河南省漯河市2025屆高一數學第二學期期末教學質量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．邊長為2的正方形內有一封閉曲線圍成的陰影區域.向正方形中隨機地撒200粒芝麻，大約有80粒落在陰影區域內，則此陰影區域的面積約為（）A． B． C． D．2．一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱全面積與側面積的比為（）A． B． C． D．3．在中，設角的對邊分別為．若，則是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形4．正六邊形的邊長為，以頂點為起點，其他頂點為終點的向量分別為；以頂點為起點，其他頂點為終點的向量分別為．若分別為的最小值、最大值，其中，則下列對的描述正確的是（）A． B． C． D．5．若實數，滿足約束條件，則的最大值為（）A．－3 B．1 C．9 D．106．過點的圓的切線方程是（）A． B．或C．或 D．或7．數列的一個通項公式為（）A． B．C． D．8．已知下列各命題：①兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面：②若真線不平行于平面，則直線與平面有公共點：③若兩個平面垂直，則一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數條直線：④若兩個二面角的兩個面分別對應垂直，則這兩個二面角相等或互補.則其中正確的命題共有（）個A． B． C． D．9．已知直線，平面，給出下列命題：①若，且，則②若，且，則③若，且，則④若，且，則其中正確的命題是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．①②10．已知向量=(3，4)，=(2，1)，則向量與夾角的余弦值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知點，點，則________．12．設，向量，，若，則__________．13．_____14．若直線與圓相切，則________.15．某海域中有一個小島（如圖所示），其周圍3.8海里內布滿暗礁（3.8海里及以外無暗礁），一大型漁船從該海域的處出發由西向東直線航行，在處望見小島位于北偏東75°，漁船繼續航行8海里到達處，此時望見小島位于北偏東60°，若漁船不改變航向繼續前進，試問漁船有沒有觸礁的危險？答：______.（填寫“有”、“無”、“無法判斷”三者之一）16．在等比數列中，，的值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知f（α）=，其中α≠kπ（k∈Z）．（1）化簡f（α）；（2）若f（+β）=-，β是第四象限的角，求sin（2β+）的值．18．已知是等差數列，設數列的前n項和為，且，，又，.（1）求和的通項公式；（2）令，求的前n項和.19．已知向量，，.（1）求（2）若與垂直，求實數的值.20．已知集合，，求.21．如圖，邊長為2的正方形中.（1）點是的中點，點是的中點，將、分別沿，折起，使，兩點重合于點，求證：；（2）當時，將、分別沿，折起，使，兩點重合于點，求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

依題意得，豆子落在陰影區域內的概率等于陰影部分面積與正方形面積之比，即可求出結果.【詳解】設陰影區域的面積為，由題意可得，則.故選：B.【點睛】本題考查隨機模擬實驗，根據幾何概型的意義進行模擬實驗計算陰影部分面積，關鍵在于掌握幾何概型的計算公式.2、A【解析】解：設圓柱底面積半徑為r，則高為2πr，全面積：側面積=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2這個圓柱全面積與側面積的比為,故選A3、D【解析】

根據正弦定理，將等式中的邊a,b消去，化為關于角A,B的等式，整理化簡可得角A,B的關系，進而確定三角形．【詳解】由題得，整理得，因此有，可得或，當時，為等腰三角形；當時，有，為直角三角形，故選D．【點睛】這一類題目給出的等式中既含有角又含有邊的關系，通常利用正弦定理將其都化為關于角或者都化為關于邊的等式，再根據題目要求求解．4、A【解析】

利用向量的數量積公式，可知只有，其余數量積均小于等于0，從而得到結論．【詳解】由題意，以頂點A為起點，其他頂點為終點的向量分別為，以頂點D為起點，其他頂點為終點的向量分別為，則利用向量的數量積公式，可知只有，其余數量積均小于等于0，又因為分別為的最小值、最大值，所以，故選A．【點睛】本題主要考查了向量的數量積運算，其中解答中熟記向量的數量積的運算公式，分析出向量數量積的正負是關鍵，著重考查了分析解決問題的能力，屬于中檔試題．5、C【解析】

畫出可行域，向上平移基準直線到可行域邊界的位置，由此求得目標函數的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，向上平移基準直線到的位置，此時目標函數取得最大值為.故選C.【點睛】本小題主要考查利用線性規劃的知識求目標函數的最大值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.6、D【解析】

先由題意得到圓的圓心坐標，與半徑，設所求直線方程為，根據直線與圓相切，結合點到直線距離公式，即可求出結果.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為1，由題意，易知所求切線斜率存在，設過點與圓相切的直線方程為，即，所以有，整理得，解得，或；因此，所求直線方程分別為：或，整理得或.故選D【點睛】本題主要考查求過圓外一點的切線方程，根據直線與圓相切，結合點到直線距離公式即可求解，屬于常考題型.7、C【解析】

利用特殊值,將代入四個選項即可排除錯誤選項.【詳解】將代入四個選項,可得A中B中D中只有C中所以排除ABD選項故選：C【點睛】本題考查了根據幾個項選擇數列的通項公式,特殊值法是解決此類問題的簡單方法,屬于基礎題.8、B【解析】

①利用平面的基本性質判斷.②利用直線與平面的位置關系判斷.③由面面垂直的性質定理判斷.④通過舉反例來判斷.【詳解】①兩兩相交且不共點，形成三個不共線的點，確定一個平面，故正確.②若真線不平行于平面，則直線與平面相交或在平面內，所以有公共點，故正確.③若兩個平面垂直，則一個平面內，若垂直交線的直線則垂直另一個平面，垂直另一平面內所有直線，若不垂直與交線，也與另一平面內垂直交線的直線及其平行線垂直，也有無數條，故正確.④若兩個二面角的兩個面分別對應垂直，則這兩個二面角關系不確定，如圖：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角D-AA1-F與二面角D1-DC-A的兩個半平面就是分別對應垂直的，但是這兩個二面角既不相等，也不互補．故錯誤..故選：B【點睛】本題主要考查了點、線、面的位置關系，還考查了推理論證和理解辨析的能力，屬于基礎題.9、A【解析】

根據面面垂直，面面平行的判定定理判斷即可得出答案。【詳解】①若，則在平面內必有一條直線使，又即，則，故正確。②若，且，與可平行可相交，故錯誤③若，即又，則，故正確④若，且，與可平行可相交，故錯誤所以①③正確，②④錯誤故選A【點睛】本題考查面面垂直，面面平行的判定，屬于基礎題。10、A【解析】

由向量的夾角公式計算．【詳解】由已知，，．∴．故選A．【點睛】本題考查平面向量的數量積，掌握數量積公式是解題基礎．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直接利用兩點間的距離公式求解即可．【詳解】點A（2，1），B（5，﹣1），則|AB|．故答案為：．【點睛】本題考查兩點間的距離公式的應用，基本知識的考查．12、【解析】從題設可得，即，應填答案．13、【解析】

將寫成，切化弦后，利用兩角和差余弦公式可將原式化為，利用二倍角公式可變為，由可化簡求得結果.【詳解】本題正確結果：【點睛】本題考查利用三角恒等變換公式進行化簡求值的問題，涉及到兩角和差余弦公式、二倍角公式的應用.14、1【解析】

利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線和圓相切，所以圓心到直線的距離，即，由于，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，屬于基礎題.15、無【解析】

可過作的延長線的垂線，垂足為，結合角度關系可判斷為等腰三角形，再通過的邊角關系即可求解，判斷與3.8的大小關系即可【詳解】如圖，過作的延長線的垂線，垂足為，在中，，，則，所以為等腰三角形。，又，所以，，所以漁船沒有觸礁的危險故答案為：無【點睛】本題考查三角函數在生活中的實際應用，屬于基礎題16、【解析】

由等比中項，結合得，化簡即可.【詳解】由等比中項得，得，設等比數列的公比為，化簡.故答案為：4【點睛】本題考查了等比中項的性質，通項公式的應用，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

（1）直接利用三角函數的誘導公式，化簡運算，即可求解；（2）由，得，進一步求得，得到sin2與cos2，再由sin（2+）展開兩角和的正弦求解．【詳解】（1）由題意，可得=；（2）由f（+）==-，得sin．又β是第四象限的角，∴cos=．∴sin2，cos2．∴sin（2+）=sin2cos+cos2sin=．【點睛】本題主要考查了三角函數的化簡求值，及誘導公式及兩角差的正弦公式的應用，其中解答中熟記三家函數的恒等變換的公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．18、（1），（2）【解析】

（1）運用數列的遞推式，以及等比數列的通項公式可得，是等差數列，運用等差數列的通項公式可得首項和公差，可得所求通項公式；（2）求得，由數列的錯位相減法求和，結合等比數列的求和公式，即可得到所求和.【詳解】（1）當時，；當時，，且相減可得：故：是公差為d的等差數列，，即為：.（2），前n項和：兩式相減可得：化簡可得：【點睛】本題考查了數列綜合問題，考查了等差等比數列的通項公式，項和轉化，乘公比錯位相減等知識點，屬于較難題.19、(1)-44；(2)【解析】

（1）利用已知條件求出，然后由向量的數量積坐標表示即可求出．（2）利用向量的垂直數量積為0，列出方程，求解即可．【詳解】（1）由題意得：，；（2）由與垂直得：，即，即，解得：.【點睛】本題主要考查向量的數量積的求法與應用．20、【解析】

根據集合A，B的意義，求出集合A，B，再根據交集的運算求得結果即可．【詳解】對于集合A，，對于集合B，當x<1時，故B＝；故A∩B＝故答案為【點睛】本題考查了交集的運算，準確計算集合A,B是關鍵，是基礎題．21、（1）證明見解析；（2）【解析】