6.2二元一次不等式(組)與簡單的線性規劃問題[知識梳理]1．二元一次不等式(組)表示的平面區域2．線性規劃相關概念3．重要結論(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線；特殊點定域：若直線不過原點，特殊點常選原點；若直線過原點，則特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證．(2)利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區域：對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有①當B(Ax＋By＋C)>0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；②當B(Ax＋By＋C)<0時，區域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．(3)最優解和可行解的關系最優解必定是可行解，但可行解不一定是最優解．最優解有時唯一，有時有多個．4．利用線性規劃求最值，用圖解法求解的步驟(1)作可行域；(2)將目標函數進行變形；(3)確定最優解；(4)求最值．[診斷自測]1．概念思辨(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)不等式x2－y2＜0表示的平面區域是一、三象限角平分線和二、四象限角平分線圍成的含有y軸的兩塊區域．()(3)線性目標函數的最優解可能是不唯一的．()(4)目標函數z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．教材衍化(1)(必修A5P86T3)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0，,x－y＋2＜0))表示的平面區域是()答案B解析x－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直線x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面區域為選項B.故選B.(2)(必修A5P93B組T1)若實數x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－3≤0，,x≥0，,y≥0，))則不等式組表示區域的面積為________，z＝eq\f(y＋2,x－1)的取值范圍是________．答案eq\f(3,2)(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析如下圖所示，不等式組表示區域面積為eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，z＝eq\f(y＋2,x－1)理解為區域上的點P(x，y)與點Q(1，－2)連線所在直線斜率的變化范圍，kAQ＝eq\f(0＋2,3－1)＝1，kOQ＝eq\f(2,－1)＝－2，結合圖形分析知z＝eq\f(y＋2,x－1)的取值范圍為(－∞，－2]∪[1，＋∞)．3．小題熱身(1)(2017·河北衡水中學五調)若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區域的形狀是三角形，則a的取值范圍是()A．a≥eq\f(4,3) B．0＜a≤1C．1≤a≤eq\f(4,3) D．0＜a≤1或a≥eq\f(4,3)答案D解析作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面區域(如圖中陰影部分)．由圖知，要使原不等式組表示的平面區域的形狀為三角形，只需動直線l：x＋y＝a在l1，l2之間(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故選D.(2)(2017·天津高考)設變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥0，,x＋2y－2≥0，,x≤0，,y≤3，))則目標函數z＝x＋y的最大值為()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\f(3,2)D．3答案D解析畫出可行域，如圖中陰影所示．又目標函數z＝x＋y，結合圖象易知y＝－x＋z過(0,3)點時z取得最大值，即zmax＝0＋3＝3.故選D.題型1二元一次不等式(組)表示的平面區域eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2016·浙江高考)在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－3y＋4≥0))中的點在直線x＋y－2＝0上的投影構成的線段記為AB，則|AB|＝()A．2eq\r(2)B．4C．3eq\r(2)D．6畫出直線x＋y－2＝0，觀察線間的位置關系，然后用轉化法解之．答案C解析由不等式組畫出可行域，如圖中的陰影部分所示．因為直線x＋y－2＝0與直線x＋y＝0平行，所以可行域內的點在直線x＋y－2＝0上的投影構成的線段的長|AB|即為|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝eq\r(2＋12＋－2－12)＝3eq\r(2).故選C.[結論探究]若典例條件不變，則平面區域的面積是________．答案6解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,x－3y＋4＝0))得其交點坐標為(2,2)，交點到直線x＋y＝0的距離為d＝eq\f(4,\r(2))，故面積為eq\f(1,2)×eq\f(4,\r(2))×3eq\r(2)＝6.方法技巧與平面區域有關的計算方法1．畫出不等式組表示的平面區域，并計算端點的坐標．2．根據平面區域的形狀特點，選擇合適的公式計算線段的長度、圖形的面積，不規則的圖形可用分割法求其面積．見典例的解法．3．注意轉化思想方法的應用，如把面積最大、最小問題轉化為兩點間的距離、點到直線的距離等．沖關針對訓練(2015·重慶高考)若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面區域為三角形，且其面積等于eq\f(4,3)，則m的值為()A．－3B．1C.eq\f(4,3)D．3答案B解析如圖，要使不等式組表示的平面區域為三角形，則－2m＜2，則m＞－1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－y＋2m＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－m，,y＝1＋m，))即A(1－m,1＋m)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,x－y＋2m＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)－\f(4,3)m，,y＝\f(2,3)＋\f(2,3)m，))即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(4,3)m，\f(2,3)＋\f(2,3)m))，所圍成的區域為△ABC，則S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝eq\f(1,2)(2＋2m)(1＋m)－eq\f(1,2)(2＋2m)·eq\f(2,3)(1＋m)＝eq\f(1,3)(1＋m)2＝eq\f(4,3)，解得m＝－3(舍去)或m＝1.故選B.題型2線性規劃中的最值問題角度1求線性目標函數的最值eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2017·全國卷Ⅱ)設x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))則z＝2x＋y的最小值是()A．－15B．－9C．1D．9本題可采用平移y＝－2x的方法．答案A解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．將目標函數z＝2x＋y化為y＝－2x＋z，作出直線y＝－2x，并平移該直線，知當直線y＝－2x＋z經過點A(－6，－3)時，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.故選A.角度2由目標函數最值求參數eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2013·全國卷Ⅱ)已知a＞0，x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3.))若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2本典例采用代點法列出方程求解．答案B解析由約束條件畫出可行域(如圖所示的△ABC及其內部)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝ax－3))得A(1，－2a)，當直線2x＋y－z＝0過點A時，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝eq\f(1,2)，故選B.角度3非線性目標函數的最值問題eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,x＋y－4≥0，,2x－y－5≤0，))求：(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(2)z＝eq\f(2y＋1,x＋1)的范圍．本典例(1)可化為求x2＋(y－5)2的最小值．它的幾何意義是點(x，y)與(0,5)的距離的平方．典例(2)目標函數的幾何意義是兩點連線的斜率．解作出可行域，如圖陰影部分所示．通過聯立方程，解得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域內點(x，y)到點M(0,5)的距離的平方．過點M作AC的垂線，垂足為點N，故|MN|＝eq\f(|0－5＋2|,\r(1＋－12))＝eq\f(3\r(2),2)，|MN|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2＝eq\f(9,2).故z的最小值為eq\f(9,2).(2)z＝2·eq\f(y－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),x－－1)表示可行域內點(x，y)與定點Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))連線斜率的2倍．因為kQA＝eq\f(7,4)，kQB＝eq\f(3,8)，所以z的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,2))).方法技巧求線性目標函數最值問題及線性規劃應用題的解題策略1．求線性目標函數的最值．線性目標函數的最優解一般在平面區域的頂點或邊界處取得，所以我們可以直接解出可行域的頂點，然后代入目標函數以確定目標函數的最值．如角度1典例．2．由目標函數的最值求參數的基本方法有兩種：一是把參數當成常數用，根據線性規劃問題的求解方法求出最優解，代入目標函數確定最值，通過構造方程或不等式求解參數的值或取值范圍；二是先分離含有參數的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優解的位置，從而求出參數．如角度2典例．3．求非線性目標函數最值問題的解題策略解決此類問題時需充分把握好目標函數的幾何意義，常見代數式的幾何意義有：(1)對形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目標函數均可化為可行域內的點(x，y)與點(a，b)間距離的平方的最值問題．如角度3典例．(2)對形如z＝eq\f(ay＋b,cx＋d)(ac≠0)型的目標函數，可先變形為z＝eq\f(a,c)·eq\f(y－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a))),x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c))))的形式，將問題化為求可行域內的點(x，y)與點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c)，－\f(b,a)))連線的斜率的eq\f(a,c)倍的取值范圍、最值等．如角度3典例．(3)對形如z＝|Ax＋By＋C|型的目標，可先變形為z＝eq\r(A2＋B2)·eq\f(|Ax＋By＋C|,\r(A2＋B2))的形式，將問題化為求可行域內的點(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的eq\r(A2＋B2)倍的最值．沖關針對訓練(2017·全國卷Ⅲ)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))則z＝3x－4y的最小值為________．答案－1解析不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))表示的可行域如圖陰影部分所示．由z＝3x－4y得y＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)z.平移直線y＝eq\f(3,4)x，易知經過點A時，z有最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－2＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴A(1,1)．∴zmin＝3－4＝－1.題型3線性規劃的實際應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2016·全國卷Ⅰ)某高科技企業生產產品A和產品B需要甲、乙兩種新型材料．生產一件產品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產一件產品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時．生產一件產品A的利潤為2100元，生產一件產品B的利潤為900元．該企業現有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產產品A、產品B的利潤之和的最大值為________元．設元，寫出約束條件和目標函數，將實際問題轉化為數學的線性規劃問題．答案216000解析設生產產品Ax件，產品By件，依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，y≥0，,1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，))設生產產品A，產品B的利潤之和為E元，則E＝2100x＋900y.畫出可行域(如圖)，易知最優解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝60，,y＝100，))則Emax＝216000.方法技巧線性規劃解決實際問題的一般步驟1．能建立線性規劃模型的實際問題(1)給定一定量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，使完成的任務量最大，收益最大；(2)給定一項任務，問怎樣統籌安排，使完成這項任務耗費的人力、物力資源最少．2．解決線性規劃實際問題的一般步驟(1)轉化：設元，寫出線性約束條件和目標函數，從而將實際問題轉化為數學上的線性規劃問題；(2)求解：解決這個純數學的線性規劃問題；(3)作答：根據實際問題，得到實際問題的解，據此作出回答．沖關針對訓練(2015·陜西高考)某企業生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料，已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業每天可獲得最大利潤為()A．12萬元B．16萬元C．17萬元D．18萬元答案D解析設該企業每天生產甲產品x噸、乙產品y噸，每天獲得的利潤為z萬元，則有z＝3x＋4y，由題意得，x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))該不等式組表示的可行域是以O(0,0)，A(4,0)，B(2,3)，C(0,4)為頂點的四邊形及其內部(如圖)，根據線性規劃的有關知識，知當直線3x＋4y－z＝0過點B(2,3)時，z取最大值18，故該企業每天可獲得最大利潤為18萬元．故選D.1.(2017·浙江高考)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y－3≥0，,x－2y≤0，))則z＝x＋2y的取值范圍是()A．[0,6]B．[0,4]C．[6，＋∞)D．[4，＋∞)答案D解析作出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分所示．由題意可知，當直線y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)過點A(2,1)時，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.所以z＝x＋2y的取值范圍是[4，＋∞)．故選D.2．(2018·武昌調研)設x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥a，,x－y≤－1，))且z＝x＋ay的最小值為7，則a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3答案B解析根據約束條件畫出可行域如圖1中陰影部分所示：可知可行域為開口向上的V字型．在頂點處z有最小值，頂點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)，\f(a＋1,2)))，則eq\f(a－1,2)＋aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)))＝7，解得a＝3或a＝－5.當a＝－5時，如圖2.圖1圖2虛線向上移動時z減小，故z→－∞，沒有最小值，故只有a＝3滿足題意．故選B.3．(2017·全國卷Ⅰ)設x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0，))則z＝3x－2y的最小值為________．答案－5解析作出可行域如圖陰影部分所示．由z＝3x－2y，得y＝eq\f(3,2)x－eq\f(z,2).作出直線l0：y＝eq\f(3,2)x，并平移l0，知當直線y＝eq\f(3,2)x－eq\f(z,2)過點A時，z取得最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,2x＋y＋1＝0，))得A(－1,1)，∴zmin＝3×(－1)－2×1＝－5.4．(2018·福州五校二聯)已知實數x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,x＋y－5≤0，,4x＋y－8≥0，))若目標函數z＝x＋ay取得最小值的最優解有無數多個，則z＝x＋ay的最大值為________．答案eq\f(7,2)解析作出不等式組所表示的平面區域如圖中陰影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)，\f(4,5))).當a＞0時，y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(1,a)z，作直線l0：y＝－eq\f(1,a)x，平移l0，易知當直線y＝－eq\f(1,a)x＋eq\f(1,a)z與4x＋y－8＝0重合時，z取得最小值的最優解有無數多個，此時a＝eq\f(1,4)，當直線過點A時，z取得最大值，且zmax＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)；當a≤0時，數形結合知，目標函數z＝x＋ay取得最小值的最優解不可能有無數多個．綜上所述zmax＝eq\f(7,2).[基礎送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2018·唐山模擬)已知點(－3，－1)和點(4，－6)在直線3x－2y－a＝0的兩側，則a的取值范圍為()A．(－24,7)B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案B解析根據題意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0.即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.故選B.2．設關于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1>0，,x＋m<0，,y－m>0))表示的平面區域內存在點P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，則m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))答案C解析圖中陰影部分表示可行域，要求可行域內包含y＝eq\f(1,2)x－1上的點，只需要可行域的邊界點(－m，m)在y＝eq\f(1,2)x－1下方，也就是m<－eq\f(1,2)m－1，即m<－eq\f(2,3).故選C.3．(2017·山東日照一模)已知變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x－2y＋3≥0，,x≥0，))則z＝(eq\r(2))2x＋y的最大值為()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．2D．4答案D解析作出滿足不等式組的平面區域，如圖所示，令m＝2x＋y，則當m取得最大值時，z＝(eq\r(2))2x＋y取得最大值．由圖知直線m＝2x＋y經過點A(1,2)時，m取得最大值，所以zmax＝(eq\r(2))2×1＋2＝4，故選D.4．已知實數x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－7≥0，,x＋3y－13≤0，,x－y－1≤0，))則z＝|2x－3y＋4|的最大值為()A．3B．5C．6D．8答案C解析不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－7≥0，,x＋3y－13≤0，,x－y－1≤0))表示的平面區域如圖中陰影部分所示，其中A(2,1)，B(1,4)．設t＝2x－3y，平移直線y＝eq\f(2,3)x，則直線經過點B時，t＝2x－3y取得最小值－10，直線經過點A時，t＝2x－3y取得最大值1，所以－6≤t＋4≤5，所以0≤z≤6.所以z的最大值為6，故選C.5．(2018·石家莊質檢)若x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,mx－y≤0，,3x－2y＋2≥0，))且z＝3x－y的最大值為2，則實數m的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C．1D．2答案D解析若z＝3x－y的最大值為2，則此時目標函數為y＝3x－2，直線y＝3x－2與3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分別交于A(2,4)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,4)))，mx－y＝0經過其中一點，所以m＝2或m＝eq\f(1,3)，當m＝eq\f(1,3)時，經檢驗不符合題意，故m＝2，選D.6．若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x－2y＋6≥0，,x≤2，))則z＝(x－1)2＋y2的最大值為()A．4B.eq\r(17)C．17D．16答案C解析z＝(x－1)2＋y2表示點(x，y)與點P(1,0)間距離的平方．畫出約束條件所表示的平面區域如圖中陰影部分所示，易知P(1,0)與A(2,4)間的距離最大，因此zmax＝(2－1)2＋42＝17.故選C.7．(2017·邢臺模擬)當x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤2，,y－4≤x，,x－7y≤2))時，－2≤kx－y≤2恒成立，則實數k的取值范圍是()A．[－1,1] B．[－2,0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(3,5))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，0))答案D解析作出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，設z＝kx－y，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝2，,y－4＝x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即B(－2,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝2，,x－7y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))即C(2,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－4＝x，,x－7y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－1，))即A(－5，－1)，要使不等式－2≤kx－y≤2恒成立，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤－2k－2≤2，,－2≤2k≤2，,－2≤－5k＋1≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤k≤0，,－1≤k≤1，,－\f(1,5)≤k≤\f(3,5)，))所以－eq\f(1,5)≤k≤0，故選D.8．(2018·南昌十校一模)已知不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,3x＋y－8≤0，,x＋2y－1≥0，))則z＝eq\f(y,x＋1)的最大值與最小值的比值為()A．－2B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(8,3)D．－eq\f(1,3)答案C解析如圖所示，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2≥0，,3x＋y－8≤0，,x＋2y－1≥0))所表示的平面區域為圖中的陰影部分，易知z＝eq\f(y,x＋1)表示平面區域內的點與定點P(－1,0)連線的斜率．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－8＝0，,2x－y－2＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))故A(2,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－8＝0，,x＋2y－1＝0，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1，))故B(3，－1)，數形結合知AP的斜率最大，此時z＝eq\f(y,x＋1)最大，故zmax＝eq\f(2,3)；BP的斜率最小，zmin＝－eq\f(1,4).故z＝eq\f(y,x＋1)的最大值與最小值的比值為－eq\f(8,3)，故選C.9．(2017·江西模擬)某農戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表：年產量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50答案B解析設種植黃瓜x畝，種植韭菜y畝，因此，原問題轉化為在條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，,x≥0，,y≥0))下，求z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．畫出可行域如圖．利用線性規劃知識可知，當x，y取eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝50，,1.2x＋0.9y＝54))的交點B(30,20)時，z取得最大值．故選B.10．(2018·石家莊質檢)在平面直角坐標系中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤0，,x－y≤0，,x2＋y2≤r2))(r為常數)表示的平面區域的面積為π，若x，y滿足上述約束條件，則z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)的最小值為()A．－1 B．－eq\f(5\r(2)＋1,7)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(7,5)答案D解析作出不等式組表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，由題意，知eq\f(1,4)πr2＝π，解得r＝2.z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)＝1＋eq\f(y－2,x＋3)，表示可行域內的點與點P(－3,2)連線的斜率加上1，由圖知當可行域內的點與點P的連線與圓相切時斜率最小．設切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，則有eq\f(|3k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(12,5)或k＝0(舍去)，所以zmin＝1－eq\f(12,5)＝－eq\f(7,5)，故選D.二、填空題11．(2018·銀川質檢)設x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))則z＝2x－y的最大值為________．答案8解析畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0))表示的可行域，如圖中陰影部分所示，將z＝2x－y化為y＝2x－z，－z是直線y＝2x－z的縱截距，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7＝0，,x－3y＋1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2，))∴B的坐標為(5,2)，則y＝2x－z過點B(5,2)時，z＝2x－y有最大值10－2＝8.12．(2018·廣州模擬)已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y－2≤0，,x＋y－2≤0，))若z＝x－ay(a＞0)的最大值為4，則a＝________.答案3解析作出不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示，則A(2,0)，B(－2，－2)．顯然直線z＝x－ay過A時不能取得最大值4，若直線z＝x－ay過點B時取得最大值4，則－2＋2a＝4，解得a＝3，此時，目標函數為z＝x－3y，作出直線x－3y＝0，平移該直線，當直線經過點B時，截距最小，此時，z的最大值為4，滿足條件．13．(2017·山西五校3月聯考)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－1≥0，,x－y＋2≥0，,x＋4y－8≤0))表示的平面區域為Ω，直線x＝a(a＞1)將平面區域Ω分成面積之比為1∶4的兩部分，則目標函數z＝ax＋y的最大值為________．答案9解析如圖，平面區域Ω為△ABC及其內部，作直線x＝a(1<a<4)交BC、AC分別于點E、F.由題意可知S△EFC＝eq\f(1,5)S△ABC，則eq\f(1,2)(4－a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a＋2－1))＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)×5×1＝eq\f(1,2)，可得a＝2，所以目標函數z＝ax＋y即為z＝2x＋y，易知z＝2x＋y在點C(4,1)處取得最大值，則zmax＝9.14．(2017·河北衡水中學3月模考)已知點P(x，y)的坐標滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y＞x，,y＜2x＋1，))則eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))的取值范圍為________．答案(－eq\r(2)，1]解析解法一：作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y＞x，,y＜2x＋1))表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，其中B(－1，－1)，C(0,1)．設A(1,1)，P(x，y)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))的夾角為θ，∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝x＋y，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2)，∴cosθ＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OP,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OP,\s\up6(→))|)＝eq\f(x＋y,\r(2)×\r(x2＋y2))＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))，由圖可知∠AOC≤θ＜∠AOB，即45°≤θ＜180°，∴－1＜cosθ≤eq\f(\r(2),2)，即－1＜eq\f(\r(2),2)×eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))≤eq\f(\r(2),2)，∴－eq\r(2)＜eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))≤1.解法二：作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y＞x，,y＜2x＋1))表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，其中B(－1，－1)，C(0,1)，設P(x，y)，θ＝∠POx，則eq\f(x,\r(x2＋y2))＝cosθ，eq\f(y,\r(x2＋y2))＝sinθ.θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co