清單07相似（11個考點梳理+題型解讀+核心素養提升+中考聚焦）【知識導圖】【知識清單】知識點一、圖形的相似的概念形狀相同的圖形叫做相似圖形。1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關?！纠?】（2022·遼寧鐵嶺·九年級期末）下列各組圖形中，一定相似的是（

）A．兩個正方形 B．兩個矩形 C．兩個菱形 D．兩個平行四邊形知識點二、成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。2）四條線段、、、的單位應一致（有時為了計算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?；②分別計算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。4）比例的重要性質：基本性質：若，則；反之，也成立。和比性質：若，則；更比性質：若，則；反比性質：若，則；等比性質：若，則。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項，、叫內項，、叫前項，、叫后項，如果，那么叫做、的比例中項。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點?！纠?】（2022·黑龍江·肇源縣第二中學九年級期末）下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（

）A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cmC．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm知識點三、平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應線段成比例?！纠?】（2022·河北保定師范附屬學校九年級期末）如圖，AB∥CD∥EF，若，BD＝5，則DF＝（）A．5 B．10 C．15 D．2.5【變式】（2022·黑龍江·肇源縣第二中學九年級期末）如圖，是的中線，點在上，，連接并延長交于點，則：的值是（

）A．： B．： C．： D．：知識點四、相似多邊形的性質與判定（1）相似多邊形對應角相等，對應邊的比相等。（2）相似比：相似多邊形對應邊的比稱為相似比。（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數相同；（2）對應角相等；（3）對應邊的比相等。【例4】（2022·四川宜賓·九年級期末）如圖，四邊形四邊形，，，，則∠D的度數為（

）A．100° B．110° C．120° D．130°【變式】（2022·福建三明·九年級期末）兩個相似多邊形的周長比是2∶3，其中較小多邊形的面積為12cm2，則較大多邊形的面積為_____cm2【變式2】（2022·陜西·西安輔輪中學九年級期末）寬與長的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形．古希臘很多矩形建筑中寬與長的比都等于黃金比，如圖，矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，以AB為邊在矩形ABCD內部作正方形ABEF，若AD＝1，則DF＝________．【變式3】（2022·江西吉安·九年級期末）如圖，矩形OBCD的一個頂點與原點重合，兩邊分別在坐標軸上，反比例函數的圖象與該矩形相交于E，F兩點，以這兩點為頂點作矩形CEAF，我們約定這個矩形CEAF為反比例函數的“相伴矩形”．已知點C的坐標為，BE＝2．(1)求點F的坐標；(2)求證：“相伴矩形”CEAF與原矩形OBCD相似．知識點五、相似三角形的相關概念1）、相似三角形的概念：對應角相等，對應邊的比相等的兩個三角形是相似三角形。三角形相似具有傳遞性。2）、相似比的概念：相似三角形對應邊的比叫做相似比。相似三角形對應邊的比是有順序的。3、相似三角形與全等三角形的關系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若兩個相似三角形的相似比是1，則這兩個三角形是全等三角形，由此可見，全等三角形是相似三角形的一種特例?！纠?】下列說法一定正確的是（ ）（A）有兩邊對應成比例且一角相等的兩個三角形相似（B）對應角相等的兩個三角形不一定相似（C）有兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似知識點六、相似三角形的判定判定1：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。判定2：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似（此知識常用，用時需要證明）?！纠?】（2022·河南·測試·編輯教研五九年級期末）如圖，若，，與交于點，且，，則等于（

）A． B． C． D．【變式】如圖，四邊形中，，，E為的中點．(1)求證：．(2)若，，連結DE交AC于點F，求的值．知識點七、相似三角形的性質1、對應角相等，對應邊的比相等；2、拓展：對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比。3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）【例7】（2022·廣西百色·九年級期末）如下圖所示，在△ABC中，點D在線段AC上，且△ABC∽△ADB，則下列結論一定正確的是(

)A． B．C． D．【變式1】（2022·黑龍江·肇源縣第二中學九年級期末）如圖，在矩形中，點、分別在邊、上，∽，，，，求的長．【變式2】如圖，在的方格紙中，每個小正方形邊長都是，是格點三角形（頂點在方格頂點處）．(1)在圖1中畫格點，使與相似，相似比為．(2)在圖2中畫格點，使與相似，面積比為．（注：圖、圖在答題紙上．）知識點八、利用相似三角形測高1）、利用相似三角形的性質測量河的寬度，計算不能直接測量的物體的高度或深度。2）、利用三角形的性質來解決實際問題的核心是構造相似三角形，在構造的相似三角形中，被測物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對應邊易測這一原則。【例8】如圖，直立在B處的標桿AB=2.4m，直立在F處的觀測者從E處看到標桿頂A、樹頂C在同一條直線上（點F，B，D也在同一條直線上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求樹高CD．知識點九、位似的概念及性質1）兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。相似圖形與位似圖形的區別與聯系：1、區別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。2）相似圖形與位似圖形的區別與聯系：區別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質。4)、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離比等于相似比?！纠?】（2022·浙江·諸暨市浣紗初級中學九年級期末）如圖，與位似，點O為位似中心．已知，則與的面積比為（

）A． B． C． D．知識點十、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關鍵點并延長）；③根據相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形?！纠?0】如圖，三個頂點的坐標分別為，以原點O為位似中心，將放大為原來的2倍得.(1)在圖中第一象限內畫出符合要求的（不要求寫畫法）(2)計算的面積．【變式1】（2022·山西朔州·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，則位似中心是（

）．A． B． C． D．【變式2】（2022·山西晉中·九年級期末）如圖所示，小華在學習《圖形的位似》時，利用幾何畫板軟件，在平面直角坐標系中畫出了△ABC的位似圖形△A1B1C1．(1)在圖中標出△ABC與△A1B1C1的位似中心M點的位置，并寫出M點的坐標；(2)若以點O為位似中心，請你幫小華在圖中給定的網格內畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，且△A1B1C1與△A2B2C2的位似比為2：1（只畫一種類型）．知識點十一、圖形的變換與坐標1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，當向右平移n個單位時，橫坐標應相應地加n個單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標上加、下減。2）、軸對稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，橫坐標互為相反數。3）、以原點為位似中心的位似變換在平面直角坐標系中，如果位似變化是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k（對應點在位似中心同側）或者－k（對應點在位似中心異側）。即：若設原圖形的某一點的坐標為，則其位似圖形對應點的坐標為或。【例11】已知點，，以原點O為位似中心，把線段縮短為原來的，點D與點B對應．則點D的坐標為（

）A． B． C．或 D．或【變式】已知：△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．(1)畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是；(2)以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1；(3)四邊形AA2C2C的面積是平方單位．【核心素養提升】數學建模-構建相似三角形模型解決實際問題1．（2022·江西吉安·九年級期末）在同一時刻兩根木竿在太陽光下的影子如圖所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墻上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的長度為_____．2.邏輯推理-利用相似三角形的判定和性質進行推理2．（2022·福建三明·九年級期末）如圖，正方形ABCD中，點F是BC邊上一點，連接AF，以AF為對角線作正方形AEFG，邊FG與AC相交于點H，連接DG．以下四個結論：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③；④DG⊥AC．其中正確的是_____．（寫出所有正確結論的序號）3.分類討論思想3．（2022·河南南陽·九年級期末）在中，，過點B作射線．動點D從點A出發沿射線方向以每秒3個單位的速度運動，同時動點E從點C沿射線方向以每秒2個單位的速度運動．過點E作交射線于F，G是中點，連接．設點D運動的時間為t，當與相似且點D位于點E左側時，t的值為_____________．4.方程的思想4．（2022·廣西梧州·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．點P從點O開始沿OA向點A以1厘米/秒的速度移動，點Q從點B開始沿BO向點O以1厘米/秒的速度移動．當一點運動到終點時，另一點也隨之停止．如果P、Q同時出發，用t(秒)表示移動的時間(0＜t＜6)，求當POQ與AOB相似時t的值．5．（2021秋?楊浦區期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，點D為射線AB上一動點，且BD＜AD，點B關于直線CD的對稱點為點E，射線AE與射線CD交于點F．（1）當點D在邊AB上時，①求證：∠AFC＝45°；②延長AF與邊CB的延長線相交于點G，如果△EBG與△BDC相似，求線段BD的長；（2）聯結CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．【中考熱點聚焦】熱點1.相似三角形的性質1．（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．（2023?懷化）在平面直角坐標系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉60°，同時邊長擴大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉將△A1OB1繞著原點O順時針旋轉60°，同時邊長擴大為△A1OB1邊長的2倍，得到△A2OB2，…．依次類推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長為，點A2023的坐標為．熱點2.相似三角形的判定和性質的綜合應用3．（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（）A．4 B．6 C．8 D．104．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點O，AB∥DC，M是AB的中點，MN∥AC，交BD于點N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長為（）A．2 B．4 C．6 D．85．（2023?東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.26．（2023?東營）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點G，M．P是線段AG上的一個動點，過點P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個結論：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③7．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，，BF＝8，則DE的長為（）A． B． C．2 D．38．（2023?內江）如圖，在△ABC中，點D、E為邊AB的三等分點，點F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點H為AF與DG的交點．若AC＝12，則DH的長為（）A．1 B． C．2 D．39．（2023?邵陽）如圖，CA⊥AD，ED⊥AD，點B是線段AD上的一點，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）證明：△ABC∽△DEB．（2）求線段BD的長．10．（2023?云南）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上異于B、C的點．⊙O外的點E在射線CB上，直線EA與CD垂直，垂足為D，且DA?AC＝DC?AB．設△ABE的面積為S1，△ACD的面積為S2．（1）判斷直線EA與⊙O的位置關系，并證明你的結論；（2）若BC＝BE，S2＝mS1，求常數m的值．11．（2023?蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長．熱點3.應用相似三角形知識解決實際問題12．（2023?南充）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m13．（2023?鎮江）如圖，用一個卡鉗（AD＝BC，＝＝）測量某個零件的內孔直徑AB，量得CD長度為6cm，則AB等于cm．14．（2023?濰坊）在《數書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內，點A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點F遠眺塔頂B，視線恰好經過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據以上信息，塔的高度為米．15．（2023?婁底）鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當代中華兒女永