專題5.1導數的概念及其意義1．瞬時速度(1)平均速度設物體的運動規律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內的平均速度為=.(2)瞬時速度①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

②一般地，當t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數v，我們就說當t趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.2．拋物線切線的斜率(1)拋物線割線的斜率設二次函數y=f(x)，則拋物線上過點、的割線的斜率為=.(2)拋物線切線的斜率一般地，在二次函數y=f(x)中，當x無限趨近于0時，無限趨近于某個常數k，我們就說當x趨近于0時，的極限是k，這時k就是拋物線在點處切線的斜率，即切線的斜率k==.3．函數的平均改變率函數平均改變率的定義

對于函數y=f(x)，設自變量x從改變到+x，相應地，函數值y就從f()改變到f(+x).這時，x的改變量為x，y的改變量為y=f(+x)-f().我們把比值，即=叫做函數y=f(x)從到+x的平均改變率.4．函數在某點處的導數的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，假如當點P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(,f())時，割線P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線T(T是直線T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點處的切線.(2)函數在某點處的導數的幾何意義

函數y=f(x)在x=處的導數f'()就是切線T的斜率，即==f'().這就是導數的幾何意義.相應地，切線方程為y-f()=f'()(x-).5．導函數的定義從求函數y=f(x)在x=處導數的過程可以看到，當x=時，f'()是一個唯一確定的數.這樣，當x改變時，y=f'(x)就是x的函數，我們稱它為y=f(x)的導函數(簡稱導數).y=f(x)的導函數有時也記作y'，即f'(x)=y'=.【題型1瞬時速度、平均速度】【方法點撥】依據瞬時速度、平均速度的定義進行求解即可.【例1】（2022·全國·高二專題練習）已知物體做直線運動對應的函數為S=S(t)，其中SA．經過4s后物體向前走了10mB．物體在前4秒內的平均速度為10m/sC．物體在第4秒內向前走了10mD．物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s【變式1-1】（2022·全國·高二課時練習）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數st=t2+A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s【變式1-2】（2022·廣東廣州·高二期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系h(t)=-4.9t2A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5【變式1-3】（2022·河南·高二階段練習（理））一質點做直線運動，其位移s與時間t的關系為s=t2+2t，設其在t∈[2,3]內的平均速度為v1，在A．76 B．73 C．6【題型2平均改變率】【方法點撥】依據題目條件，結合函數的平均改變率的定義，即可得解.【例2】（2022·江蘇省高二階段練習）已知函數fx=x2+2A．4 B．3 C．2 D．1【變式2-1】（2022·遼寧·高二階段練習）函數fx=-x3A．3 B．2 C．-2 D．【變式2-2】（2022·陜西·高二階段練習（理））若函數f(x)=x2-tA．5 B．2 C．3 D．1【變式2-3】（2022·陜西安康·高二期末（文））為了評估某種治療肺炎藥物的療效，有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量．設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為c=f(t)A．在t1B．在t2C．在t2D．在t1,t【題型3利用導數的定義解題】【方法點撥】利用導數的定義，轉化求解即可.【例3】（2022·新疆·高二階段練習（理））已知函數y=f(x)在xA．0 B．12【變式3-1】（2022·上海市高二期末）已知f(x)是定義在R上的可導函數，若lim△xA．-1 B．-1【變式3-2】（2022·湖北襄陽·高二期末）若函數y=fx在x=xA．2 B．3 C．－2 D．－3【變式3-3】（2022·全國·高二專題練習）已知函數fx的定義域為R，若limΔxA．1 B．2 C．3 D．4【題型4導數的幾何意義】【方法點撥】依據導數的幾何意義，求解曲線在某點處的斜率或切線方程.【例4】（2023·上海·高三專題練習）limx→2f(5A．2x+C．-2x【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習（文））已知函數y=fx的圖像在點M3,f3處的切線方程是yA．1 B．2 C．3 D．5【變式4-2】（2022·河南·高三階段練習（文））設函數f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為yA．4 B．2 C．1 D．1【變式4-3】（2022·浙江·高二期中）如圖，函數y=fx的圖象在點P處的切線方程是y=-A．-12 B．2 C．-【題型5函數圖象與導函數的關系】【方法點撥】結合詳細條件，依據函數圖象、導函數圖象與導函數的關系，進行轉化求解即可.【例5】（2022·全國·高二課時練習）已知f'x是fx的導函數，f'xA． B．C． D．【變式5-1】若函數y=f(x)的導函數在區間[A． B． C． D．【變式5-2】（2022·北京高二期末）已知函數fx=ax3A． B．C． D．【變式5-3】（2022·河南高二階段練習（理））已知函數fx的導函數為f'x，若y=fA． B．C． D．【題型6導數的幾何意義的應用】【方法點撥】曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的改變狀況，由切線的傾斜程度，可以推斷出曲線升降的快慢.結合詳細條件，利用導數的幾何意義，進行轉化求解即可.【例6】（2022·河南·高三開學考試（文））已知函數fx的圖象如圖所示，下列數值的排序正確的是（

A．0<B．0<C．0<D．0<【變式6-1】（2022·陜西·教學探討室一模）已知函數y=f(x)A．f'xC．f'x【變式6-2】（2