2025屆甘肅省蘭州市五十一中高一下數學期末質量跟蹤監視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若,則下列不等式成立的是()A． B．C． D．2．在正四棱柱，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．3．函數的最小正周期是()A． B． C． D．4．用分層抽樣的方法從10盆紅花和5盆藍花中選出3盆，則所選紅花和藍花的盆數分別為A．2，1 B．1，2 C．0，3 D．3，05．給定函數：①；②；③；④，其中奇函數是（）A．① B．② C．③ D．④6．在中，，，則的外接圓半徑為（）A．1 B．2 C． D．7．已知等差數列和的前項和分別為和，．若，則的取值集合為（）A． B．C． D．8．在中，角所對的邊分別為，已知，則最大角的余弦值是()A． B． C． D．9．下列四組中的函數，表示同一個函數的是（）A．， B．,C．， D．，10．如圖，在正方體，點在線段上運動，則下列判斷正確的是（）①平面平面②平面③異面直線與所成角的取值范圍是④三棱錐的體積不變A．①② B．①②④ C．③④ D．①④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．對于數列滿足：，其前項和為記滿足條件的所有數列中，的最大值為，最小值為，則___________12．展開式中，各項系數之和為，則展開式中的常數項為__________．13．在ΔABC中，a比c長4，b比c長2，且最大角的余弦值是-12，則14．已知一個鐵球的體積為，則該鐵球的表面積為________.15．已知數列滿足，，，則__________．16．若，方程的解為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設污水凈化管道（三條邊，是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長度（即的周長）表示為的函數，并求出定義域；(2)問取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.18．如圖所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中點，求證：（1）平面；（2）.19．已知等差數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）請確定3998是否是數列中的項？20．在平面直角坐標系中，點是坐標原點，已知點為線段上靠近點的三等分點．求點的坐標：若點在軸上，且直線與直線垂直，求點的坐標．21．已知點，圓.（1）求過點且與圓相切的直線方程；（2）若直線與圓相交于，兩點，且弦的長為，求實數的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

利用不等式的性質，進行判斷即可.【詳解】因為，故由均值不等式可知：；因為，故；因為，故；綜上所述：.故選：B.【點睛】本題考查均值不等式及利用不等式性質比較大小.2、A【解析】

作出兩異面直線所成的角，然后由余弦定理求解．【詳解】在正四棱柱中，則異面直線與所成角為或其補角，在中，，，．故選A．【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形求之．3、A【解析】

作出函數的圖象可得出該函數的最小正周期。【詳解】作出函數的圖象如下圖所示，由圖象可知，函數的最小正周期為，故選：A。【點睛】本題考查三角函數周期的求解，一般而言，三角函數最小正周期的求解方法有如下幾種：（1）定義法：即；（2）公式法：當時，函數或的最小正周期為，函數最小正周期為；（3）圖象法。4、A【解析】

利用分層抽樣的性質直接求解．【詳解】解：用分層抽樣的方法從10盆紅花和5盆藍花中選出3盆，則所選紅花的盆數為：，所選藍花的盆數為：．故選：A．【點睛】本題考查所選紅花和藍花的盆數的求法，考查分層抽樣的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、D【解析】試題分析：，知偶函數，，知非奇非偶，知偶函數，，知奇函數.考點：函數奇偶性定義.6、A【解析】

由同角三角函數關系式,先求得.再結合正弦定理即可求得的外接圓半徑.【詳解】中,由同角三角函數關系式可得由正弦定理可得所以,即的外接圓半徑為1故選:A【點睛】本題考查了同角三角函數關系式的應用,正弦定理求三角形外接圓半徑,屬于基礎題.7、D【解析】

首先根據即可得出，再根據前n項的公式計算出即可。【詳解】，選D.【點睛】本題主要考查等差數列的求和公式及等差數列的性質，屬于難題.等差數列的常用性質有：（1）通項公式的推廣：

（2）若

為等差數列，

；（3）若是等差數列，公差為，

，則是公差

的等差數列；8、B【解析】

由邊之間的比例關系，設出三邊長，利用余弦定理可求.【詳解】因為，所以c邊所對角最大，設，由余弦定理得，故選B.【點睛】本題考查余弦定理，計算求解能力，屬于基本題.9、A【解析】

分別判斷兩個函數的定義域和對應法則是否相同即可．【詳解】．的定義域為，，兩個函數的定義域相同，對應法則相同，所以，表示同一個函數．．的定義域為，，兩個函數的定義域相同，對應法則不相同，所以，不能表示同一個函數．．的定義域為，的定義域為，兩個函數的定義域不相同，所以，不能表示同一個函數．．的定義域為，的定義域，兩個函數的定義域不相同，對應法則相同，所以，不能表示同一個函數．故選．【點睛】本題主要考查判斷兩個函數是否為同一函數，判斷的依據主要是判斷兩個函數的定義域和對應法則是否相同即可．10、B【解析】

①連接DB1，容易證明DB1⊥面ACD1，從而可以證明面面垂直；②連接A1B，A1C1容易證明平面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得；③分析出A1P與AD1所成角的范圍，從而可以判斷真假；④=，C到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變；【詳解】對于①，連接DB1，根據正方體的性質，有DB1⊥面ACD1，DB1?平面PB1D，從而可以證明平面PB1D⊥平面ACD1，正確．②連接A1B，A1C1容易證明平面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得A1P∥平面ACD1，正確．③當P與線段BC1的兩端點重合時，A1P與AD1所成角取最小值，當P與線段BC1的中點重合時，A1P與AD1所成角取最大值，故A1P與AD1所成角的范圍是，錯誤；④=，C到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變．∴三棱錐A﹣D1PC的體積不變，正確；正確的命題為①②④．故選B．【點睛】本題考查空間點、線、面的位置關系，空間想象能力，中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由，，，，，分別令，3，4，5，求得的前5項，觀察得到最小值，，計算即可得到的值．【詳解】由，，，，，可得，解得，又，，可得或，又，，，可得或5；或6；或或8；又，，，，可得或6或7；或7或8；或8或9或10或12；或10或12或1．綜上可得的最大值，最小值為，則．故答案為：1．【點睛】本題考查數列的和的最值，注意運用元素與集合的關系，運用列舉法，考查判斷能力和運算能力，屬于中檔題．12、【解析】令，則，即，因為的展開式的通項為，所以展開式中常數項為，即常數項為.點睛：本題考查二項式定理；求二項展開式的各項系數的和往往利用賦值法（常賦值為）,還要注意整體賦值，且要注意展開式各項系數和二項式系數的區別.13、15【解析】

由a比c長4，b比c長2，用c表示出a與b，可得出a為最大邊，即A為最大角，可得出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，同時利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a與b代入，并根據最大角的余弦值，得到關于c的方程，求出方程的解得到c的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．【詳解】根據題意得：a=c+4，b=c+2，則a為最長邊，∴A為最大角，又cosA=-12，且∴A=120cos整理得：c2-c-6=0，即(c?3)(解得：c=3或c=?2(舍去)，∴a=3+4=7，b=3+2=5，則△ABC的面積S=12bcsinA=15故答案為：153【點睛】余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）a2=b2+14、.【解析】

通過球的體積求出球的半徑，然后求出球的表面積.【詳解】球的體積為球的半徑球的表面積為：故答案為：【點睛】本題考查球的表面積與體積的求法，考查計算能力，屬于基礎題.15、-2【解析】

根據題干中所給的表達式得到數列的周期性，進而得到結果.【詳解】根據題干表達式得到可以得數列具有周期性，周期為3，故得到故得到故答案為：-2.【點睛】這個題目考查了求數列中的某些項，一般方法是求出數列通項，對于數列通項不容易求的題目，可以列出數列的一些項，得到數列的周期或者一些其它規律，進而得到數列中的項.16、【解析】

運用指數方程的解法，結合指數函數的值域，可得所求解．【詳解】由，即，因，解得，即.故答案：.【點睛】本題考查指數方程的解法，以及指數函數的值域，考查運算能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）或時，L取得最大值為米．.【解析】

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數解析式，并注明θ的范圍．（2）設sinθ+cosθ=t，根據函數L=在[，]上是單調減函數，可求得L的最大值．所以當時，即

或

時，L取得最大值為米．【詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設，則，由于，由于在上是單調減函數，當時，即或時，L取得最大值為米．【點睛】三角函數值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數式變換成的形式求值域3.通過換元，轉化成其他類型函數求值域18、(1)見解析.(2)見解析.【解析】

（1）先取的中點，連接，根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立；（2）根據線面垂直的判定定理先證明平面，再由線面垂直的性質，即可得到.【詳解】（1）取的中點，連接，可得，且.平面，平面，.又，，且，∴四邊形是平行四邊形，.又平面，平面，平面.（2）在中，，為的中點，.是正三角形，為的中點，，.平面，∴四邊形是矩形，，又，平面.又平面，.，平面.又平面，.【點睛】本題主要考查線面平行以及線面垂直，熟記線面平行與垂線的判定定理以及性質定理即可，屬于常考題型.19、（1）（2）第1000項【解析】

（1）由題意有，解方程組即得數列的通項公式；（2）假設3998是數列中的項，有，得，即可判斷得解.【詳解】解：（1）設數列的公差為，由題意有，解得，則數列的通項公式為.（2）假設3998是數列中的項，有，得，故3998是數列中的第1000項.【點睛】本題主要考查等差數列基本量的計算，考查某一項是否是等差數列中的項的判定，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、（1）（2）【解析】

（1）由題意利用線段的定比分點坐標公式，兩個向量坐標形式的運算法則，求出點P的坐標．（2）由題意利用兩個向量垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算法則，求出點Q的坐標．【詳解】設，因為，所以，又，所以，解得，從而．設，所以，由已知直線與直線垂直，所以則，解得，所以．【點睛】本題主要考查了線段的定比分點坐標公式，兩個向量垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎題，著重考查了推理與運算能力．21、