專題01相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在模考中無論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．

例2．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習）如圖，在三角形紙片中，，，，若沿的垂直平分線線前下，則的長為．例3．（2021·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，垂足為，，，四邊形和四邊形均為正方形，且點、、、、、都在的邊上，那么與四邊形的面積比為______．例4.（2023.綿陽市九年級期中）如圖，在中，點分別在上，且．（1）求證：；（2）若點在上，與交于點，求證：．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·廣東·九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14例2．（2023·黑龍江·哈爾濱九年級階段練習）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結論中錯誤的是（

）A． B． C． D．例3．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點O，記的面積為，的面積為．（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應用：如圖③，在上取一點E，使，過點E作交于點F，點H為的中點，交于點G，且，若，求值．例4．（2022·江蘇鎮江·九年級期末）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作，交DF的延長線于點G，則有，，∴．請用上述定理的證明方法解決以下問題：(1)如圖（3），△ABC三邊CB，AB，AC的延長線分別交直線l于X，Y，Z三點，證明：．(2)如圖（4），等邊△ABC的邊長為2，點D為BC的中點，點F在AB上，且，CF與AD交于點E，則AE的長為________．(3)如圖（5），△ABC的面積為2，F為AB中點，延長BC至D，使，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為________．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結論：AF=AG例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．例2．（2020·浙江·杭州啟正中學九年級期中）如圖，中，中線，交于點，交于點．（1）求的值．（2）如果，，請找出與相似的三角形，并挑出一個進行證明．例3.（2023·安徽·九年級期中）圖，，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．課后專項訓練1．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．2．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，中，點E、F分別在邊AB、AC上，．若，，，則______．3．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點，且，與相交于點，若的面積是，則的面積是______．4．（2022·湖北荊門·中考真題）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F分別為BC，CA，AB的中點，具有性質：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為_____．5．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，點分別在邊上，且，與四邊形的面積的比為__________．6．（2021·遼寧營口·中考真題）如圖，矩形中，，，點E是邊上一點，，連接，點F是延長線上一點，連接，且，則_________．7．（2021·內蒙古·中考真題）如圖，在中，，過點B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點M，過點M作，垂足為N．若，則MN的長為__________．8．（2021·湖南郴州·中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中，且．為使其更穩固，在，間加綁一條安全繩（線段），量得，則________．9．（2022·陜西渭南·八年級期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．10．（2021·廣西玉林·中考真題）如圖，在中，在上，，．（1）求證：∽；（2）若，求的值．11．（2022·湖北隨州·九年級期末）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀時的希臘數學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發現，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：設D，E，F依次是△ABC的三邊AB，BC，CA或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．這個定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線DE交△ABC的邊AB于點D，交邊AC于點F，交邊BC的延長線與點E．過點C作CM∥DE交AB于點M，則，（依據），∴＝，∴BE?AD?FC＝BD?AF?EC，即．情況②：如圖2，直線DE分別交△ABC的邊BA，BC，CA的延長線于點D，E，F．…（1）情況①中的依據指：；（2）請你根據情況①的證明思路完成情況②的證明；（3）如圖3，D，F分別是△ABC的邊AB，AC上的點，且AD:DB＝CF:FA＝2:3，連接DF并延長，交BC的延長線于點E，那么BE:CE＝．12．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學的作業及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整．【作業】如圖①，直線，與的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設與之間的距離為，則，．∴．【探究】(1)如圖②，當點在，之間時，設點，到直線的距離分別為，，則．證明：∵(2)如圖③，當點在，之間時，連接并延長交于點，則．證明：過點作，垂足為，過點作，垂足為，則，∴．∴．∴．由【探究】（1）可知，∴．(3)如圖④，當點在下方時，連接交于點．若點，，所對應的刻度值分別為5，1.5，0，的值為．13．（2023·江蘇連云港·?？既＃鹃喿x材料】教材習題：如圖，、相交于點，是中點，，求證：是中點．

問題分析：由條件易證，從而得到，即點是的中點方法提?。簶嬙臁捌叫凶中汀比热切文Ｐ褪亲C明線段相等的一種常用方法

請運用上述閱讀材料中獲取的經驗和方法解決下列問題．【基礎應用】已知中，，點在邊上，點在邊的延長線上，連接交于點．(1)如圖1，若，，求證：點是的中點；(2)如圖2，若，，探究與之間的數量關系；【靈活應用】如圖3，是半圓的直徑，點是半圓上一點，點是上一點，點在延長線上，，，，當點從點運動到點，點運動的路徑長為______，掃過的面積為______．14．（2023·福建·統考中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點處，對其視線可及的，兩點，可測得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度，其測量及求解過程如下：測量過程：（?。┰谛∷赝膺x點，如圖4，測得，；（ⅱ）分別在，，上測得，；測得．求解過程：由測量知，，，，，∴，又∵①___________，∴，∴．又∵，∴②___________．故小水池的最大寬度為___________．(1)補全小明求解過程中①②所缺的內容；(2)小明求得用到的幾何知識是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母，，表示，角度用，，表示；測量次數不超過4次（測量的幾何量能求出，且測量的次數最少，才能得滿分）．15.（2022長寧一模）已知,在△ABC中,,點是射線上的動點,點是邊上的動點，且,射線交射線于點．（1）如圖1,如果,求S△ADES（2）聯結,如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；（3）當點在邊上時,聯結,求線段的長．16．（2023·上海市徐匯中學九年級期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點E在對角線AC上，且滿足AE＝2EC，點F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點M，交直線BC于點N．（1）當CF＝2時，求線段BN的長；（2）若設CF＝x，△BNE的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值．17．（2023·上海奉賢·二模）已知：如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，對角線AC、BD相交于點E，AC⊥BC，垂足為點C，且BC2＝CE?CA．（1）求證：AD＝DE；（2）過點D作AC的垂線，交AC于點F，求證：CE2＝AE?AF．18．（2023·河南省淮濱縣九年級期中）

如圖，正方形的邊長為，點是射線上的一個動點，連接并延長，交射線于點，將沿直線翻折，點落在點處．

（1）當時，如圖，延長，交于點，①的長為________；②求證：．（2）當點恰好落在對角線上時，如圖，此時的長為________；________；（3）當時，求的正弦值．

專題01相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在模考中無論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．【答案】8【分析】根據三角形中位線定理求得DE∥BC，，從而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性質求解．【詳解】解：∵D、E分別是AB、AC的中點，則DE為中位線，所以DE∥BC，所以△ADE∽△ABC∴∵S△ADE=2，∴S△ABC=8故答案為：8．【點睛】本題考查中位線及平行線性質，本題難度較低，主要考查學生對三角形中位線及平行線性質等知識點的掌握．例2．（2023春·陜西西安·八年級?？茧A段練習）如圖，在三角形紙片中，，，，若沿的垂直平分線線前下，則的長為．

【答案】【分析】勾股定理求得，根據垂直平分線的性質得出，，證明，根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】在中，，，，∴，∵是的垂直平分線，∴，，∴，又∵，∴∴,∴解得：,故答案為：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，勾股定理，相似三角形的性質與判定，證明是解題的關鍵．例3．（2021·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，垂足為，，，四邊形和四邊形均為正方形，且點、、、、、都在的邊上，那么與四邊形的面積比為______．【答案】1∶3【分析】先設四邊形和四邊形的邊長為x，然后根據AEM∽ABC可得，進而可求得AP＝2.5，EM＝5，然后分別求得S△AEM＝，S△ABC＝25，即可求得S四邊形BCME＝S△ABC－S△AEM＝，由此可得答案．【詳解】解：∵四邊形和四邊形均為正方形，∴設四邊形和四邊形的邊長為x，則EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，∵AD⊥BC，∴PD＝EF＝x，∵AD＝5，∴AP＝AD－PD＝5－x，∵EMBC，∴AEM∽ABC，∴，∴，解得：x＝2.5，∴AP＝2.5，EM＝5，∴S△AEM＝＝，又∵S△ABC＝＝25，∴S四邊形BCME＝S△ABC－S△AEM＝25－＝，∴S△AEM∶S四邊形BCME＝∶＝1∶3，故答案為：1∶3．【點睛】本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定及性質，熟練掌握相似三角形的判定及性質是解決本題的關鍵．例4.（2023.綿陽市九年級期中）如圖，在中，點分別在上，且．（1）求證：；（2）若點在上，與交于點，求證：．【答案】見解析【詳解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵，，∴△AEF∽△ABC；∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴,，∴．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·廣東·九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先利用平行四邊形的性質得，AD=BC，由可判斷△AEF∽△CBF，根據相似三角形的性質得，然后根據三角形面積公式得，，則．【詳解】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如圖，過點F作FH⊥AD于點H，FG⊥BC于點G，則，∴，∵△AEF的面積為2∴故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，屬于同步基礎題．例2．（2023·黑龍江·哈爾濱九年級階段練習）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行線分線段成比例和相似三角形的性質與判定，進行逐一判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD∴，∴A選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF∴，∴；∴C選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項不正確，符合題目要求．故選D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質和判定的應用，能根據定理得出比例式是解此題的關鍵．例3．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點O，記的面積為，的面積為．（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應用：如圖③，在上取一點E，使，過點E作交于點F，點H為的中點，交于點G，且，若，求值．【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結論成立，理由見解析：（3）【分析】（1）如圖所示，過點D作AE⊥AC于E，過點B作BF⊥AC于F，求出，然后根據三角形面積公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如圖所示，過點A作交OB于M，取BM中點N，連接HN，先證明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，證明△OEF∽△OAM，得到，設，則，證明△OGF∽△OHN，推出，，則，由（2）結論求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過點D作AE⊥AC于E，過點B作BF⊥AC于F，∴，∴，，∵∠DOE=∠BOF，∴；∴；（2）（1）中的結論成立，理由如下：如圖所示，過點D作AE⊥AC于E，過點B作BF⊥AC于F，∴，∴，，∵∠DOE=∠BOF，∴；∴；（3）如圖所示，過點A作交OB于M，取BM中點N，連接HN，∵，∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF，∵，∴△OEF∽△OAM，∴，設，則，∵H是AB的中點，N是BM的中點，∴HN是△ABM的中位線，∴，∴△OGF∽△OHN，∴，∵OG=2GH，∴，∴，∴，，∴，由（2）可知．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．例4．（2022·江蘇鎮江·九年級期末）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作，交DF的延長線于點G，則有，，∴．請用上述定理的證明方法解決以下問題：(1)如圖（3），△ABC三邊CB，AB，AC的延長線分別交直線l于X，Y，Z三點，證明：．(2)如圖（4），等邊△ABC的邊長為2，點D為BC的中點，點F在AB上，且，CF與AD交于點E，則AE的長為________．(3)如圖（5），△ABC的面積為2，F為AB中點，延長BC至D，使，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為________．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）如圖，過點作，交的延長線于點，可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE，可得，代入進而可證成立；（2）如圖，過點A作AG∥BC，交CF的延長線于點G，由題意可知，，代入求值即可；（3）如圖5，分別過作，由題意可知，，，有，，對計算求值即可．(1)證明：如圖，過點作，交的延長線于點∴故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE∴∵∴．(2)解：如圖，過點A作AG∥BC，交CF的延長線于點G∴由題意可知∵D是BC的中點，為等邊三角形∴，在中∵∴解得故答案為：．(3)解：如圖5，分別過作∵圖5同圖1，故可知∵F為AB中點，CD=BC，∴∵∴∴∴∵∴四邊形BCEF的面積為故答案為：．【點睛】本題考查了三角形相似，等邊三角形的性質，勾股定理等知識．解題的關鍵在于證明三角形相似．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結論：AF=AG例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據相似三角形的性質即可判斷B、C、D．【詳解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；∴，，故B不符合題意，C符合題意；∴，故D不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．例2．（2020·浙江·杭州啟正中學九年級期中）如圖，中，中線，交于點，交于點．（1）求的值．（2）如果，，請找出與相似的三角形，并挑出一個進行證明．【答案】（1）3；（2），證明見解析【分析】（1）先證明，再證明，得到，則問題可解；（2）根據題意分別證明，問題可證．【詳解】解：（1）是的中點，是的中點，，，，，，，，，，，，，．（2）當，時，由（1）可得，，，，，，，又，，，，，，，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，解答關鍵是根據題意選擇適當方法證明三角形相似．例3.（2023·安徽·九年級期中）圖，，點H在BC上，AC與BD交于點G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．【答案】【分析】根據平行線分線段成比例定理，由，可證△CGH∽△CAB，由性質得出，由，可證△BGH∽△BDC，由性質得出，將兩個式子相加，即可求出GH的長．【詳解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，平行線性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題關鍵．例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得結論；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性質將比例式相加，從而得出結論；（3）作DF∥OB交OC于點F，連接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，從而得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴O是AC中點，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中點，∴OE＝；（2）證明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于點F，連接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，對比例式進行恒等變形是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形對應邊成比例列式計算求出AB，再根據外徑的長度解答．【詳解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），∵外徑為10cm，∴19+2x=10，∴x=0.5（cm）．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是利用相似三角形的性質求出AB的長．2．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，中，點E、F分別在邊AB、AC上，．若，，，則______．【答案】【分析】易證△AEF∽△ABC，得即即可求解．【詳解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，即∵，，，∴，∴EF=，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質定理是解題的關鍵．3．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點，且，與相交于點，若的面積是，則的面積是______．【答案】27【分析】根據矩形的性質，很容易證明∽，相似三角形之比等于對應邊比的平方，即可求出的面積．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，綜合性比較強，學生要靈活應用．掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關鍵．4．（2022·湖北荊門·中考真題）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F分別為BC，CA，AB的中點，具有性質：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為_____．【答案】18【分析】根據線段比及三角形中線的性質求解即可．【詳解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面積為3，∴△ACG的面積為6，∴△ACF的面積為3+6＝9，∵點F為AB的中點，∴△ACF的面積＝△BCF的面積，∴△ABC的面積為9+9＝18，故答案為：18．【點睛】題目主要考查線段比及線段中點的性質，熟練掌握線段中點的性質是解題關鍵．5．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，點分別在邊上，且，與四邊形的面積的比為__________．【答案】【分析】先證明，再根據相似三角形的性質，即可得到，進而即可求解．【詳解】解：∵，∴

∴∵∠B=∠B，∴，∴∴與四邊形的面積的比=．故答案是：．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，是解題的關鍵．6．（2021·遼寧營口·中考真題）如圖，矩形中，，，點E是邊上一點，，連接，點F是延長線上一點，連接，且，則_________．【答案】6【分析】過點D作DM⊥AF，可證明∠NDM=∠GDM，從而得，DN=DG，設DN=DG=x，列出比例式，求出x的值，進而即可求解．【詳解】解：過點D作DM⊥AF，則∠MAD+∠ADM=90°，∵在矩形中，∠ADM+∠CDM=90°，∴∠MAD=∠CDM，∵AD∥BF，∴∠F=∠MAD，∵，∴∠MAD=，∴∠CDM=，∴∠NDM=∠GDM，∵∠NMD=∠GMD=90°，DM=DM，∴，∴DN=DG，∵，，∴，設DN=DG=x，∵AB∥CD，∴，∴，即：，解得：x=2，∴DN=DG=2，∵AD∥BF，∴，∴，即：，解得：CF=6，故答案是：6．【點睛】本題主要考查矩形的性質，全等三角形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，添加輔助線，證明，是解題的關鍵．7．（2021·內蒙古·中考真題）如圖，在中，，過點B作，垂足為B，且，連接CD，與AB相交于點M，過點M作，垂足為N．若，則MN的長為__________．【答案】【分析】根據MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得,可得,因為,列出關于MN的方程，即可求出MN的長．【詳解】∵MN⊥BC，DB⊥BC,∴AC∥MN∥DB，∴，∴即,又∵，∴，解得,故填：．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，解題關鍵是根據題意得出兩組相似三角形以及它們對應邊之比的等量關系．8．（2021·湖南郴州·中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中，且．為使其更穩固，在，間加綁一條安全繩（線段），量得，則________．【答案】1.2【分析】根據平行線分線段成比例定理，可得，進而即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴3，故答案是：1.2．【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，掌握“平行線所截得的對應線段成比例”，是解題的關鍵．9．（2022·陜西渭南·八年級期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F是AE的中點，CF交BE于點G，若，則___．【答案】2【分析】延長CF、BA交于M，根據已知條件得出EF＝AF，CE＝DC，根據平行四邊形的性質得出DC∥AB，DC＝AB，根據全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據全等三角形的性質得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據相似三角形的性質得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長CF、BA交于M，∵E是CD的中點，F是AE的中點，∴EF＝AF，CE＝DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴，∵BE＝8，∴，解得：GE＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．10．（2021·廣西玉林·中考真題）如圖，在中，在上，，．（1）求證：∽；（2）若，求的值．【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）由題意易得，然后問題可求證；（2）由（1）及題意易得，然后根據相似三角形的面積比與相似比的關系可得，然后問題可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴；（2）解：由（1）可知，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．11．（2022·湖北隨州·九年級期末）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀時的希臘數學家兼天文學家，著有幾何學和三角學方面的許多書籍．梅涅勞斯發現，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個頂點也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：設D，E，F依次是△ABC的三邊AB，BC，CA或其延長線上的點，且這三點共線，則滿足．這個定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線DE交△ABC的邊AB于點D，交邊AC于點F，交邊BC的延長線與點E．過點C作CM∥DE交AB于點M，則，（依據），∴＝，∴BE?AD?FC＝BD?AF?EC，即．情況②：如圖2，直線DE分別交△ABC的邊BA，BC，CA的延長線于點D，E，F．…（1）情況①中的依據指：；（2）請你根據情況①的證明思路完成情況②的證明；（3）如圖3，D，F分別是△ABC的邊AB，AC上的點，且AD:DB＝CF:FA＝2:3，連接DF并延長，交BC的延長線于點E，那么BE:CE＝．【答案】（1）兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；（2）見解析；(3)【分析】（1）根據平行線分線段成比例定理解決問題即可；（2）如圖2中，作CN∥DE交BD于N．模仿情況①的方法解決問題即可；（3）利用梅氏定理即可解決問題．【詳解】解：（1）情況①中的依據是：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．故答案為：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．（2）如圖2中，作CN∥DE交BD于N．則有＝，＝，∴＝，∴BE?AD?FC＝BD?AF?EC，∴＝1．（3）∵＝1，AD:DB＝CF:FA＝2:3，∴＝1，∴=．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．12．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學的作業及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整．【作業】如圖①，直線，與的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設與之間的距離為，則，．∴．【探究】(1)如圖②，當點在，之間時，設點，到直線的距離分別為，，則．證明：∵(2)如圖③，當點在，之間時，連接并延長交于點，則．證明：過點作，垂足為，過點作，垂足為，則，∴．∴．∴．由【探究】（1）可知，∴．(3)如圖④，當點在下方時，連接交于點．若點，，所對應的刻度值分別為5，1.5，0，的值為．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據三角形的面積公式可得，由此即可得證；（2）過點作，垂足為，過點作，垂足為，先根據平行線的判定可得，再根據相似三角形的判定可證，根據相似三角形的性質可得，然后結合【探究】（1）的結論即可得證；（3）過點作于點，過點作于點，先根據相似三角形的判定證出，再根據相似三角形的性質可得，然后根據三角形的面積公式可得，，由此即可得出答案．(1)證明：，，．(2)證明：過點作，垂足為，過點作，垂足為，則，．．．由【探究】（1）可知，．(3)解：過點作于點，過點作于點，則，，，，點所對應的刻度值分別為5，，0，，，，又，，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、平行線的判定、三角形的面積等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．13．（2023·江蘇連云港·?？既＃鹃喿x材料】教材習題：如圖，、相交于點，是中點，，求證：是中點．

問題分析：由條件易證，從而得到，即點是的中點方法提?。簶嬙臁捌叫凶中汀比热切文Ｐ褪亲C明線段相等的一種常用方法

請運用上述閱讀材料中獲取的經驗和方法解決下列問題．【基礎應用】已知中，，點在邊上，點在邊的延長線上，連接交于點．(1)如圖1，若，，求證：點是的中點；(2)如圖2，若，，探究與之間的數量關系；【靈活應用】如圖3，是半圓的直徑，點是半圓上一點，點是上一點，點在延長線上，，，，當點從點運動到點，點運動的路徑長為______，掃過的面積為______．【答案】(1)見解析；(2)；【靈活應用】，【分析】（1）過點作，證，即可得點是的中點；（2）過點作，可證，得，由，，得，再證，可得，由平行線分線段成比例得，由，可得，，即可得出；[靈活應用]：由題意可得，過點作，則，可得，進而可得，證，可知，過點作，則，，可得點在以為直徑的半圓上運動，可求得運動的路徑長度，過點作，則，，則點在以為直徑的半圓上運動，可知掃過的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，即可求得答案．【詳解】解：（1）證明：，，，過點作，則，，

是等腰直角三角形，則，，，，，又，，，點是的中點；（2）過點作，則，

，，則，，，，，，又，，，，，則，，；[靈活應用]：是半圓的直徑，點是半圓上一點，，過點作，則，

，，，，，又，，，過點作，則，，，，，，則，，點在以為直徑的半圓上運動，運動的路徑長為：過點作，則，，

，，點在以為直徑的半圓上運動，則掃過的面積為以為直徑的半圓與以為直徑的半圓的面積之差，即：掃過的面積為故答案為：，．【點睛】本題考查全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質，平行線分線段成比例，圓周角定理，動點的運動路徑，添加輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵．14．（2023·福建·統考中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點處，對其視線可及的，兩點，可測得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度，其測量及求解過程如下：測量過程：（?。┰谛∷赝膺x點，如圖4，測得，；（ⅱ）分別在，，上測得，；測得．求解過程：由測量知，，，，，∴，又∵①___________，∴，∴．又∵，∴②___________．故小水池的最大寬度為___________．(1)補全小明求解過程中①②所缺的內容；(2)小明求得用到的幾何知識是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母，，表示，角度用，，表示；測量次數不超過4次（測量的幾何量能求出，且測量的次數最少，才能得滿分）．【答案】(1)①；②(2)相似三角形的判定與性質(3)最大寬度為，見解析【分析】（1）根據相似三角形的判定和性質求解即可；（2）根據相似三角形的判定和性質進行回答即可；（3）測量過程：在小水池外選點，用測角儀在點處測得，在點處測得；用皮尺測得；求解過程：過點作，垂足為，根據銳角三角函數的定義推得，，，根據，即可求得．【詳解】（1）∵，，，，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴．故小水池的最大寬度為．（2）根據相似三角形的判定和性質求得，故答案為：相似三角形的判定與性質．（3）測量過程：（?。┰谛∷赝膺x點，如圖，用測角儀在點處測得，在點處測得；

（ⅱ）用皮尺測得．求解過程：由測量知，在中，，，．過點作，垂足為．在中，，即，所以．同理，．在中，，即，所以．所以．故小水池的最大寬度為．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形的實際應用，根據題意畫出幾何圖形，建立數學模型是解題的關鍵．15.（2022長寧一模）已知,在△ABC中,,點是射線上的動點,點是邊上的動點，且,射線交射線于點．（1）如圖1,如果,求S△ADES（2）聯結,如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；（3）當點在邊上時,聯結,求線段的長．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C，∴∠B＝∠OEC，∴△ABC∽△OEC，∴，∴，∴CE＝3.2，∴AE＝1.8；∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，∴△OBD∽△AED，∴，∴S△ADES（2）∵是以為腰的等腰三角形，∴AE＝OE，∵OC＝OE，∴設AE＝OE＝OC=x，由（1）得，△ABC∽△OEC，∴，∴，解得，，經檢驗，是原方程的解；則的長是為．（3）由（1）得，∠B＝∠OEC，∵∠OEC+∠OEA＝180°，∴∠B+∠OEA＝180°，∴A、B、O、E四點共圓，∴∠DBE＝∠AOD，∵，∴，∴AO∥DC，∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，∴，，∴，設OC=x，OB=8-x，∵△ABC∽△OEC，∴，∴，解得，，∴∴，解得，，（舍去），則的長是為．16．（2023·上海市徐匯中學九年級期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，點E在對角線AC上，且滿足AE＝2EC，點F在線段CD上，作直線FE，交線段AB于點M，交直線BC于點N．（1）當CF＝2時，求線段BN的長；（2）若設CF＝x，△BNE的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）試判斷△BME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2），0＜x＜3；，3＜x＜4.5；（3）x＝2或或【分析】（1）由得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，進而求得；（2）分為0＜x＜3和3＜x＜4.5兩種情形，作EG⊥BC于G，根據三角形相似求出EG和BN；（3）分為BM＝BE，EM＝BE，