第六章立體幾何初步6.5.1直線與平面垂直（第1課時）年月日引入課題——創設情境我們偉大的祖國歲生日72194910011955120919680918198212221996040820030612201707252020100120211001北京天安門廣場早上6:11分升旗儀式五星紅旗冉冉升起祝福祖國繁榮昌盛提問：旗桿與地面是什么關系？地面請同學們觀察：我們教室有哪些可以看做直線垂直平面？提問：你們認識它嗎？名稱：日晷儀它有什么用途？結構：主要由晷面和晷針組成晷針垂直晷面用途：古代觀測日影記時的儀器晷面晷針引入課題——提出問題在太陽下，觀察晷針和它的影子的角度變化結論：晷針和它的影子始終垂直提問：得到什么啟示？啟示：直線與平面垂直問題，跟直線與平面內的直線垂直有關.8點10點13點15點17點討論：如何用數學語言定義直線與平面垂直？CAB新知探索——概念呈現討論：如何用數學語言定義直線與平面垂直？CAB直線與平面垂直的定義

如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α垂直.任意一條記作：l⊥α直線l叫做平面α的垂線平面α叫做直線l的垂面它們唯一的公共點P叫做垂足垂線垂面垂足新知探索——概念呈現直線與平面垂直的定義

如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α垂直.任意一條記作：l⊥α直線l叫做平面α的垂線平面α叫做直線l的垂面它們唯一的公共點P叫做垂足垂線垂面垂足畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.新知探索——概念呈現畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.1.如果把定義改為“如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線與這個平面垂直”，對嗎？為什么？2.當直線與平面垂直時，直線與平面內的直線是什么關系？不對.垂直.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質（1）垂直于同一條直線的兩直線平行；（2）經過一點有且只有一條直線和已知直線垂直；（3）直線外一點和直線上各點連接的線段中，垂線段最短；（4）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，也必和另一條垂直.類比平面幾何線線垂直的性質，觀察長方體和現實空間，分組討論，分析線面垂直的性質.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質（1）垂直于同一條直線的兩直線平行；（2）經過一點有且只有一條直線和已知直線垂直；（3）直線外一點和直線上各點連接的線段中，垂線段最短；（4）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，也必和另一條垂直.類比平面幾何線線垂直的性質，觀察長方體和現實空間，分組討論，分析線面垂直的性質.立體幾何結論（1）垂直于同一個平面的兩直線平行.立體幾何結論（2）經過一點有且只有一條直線和已知平面垂直.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質（1）垂直于同一條直線的兩直線平行；立體幾何結論（1）垂直于同一個平面的兩直線平行.（2）經過一點有且只有一條直線和已知直線垂直；立體幾何結論（3）平面外一點和平面上各點連接的線段中，垂線段最短.立體幾何結論（2）經過一點有且只有一條直線和已知平面垂直.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質（2）經過一點有且只有一條直線和已知直線垂直；（3）直線外一點和直線上各點連接的線段中，垂線段最短；立體幾何結論（4）如果一條直線和兩個平行平面中的一個垂直，也必和另一個垂直.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質（3）直線外一點和直線上各點連接的線段中，垂線段最短；立體幾何結論（3）平面外一點和平面上各點連接的線段中，垂線段最短.（4）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，也必和另一條垂直.新知探索——回顧引入回顧：平面幾何中，直線與直線垂直的性質（4）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，也必和另一條垂直.立體幾何結論（4）如果一條直線和兩個平行平面中的一個垂直，也必和另一個垂直.思考：用什么證明方法來證明它？立體幾何結論（1）：垂直于同一個平面的兩直線平行.圖形語言符號語言反證法.平行新知探索——深入理解abα證明

如圖，假設a與b不平行，設b與α交于點O，設b′是經過點O與a平行的直線.設相交直線b與b′確定的平面為β，設α∩β=c，則O∈c.因為a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因為b′//a，所以b′⊥c.這樣在平面β內，經過直線c上同一點O就有兩條直線b，b′均與

c垂直，顯然不可能，因此b//a.Ob′cβ反證法得出矛盾的結果假設結論的否定成立新知探索——深入理解思考：兩條異面直線能垂直于同一平面嗎？直線與平面垂直的性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行.揭示了“平行”與“垂直”的關系.作用：判定兩條直線平行.不能.

新知探索——深入理解思考：兩條異面直線能垂直于同一平面嗎？直線與平面垂直的性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行.揭示了“平行”與“垂直”的關系.作用：判定兩條直線平行.不能.

解

新知探索——回顧延伸

問題：什么是點到平面的距離？

答：相等.

新知探索——概念歸納歸納：如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點到平面的距離，稱為這條直線到這個平面的距離.歸納：如果一條直線與平面平行，那么這條直線上任意一點到平面的距離，稱為這條直線到這個平面的距離.新知探索——概念歸納問題：直線與平面相交，只有垂直關系嗎？還有什么關系？斜交新知探索——概念歸納問題：直線與平面相交，只有垂直關系嗎？還有什么關系？斜交

新知探索——概念歸納

直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的銳角，圖中∠PAO.取值范圍：設直線與平面所成的角為θ，0°≤θ≤90°.規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0°.90°0°0°≤θ≤90°.應用新知——鞏固提升例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B與平面D1C1CD所成的角.解

∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.應用新知——鞏固提升例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B與平面D1C1CD所成的角.解

連接D1C，∵A1D1//BC且A1D1=BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B//D1C.應用新知——鞏固提升(2)求A1B與平面D1C1CD所成的角.∵D1C

平面D1C1CD，A1B

平面D1C1CD，∴A1B//平面D1C1CD，∴A1B與平面D1C1CD所成的角是0°.應用新知——鞏固提升練習三棱錐S－ABC的所有棱長都相等且為a，求SA與底面ABC所成角的余弦值．解

如圖，過S作SO⊥平面ABC于點O，連接AO，BO，CO.則SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.∵SA＝SB＝SC＝a，∴△SOA≌△SOB≌△SOC，∴AO＝BO＝CO，∴O為△ABC的外心．∵△ABC為正三角形，∴O為△ABC的中心．∵SO⊥平面ABC，∴∠SAO即為SA與平面ABC所成的角．提煉新知——課堂小結直線與平面垂直的定義直線與平面內的任意一條直線都垂直.直線與平面垂直的性質垂直于同一個平面的兩條直線平行.直線與平面所成的角斜線與它在平面上的投影所成的銳角.鞏固新知——課后作業1.教材第252頁復習題六A組第5題2.預習下一節課內容：直線與平面垂直的判定定理，并完成下題.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A1B與平面BB1D1D所成的角.鞏固新知——課后作業1.教材第252頁復習題六A組第5題2.預習下一節課內容：直線與平面垂直的判定定理，并完成下題.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A1B與平面BB1D1D所成的角.解連接A1C1交B1D1于點O，連接BO.