概率論與數理統計綜合復習資料《概率論與數理統計》綜合復習資料

第一章

隨機事件與概率一、填空題（請把答案填在題中橫線上）：1．一個袋子中有5只黑球3只白球，從袋中任取兩只球，若以表示：“取到的兩只球均為白球”；表示：“取到的兩只球同色”；表示：“取到的兩只球至少有一只白球”。則

；

；

。2．一個盒子中有10個球，其中有3個紅球，2個黑球，5個白球，從中取球兩次，每次取一個（無放回），則：第二次取到黑球的概率為

；取到的兩只球顏色相同的概率為

；取到的兩只球至少有一個黑球的概率為

；取到的兩只球沒有黑球的概率為

。3．一盒子中黑球、紅球、白球各占50%、30%、20%，從中任取一球，結果不是紅球，則：取到的是白球的概率為

；取到的是黑球的概率為

。

4．一個袋子中有5個新球3個舊球，從中取球兩次，每次取一個（無放回），若以表示：“取到的兩個球均為舊球”；表示：“取到的兩個球恰有一個舊球”；表示：“取到的兩個球至少有一個舊球”。則

；

；

。5．一批產品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個（有放回）。則第二次取出的是次品的概率為

；兩次都取到正品的概率為

；第一次取到正品，第二次取到次品的概率為

；第一次取到次品，第二次取到正品的概率為

；恰有一次取到次品的概率為

；兩次都取到次品的概率為

;恰有一次取到正品的概率為

；已知第一次取到的是次品，第二次取到正品的概率為

；已知第一次取到的是次品，第二次取到次品的概率為

。6．一批產品共有6件正品2件次品，從中任取兩件，則：兩件都是正品的概率為

；恰有一件次品的概率為

；兩件都是次品的概率為

；至少取到一件次品的概率為

。7．袋中有50個乒乓球，其中20個黃球，30個白球，今由兩人依次隨機地各取一球，取后不放回，則：第二個人取得黃球的概率是

；兩個人都取得黃球的概率是

；至少有一人取得黃球的概率是

。8．設一批產品中一、二、三等品各占50%、30%、20%，從中任取一件，結果不是一等品，則取到的是二等品的概率為

；取到的是三等品的概率為

。9．設對于事件、有，，，則：、同時出現的概率為

；、至少出現一個的概率為

。

10．設事件兩兩相互獨立，滿足條件：，，且已知，則

。

11．若事件、滿足且，則=

。

12．設、為事件，，則

。

13．設事件與相互獨立，已知，，則：=

；=

。

14．設事件、相互獨立，已知，則

；

；

。

15．由長期統計資料得知，某一地區在4月份下雨（記作事件）的概率為4/15，刮風（記作事件）的概率為7/15，刮風又下雨（記作事件）的概率為1/10。則：

；

；

。

16．已知工廠生產產品的次品率分別為1%和2%，現從由的產品分別占60%和40%的一批產品中隨機抽取一件，則：該產品是次品的概率為

；若取到的是次品，那么該產品是工廠的概率為

。17．設有一箱同類產品是由三家工廠生產的，其中1/2是第一家工廠生產的，其余兩家各生產1/4，又知第一、二家工廠生產的產品有2%的次品，第三家工廠生產的產品有4%的次品，現從箱中任取一只，則：（1）取到的是次品的概率為

；（2）若已知取到的是次品，它是第一家工廠生產的概率為

。18．已知某批產品96%是合格品，用某中檢驗方法檢驗，是廢品而誤認為是合格品的概率為2%，是合格品而誤認為是廢品的概率為5%，現用這種方法檢驗一件產品為合格品，問這件產品確為合格品的概率為

。

19．甲、乙兩人各自同時向敵機射擊，已知甲擊中敵機的概率為0.8，乙擊中敵機的概率為0.5，則（1）敵機被擊中的概率

；（2）甲擊中乙擊不中的概率為

；（3）乙擊中甲擊不中的概率為

；（4）恰有一人擊中敵機的概率

。20．三個人獨立地解答一道難題，他們能單獨正確解答的概率分別為1/5、1/3、1/4，則：此難題被正確解答的概率為

；恰有兩個人正確解答的概率為

。

21.設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時被打破的概率為1/2，第二次落下時被打破的概率為7/10，第三次落下時被打破的概率為9/10，則透鏡落下三次未打破的概率

。

二、選擇題（請把唯一正確的選擇填在題后的括號內）

1．設和是任意概率不為零的互斥事件，則下結論正確的是（

）。

()

()與不互斥

()

()與互斥

2．設隨機事件和滿足，則（

）。

()為必然事件

()

()

()

3．設和為任意兩個事件，且，則必有（

）。

()

()

()

()

4．設和為任意兩個事件，且，，則必有（

）。

()

()

()

()

5．設事件、、滿足，則下列結論正確的是（

）。

()

()

()

()

6．對于任意概率不為零的事件和，下列命題肯定正確的是（

）。

()如果和互不相容，則與也互不相容；

())如果和相容，則與也相容；

()如果和互不相容，則和相互獨立；

()如果和相互獨立，則與也相互獨立。

7．已知，，則（

）。

()

3/5

()

2/5

()

2/3

()

1/3

8．已知，，，則（

）。

()

0.6

()

0.7

()

0.8

()

0.9

9．設為隨機事件，且，則必有（

）

（）

（）

（）

（）

10．甲、乙兩人獨立的對同一目標各射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現已知目標被命中，則它是乙射中的概率是（

）。

()3/5

()5/11

()5/8

()6/11三、解答題1．設對于事件、有，，，求、至少出現一個的概率。2．設有10件產品，其中有3件次品,從中任意抽取5件，問其中恰有2件次品的概率是多少？3．一批產品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個（有放回）。求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）兩次都取到正品的概率；（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。4．一批產品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個（不放回）。求：（1）至少取到一個正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。

5．一批產品共有10件正品2件次品，從中任取兩件，求：（1）兩件都是正品的概率；

（2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。6．一工人照看三臺機床，在一小時內，甲機床需要照看的概率是0.6，乙機床和丙機床需要照看的概率分別是0.5和0.8。求在一小時中，（1）沒有一臺機床需要照看的概率；7．在某城市中發行三種報紙、，經調查，訂閱報的有50%，訂閱報的有30%，訂閱報的有20%，同時訂閱及報的有10%，同時訂閱及報的有8%，同時訂閱及報的有5%，同時訂閱、報的有3%，試求下列事件的概率：

（1）只訂閱及報；（2）恰好訂閱兩種報紙。

8．一盒子中黑球、紅球、白球各占50%、30%、20%，從中任取一球，結果不是紅球，求：（1）取到的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。9．已知工廠生產產品的次品率分別為1%和2%，現從由的產品分別占60%和40%的一批產品中隨機抽取一件，求：（1）

該產品是次品的概率；（2）

若取到的是次品，那么該產品是工廠的概率。

10．有兩個口袋，甲袋中盛有4個白球，2個黑球；乙袋中盛有2個白球，4個黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再從乙袋中取出一球，求從乙袋中取出的是白球的概率。11．設有一箱同類產品是由三家工廠生產的，其中1/2是第一家工廠生產的，其余兩家各生產1/4，又知第一、二、三家工廠生產的產品分別有2%、4%、5%的次品，現從箱中任取一件產品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工廠生產的概率。12．三家工廠生產同一批產品，各工廠的產量分別占總產量的40%、25%、35%，其產品的不合格率依次為0.05、0.04、和0.02。現從出廠的產品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；

（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工廠生產的概率。

13．有朋友遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機的概率分別為3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火車、輪船、汽車、飛機遲到的概率分別為1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人來遲的概率；

(2)若已知來遲了，此人乘火車來的概率。14．有兩箱同類零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今從兩箱中任選一箱，然后從該箱中任取零件兩次，每次取一只（有放回），試求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）兩次都取到一等品的概率。

15．設一電路由三個相互獨立且串聯的電子元件構成，它們分別以0.03、0.04、0.06的概率被損壞而發生斷路，求電路發生斷路的概率。16．甲、乙兩人各自同時向敵機射擊，已知甲擊中敵機的概率為0.8，乙擊中敵機的概率為0.5，求下列事件的概率：(1)敵機被擊中；（2）甲擊中乙擊不中；（3）乙擊中甲擊不中。

17．已知，，，求。18．設，，，求。19．設事件、相互獨立，已知，。求：20．設、為隨機事件，且，，，求：（1）；（2）。

21．設事件、相互獨立，已知，求：

（1）；（2）。

22．設事件相互獨立，試證明：

（1）事件相互獨立；

（2）事件相互獨立；

（3）事件相互獨立。

23．若，證明事件相互獨立。第二章

隨機變量及其分布一、填空題（請把答案填在題中橫線上）：

1．已知隨機變量的分布列為

0

1

2

3

0.1

0.2

0.4

則：=

。2．設的分布函數為，則

；

；的概率分布

。3．設的概率分布為，則

；

；的分布函數

。

4．設隨機變量的概率密度為，則：系數=

；=

。

5．設隨機變量的概率分布為，以表示對的三次獨立重復觀察中事件出現的次數，則=

。6．若隨機變量且，則：

；

；

。7．設的概率分布為，則

；

；的分布函數

。

8．設為的分布函數。為使是某一隨機變量的分布函數，則

。

9．設與獨立同分布，且，若，則：服從

分布，即

。

10．已知隨機變量且與相互獨立，設隨機變量，則

。11．設與相互獨立，都服從[0，2]上的均勻分布，則

。

12．某人射擊時，中靶的概率為2/3，如果射擊直到中靶為止，則射擊次數為3的概率為

。

13．設每次試驗成功的概率為2/3，則在三次獨立重復試驗中至少失敗一次的概率為

。二、選擇題（請把唯一正確的選擇填在題后的括號內）

1．設則隨著的增大，概率(

)。保持不變

單調減少

單調增加

增減不定

2．設和均服從正態分布，記，，則（

）

對任何實數都有

對任何實數都有

僅對的個別值有

對任何實數都有

3．設為的分布函數。為使是某一隨機變量的分布函數，則下列給定的各組數值中應取（

）。

4．設服從標準正態分布，其密度函數為，分布函數為，則對任意實數有（

）。

5．設隨機變量的密度函數為，則常數C=(

)

3

4

1/4

1/36．設隨機變量的密度函數為，則使成立的常數（

）。

7．設的概率分布為，則=(

)。

()

()

()

()8．設隨機變量的密度函數為，則C=(

)。

1/2

3

2

1/3

9．某人射擊時，中靶的概率為3/4，如果射擊直到中靶為止，則射擊次數為3的概率為（

）。

()

()

()

()

10．設某人進行射擊，每次擊中的概率為1/3，今獨立重復射擊10次，則恰好擊中3次的概率為（

）。

11．設每次試驗成功的概率為，則在3次重復試驗中恰有1次成功的概率為（

）。

12．設每次試驗成功的概率為，則在三次獨立重復試驗中至少失敗一次的概率為（

）。

()

()

()

()

13．設每次試驗成功的概率為，則在三次獨立重復試驗中至少成功一次的概率為（

）。

()

()

()

()14．設每次試驗成功的概率為，則在3次重復試驗中全部成功的概率為（

）。

15．設的概率密度，則

（

）。

()

3

()

1/3

()

1/2

()

2

16．設的概率密度，則（

）。

()

3

()

1/3

()

1/2

()

2

17．設與相互獨立且同分布，，，則下列各式中成立的是（

）。

18．設和相互獨立，且分別服從和，則（

）。

()

()

()

()

19．設和相互獨立，且均服從，則（

）

()

()

()

()A、B、C都不對。三、解答題1．設的概率分布為

0

1

2

1/3

1/6

1/2

求：（1）的分布函數；

（2）、、。

2．從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是相互獨立的，且概率都相等。設X表示途中遇到紅燈的次數，求X的分布律、分布函數。

3．從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是相互獨立的，且概率都是2/5。設X表示途中遇到紅燈的次數，求X的分布律、分布函數。4．一臺設備有三大部件構成，在設備運轉過程中各部件需要調整的概率分別為0.10，0.20，0.30，假設各部件的狀態相互獨立，以表示同時需要調整的部件數，試求的概率分布。5．已知某種型號的雷管在一定刺激下發火率為4/5，今獨立重復地作刺激試驗，直到發火為止，則消耗的雷管數是一離散型隨機變量，求的概率分布。6．設隨機變量的概率密度為，求：（1）系數；（2）的分布函數；（3）落在區間內的概率。

7．設隨機變量的分布函數為

求：（1）系數；

（2）落在區間（－1，1）中的概率；

（3）隨機變量的概率密度。（提示：為反正切函數）8．設隨機變量的概率分布為，以表示對的三次獨立重復觀察中事件出現的次數，試確定常數，并求概率。9．在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨立地等1，2，3路汽車，設每個人等車時間（單位：分鐘）均服從[0，5]上的均勻分布，求三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘的概率。10．在電源電壓不超過200，200~240和超過240伏的三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2,假定電源電壓，試求：（提示：）（1）

該電子元件被損壞的概率（2）

電子元件被損壞時，電源電壓在200~240伏內的概率。11．一個盒子中有三只乒乓球，分別標有數字1，2，2。現從袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以、分別表示第一次、第二次取得球上標有的數字。求：（1）和的聯合概率分布；（2）關于和邊緣分布；（3）和是否相互獨立？為什么？12．一袋中裝有3個球，分別標有號碼1、2、3，從這袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用、分別表示第一次、第二次取得的球上的號碼，試求：（1）隨機向量的概率分布；（2）關于和關于的邊緣概率分布；（3）和是否相互獨立？為什么？13．一口袋中裝有四只球，分別標有數字1，1，2，3。現從袋中任取一球后不放回，再從袋中任取一球，以、分別表示第一次、第二次取得球上標有的數字。求：（1）和的聯合概率分布及關于和關于邊緣分布；（2）與是否獨立？為什么？14．設為由拋物線和所圍成區域，在區域上服從均勻分布，試求：（1）的聯合概率密度及邊緣概率密度；（2）判定隨機變量與是否相互獨立。15．設二維隨機變量（，）的概率分布為

求：（1）隨機變量X的密度函數；

（2）概率。16．設隨機向量的概率密度為

試求:（1）常數；（2）關于的邊緣概率密度。

17．設隨機變量（，）具有概率密度

，求（1）常數C；（2）邊緣分布密度。

18．設和相互獨立，下表列出了二維隨機變量(，)聯合分布律及關于和關于的邊緣分布律的部分值，試將其余數值填入表中的空白處。



1/8

1/12

1/6

1

第三章

隨機變量的數字特征

一、填空題（請把唯一正確的答案填在題中橫線上）：

1．設隨機變量的概率分布為

－1

0

1

2

0.1

0.2

0.3

則：=

；

；=

；的概率分布為

。

2．設隨機變量的概率分布為

0

1

2

3

4

1/12

1/6

1/3

1/6

1/4則：=

；=

；

。

3．已知隨機變量的分布列為

0

1

2

3

0.1

0.4

0.2則：=

；

=

；=

；

=

；=

。

4．設的概率密度為()，則

；

。5．設隨機變量，則常數=

；

；

。6．設隨機變量，則常數=

；

。

7．若服從參數為2的指數分布，，則=

；

。8．設則

；

。9．設隨機變量、，且相互獨立，，則:

；

。10．設隨機變量、，且相互獨立，，則:

；

。

11．設隨機變量服從參數為的泊松分布，且已知，則=

。

12．設表示10次獨立重復射擊命中目標的次數，若每次命中目標的概率為0.4，則的數學期望=

_________________。

13．設隨機變量、（泊松分布），且相互獨立，，則（1）

；

（2）

；

。

14．設隨機變量服從正態分布，其數學期望，方差，則的概率密度為

；的概率密度

。

15．設的概率分布為

；

則：=

；=

；=

；=

。

16．設相互獨立，且概率分布分別為

()；

則：=

；=

；=

。17．的概率密度為()，則

；

。

18．設獨立同分布，其中的概率分布為則的聯合分布為

；

。

19．設與獨立同分布，記，，則：相關系數=

。

20．設與方差分別為4和1，協方差，則：與的相關系數=

；=

；=

。

二、選擇題（請把正確的選擇填在題后的括號內）：

1．對于隨機變量、，若則（

）。

()與獨立

()

()

()與不獨立

2．對于、，若則（

）。

()

()

()與獨立

()與不獨立

3．設，，，則(=（

）。

()

40

()

28.4

()

54.4

()

25.6

4．設，，，則(=（

）。

()

40

()

34

()

25.6

()

17.6

5．設，，且相互獨立，則(=（

）。

()

8

()

16

()

28

()

44

6．設與相互獨立且方差分別為3和2，則(=（

）。

()

5

()

13

()

35

()

19

7．設是一隨機變量，常數），對任意常數（），則必有（

）。

()

()

()

()

8．設是一隨機變量，常數），對任意常數，必有（

）。

()

()

()

()

9．設與獨立同分布,記,,則必然（

）。

()不獨立

()獨立

()相關系數為零

()相關系數不為零三、解答題

1．設隨機變量，求：（1）

常數；（2）；（3）。2．設的分布密度為，求：數學期望和方差。

3．已知隨機變量的分布列如下，

0

1

2

0.3

0.2

0.5

試求：（1）、；（2）；（3）的分布函數。4．設的概率分布為

求：和。5．已知、分別服從正態分布和，且與的相關系數，設，求：（1）數學期望，方差；（2）與的相關系數。

6．設隨機變量、獨立同服從參數為泊松分布，，，求與的相關系數。

7．設一部機器一天內發生故障的概率為0.2，機器發生故障時全天停止工作，若一周5個工作日內無故障可獲利8萬元，發生一次故障仍獲利4萬元，發生兩次故障獲利0元，發生三次或三次以上要虧損2萬元，求一周內期望利潤是多少。8．設與獨立同分布，已知的概率分布為，又設，。求：（1）、；（2）隨機變量的協方差。9．游客乘電梯從低層到電視塔頂層觀光，電梯每個整點的第5分鐘、25分鐘、55分鐘從低層起行。假設一游客在早八點的第分鐘到達低層候梯處，且在[0，60]上均勻分布，求該游客等候時間的數學期望。

第四章

隨機變量及其分布

一、填空題：（請把唯一正確的答案填在題中橫線上）：

1．設隨機變量的方差為2，則由切比雪夫不等式得

。

2．設隨機變量和的數學期望分別為－2和2，方差分別為1和4，而相關系數為－0.5，則根據切比雪夫不等式有

。

二、選擇題（請把正確的選擇填在題后的括號內）：

1．設隨機變量相互獨立，則根據列維—林徳伯格中心極限定理，當充分大時，近似服從正態分布，只要（）有相同的數學期望。

（）有相同的方差。（）服從同一指數分布。

（）服從同一離散型分布。[

]三、解答題

1．已知隨機變量的概率分布為

1

2

3

0.2

0.3

0.5

試利用切比雪夫不等式估計事件的概率。第五章

參數估計與假設檢驗

一、填空題（請把唯一正確的答案填在題中橫線上）：

1．設由來自總體的長度為100的樣本，測得樣本均值，則的置信度近似等于0.95的置信區間為

。

2．設由來自總體的容量為9的樣本得樣本均值，則未知參數的置信度為0.95的置信區間是

。

3．設由來自總體的容量為100的樣本測得樣本均值，則的置信度近似等于0.90的置信區間為

。

4．設為來自一個樣本，其中未知，、，則假設的檢驗使用統計量為

。5．設，為一個樣本，其中已知，則方差未知時，檢驗假設應選統計量

，在條件下，統計量服從

分布。

6．設總體，為的一個樣本，當未知時，求的區間估計所構造樣本函數為

；對給定的，的置信度為的置信區間為

。

7．設為一個樣本，其中已知，檢驗假設應選統計量

，在成立條件下，統計量服從__________分布。

二、選擇題（請把正確的選擇填在題后的括號內）：

1．記為待檢驗假設，則所謂犯第一類錯誤指的是（

）。

()為真時，接受

()不真時，接受

()不真時，拒絕

()為真時，拒絕

2．記為待檢驗假設，則所謂犯第二類錯誤指的是（

）。

()為真時，接受

()為真時，拒絕

()不真時，拒絕

()不真時，接受

3．設為來自總體的一個樣本，為樣本均值，未知，則總體方差的無偏估計量為（

）。

4．設為來自總體的一個樣本，為樣本均值，已知，記

，，則服從自由度為的分布統計量是(

)。

5．設總體為未知參數，為X的一個樣本，為兩個統計量，的置信度為的置信區間，則應有(

)。

(A)

(B)

(C)

(D)三、解答題1．設為的一個樣本，

其中為未知參數，求的極大似然法估計量。

2．設總體的分布列為

1

0

為的一個樣本，求的極大似然估計。3．設為總體的一個樣本，且的概率分布為。為來自總體的一個樣本觀察值，求的極大似然估計值。4．設為總體的一個樣本，且服從參數為的二項分布，求的極大似然估計量。5．設為來自總體的樣本，為樣本均值，試問是否為總體方差的無偏估計量？為什么？6．設為來自總體X的一個樣本，且存在，驗證統計量(1)、(2)都是的無偏估計，并指出哪一個較好。

（1）；

（2）。

7．設，其中是來自總體的簡單隨機樣本。試問當、各為何值時，統計量服從分布，并指出其自由度。8．某車間生產滾珠，從長期實踐中知，滾珠直徑可以認為服從正態分布，其方差為0.05，從某天的產品中隨機抽取6個，量得直徑（mm）如下：14.70,15.21,14.90,14.91,15.32,15.32。試求的置信度為0.95的置信區間。《概率論與數理統計》參考答案

第一章

隨機事件與概率一、填空題：1．3/28

13/28

9/142．1/5

14/45

17/45

28/453．2/7

5/74．3/28

15/28

9/145．1/6

25/36

5/36

5/36

5/18

1/36

5/18

4/25

1/256．15/28

3/7

1/28

13/287．2/5

38/245

187/2458．3/5

2/59．0

5/810．1/411．2/312．0.713.0.2

0.714.0.7

0.3

0.815.3/14

3/8

19/3016.7/500

3/717.1/40

2/518.1140/114119.0.9

0.4

0.1

0.520.3/5

1/1021.3/200

二、選擇題（請把唯一正確的選擇填在題后的括號內）1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

10．

三、解答題1．設對于事件、有，，，求、至少出現一個的概率。解：由于從而由性質4知，，又由概率定義知，所以，從而由概率的加法公式得

2．設有10件產品，其中有3件次品,從中任意抽取5件，問其中恰有2件次品的概率是多少？

解：設表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。則。5件產品中恰有2件次品的取法共有種，即。于是所求概率為

/

3．一批產品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個（有放回）。求：（1）第二次取出的是次品的概率；（2）兩次都取到正品的概率；（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。解：設表示：“第次取出的是正品”（=1，2），則

（1）第二次取到次品的概率為

（2）兩次都取到正品的概率為

（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率為

4．一批產品共有10個正品2個次品，從中任取兩次，每次取一個（不放回）。求：（1）至少取到一個正品的概率；（2）第二次取到次品的概率；（3）恰有一次取到次品的概率。解：設表示：“第次取出的是正品”（=1，2），則（1）至少取到一個正品的概率

（2）第二次取到次品的概率為

（3）恰有一次取到次品的概率為

5．一批產品共有10件正品2件次品，從中任取兩件，求：（1）兩件都是正品的概率；

（2）恰有一件次品的概率；（3）至少取到一件次品的概率。解：設表示：“取出的兩件都是正品是正品”；表示：“取出的兩件恰有一件次品”；表示：“取出的兩件至少取到一件次品”；則（1）兩件都是正品的概率

（2）恰有一件次品的概率

（3）至少取到一件次品的概率

6．一工人照看三臺機床，在一小時內，甲機床需要照看的概率是0.6，乙機床和丙機床需要照看的概率分別是0.5和0.8。求在一小時中，（1）沒有一臺機床需要照看的概率；

（2）至少有一臺機床不需要照看的概率。解：設表示：“沒有一臺機床需要照看”；表示：“至少有一臺機床不需要照看“；表示：“第臺機床需要照看”（=1，2，3）。則；。

7．在某城市中發行三種報紙、，經調查，訂閱報的有50%，訂閱報的有30%，訂閱報的有20%，同時訂閱及報的有10%，同時訂閱及報的有8%，同時訂閱及報的有5%，同時訂閱、報的有3%，試求下列事件的概率：

（1）只訂閱及報；（2）恰好訂閱兩種報紙。

解：（1）

（2）

8．一盒子中黑球、紅球、白球各占50%、30%、20%，從中任取一球，結果不是紅球，求：（1）取到的是白球的概率；（2）取到的是黑球的概率。解：設分別表示：“取到的是黑球、紅球、白球”（=1，2，3），則問題（1）化為求；問題（2）化為求。由題意兩兩互不相容，所以，（1）。因此由條件概率公式得

（2）

9．已知工廠生產產品的次品率分別為1%和2%，現從由的產品分別占60%和40%的一批產品中隨機抽取一件，求：（3）

該產品是次品的概率；（4）

若取到的是次品，那么該產品是工廠的概率。解：設表示“取到的產品是次品”；“取到的產品是工廠的”；“取到的產品是工廠的”。則

（1）

取到的產品是次品的概率為

（2）若取到的是次品，那么該產品是工廠的概率為

10．有兩個口袋，甲袋中盛有4個白球，2個黑球；乙袋中盛有2個白球，4個黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再從乙袋中取出一球，求從乙袋中取出的是白球的概率。解：設表示：“由甲袋取出的球是白球”；

表示：“由甲袋取出的球是黑球”；

表示：“從乙袋取出的球是白球”。則

11．設有一箱同類產品是由三家工廠生產的，其中1/2是第一家工廠生產的，其余兩家各生產1/4，又知第一、二、三家工廠生產的產品分別有2%、4%、5%的次品，現從箱中任取一件產品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工廠生產的概率。

解：設事件表示：“取到的產品是次品”；事件表示：“取到的產品是第家工廠生產的”（）。則，且，兩兩互不相容，（1）

由全概率公式得

（2）由貝葉斯公式得

=

12．三家工廠生產同一批產品，各工廠的產量分別占總產量的40%、25%、35%，其產品的不合格率依次為0.05、0.04、和0.02。現從出廠的產品中任取一件，求：（1）恰好取到不合格品的概率；

（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工廠生產的概率。

解：設事件表示：“取到的產品是不合格品”；事件表示：“取到的產品是第家工廠生產的”（）。

則，且，兩兩互不相容，由全概率公式得

（1）

（2）由貝葉斯公式得

=

13．有朋友遠方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機的概率分別為3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火車、輪船、汽車、飛機遲到的概率分別為1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人來遲的概率；

(2)若已知來遲了，此人乘火車來的概率。

解：設事件表示：“此人來遲了”；事件分別表示：“此人乘火車、輪船、汽車、飛機來”（，4）。則，且，兩兩互不相容

（1）由全概率公式得

（2）由貝葉斯公式得=

14．有兩箱同類零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今從兩箱中任選一箱，然后從該箱中任取零件兩次，每次取一只（有放回），試求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）兩次都取到一等品的概率。

解：設表示：“取到第箱零件”；表示：“第次取到的是一等品”；則

（1）

（2）

15．設一電路由三個相互獨立且串聯的電子元件構成，它們分別以0.03、0.04、0.06的概率被損壞而發生斷路，求電路發生斷路的概率。

解：設表示：“第個電子元件被損壞”（=1，2，3），則有；；。依題意所求概率為

16．甲、乙兩人各自同時向敵機射擊，已知甲擊中敵機的概率為0.8，乙擊中敵機的概率為0.5，求下列事件的概率：(1)敵機被擊中；（2）甲擊中乙擊不中；（3）乙擊中甲擊不中。解：設事件表示：“甲擊中敵機”；事件表示：“乙擊中敵機”；事件表示：“敵機被擊中”。則

（1）

（2）

（3）

17．已知，，，求。

解：由于

所以

18．設，，，求。解：由于，

，而

，

，故

。

19．設事件、相互獨立，已知，。求：（1）；（2）。解：由即

解得

所以

20．設、為隨機事件，且，，，求：（1）；（2）。解：（1）（2）

21．設事件、相互獨立，已知，求：

（1）；（2）。解：由條件

即

解得，所以（1）（2）

22．設事件相互獨立，試證明：

（1）事件相互獨立；

（2）事件相互獨立；

（3）事件相互獨立。

證明：（1）欲證明相互獨立，只需證即可。而

所以事件相互獨立。同理

（2）由于

所以事件相互獨立。

（3）由于

所以事件相互獨立。

23．若，證明事件相互獨立。

證明：由于，且，所以

從而有

故由獨立性定義知，事件相互獨立。第二章

隨機變量及其分布一、填空題（請把答案填在題中橫線上）：1．0.32.

3.1/2

0

4.1/2

1/25.9/646.0.5

0.2

0.27.

，

8.1/29.正態分布

10.11.1/212.2/2713.19/27二、選擇題（請把唯一正確的選擇填在題后的括號內）1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

10．

11．

12．

13．

14．

15．

16．

17．

18．

19．

三、解答題1．設的概率分布為

0

1

2

1/3

1/6

1/2

求：（1）的分布函數；

（2）、、。

解：（1）

；

；

。

2．從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是相互獨立的，且概率都相等。設X表示途中遇到紅燈的次數，求X的分布律、分布函數。解：由題意知服從二項分布，從而

；

；

；

即的概率分布列為

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

由分布函數定義

3．從學校乘汽車到火車站的途中有三個交通崗，假定在各個交通崗遇到紅綠信號燈的事件是相互獨立的，且概率都是2/5。設X表示途中遇到紅燈的次數，求X的分布律、分布函數。

解：由題意知服從二項分布，從而

即的概率分布列為

0

1

2

3

27/125

54/125

36/125

8/125

由分布函數定義得

4．一臺設備有三大部件構成，在設備運轉過程中各部件需要調整的概率分別為0.10，0.20，0.30，假設各部件的狀態相互獨立，以表示同時需要調整的部件數，試求的概率分布。

解：設：表示：“部件需要調整”。

；

；

故的概率分布列為

0

1

2

3

0.504

0.398

0.092

0.006

5．已知某種型號的雷管在一定刺激下發火率為4/5，今獨立重復地作刺激試驗，直到發火為止，則消耗的雷管數是一離散型隨機變量，求的概率分布。

解：的可能取值為1，2，。記表示“第次試驗雷管發火”則表示“第次試驗雷管不發火”從而得

依次類推，得消耗的雷管數的概率分布為

6．設隨機變量的概率密度為，求：（1）系數；（2）的分布函數；（3）落在區間內的概率。

解：連續型隨機變量的概率密度必須滿足歸一性，因此由歸一性及定義可求出系數及的分布函數，至于（3）可由的分布函數求得。

（1）由歸一性，

解得。

（2）由連續型隨機變量的定義知的分布函數為

當時，=0；

當時，

當時，

故的分布函數為

（3）所求概率為

7．設隨機變量的分布函數為

求：（1）系數；

（2）落在區間（－1，1）中的概率；

（3）隨機變量的概率密度。（提示：為反正切函數）

解：（1）由，解得。故得

（2）

（3）所求概率密度為

8．設隨機變量的概率分布為，以表示對的三次獨立重復觀察中事件出現的次數，試確定常數，并求概率。解：由歸一性

所以=2。即

所以，從而

=

9．在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨立地等1，2，3路汽車，設每個人等車時間（單位：分鐘）均服從[0，5]上的均勻分布，求三人中至少有兩個人等車時間不超過2分鐘的概率。解：設表示每個人等車時間，且服從[0，5]上的均勻分布，其概率分布為

又設表示等車時間不超過2分鐘的人數，則，所求概率為

10．在電源電壓不超過200，200~240和超過240伏的三種情況下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2,假定電源電壓，試求：（提示：）（3）

該電子元件被損壞的概率（4）

電子元件被損壞時，電源電壓在200~240伏內的概率。

解：設：“電源電壓不超過200伏”；：“電源電壓在200~240伏”；：“電源電壓超過240伏”；

：“電子元件被塤壞”。

由于，所以

由題設,,,所以由全概率公式

由條件概率公式

11．一個盒子中有三只乒乓球，分別標有數字1，2，2。現從袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以、分別表示第一次、第二次取得球上標有的數字。求：（1）和的聯合概率分布；（2）關于和邊緣分布；（3）和是否相互獨立？為什么？解：（1）的所有可能取值為(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。

于是（，）的概率分布表為

1

2

1

1/9

2/9

2

2/9

4/9

（2）關于和的邊緣概率分布分別為

1

2

1

2

1/3

2/3

1/3

2/3（3）和相互獨立。因為有

12．一袋中裝有3個球，分別標有號碼1、2、3，從這袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用、分別表示第一次、第二次取得的球上的號碼，試求：（1）隨機向量的概率分布；（2）關于和關于的邊緣概率分布；（3）和是否相互獨立？為什么？解：（1）的取值為，由概率乘法公式可得同理可得

此外事件，，都是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表為

1

2

3

1

0

1/6

1/6

2

1/6

0

1/6

3

1/6

1/6

0

（2）關于的邊緣概率分布

1

2

3

1/3

1/3

1/3

關于的邊緣概率分布

1

2

3

1/3

1/3

1/3

（3）和不相互獨立，由于。

13．一口袋中裝有四只球，分別標有數字1，1，2，3。現從袋中任取一球后不放回，再從袋中任取一球，以、分別表示第一次、第二次取得球上標有的數字。求：（1）和的聯合概率分布及關于和關于邊緣分布；（2）與是否獨立？為什么？解：（1）（，）的概率分布表為

1

2

3

1

1/6

1/6

1/6

2

1/6

0

1/12

3

1/6

1/12

0

的邊緣概率分布為

1

2

3

1/2

1/4

1/4

的邊緣概率分布為

1

2

3

1/2

1/4

1/4（2）與不獨立，由于

14．設為由拋物線和所圍成區域，在區域上服從均勻分布，試求：（1）的聯合概率密度及邊緣概率密度；（2）判定隨機變量與是否相互獨立。

解：如圖所示，的面積為

因此均勻分布定義得的聯合概率密度為

1

而

所以關于和關于的邊緣分布密度分別為

（2）由于，故隨機變量與不相互獨立。15．設二維隨機變量（，）的概率分布為

求：（1）隨機變量X的密度函數；

（2）概率。解：（1）時，=0；時，=故隨機變量的密度函數=

（2）

16．設隨機向量的概率密度為

試求:（1）常數；（2）關于的邊緣概率密度。解：（1）由歸一性

所以。

的聯合概率密度為

（2）關于的邊緣概率密度為

即

同理可求得關于的邊緣分布密度為

17．設隨機變量（，）具有概率密度

，求（1）常數C；（2）邊緣分布密度。

解：（1）由于，故

1=所以=1，即

（2），即

，即

18．設和相互獨立，下表列出了二維隨機變量(，)聯合分布律及關于和關于的邊緣分布律的部分值，試將其余數值填入表中的空白處。



1/8

1/12

1/6

1

解：

1/121/87/241/21/121/87/241/21/61/47/121

第三章

隨機變量的數字特征一、

填空題（請把唯一正確的答案填在題中橫線上）：

1．0.4

1

1

0

1

2

0.3

0.2

0.5

2.

7/3

14/9

-4/33.

0.3

1.7

0.81

1.3

2.014.

1

1/25.

1

0

1/66.

2

17.

1

48.

5

49.

2

1710.2

1711.212.18.413.5

19

-1014.

15.

16.2

7/3

-217.1

118.

1/419.020.0.4

34.6

15.4二、選擇題（請把正確的選擇填在題后的括號內）：1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

三、解答題

1．設隨機變量，求：（2）

常數；（2）；（3）。

解：（1）由歸一性1=從而得，；

（2）=

（3）由于=

于是

2．設的分布密度為，求：數學期望和方差。

解：=

=

于是

3．已知隨機變量的分布列如下，

0

1

2

0.3

0.2

0.5

試求：（1）、；（2）；（3）的分布函數。解：

（1）

（2）經計算得的概率分布列

0

0.8

0.2

（3）

4．設的概率分布為

求：和。

解：由于在有限區間[1，5]上服從均勻分布，所以；又由于服從參數為4的指數分布，所以=、，因此由數學期望性質2、性質3及重要公式得

。5．已知、分別服從正態分布和，且與的相關系數，設，求：

（1）數學期望，方差；（2）與的相關系數。解：（1）由數學期望、方差的性質及相關系數的定義得

（2）

從而有與的相關系數

6．設隨機變量、獨立同服從參數為泊松分布，，，求與的相關系數。

解：由條件、獨立同服從參數為泊松分布，所以，因此

Cov于是與的相關系數7．設一部機器一天內發生故障的概率為0.2，機器發生故障時全天停止工作，若一周5個工作日內無故障可獲利8萬元，發生一次故障仍獲利4萬元，發生兩次故障獲利0元，發生三次或三次以上要虧損