概率論與數理統計復習提綱

概率論與數理統計復習提綱

一，事件的運算

如果A，B，C為三事件，則A+B+C為至少一次發生,為至少一次不發生,AB+BC+AC和BCACABABC都是至少兩次發生,BCACAB為恰有兩次發生.ABC為恰有一次發生,等等,要善于將語言翻譯成事件運算公式以及將公式翻譯成語言..

二,加法法則與乘法法則

如A與B互不相容,則P(A+B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)P(B|A)

而對于任給的A與B有

P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)(1)

因此,P(A+B),P(A),P(B),P(AB)這四個概率只要知道三個,剩下一個就能夠求出來.而P(AB)=P(A)P(B|A),因此P(A+B),P(A),P(B),P(B|A)只要知道三個,剩下的一個就能夠求出來.

P(A)P(A)P(AB)也是常用式子

三,全概率公式和貝葉斯公式

及P(Am|B)P(Am)P(B|Am),(m1,2,...)(貝葉斯公式)P(Ai)P(B|Ai)

i設A1,A2,…,構成完備事件組,則任給事件B有P(B)P(Ai)P(B|Ai)(全概率公式),i

其中,最常用的完備事件組,就是一個事件A與它的逆,即任給事件A,B有

P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|)P(A|B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P()P(B|)通常是將試驗想象為分為兩步做,第一步的結果將導致A或者之一發生,而這將影響到第二步的結果的事件B是否發生的概率.如果是已知第一步的各事件概率及第一步各1

事件發生條件下第二步事件B發生的概率,并要求B發生的概率,就用全概率公式.而如果是要求在第二步事件B已經發生條件下第一步各事件的概率,就用貝葉斯公式.四,隨機變量及分布

1.離散型隨機變量

一元:P(ξ=xk)=pk(k=1,2,…),性質:pk1

k

二元:P{ξ=xk,η=yj)=pij(i,j=1,2,…)

邊緣分布與聯合分布的關系:

P{xi)pijpi(1)

j

P{yj)pijp

i(2)j

2.連續型隨機變量

b

~(x),P(ab)(x)dx,性質:(x)dx1

a

x

分布函數為F(x)P(x)(t)dt,且有F(x)(x)

如ξ~φ(x),η=f(ξ),則求η的概率密度函數的辦法,是先求η的分布函數Fη(x),

F(x)P(x)P(f()x),

然后對Fη(x)求導即得η的概率密度函數.

五,隨機變量的數字特征

數學期望:離散型:Exkpk

k1

連續型:Ex(x)dx性質:E(+)=E+,E()=EE方差:2離散型:先計算Exkpk,則DE2(E)22

k1

連續型:先計算E2

222x(x)dx,DE(E)則

2

性質:如,相互獨立,則D(+)=D+D,D()=D+D協方差和相關系數:計算兩個隨機變量和的協方差cov(,)和相關系數的關鍵是計算(,離散型:E()xiyjpijij則cov(,)=E(E()E()cov(,)

DD

六,幾種常用的分布

二項分布kkξ~B(n,p)是指P{k}Cnp(1p)nk.它描述了貝努里獨立試驗概型中,事件A發生k次的概率.試驗可以同時進行,也可以依次進行.

超幾何分布將N個元素分為N1個和N2個兩類,N1+N2=N,從中任取n個,其中N1個元素的個數是一隨機變量,服從超幾何分布,且有P(k)knkCNCN12

nCN

普阿松分布

服從普阿松分布,是指其概率函數為

P(k)

正態分布kk!e,k0,1,2,服從正態分布,即~(x)服從標準正態分布~N(,)12e(x)222,記作~N(,2).性質:如果~N(,),則a+b~N(b,a2)

指數分布

1xe服從指數分布,即~(x)0

x0x03

0它的分布函數為F(x)x1e

七,統計量

x0x0假設是總體,E=,D=2,而(X1,…,Xn)是取自總體的樣本,則EXi=,DXi=2(i=1,…,n)1n1n22樣本均值Xi,樣本方差S(X)ini1n1i1

樣本標準差S1n

(Xi)2n1i1

E,D2

n

八、典型例題

習題一

1．為了防止意外，在礦內同時設有兩種警報系統

，

為

，在

失靈條件下，

和

，每種系統單獨使用時，其有效概率

，求：為

有效的概率為

⑴發生意外時，這兩種報警系統至少有一個有效的概率？⑵

失靈條件下，

有效的概率？

[解答]⑴由題意可得

即

得

則

⑵由題意可得

2．三個箱子，第一個箱子中有

個黑球

個白球，第二個箱子中有

個黑球

個白球，第三個箱子有

個黑球

個白球，現在隨機的取一個箱子，在從這個箱子中取一個球，問；⑴這個球是白球的概率？

4

⑵已知取出的球為白球，此球屬于第二個箱子的概率？

[解答]設

﹛從第

個箱子中取到白球﹜

﹛取到白球﹜

⑴由全概率公式可得

⑵由貝葉斯公式可得

3．假使有兩箱同種零件：第一箱內裝

件，第二箱內裝

件，其中

件一等品，現在從兩箱中隨意挑出一箱，然后從該箱中先后隨機取出兩個零件（取回的零件不放回），求：⑴先取的零件是一等品的概率

？

？⑵在先取出的零件是一等品的條件下，第二次取出的零件仍是一等品的條件概率

[解答]設﹛被挑出的是第

箱﹜

﹛第次取出的零件是一等品﹜

則

，

,

⑴

⑵由全概率公式可得

5

4．袋中有

個球，其中有

個是新的，第一次比賽時從中任取

第二次比賽再從袋中任取

個，求：

⑴第二次取出的球都是新球的概率？

⑵又已知第二次取出的球都是新球，第一次取到的都是新球的概率？

[解答]設

﹛第次取到新球﹜

﹛第二次取到新球﹜個用，比賽結束后仍放回袋中，

⑴

⑵

5．設甲乙兩袋，甲袋中裝有個白球，個紅球，乙袋中裝有

個白球，

袋中任取一只放入乙袋，再從乙袋中任取一球，問取到白球的概率？

﹛從甲袋中取到白球﹜個紅球，現在從甲[解答]設

﹛從甲袋中取到紅球﹜﹛從乙袋中取到白球﹜

6

則

6．設有來自三個地區的各

名，

名和

名考生的報名表，其中女生的報名表分別為

份，

份和

份，隨機地取一個地區的報名表，從中先后抽出兩份，

⑴求先抽到的一份中是女生表的概率

？

⑵已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率

？

[解答]設﹛報名表是

區考生的﹜

﹛第次取到的報名表是男生的﹜

則

；

,

,

⑴

⑵由全概率公式可得

7

于是

7．

架長機和

架僚機一同飛往某目的地進行轟炸，但要到達目的地，非有無線電導航不可，而只有長機具有此項設備，一旦到達目的地，各機將獨立的進行轟炸，且炸毀目的地的概率均為

，在到達目的地之前，必須經過高射炮陣地上空，此時任一機被擊落的概率為

，求目標被炸毀的概率.

[解答]

｛目標被炸｝

｛長機到達目的地｝

｛長機與一架僚機到達目的地｝

｛長機與兩架僚機到達目的地｝

表示長機到達

8

表示一架僚機到達

表示另一架僚機到達

習題二

一．填空題

1．設隨機變量

～

，

～

，若

，可得

，則

＿[解答

]

則

9

2．已知隨機變量

＿只能取

四個數，其相應的概率依次為

，則

[解答]由，可得

，解得

4．設

在

上服從均勻分布，則方程

有實根的概率為＿

[解答

]{方程有實根}

6．已知

聯合密度為

，則＿，

的邊緣概率密

度

＿

[解答]由

，可得

，得

7．設平面區域

由曲線

及直線

關于

的邊緣密度在

所圍成，二維隨機變量

處的值為＿在

上服從均勻分布，則

10

[解答]區域

的面積為

，由題意可得

的概率密度為

則關于

的邊緣密度在

處的值為

三．證明題

2．設

從參數為

是相互獨立的隨機變量，他們分別服從參數為

的泊松分布.的泊松分布，證明：

服

證明：因為

，

于是

=

即

服從參數為

的泊松分布.

3．設

是分布函數，證明：對于任意

，函數

也是分布函數.

證明：作積分變換，則

11

⑴

是分布函數，于是

即

⑵

是分布函數，對于任意

，有

所以

是遞增函數.

⑶

是分布函數，所以對

，當

時，

，于是

由

任意性可知

，即

右連續.

⑷因為

所以對

，當

時，

，當

時，

于是當

時

由

任意性可知

12，

當

時

由

任意性可知

綜上所述，

四．計算題也是分布函數.

2．某射手有

發子彈，射擊一次命中率為

，如果他命中目標就停止射擊，命不中就一直射擊到用完

發子彈，求所用子彈數

的分布密度.

[解答]由題意可得

的分布率為

即的分布率為

6．隨機變量

的分布密度為

求：⑴常數.⑵

⑶分布函數

.

[解答]⑴由

的性質可得

即

⑵

13

⑶

當時，

當時，

當

時，

的分布函數為所以

7．設測量從某地到某一目標的距離時帶有的隨機誤差

具有分布密度函數

求：⑴測量誤差的絕對值不超過

的概率.

的概率.⑵接連測量三次，每次測量是相互獨立進行的，則至少有一次誤差的絕對值不超過

[解答]⑴由題意可得

～

，則

⑵

～

則

14

8．設電子元件的壽命

具有密度為

問在

小時內，⑴三只元件中沒有一只損壞的概率是多少？⑵三只元件中全損壞的概率是多少？⑶只有一只元件損壞的概率是多少？

[解答]以表示第

只電子元件的壽命，以

表示事件“在使用

小時內，第

只電子元件損壞”，則

⑴

⑵

⑶

9．對圓片直徑進行測量，其值在

上均勻分布，求圓片面積的概率分布.

[解答]設圓片直徑的測得值為

，面積為

，則

，又

的分布密度為

由

，有

，在

為單調函數，則

，則

15

故

11．設

示服從參數為

的

分布，在

下，關于

的條件分布為表

，表

所

求

的聯合概率分布，以及在

時，關于

的條件分布.

[解答]由題意可知

，

，所以

又

所以的聯合概率分布為在

時，關于

的條件分布為

12．設隨機變量

[解答]由題意可得相互獨立，并在

上服從均勻分布，求隨機變量

的分布密度.16

由于

相互獨立，故

的聯合分布密度函數為

⑴當

時，

，所以

⑵當

時，

，所以

⑶當

所以時，

，所以

13．設

相互獨立，分布密度分別為

求隨機變量

[解答]由于

的分布密度.相互獨立，故

的聯合分布密度函數為

17

則

的分布函數為

當時，

當

時，

所以

的分布密度為

，即

14．設

相互獨立，且在上均勻分布，求使方程

[解答]在上均勻分布，則的分布密度為

又相互獨立，所以

～

方程

有實根條件是

即

18有實根的概率.

所以

15．設

的密度為

求：⑴

;⑵

[解答]⑴

⑵

16．假設隨機變量

服從參數為

的指數分布，隨機變量

19

⑴求

和

聯合概率分布；⑵求

服從參數為

[解答]隨機變量

的指數分布，則由題意可得

⑵

習題3

＿5．設

～

，

(為正整數)，則

[解答]由題意有

(奇函數)

所以

故

6．設隨機變量

在區間

上服從均勻分布，隨機變量

，則方差

＿

[解答]由題意可得

20

則

，所以

7．若隨機變量

布，

＿，

相互獨立，且服從相同的兩點分布

＿.，則

服從＿分

[解答]設

為事件發生的概率，則由題意可得

所以

一．選擇題

1．設隨機變量

與

獨立同分布，記

獨立

，則隨機變量

與

必然

不獨立

相關系數為零

相關系數為零

[解答]

所以

與

互不相關，故選擇

，但

與

互不相關卻不能推斷出

與

相互獨立.

2．設

，則

不存在

21

[解答]由于

4．已知

與

與

為非收斂數列，所以

不存在,故應該選

.的聯合分布如下表所示，則有

不獨立

與

獨立

與

[解答

]與

不相關

與

彼此獨立且相關的邊緣分布律分別為

～

～

則可計算得

，所以

與

相關，又

所以

與

不獨立，故應該選

.

9．隨機變量

與

不相關的充分必要條件為

[解答

]不相關的充要條件是

，則

即

，于是

22，所以選

.

10．人的體重

確的是

～

，

，

，

個人的平均體重為

，則下列結論正

[解答]由題意可知

，則

所以應該選

三．證明題.

1．設

是隨機變量，是常數，證明：

，其中

.證明：

和

2．設

為相互獨立的隨機變量，其分布密度為

，

證明：他們的卷積，即隨機變量

證明：由題意可知

和

服從

的分布密度也服從正態分布.分布，則

23

令

，得

即

也服從

分布.

3．設

證明：因為

相互獨立，證明：

相互獨立，所以

于是

又

從而

4．設

和為隨機變量的任意兩個可取值，

24分別為其數學期望與方差，則

證明：

四．計算題

1．設

的分布律為

，求

.

[解答]

2．設隨機變量

具有概率密度為

，求

.

25

[解答

]

3．設隨機變量

和

的聯合分布為

求

[解答]的概率分布為

則

4．一汽車沿一街道行使需要通過三個設有紅綠信號燈路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立，且紅綠兩種信號顯示的時間相等，以

表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數，求：⑴

的概率分布；⑵

[解答]⑴

的取值應該為

，且

以

表示事件“汽車在第

相互獨立，則個路口首次遇到紅燈”，則

26

⑵

5．設

的分布密度

求

.

[解答

]

6．設

服從區域

上的均勻分布，求相關系數

.

[解答]因為

的面積為

，故

和

的聯合密度函數為

于是

即

27

則

又

則

7．在長為

[解答]設

的線段上任選兩點，求兩點間距離的數學期望與方差.分別表示兩點的坐標，

服從區域

上的均勻分布，其聯合密度函數為

令

，則

的分布密度為28

當時，

當

時，

于是

當

時，區域

包含整個正方形區域，則

即