，則（

）A．0 B． C． D．二、多選題15．古希臘科學家畢達哥拉斯對“形數”進行了深化的探討，比如圖中的，，，，，，…這些數能夠表示成三角形，所以將其稱為三角形數，類似地，把，，，，…叫做正方形數，如圖，則下列數中既是三角形數又是正方形數的是（

）A． B． C． D．16．早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算中項，幾何中項以及調和中項畢達哥拉斯哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中，算術中項，幾何中項的定義與今日大致相同，而今我們稱為正數，的算術平均數，為正數，的幾何平均數，并把這兩者結合的不等式（，）叫做基本不等式，下列與基本不等式有關的命題中正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則的最小值為C．若，，，則的最小值為D．若，，，則的最小值為217．早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經知道算術中項，幾何中項以及調和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術中項，幾何中項的定義與今日大致相同.而今我們稱為正數a，b的算術平均數，為正數a，b的幾何平均數，并把這兩者結合的不等式叫作基本不等式.已知實數a，b滿意，，a+b=2，則下列結論正確的有（

）A．的最小值是 B．的最小值為3C．的最大值為3 D．的最小值是2三、填空題18．古希臘聞名科學家畢達哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．這些數量的（石子），排成一個個如圖一樣的等邊三角形，從其次行起每一行都比前一行多1個石子，像這樣的數稱為三角形數．那么把三角形數從小到大排列，第10個三角形數是_________．19．古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成三角形數，如1，3，6，10，15.我國宋元時期數學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數”垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球）.若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛第10層球的個數為___________.20．古希臘的數學家畢達哥拉斯通過探討正五邊形和正十邊形的作圖，發覺了黃金分割率，黃金分割率的值他可以用表示.若實數n滿意，則___________.21．如圖所示是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連著等腰直角三角形，等腰直角三角形上再連接正方形，…，如此接著，正方形的邊長為1，為正方形上的任一點，則的最大值為______.22．發覺問題是數學建模的第一步，對我們中學生來說養成發覺問題并將問題記錄下來的習慣相當重要．相傳2500多年前，古希臘數學家畢達哥拉斯有一次在摯友家作客時，發覺摯友家用磚鋪成的地面的圖案（如圖）反映了直角三角形三邊的某種數量關系，他將自己的發覺記錄下來，經過后續探討發覺了勾股定理．請你也來細致視察，視察圖中的多邊形面積，然后用文字寫出你的一個關于多邊形面積的發覺：________（提示：答案可以是疑問句，也可以陳述句，答案不唯一）．23．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派通過探討正五邊形和正十邊形的作圖，發覺了黃金分割值約為0.618，這一數值也可以表示為，若，___________.24．古希臘哲學家畢達哥拉斯曾說過：“美的線型和其他一切美的形體都必需有對稱形式.”在中華傳統文化里，建筑、器物、書法、詩歌、對聯、繪畫幾乎無不講究對稱之美.如圖所示的是清代詩人黃柏權的《茶壺回文詩》，其以連環詩的形式呈現，20個字圍著茶壺成一圓環，無論順著讀還是逆著讀，皆成佳作.數學與生活也有很多奇異的聯系，如2024年02月02日（20240202）被稱為世界完全對稱日（公歷紀年日期中數字左右完全對稱的日期）.數學上把20240202這樣的對稱數叫回文數，若兩位數的回文數共有9個（11，22，…，99）.則全部四位數的回文數中能被3整除的個數是___________.25．依據畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊上作出的正方形面積之和．現在對直角三角形按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形，若，則____________．四、雙空題26．傳聞古希臘畢達哥拉斯學派的數學家常用小石子來探討數．他們依據小石子所排列的形態把數分成很多類，如圖（1）可得到三角形數1，3，6，10，…，圖（2）可得到四邊形數1，4，9，16，…，圖（3）可得到五邊形數1，5，12，22，…，圖（4）可得到六邊形數1，6，15，28，…．進一步可得，六邊形數的通項公式______，前n項和______．（參考公式：）27．畢達哥拉斯學派是古希臘哲學家畢達哥拉斯及其信徒組成的學派，他們常把沙灘上的沙粒或小石子用數表示，并由它們排列而成的形態對自然數進行探討.如圖，圖形中的圓點數分別為1，5，12，22，…，以此類推，第6個圖形對應的圓點數為___________，若這些數構成數列，則___________.28．傳聞古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來探討數．用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，…他們探討了各種平面數（包括三角形數、正方形數、長方形數、五邊形數、六邊形數等等）和立體數（包括立方數、棱錐數等等）．如前四個四棱錐數為第n個四棱錐數為1+4+9+…+n2＝．中國古代也有類似的探討，如圖的形態出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，其次層有3個球，第三層有6個球，…若一個“三角垛”共有20層，則第6層有____個球，這個“三角垛”共有______個球．1540．故答案為：21；1540．29．傳聞古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來探討數.他們依據沙粒或小石子所排列的形態把數分成很多類，下圖中第一行的稱為三角形數，其次行的稱為五邊形數，則三角形數的第10項為__________，五邊形數的第項為____