第1頁（共1頁）2024年四川省內江市中考數學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。）1．（3分）下列四個數中，最大數是（）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．32．（3分）2024年6月5日，是二十四節氣的芒種，二十四節氣是中國勞動人民獨創的文化遺產，能反映季節的變化，指導農事活動．下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列單項式中，ab3的同類項是（）A．3ab3 B．2a2b3 C．﹣a2b2 D．a3b4．（3分）2023年我國汽車出口491萬輛，首次超越日本，成為全球第一大汽車出口國，其中491萬用科學記數法表示為（）A．4.91×104 B．4.91×105 C．4.91×106 D．4.91×1075．（3分）16的平方根是（）A．2 B．﹣4 C．4 D．±46．（3分）下列事件時必然事件的是（）A．打開電視機，中央臺正在播放“嫦娥六號完成人類首次背月采樣”的新聞 B．從兩個班級中任選三名學生擔任學校安全督查員，至少有兩名學生來自同一個班級 C．小明在內江平臺一定能搶到龍舟節開幕式門票 D．從《西游記》《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》這四本書中隨機抽取一本是《三國演義》7．（3分）已知△ABC與△DEF相似，且相似比為1：3，則△ABC與△DEF的周長之比是（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：98．（3分）不等式3x≥x﹣4的解集是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣29．（3分）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，若∠EFD＝64°，則∠BEF的大小是（）A．136° B．64° C．116° D．128°10．（3分）某市2021年底森林覆蓋率為64%，為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，該市大力發展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達到69%．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，則符合題意得方程是（）A．0.64（1+x）＝0.69 B．0.64（1+x）2＝0.69 C．0.64（1+2x）＝0.69 D．0.64（1+2x）2＝0.6911．（3分）如圖所示的電路中，當隨機閉合開關S1、S2、S3中的兩個時，燈泡能發光的概率為（）A． B． C． D．12．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，AB⊥y軸，垂足為點B，將△ABO繞點A逆時針旋轉到△AB1O1的位置，使點B的對應點B1落在直線y＝﹣x上，再將△AB1O1繞點B1逆時針旋轉到△A1B1O2的位置，使點O1的對應點O2也落在直線y＝﹣x上，如此下去，…，若點B的坐標為（0，3），則點B37的坐標為（）A．（180，135） B．（180，133） C．（﹣180，135） D．（﹣180，133）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是．14．（5分）分解因式：m2﹣5m＝．15．（5分）已知二次函數y＝x2﹣2x+1的圖象向左平移兩個單位得到拋物線C，點P（2，y1），Q（3，y2）在拋物線C上，則y1y2（填“＞”或“＜”）．16．（5分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么tan∠EFC＝．三、解答題（本大題共5小題，共44分，解答應寫出必要的文字說明或推演步驟）17．（8分）（1）計算：|﹣1|﹣（﹣2）0+2sin30°；（2）化簡：（x+2）（x﹣2）﹣x2．18．（8分）如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度數．19．（9分）某校為了解學生對“生命、生態與安全”課程的學習掌握情況，從八年級學生中隨機抽取了部分學生進行綜合測試．測試結果分為A級、B級、C級、D級四個等級，并將測試結果繪制成了如下兩幅不完整的統計圖．根據統計圖中的信息解答下列問題：（1）本次抽樣測試的學生人數是；（2）扇形統計圖中表示D級的扇形圓心角的度數是，并把條形統計圖補充完整；（3）該校八年級共有學生600人，如果全部參加這次測試，測試成績為A級的學生大約有多少人？20．（9分）如圖，一次函數y＝ax+b的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（﹣2，3），點B的坐標為（3，n）．（1）求這兩個函數的表達式；（2）根據圖象，直接寫出關于x的不等式ax+b＜的解集．21．（10分）端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．市場上豬肉粽的進價比豆沙粽的進價每盒多20元，某商家用5000元購進的豬肉粽盒數與3000元購進的豆沙粽盒數相同．在銷售中，該商家發現豬肉粽每盒售價52元時，可售出180盒；每盒售價提高1元時，少售出10盒．（1）求豬肉粽每盒、豆沙粽每盒的進價；（2）設豬肉粽每盒售價x元（52≤x≤70），y表示該商家銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關于x的函數表達式并求出y的最大值．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分。）22．（6分）已知實數a、b滿足ab＝1的兩根，則+＝．23．（6分）如圖，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，則∠ACB的度數為．24．（6分）一個四位數，如果它的千位與十位上的數字之和為9，百位與個位上的數字之和也為9，則稱該數為“極數”．若偶數m為“極數”，且是完全平方數，則m＝．25．（6分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC邊上一點，且BE＝2，點I是△ABC的內心，BI的延長線交AC于點D，P是BD上一動點，連接PE、PC，則PE+PC的最小值為．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）26．（12分）已知關于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p為常數）有兩個不相等的實數根x1和x2．（1）填空：x1+x2＝，x1x2＝；（2）求+，x1+；（3）已知+＝2p+1，求p的值．27．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，過點C作AD的垂線，垂足為點E．（1）求證：△ACE∽△ABC；（2）求證：CE是⊙O的切線；（3）若AD＝2CE，OA＝，求陰影部分的面積．28．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣2x+6的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A、B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交AB于點E．（1）求這條拋物線所對應的函數表達式；（2）是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；（3）F是第一象限內拋物線上的動點（不與點D重合），過點F作x軸的垂線交AB于點G，連接DF，當四邊形EGFD為菱形時，求點D的橫坐標．

2024年四川省內江市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。）1．（3分）下列四個數中，最大數是（）A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．3【分析】利用有理數大小的比較方法：1、在數軸上表示的兩個數，右邊的總比左邊的數大．2、正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數．3、兩個正數比較大小，絕對值大的數大；兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小．按照從小到大的順序排列找出結論即可．【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜3，∴最大的數是：3．故選：D．【點評】本題考查了有理數的大小比較，掌握正數都大于零，負數都小于零，正數大于負數，兩個正數比較大小，絕對值大的數大，兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小是本題的關鍵．2．（3分）2024年6月5日，是二十四節氣的芒種，二十四節氣是中國勞動人民獨創的文化遺產，能反映季節的變化，指導農事活動．下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，由此即可判斷．【解答】解：A、B、C中的圖形不是中心對稱圖形，故A、B、C不符合題意；D、圖形是中心對稱圖形，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查中心對稱圖形，關鍵是掌握中心對稱圖形的定義．3．（3分）下列單項式中，ab3的同類項是（）A．3ab3 B．2a2b3 C．﹣a2b2 D．a3b【分析】根據同類項的定義：所含的字母相同，并且相同字母的指數也分別相同．據此進行解題即可．【解答】解：根據同類項的定義可知，ab3的同類項是3ab3．故選：A．【點評】本題考查同類項和單項式，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．4．（3分）2023年我國汽車出口491萬輛，首次超越日本，成為全球第一大汽車出口國，其中491萬用科學記數法表示為（）A．4.91×104 B．4.91×105 C．4.91×106 D．4.91×107【分析】將一個數表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可求得答案．【解答】解：491萬＝4910000＝4.91×106，故選：C．【點評】本題考查科學記數法表示較大的數，熟練掌握其定義是解題的關鍵．5．（3分）16的平方根是（）A．2 B．﹣4 C．4 D．±4【分析】根據平方根的定義即可求得答案．【解答】解：16的平方根是±4，故選：D．【點評】本題考查平方根，熟練掌握其定義是解題的關鍵．6．（3分）下列事件時必然事件的是（）A．打開電視機，中央臺正在播放“嫦娥六號完成人類首次背月采樣”的新聞 B．從兩個班級中任選三名學生擔任學校安全督查員，至少有兩名學生來自同一個班級 C．小明在內江平臺一定能搶到龍舟節開幕式門票 D．從《西游記》《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》這四本書中隨機抽取一本是《三國演義》【分析】根據事件發生的可能性大小判斷即可．【解答】解：A、打開電視機，中央臺正在播放“嫦娥六號完成人類首次背月采樣”的新聞是隨機事件，不符合題意；B、從兩個班級中任選三名學生擔任學校安全督查員，至少有兩名學生來自同一個班級是必然事件，符合題意；C、小明在內江平臺能搶到龍舟節開幕式門票是隨機事件，不符合題意；D、從《西游記》《紅樓夢》《三國演義》《水滸傳》這四本書中隨機抽取一本是《三國演義》是隨機事件，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．7．（3分）已知△ABC與△DEF相似，且相似比為1：3，則△ABC與△DEF的周長之比是（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【分析】已知相似比即可得出相似周長之比．【解答】解：∵△ABC與△DEF相似，且相似比為1：3，∴△ABC與△DEF的周長比為1：3．故選：B．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質，熟知相似三角形周長之比等于相似比是解題的關鍵．8．（3分）不等式3x≥x﹣4的解集是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2【分析】根據解一元一次不等式的一般步驟解不等式即可．【解答】解：∵3x≥x﹣4，∴3x﹣x≥﹣4，∴2x≥﹣4，∴x≥﹣2；故選：A．【點評】本題考查解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握不等式的性質．9．（3分）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，若∠EFD＝64°，則∠BEF的大小是（）A．136° B．64° C．116° D．128°【分析】由平行線的性質推出∠BEF+∠EFD＝180°，即可求出∠BEF＝116°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∵∠EFD＝64°，∴∠BEF＝116°．故選：C．【點評】本題考查平行線的性質，關鍵是由平行線的性質推出∠BEF+∠EFD＝180°．10．（3分）某市2021年底森林覆蓋率為64%，為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，該市大力發展植樹造林活動，2023年底森林覆蓋率已達到69%．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為x，則符合題意得方程是（）A．0.64（1+x）＝0.69 B．0.64（1+x）2＝0.69 C．0.64（1+2x）＝0.69 D．0.64（1+2x）2＝0.69【分析】由某市2021年底森林覆蓋率為64%，2023年底森林覆蓋率已達到69%即可列出方程．【解答】解：根據題意得：0.64（1+x）2＝0.69，故選：B．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列出方程．11．（3分）如圖所示的電路中，當隨機閉合開關S1、S2、S3中的兩個時，燈泡能發光的概率為（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中燈泡能發光的有4種結果，再由概率公式求解即可．【解答】解：設S把1、S2、S3中分別用1、2、3表示，畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結果，其中燈泡能發光的有4種結果，∴燈泡能發光的概率為：＝，故選：A．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．12．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，AB⊥y軸，垂足為點B，將△ABO繞點A逆時針旋轉到△AB1O1的位置，使點B的對應點B1落在直線y＝﹣x上，再將△AB1O1繞點B1逆時針旋轉到△A1B1O2的位置，使點O1的對應點O2也落在直線y＝﹣x上，如此下去，…，若點B的坐標為（0，3），則點B37的坐標為（）A．（180，135） B．（180，133） C．（﹣180，135） D．（﹣180，133）【分析】先求出點A的坐標，進而得出△OAB的周長，根據所給旋轉方式發現點B2n﹣1（n為正整數）都在直線y＝﹣x上，依次求出OB2n﹣1的長度，發現規律即可解決問題．【解答】解：由題知，將y＝3代入y＝得，x＝﹣4，所以點A的坐標為（﹣4，3），所以OB＝3，AB＝4，在Rt△ABO中，AO＝，所以C△OAB＝3+4+5＝12．由所給旋轉方式可知，點B2n﹣1（n為正整數）在直線y＝上．因為OB1＝5+4＝9，OB3＝9+12，OB5＝9+2×12，…，所以OB2n﹣1＝9+12（n﹣1）＝12n﹣3，令2n﹣1＝37，解得n＝19，所以12n﹣3＝12×19﹣3＝225，即OB37＝225．令點B37的坐標為（m，），所以m2+，解得m＝﹣180（舍正），所以，所以點B37的坐標為（﹣180，135）．故選：C．【點評】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征及點的坐標變化規律，能根據所給旋轉方式發現OB2n﹣1（n為正整數）長度的變化規律是解題的關鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）在函數y＝中，自變量x的取值范圍是x≠0．【分析】根據反比例函數分母不為0求解即可．【解答】解：∵，∴x≠0，故答案為：x≠0．【點評】本題考查了反比例函數自變量x的取值范圍，掌握分母不為0是解題的關鍵．14．（5分）分解因式：m2﹣5m＝m（m﹣5）．【分析】原式提取公因式即可得到結果．【解答】解：原式＝m（m﹣5），故答案為：m（m﹣5）【點評】此題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握提取公因式的方法是解本題的關鍵．15．（5分）已知二次函數y＝x2﹣2x+1的圖象向左平移兩個單位得到拋物線C，點P（2，y1），Q（3，y2）在拋物線C上，則y1＜y2（填“＞”或“＜”）．【分析】根據平移規律“左加右減，上加下減”寫出平移后拋物線的解析式，然后利用拋物線的增減性即可得到結論．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴二次函數y＝x2﹣2x+1的圖象向左平移兩個單位得到拋物線C的函數關系式為：y＝（x﹣1+2）2，即y＝（x+1）2；∴拋物線C開口向上，對稱軸為直線x＝﹣1，∵點P（2，y1），Q（3，y2）在拋物線C上，且﹣1＜2＜3，∴y1＜y2，故答案為：＜．【點評】本題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標等知識點，難度不大，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．16．（5分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，那么tan∠EFC＝．【分析】先根據矩形的性質得BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，再根據折疊的性質得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理計算出BF＝4，則CF＝BC﹣BF＝1，設CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根據勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到x，進一步得到EF的長，再根據正切數的定義即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠B＝∠C＝90°，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，∴在Rt△ABF中，，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，設CE＝x，則EF＝DE＝CD﹣CE＝3﹣x，∵在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得，∴，∴，故答案為：．【點評】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質和勾股定理，正切的定義．三、解答題（本大題共5小題，共44分，解答應寫出必要的文字說明或推演步驟）17．（8分）（1）計算：|﹣1|﹣（﹣2）0+2sin30°；（2）化簡：（x+2）（x﹣2）﹣x2．【分析】（1）利用絕對值的性質，零指數冪，特殊銳角三角函數值計算即可；（2）利用平方差公式計算即可．【解答】解：（1）原式＝1﹣1+2×＝1﹣1+1＝1；（2）原式＝x2﹣4﹣x2＝﹣4．【點評】本題考查實數的運算，零指數冪，特殊銳角三角函數值，平方差公式，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．18．（8分）如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度數．【分析】（1）先根據AD＝BE得AB＝DE，由此可依據“SSS”判定△ABC和△DEF全等；（2）由△ABC≌△DEF得∠A＝∠FDE＝55°，進而根據三角形內角和定理可得∠F的度數．【解答】（1）證明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，在△ABC和△DEF中，，△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：∵∠A＝55°，∠E＝45°，由（1）可知：△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠FDE＝55°，∴∠F＝180°﹣（∠FDE+∠E）＝180°﹣（55°+45°）＝80°．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．19．（9分）某校為了解學生對“生命、生態與安全”課程的學習掌握情況，從八年級學生中隨機抽取了部分學生進行綜合測試．測試結果分為A級、B級、C級、D級四個等級，并將測試結果繪制成了如下兩幅不完整的統計圖．根據統計圖中的信息解答下列問題：（1）本次抽樣測試的學生人數是40；（2）扇形統計圖中表示D級的扇形圓心角的度數是72°，并把條形統計圖補充完整；（3）該校八年級共有學生600人，如果全部參加這次測試，測試成績為A級的學生大約有多少人？【分析】（1）根據B級的人數和所占的百分比，可以求得本次抽樣測試的學生人數；（2）用360°乘以D級人數所占的百分比即可求出D級的扇形圓心角的度數，用總人數乘以C級的人數所占的百分比求出C級的人數，即可把條形統計圖補充完整；（3）求出A級的學生人數所占的百分比乘以該校八年級學生總數600即可．【解答】解：（1）本次抽樣測試的學生人數是：12÷30%＝40（人），故答案為：40；（2）扇形統計圖中表示D級的扇形圓心角的度數是：360°×＝72°，C級的人數為：40×35%＝14（人），補充完整的條形統計圖如圖所示；故答案為：72°；（3）600×＝90（人），答：測試成績為A級的學生大約有90人．【點評】本題考查條形統計圖、扇形統計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．20．（9分）如圖，一次函數y＝ax+b的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（﹣2，3），點B的坐標為（3，n）．（1）求這兩個函數的表達式；（2）根據圖象，直接寫出關于x的不等式ax+b＜的解集．【分析】（1）待定系數法求出兩個函數解析式即可；（2）根據函數圖象及交點坐標，直接寫出不等式解集即可．【解答】解：（1）∵一次函數y＝ax+b的圖象與反比例函數y＝的圖象相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（﹣2，3），點B的坐標為（3，n），∴k＝﹣2×3＝3×n，∴k＝﹣6，n＝﹣2，∴反比例函數解析式為y＝﹣，A（﹣2，3），B（3，﹣2）在一次函數y＝ax+b的圖象上，，解得，一次函數解析式為y＝﹣x+1．（2）由圖象可知，關于x的不等式ax+b＜的解集為：﹣2＜x＜0或x＞3．【點評】本題考查了反比例函數與一次函數交點問題，交點坐標滿足兩個函數解析式是關鍵．21．（10分）端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．市場上豬肉粽的進價比豆沙粽的進價每盒多20元，某商家用5000元購進的豬肉粽盒數與3000元購進的豆沙粽盒數相同．在銷售中，該商家發現豬肉粽每盒售價52元時，可售出180盒；每盒售價提高1元時，少售出10盒．（1）求豬肉粽每盒、豆沙粽每盒的進價；（2）設豬肉粽每盒售價x元（52≤x≤70），y表示該商家銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關于x的函數表達式并求出y的最大值．【分析】（1）設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價（a﹣20）元，根據商家用5000元購進的豬肉粽和用3000元購進的豆沙粽盒數相同列出方程，解方程即可；（2）由題意得，當x＝52時，每天可售出180盒，當豬肉粽每盒售價x元（52≤x≤70）時，每天可售[180﹣10（x﹣52）]盒，列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數關系式，根據二次函數的性質及x的取值范圍求利潤的最大值．【解答】解：（1）設豬肉粽每盒進價a元，則豆沙粽每盒進價（a﹣20）元，則＝，解得：a＝50，經檢驗a＝50是方程的解，此時a﹣20＝30，∴豬肉粽每盒進價50元，豆沙粽每盒進價30元；（2）由題意得，當x＝52時，每天可售出180盒，當豬肉粽每盒售價x元（52≤x≤70）時，每天可售[180﹣10（x﹣52）]盒，∴y＝（x﹣50）[180﹣10（x﹣52）]＝（x﹣50）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1200x﹣35000＝﹣10（x﹣60）2+1000，∵﹣10＜0，52≤x≤70，∴當x＝60時，y取最大值，最大值為1000元，答：y關于x的函數解析式為y＝﹣10x2+1200x﹣35000（52≤x≤70），且最大利潤為1000元．【點評】本題考查了二次函數的應用以及分式方程的解法，關鍵是根據題意列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數關系式．四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分。）22．（6分）已知實數a、b滿足ab＝1的兩根，則+＝1．【分析】把ab＝1代入原式，根據分式的加法法則計算即可．【解答】解：∵ab＝1，∴原式＝+＝+＝＝1，故答案為：1．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的加法法則是解題的關鍵．23．（6分）如圖，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，則∠ACB的度數為100°．【分析】由等腰三角形的性質可得∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，由三角形內角和定理列出方程，可求解．【解答】解：∵AC＝AE，BC＝BD，∴設∠AEC＝∠ACE＝x°，∠BDC＝∠BCD＝y°，∴∠A＝180°﹣2x°，∠B＝180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∠BDC+∠AEC+∠DCE＝180°，∴∠ACB+（180°﹣2x）+（180°﹣2y）＝180°，180°﹣（x+y）＝∠DCE，∴∠ACB+360°﹣2（x+y）＝180°，∴∠ACB+2∠DCE＝180°，∵∠DCE＝40°，∴∠ACB＝100°，故答案為：100°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，利用三角形內角和為180°列出方程是解題的關鍵．24．（6分）一個四位數，如果它的千位與十位上的數字之和為9，百位與個位上的數字之和也為9，則稱該數為“極數”．若偶數m為“極數”，且是完全平方數，則m＝1188或4752．【分析】設四位數m的個位數字為x，十位數字為y，將m表示出來，根據是完全平方數，得到可能的值即可得出結論．【解答】解：設四位數m的個位數字為x，十位數字為y，（x是0到9的整數，y是0到8的整數），∴m＝1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝99（100﹣10y﹣x），∵m是四位數，∴99（100﹣10y﹣x）是四位數，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∵，∴，∵是完全平方數，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍數也是完全平方數，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225這四種可能，∴是完全平方數的所有m值為1188或2673或4752或7425，又m是偶數，∴m＝1188或4752，故答案為：1188或4752．【點評】此題考查列代數式解決問題，設出m的代數式后根據題意得到代數式的取值范圍是解題的關鍵，根據取值范圍確定可能的值即可解答問題．25．（6分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC邊上一點，且BE＝2，點I是△ABC的內心，BI的延長線交AC于點D，P是BD上一動點，連接PE、PC，則PE+PC的最小值為．【分析】在AB取點F，使BF＝BE＝2，連接PF，CF，過點F作FH⊥BC于H，利用三角形內心的定義可得出∠ABD＝∠CBD，利用SAS證明△BFP≌△BEP，得出PF＝PE，則PE+PC＝PF+PC≥CF，當C、P、F三點共線時，PE+PC最小，最小值為CF，利用含30°的直角三角形的性質求出BH，利用勾股定理求出FH，CF即可．【解答】解：在AB取點F，使BF＝BE＝2，連接PF，CF，過點F作FH⊥BC于H，∵是△ABC的內心，∴BI平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又BP＝BP，∴△BFP≌△BEP（SAS），∴PF＝PE，∴PE+PC＝PF+PC≥CF，當C、P、F三點共線時，PE+PC最小，最小值為CF，∵FH⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°，∴，∴，CH＝BC﹣BH＝7，∴，∴PE+PC的最小值為，故答案為：．【點評】本題考查了三角形的內心，全等三角形的判定與性質，含30°的直角三角形的性質，勾股定理等知識，明確題意，添加合適輔助線，構造全等三角形和含30°的直角三角形是解題的關鍵．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）26．（12分）已知關于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p為常數）有兩個不相等的實數根x1和x2．（1）填空：x1+x2＝p，x1x2＝1；（2）求+，x1+；（3）已知+＝2p+1，求p的值．【分析】（1）由根與系數的關系直接可得答案；（2）把所求式子變形后，結合（1）代入即可；（3）把已知變形后代入可得p的方程，解出p值后再檢驗即可．【解答】解：（1）由根與系數的關系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，故答案為：p，1；（2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1，∴+＝＝＝p；∵關于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p為常數）有兩個不相等的實數根x1和x2，∴，∴，即；（3）由根與系數的關系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，∵，∴，∴p2﹣2＝2p+1，解得：p1＝3，p2＝﹣1，當p＝3時，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0；當p＝﹣1時，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0；∴p＝3．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和根系關系，熟練地掌握根系公式是解決本題的關鍵．27．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，過點C作AD的垂線，垂足為點E．（1）求證：△ACE∽△ABC；（2）求證：CE是⊙O的切線；（3）若AD＝2CE，OA＝，求陰影部分的面積．【分析】（1）利用圓周角定理，垂直的定義和相似三角形的判定定理解答即可；（2）連接OC，利用角平分線的定義，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質和圓的切線的判定定理解答即可；（3）連接OD，過點O作OF⊥AD于點F，利用垂徑定理，矩形的判定與性質得到OF＝AF，則△AFO為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質求得AF＝FO＝1，再利用陰影部分的面積＝S扇形OAD﹣S△OAD解答即可．【解答】（1）證明：∵C是的中點，∴，∴∠EAC＝∠BAC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△ACE∽△ABC；（2）證明：連接OC，如圖，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，由（1）知：∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵CE⊥AE，∴OC⊥CE．∵OC為⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；（3）解：連接OD，過點O作OF⊥AD于點F，如圖，則AF＝FD＝AD，∵AD＝2CE，∴AF＝CE．∵OF⊥AD，CE⊥AE，OC⊥CE，∴四邊形EFOC為矩形，∴OF＝CE，∴OF＝AF，則△AFO為等腰直角三角形，∴∠FAO＝45°，AF＝FO＝OA＝1．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠FAO＝45°，∴∠AOD＝90°．∴OA?OD＝＝1，＝，∴陰影部分的面積＝S扇形OAD﹣S△OAD＝﹣1．【點評】本題主要考查了圓的有關