北京市西城區北京教育學院附中2025屆高一數學第二學期期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，且，則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．2．若平面∥平面，直線∥平面,則直線與平面的關系為()A．∥ B． C．∥或 D．3．在中，是的中點，，，相交于點，若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．44．在中，，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形5．式子的值為()A． B．0 C．1 D．6．在四邊形中，，，將沿折起，使平面平面，構成三棱錐，如圖，則在三棱錐中，下列結論正確的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面7．如下圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，則異面直線PA與BC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．設等差數列的前項和為，若，，則的值為()A． B． C． D．9．如圖，在矩形中，，,點為的中點，點在邊上，點在邊上，且，則的最大值是()A． B． C． D．10．直線x﹣y+2＝0與圓x2+（y﹣1）2＝4的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．過點，且與直線垂直的直線方程為．12．等比數列中，，則公比____________.13．設奇函數的定義域為R，且對任意實數滿足，若當∈[0,1]時，,則____.14．設ω為正實數.若存在a、b(π≤a<b≤2π)，使得15．若，，，則M與N的大小關系為___________．16．已知，且，則的值是_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．各項均不相等的等差數列前項和為，已知，且成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和.18．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c；已知．（1）求角B的大小；（2）若外接圓的半徑為2，求面積的最大值．19．已知偶函數.（1）若方程有兩不等實根，求的范圍；（2）若在上的最小值為2，求的值.20．如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．(I)求證：平面ABCD；(II)求證：平面ACF⊥平面BDF．21．已知等比數列的前項和為，公比，，．（1）求等比數列的通項公式；（2）設，求的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

通過反例可排除；根據的單調性可知正確.【詳解】當，時，，，則錯誤；當，時，，則錯誤；由單調遞增可知，當時，，則正確本題正確選項：【點睛】本題考查不等關系的判斷，解決此類問題常采用排除法，屬于基礎題.2、C【解析】

利用空間幾何體，發揮直觀想象，易得直線與平面的位置關系.【詳解】設平面為長方體的上底面，平面為長方體的下底面，因為直線∥平面，所以直線通過平移后，可能與平面平行，也可能平移到平面內，所以∥或.【點睛】空間中點、線、面位置關系問題，常可以借助長方體進行研究，考查直觀想象能力.3、D【解析】由題意知，所以，解得，所以，故選D.4、B【解析】

將,分別代入中,整理可得,即可得到,進而得到結論【詳解】由題可得,即在中,,,即又,是直角三角形,故選B【點睛】本題考查三角形形狀的判定,考查和角公式,考查已知三角函數值求角5、D【解析】

利用兩角和的正弦公式可得原式為cos（），再由特殊角的三角函數值可得結果.【詳解】cos（）＝coscos，故選D．【點睛】本題考查兩角和的余弦公式，熟練掌握兩角和與差的余弦公式以及特殊角的三角函數值是解題的關鍵，屬于基礎題.6、D【解析】

折疊過程中，仍有，根據平面平面可證得平面，從而得到正確的選項.【詳解】在直角梯形中，因為為等腰直角三角形，故，所以，故，折起后仍然滿足.因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，因平面，所以.又因為，，所以平面，因平面，所以平面平面.【點睛】面面垂直的判定可由線面垂直得到，而線面垂直可通過線線垂直得到，注意面中兩條直線是相交的．由面面垂直也可得到線面垂直，注意線在面內且線垂直于兩個平面的交線.7、B【解析】

作出異面直線PA與BC所成角，結合三角形的知識可求.【詳解】取的中點，連接，如圖，因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以；所以或其補角是異面直線PA與BC所成角；設，則,；因為，所以；因為平面ABCD，所以,在三角形中，.故選：B.【點睛】本題主要考查異面直線所成角的求解，作出異面直線所成角，結合三角形知識可求.側重考查直觀想象的核心素養.8、D【解析】

利用等差數列的前項和的性質可求的值.【詳解】因為，所以，故，故選D.【點睛】一般地，如果為等差數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數列；（4）為等差數列.9、A【解析】

把線段最值問題轉化為函數問題，建立函數表達式，從而求得最值.【詳解】設，，，，，，，，，，的最大值是.故選A.【點睛】本題主要考查函數的實際應用，建立合適的函數關系式是解決此題的關鍵，意在考查學生的分析能力及數學建模能力.10、A【解析】

求得圓心到直線的距離，然后和圓的半徑比較大小，從而判定兩者位置關系，得到答案．【詳解】由題意，可得圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交．故選：A．【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系判定，其中解答中熟記直線與圓的位置關系的判定方法是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直線垂直表示斜率乘積為-1，所以可得新直線斜率，代入點即可．【詳解】直線的斜率等于-1，所以與之垂直直線斜率，再通過點斜式直線方程：，即．【點睛】此題考查直線垂直，直線垂直表示兩直線斜率之積為-1，屬于簡單題目．12、【解析】

根據題意得到：，解方程即可.【詳解】由題知：，解得：.故答案為：【點睛】本題主要考查等比數列的性質，熟練掌握等比數列的性質為解題的關鍵，屬于簡單題.13、【解析】

根據得到周期，再利用周期以及奇函數將自變量轉變到給定區間計算函數值.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，則，故，又因為是奇函數，所以，則.【點睛】（1）形如的函數是周期函數，周期；（2）若要根據奇偶性求解分段函數的表達式，記住一個原則：“用未知表示已知”，也就是將自變量變形，利用已知范圍和解析式求解.14、ω∈[【解析】

由sinωa+sinωb=2?sinωa=sinωb=1.而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπ]【詳解】由sinωa+而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπ]，故已知條件等價于：存在整數ωπ當ω≥4時，區間[ωπ,2ωπ]的長度不小于4π當0<ω<4時，注意到，[ωπ故只要考慮如下幾種情形：（1）ωπ≤π2<（2）ωπ≤5（3）ωπ≤9綜上，并注意到ω≥4也滿足條件，知ω∈[9故答案為：ω∈[【點睛】本題主要考查三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.15、【解析】

根據自變量的取值范圍，利用作差法即可比較大小.【詳解】，，，所以當時，所以，即，故答案為：.【點睛】本題考查了作差法比較整式的大小，屬于基礎題.16、【解析】

計算出的值，然后利用誘導公式可求得的值.【詳解】，，則，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用誘導公式求值，同時也考查了同角三角函數基本關系的應用，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用等差數列的通項公式和等比數列的性質，可得，則可得通項公式.（2）根據（1）的結論可得，然后利用裂項相消求和，可得結果.【詳解】（1）因為各項均不相等，所以公差由等差數列通項公式且，所以，又成等比數列，所以，則，化簡得，所以即可得即（2）由（1）可得化簡可得由所以【點睛】本題主要考查利用裂項相消法求和，屬基礎題.18、（1）（2）【解析】

(1)利用正弦定理與余弦的差角公式運算求解即可.(2)根據正弦定理可得,再利用余弦定理與基本不等式求得再代入面積求最大值即可.【詳解】解：（1）在中,由正弦定理得,得,又∴.即,∴,又,∴．（2）結合（1）由正弦定理可知,由余弦定理可知,所以當且僅當時等號成立,所以,所以面積的最大值為．【點睛】本題主要考查了正余弦定理與三角形面積公式在解三角形中的運用.同時考查了根據基本不等式求解三角形面積的最值問題.屬于中檔題.19、（1）；（2）或.【解析】

（1）由偶函數的定義，利用，求得的值，再由對數函數的單調性，結合題設條件，即可求解實數的范圍；（2）利用換元法和對勾函數的單調性，以及二次函數的閉區間上的求法，分類討論對稱軸和區間的關系，即可求解.【詳解】（1）因為，所以的定義域為，因為是偶函數，即，所以，故，所以，即方程的解為一切實數，所以，因為，且，所以原方程轉化為，令，，所以所以在上是減函數，是增函數，當時，使成立的有兩個，又由知，與一一對應，故當時，有兩不等實根；（2）因為，所以，所以，令，則，令，設，則，因為，所以，即在上是增函數，所以，設，則.（i）當時，的最小值為，所以，解得，或4（舍去）；（ii）當時，的最小值為，不合題意；（iii）當時，的最小值為，所以，解得，或（舍去）.綜上知，或.【點睛】本題主要考查了函數的綜合應用，其中解答中涉及到函數的奇偶性，對數函數的圖象與性質，以及換元法和分類討論思想的應用，試題綜合性強，屬于難題，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力.20、（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.【解析】(1)添加輔助線，通過證明線線平行來證明線面平行.(2)通過證明線面垂直面，來證明面面.（Ⅰ）證明：如圖，過點作于，連接，∴．∵平面⊥平面，平面，平面平面，∴⊥平面，又∵⊥平面，，∴，.∴四邊形為平行四邊形．∴.∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）證明：面，，又四邊形是菱形，，又，面，又面，從而面面．點晴：本題考查的是空間線面的平行和垂直關系.第一問要考查的是線面平行，通過先證明，得四邊形為平行四邊形．證得，可得平面，這里對于線面平行的條件平面，平面要寫全;第二問中通過先證明面，再