1.2.2空間中的平行關系(4)——平面與平面平行自主學習學習目標1．掌握兩平面平行的定義、圖形的畫法以及符號表示．2．理解兩平面平行的判定定理及性質(zhì)定理，并能應用定理．證明線線、線面、面面的平行關系．自學導引1．兩個平面平行的定義：________________________________________________________________________.2．平面與平面平行的判定定理：__________________________________________________________.圖形表示： 符號表示：________________________________________________________________________.推論：如果一個平面內(nèi)有兩條____________分別平行于另一個平面內(nèi)的__________，則這兩個平面平行．3．平面與平面平行的性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么____________________________．符號表示：若平面α、β、γ滿足________________________，則a∥b.上述定理說明，可以由平面與平面平行，得出直線與直線平行．對點講練知識點一平面與平面平行的判定例1已知E、F、E1、F1分別是三棱柱A1B1C1—ABC棱AB、AC、A1B1、A1C1的中點．求證：平面A1EF∥平面E1BCF1.點評要證平面平行，依據(jù)判定定理只需要找出一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面即可．另外在證明線線、線面以及面面平行時，常進行如下轉(zhuǎn)化：線線平行eq\o(→,\s\up7(線面平行的判定))線面平行eq\o(→,\s\up7(面面平行的判定))面面平行．變式訓練1正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分別為棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D求證：平面AMN∥平面EFDB.知識點二用面面平行的性質(zhì)定理證線面平行與線線平行例2已知M、N分別是底面為平行四邊形的四棱錐P—ABCD棱AB、PC的中點，平面CMN與平面PAD交于PE，求證：(1)MN∥平面PAD；(2)MN∥PE.點評該題充分體現(xiàn)了線線平行、線面平行、面面平行之間的相互轉(zhuǎn)化關系．一般來說，證線面平行時，若用線面平行的判定定理較困難，改用面面平行的性質(zhì)是一個較好的想法．變式訓練2如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′中，點E在AB′上，點F在BD上，且B′E＝BF.求證：EF∥平面BB′C′C.知識點三綜合應用例3如圖所示，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝eq\r(2)a，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.那么，在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？證明你的結論．點評解答開放性問題，要結合題目本身的特點與相應的定理，大膽地猜想，然后證明．變式訓練3如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M滿足______時，有MN∥平面B1BDD11．在空間平行的判斷與證明時要注意線線、線面、面面平行關系的轉(zhuǎn)化過程：2．注意兩個問題(1)一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面內(nèi)的一切直線，這種說法是不對的，但可以認為這條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行．(2)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必定平行于另一平面，但這兩個平面內(nèi)的直線不一定相互平行，也有可能異面.課時作業(yè)一、選擇題1．設平面α∥平面β，直線aα，點B∈β，則在β內(nèi)過點B的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在惟一一條與a平行的直線2．對于直線m、n和平面α，下列命題中是真命題的是()A．如果mα，nα，m、n是異面直線，那么n∥αB．如果mα，nα，m、n是異面直線，那么n與α相交C．如果mα，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n3．設m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線，l1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α∥β的一個充分而不必要條件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l24．設α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中點，當A、B分別在平面α、β內(nèi)運動時，那么所有的動點C()A．不共面B．當且僅當A、B分別在兩條直線上移動時才共面C．當且僅當A、B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面D．不論A、B如何移動，都共面5．已知平面α外不共線的三點A，B，C到α的距離都相等，則正確的結論是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必與α相交C．平面ABC必不垂直于αD．存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內(nèi)題號12345答案二、填空題6．下面的命題在“________”處缺少一個條件，補上這個條件，使其構成真命題(m，n為直線，α，β為平面)，則此條件應為________．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(mα,nα,m∥β,n∥β,))α∥β7．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分別在平面α和平面β內(nèi)，若對應頂點的連線共點，則這兩個三角形________．8．下列命題正確的是________．(填序號)①一個平面內(nèi)有兩條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；②一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；③一個平面內(nèi)任何直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；④一個平面內(nèi)有兩條相交直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行．三、解答題9．已知兩條異面直線BA、DC與兩平行平面α、β分別交于B、A和D、C，M、N分別是AB、CD的中點．求證：MN∥平面α.10.如圖所示E、F、G、H分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1求證：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.【答案解析】自學導引1．沒有公共點的兩個平面2．如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αβ∥α相交直線兩條直線3．它們的交線平行α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b對點講練例1證明∵EF是△ABC的中位線，∴EF∥BC.∵EF平面E1BCF1，BC平面E1BCF1，∴EF∥平面E1BCF1.∵A1E1EB，∴四邊形EBE1A1∴A1E∥E1B.∵A1E平面E1BCF1，E1B平面E1BCF1，∴A1E∥平面E1BCF1.又∵A1E∩EF＝E，∴平面A1EF∥平面E1BCF1.變式訓練1證明如圖，連接A1C1設A1C1AC交BD于O.連接AP，OQ，B1D1.在矩形A1ACC1中，PQ∥AO，∵M、N、E、F分別是所在棱的中點，∴MNeq\f(1,2)D1B1，EFeq\f(1,2)D1B1，∴P、Q分別是四等分點，∴PQ＝eq\f(1,2)AC，又∵AO＝eq\f(1,2)AC，∴PQAO.∴四邊形PQOA為平行四邊形，∴AP∥OQ.∴AP∥平面EFDB.又∵MN∥B1D1，EF∥B1D1，∴EF∥MN，∴MN∥平面EFDB，∴平面AMN∥平面EFDB.例2證明(1)取DC中點Q，連接MQ、NQ.∵NQ是△PDC的中位線，∴NQ∥PD.∵NQ平面PAD，PD平面PAD，∴NQ∥平面PAD.∵M是AB中點，ABCD是平行四邊形，∴MQ∥AD，MQ平面PAD，AD平面PAD.從而MQ∥平面PAD.∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PAD.∵MN平面MNQ，∴MN∥平面PAD.(2)∵平面MNQ∥平面PAD，平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE.∴MN∥PE.變式訓練2證明方法一連接AF延長交BC于M，連接B′M.∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB，∴eq\f(AF,MF)＝eq\f(DF,BF).又∵BD＝B′A，B′E＝BF，∴DF＝AE.∴eq\f(AF,FM)＝eq\f(AE,EB′).∴EF∥B′M，又∵B′M平面BB′C′C，EF面BB′C′C，∴EF∥平面BB′C′C.方法二作FH∥AD交AB于H，連接HE.∵AD∥BC，∴FH∥BC，又∵BC平面BB′C′C，F(xiàn)H平面BB′C′C，∴FH∥平面BB′C′C.由FH∥AD，可得eq\f(BF,BD)＝eq\f(BH,BA)，又BF＝B′E，BD＝AB′，∴eq\f(B′E,B′A)＝eq\f(BH,BA)，∴EH∥BB′，∵B′B平面BB′C′C，EH面BB′C′C，∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H，∴平面FHE∥平面BB′C′C，∵EF平面FHE，∴EF∥平面BB′C′C.例3解如圖所示，當F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC，證明如下：取PE的中點M，連接FM，則FM∥CE.①由EM＝eq\f(1,2)PE＝ED知，E是MD的中點，連接BM、BD，設BD∩AC＝O，則O為BD的中點，所以BM∥OE.②又BM∩FM＝M，③由①②③可得，平面BFM∥平面AEC.又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC.變式訓練3M∈線段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故線段FH上任意點M與N連接，有MN∥平面B1BDD1.課時作業(yè)1．D[直線a與B可確定一個平面γ，∵B∈β∩γ，∴β與γ有一條公共直線b.由線面平行的性質(zhì)定理知b∥a，所以存在性成立．因為過點B有且只有一條直線與已知直線a平行，所以b惟一．]2．C[若mα，nα，m，n是異面直線，如圖(1)所示，此時n與α相交，故A不正確．B項若mα，nα，m，n是異面直線，如圖(2)所示，此時m與n為異面直線，而n與α平行，故B不正確．D項如果m∥α，n∥α，m，n共面，如圖(3)所示，m與n可能相交，故D不正確．]3．B如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB∥面A1B1CD，CD∥面A1B1BA，但面A1B1CD與面A1B1BA相交，故A不正確；取AD中點為E，BC中點為F，則EF∥面ABB1A1，C1D1∥面ABB1A1，但面ABB1A1與面EFC1D1不平行，故C不對；雖然EF∥AB且C1D1∥面A1B1BA，但是面EFC1D1與面A對于選項B，當l1∥m，l2∥n且mα，nα時，有l(wèi)1∥α，l2∥α.又l1與l2相交且都在β內(nèi)，∴α∥β，而α∥β時，無法推出m∥l1且n∥l2.∴l(xiāng)1∥m且l2∥n是α∥β的充分不必要條件．]4．D如圖所示，A′、B′分別是A、B兩點在α、β上運動后的兩點，此時AB中點變成A′B′中點C′，連接A′B，取A′B中點E.連接CE、C′E.則CE∥AA′，∴CE∥α.C′E∥BB′，∴C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不論A、B如何移動，所有的動點C都在過C點且與α、β平行的平面上．]5．D[A，B，C在平面α的異側時，A錯；而A，B，C在平面α同側時，B錯；A，B，C在平面α的異側時，平面ABC有可能垂直于平面α，C錯．]6．m，n相交7．相似解析由于對應頂點的連線共點，則AB與A′B′共面，由面與面平行的性質(zhì)知AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故兩個三角形相似．8．③④9.證明過A作AE∥CD交α于E，取AE的中點P，連接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD，∴AE、CD確定平面AEDC.則平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，∵α∥β，∴AC∥DE.又P、N分別為AE、CD的中點，∴PN∥DE.PNα，DEα，∴PN∥α.又M、P分別為AB、AE的中點，∴MP∥BE，且MPα，BEα，∴MP∥α，又∵MP∩PN＝P，∴平面MPN∥α.又MN平面MPN，∴MN∥α.10．證明(1)取B1D1中點O，連接GO，