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文檔簡介
專題5.1導數的概念及其意義1.瞬時速度(1)平均速度設物體的運動規律是s=s(t),則物體在到+t這段時間內的平均速度為=.(2)瞬時速度①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.
②一般地,當t無限趨近于0時,無限趨近于某個常數v,我們就說當t趨近于0時,的極限是v,這時v就是物體在t=時的瞬時速度,即瞬時速度v==.2.拋物線切線的斜率(1)拋物線割線的斜率設二次函數y=f(x),則拋物線上過點、的割線的斜率為=.(2)拋物線切線的斜率一般地,在二次函數y=f(x)中,當x無限趨近于0時,無限趨近于某個常數k,我們就說當x趨近于0時,的極限是k,這時k就是拋物線在點處切線的斜率,即切線的斜率k==.3.函數的平均改變率函數平均改變率的定義
對于函數y=f(x),設自變量x從改變到+x,相應地,函數值y就從f()改變到f(+x).這時,x的改變量為x,y的改變量為y=f(+x)-f().我們把比值,即=叫做函數y=f(x)從到+x的平均改變率.4.函數在某點處的導數的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x)),假如當點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(,f())時,割線P無限趨近于一個確定的位置,這個確定位置的直線T(T是直線T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點處的切線.(2)函數在某點處的導數的幾何意義
函數y=f(x)在x=處的導數f'()就是切線T的斜率,即==f'().這就是導數的幾何意義.相應地,切線方程為y-f()=f'()(x-).5.導函數的定義從求函數y=f(x)在x=處導數的過程可以看到,當x=時,f'()是一個唯一確定的數.這樣,當x改變時,y=f'(x)就是x的函數,我們稱它為y=f(x)的導函數(簡稱導數).y=f(x)的導函數有時也記作y',即f'(x)=y'=.【題型1瞬時速度、平均速度】【方法點撥】依據瞬時速度、平均速度的定義進行求解即可.【例1】(2022·全國·高二專題練習)已知物體做直線運動對應的函數為S=S(t),其中SA.經過4s后物體向前走了10mB.物體在前4秒內的平均速度為10m/sC.物體在第4秒內向前走了10mD.物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s【變式1-1】(2022·全國·高二課時練習)某物體的運動路程s(單位:m)與時間t(單位:s)的關系可用函數st=t2+A.0m/s B.1m/s C.2m/s D.3m/s【變式1-2】(2022·廣東廣州·高二期末)在一次高臺跳水運動中,某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系h(t)=-4.9t2A.10.9 B.-10.9 C.5 D.-5【變式1-3】(2022·河南·高二階段練習(理))一質點做直線運動,其位移s與時間t的關系為s=t2+2t,設其在t∈[2,3]內的平均速度為v1,在A.76 B.73 C.6【題型2平均改變率】【方法點撥】依據題目條件,結合函數的平均改變率的定義,即可得解.【例2】(2022·江蘇省高二階段練習)已知函數fx=x2+2A.4 B.3 C.2 D.1【變式2-1】(2022·遼寧·高二階段練習)函數fx=-x3A.3 B.2 C.-2 D.【變式2-2】(2022·陜西·高二階段練習(理))若函數f(x)=x2-tA.5 B.2 C.3 D.1【變式2-3】(2022·陜西安康·高二期末(文))為了評估某種治療肺炎藥物的療效,有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量.設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為c=f(t)A.在t1B.在t2C.在t2D.在t1,t【題型3利用導數的定義解題】【方法點撥】利用導數的定義,轉化求解即可.【例3】(2022·新疆·高二階段練習(理))已知函數y=f(x)在xA.0 B.12【變式3-1】(2022·上海市高二期末)已知f(x)是定義在R上的可導函數,若lim△xA.-1 B.-1【變式3-2】(2022·湖北襄陽·高二期末)若函數y=fx在x=xA.2 B.3 C.-2 D.-3【變式3-3】(2022·全國·高二專題練習)已知函數fx的定義域為R,若limΔxA.1 B.2 C.3 D.4【題型4導數的幾何意義】【方法點撥】依據導數的幾何意義,求解曲線在某點處的斜率或切線方程.【例4】(2023·上海·高三專題練習)limx→2f(5A.2x+C.-2x【變式4-1】(2022·河南·高三階段練習(文))已知函數y=fx的圖像在點M3,f3處的切線方程是yA.1 B.2 C.3 D.5【變式4-2】(2022·河南·高三階段練習(文))設函數f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為yA.4 B.2 C.1 D.1【變式4-3】(2022·浙江·高二期中)如圖,函數y=fx的圖象在點P處的切線方程是y=-A.-12 B.2 C.-【題型5函數圖象與導函數的關系】【方法點撥】結合詳細條件,依據函數圖象、導函數圖象與導函數的關系,進行轉化求解即可.【例5】(2022·全國·高二課時練習)已知f'x是fx的導函數,f'xA. B.C. D.【變式5-1】若函數y=f(x)的導函數在區間[A. B. C. D.【變式5-2】(2022·北京高二期末)已知函數fx=ax3A. B.C. D.【變式5-3】(2022·河南高二階段練習(理))已知函數fx的導函數為f'x,若y=fA. B.C. D.【題型6導數的幾何意義的應用】【方法點撥】曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的改變狀況,由切線的傾斜程度,可以推斷出曲線升降的快慢.結合詳細條件,利用導數的幾何意義,進行轉化求解即可.【例6】(2022·河南·高三開學考試(文))已知函數fx的圖象如圖所示,下列數值的排序正確的是(
A.0<B.0<C.0<D.0<【變式6-1】(2022·陜西·教學探討室一模)已知函數y=f(x)A.f'xC.f'x【變式6-2】(2
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