高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

[1.1.1]集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性..

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，。表示有理數(shù)集，/?表示實(shí)數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象。與集合M的關(guān)系是aeM,或者aeM,兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描述法：｛X[X具有的性質(zhì)｝,其中尤為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.③不含有任何元素的集合

叫做空集(0).

[1.1.2]集合間的基本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

A^B(l)ACA

(或A中的任一元素都屬(2)0CA

子集

J'B⑶若Aq8且6qC,則AqC

3")

(4)若且BqA,則A=8或

AUB(1)0uA(A為非空子集)

*AqB,且B中至

真子集

少有一元素不屬于A

(或BIDA)(2)若AuB月.6uC,則AuC

*

A中的任一元素都屬

集合(l)AOB

A=B于B,B中的任一元素

相等(2)BCA

都屬于A?

(7)已知集合A有21)個(gè)元素，則它有2"個(gè)子集，它有2"—1個(gè)真子集，它有2"—1個(gè)非空子集,

它有2"-2非空其子集.

[1.1.3]集合的基本運(yùn)算

(8)交集、并集、補(bǔ)集

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(1)AfiA=A

{X\XEA,且

(2)7100=0

交集

(3)ApBcA

xeB}

4n8=8

(1)ALM=A

{x|X￡A,或

4U3(2)AU0=A

并集

(3)AU6衛(wèi)A

XEB}

1ACM4)=02AU&A)=U

{x\xeU,^x^A}物An8)=("A)U(“B)

補(bǔ)集03(^A^)

題AUB)=("A)n(〃B)

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對(duì)值的不等式的解法

不等式解集

|x\<a(a>0){x\-a<x<a}

|x\>a(a>0)x|x<-a或x>〃}

把a(bǔ)x+b看成一個(gè)整體，化成|x|<a,

\ax+b\<c9\ax^-b|>c(c>0)

|x|>a(a>0)型不等式來(lái)求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0△=0A<0

A=。2-4ac

二次函數(shù)L

y=ax2+Zu+c(a>0)43

的圖象UH—

一元二次方程-b±\Jb2-4ac

丸2=)

22ah

ax+bx+c=0(〃>0)玉=X2=一丁無(wú)實(shí)根

2a

(其中玉

的根<x2)

ax2+bx+c>0(〃>0)

｛工|工<王或/>工2｝*|R

2a

的解集

ax2+Zu+c<0(a>0)

{x\x]<x<x2}00

的解集

Kl.22函數(shù)及其表示

［1.2.1］函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)4、8是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)X,在集合B

中都有唯一確定的數(shù)/（x）和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A,8以及4到8的對(duì)應(yīng)法則/）

叫做集合A到B的一個(gè)函數(shù)，記作/:478.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

（2）區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)匕是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b,滿足的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做［凡功；滿足

a<x<Z?的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做（a,/?）；滿足或a<xWb的實(shí)數(shù)x的

集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做［a,。），（?,/?］：滿足了2。,兀>。,》4①犬<匕的實(shí)數(shù)％的集

合分別記做［a,+8）,（a,+8）,（-8,b］,（fo,6）.

注意：對(duì)于集合｛x|a<x<）｝與區(qū)間（%b）,前者。可以大于或等于b,而后者必須

a<b.

（3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①/（X）是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②/（X）是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③/（X）是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1.

71

⑤y=tanx中，k7r+—(kGZ).

⑥零(負(fù))指數(shù)壞的底數(shù)不能為零.

⑦若/(%)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí);則其定義域一般是各基本初等函數(shù)

的定義域的交集.

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知/(X)的定義域?yàn)椤?/“，其復(fù)合函數(shù)/[g(x)]

的定義域應(yīng)由不等式aVg(x)<h解出.

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.

⑩由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)

最小(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是

提問(wèn)的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的

值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=/(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程

a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,則在a(y)*O時(shí),由于為實(shí)數(shù)，故必須有

A=b2(y)-4a(y)?c(y)>0,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)的最值問(wèn)題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或兒何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象衣示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合8中都

有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,8以及4到8的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A

到8的映射，記作f

②給定一個(gè)集合A到集合8的映射，且aeA力e8.如果元素。和元素〃對(duì)應(yīng)，那么我們把元素

6叫做元素a的象，元素。叫做元素b的原象.

K1.32函數(shù)的基本性質(zhì)

［1.3.1］單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某(1)利用定義

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量y<x)/(2)利用己知函數(shù)的

的值X］、X2,當(dāng)X1<身時(shí)，都單調(diào)性

有f(xi)<f(x?),那么就說(shuō)(3)利用函數(shù)圖象(在

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增勤教.某個(gè)區(qū)間圖

x,x,X象上升為增)

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性(1)利用定義

如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某y=f(x)(2)利用已知函數(shù)的

個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量f(xj單調(diào)性

的值Xi、X2，當(dāng)不?召時(shí)，都(3)利用函數(shù)圖象(在

有f(x?)>f(x?),那么就說(shuō)某個(gè)區(qū)間圖

f(x)在這個(gè)區(qū)間上是讀單數(shù)0象下降為減)

X.X2X

(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為

增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］,令"=g(x),若y=/(〃)為增，“=g(x)為增，則

y=/[g(x)]為增；若y=/(")為減，"=g(x)為減,則y=/[g(x)]為增;若>=/(，，)為

增，“=g(x)為減，則y=/［g(x)］為減；若y=/(“)為減,M=g(x)為增，貝Uy”

y=/［g(x)］為減?

(2)打“J”函數(shù)/(%)=工+@(<7>0)的圖象與性質(zhì)

X

/(x)分別在(一8,一6］、［6,+8)上為增函數(shù)，分別在

X

|-JZ,O)、(O,JZ］上為減函數(shù).

（3）最大（小）值定義

①般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的xe/,都有

（2）存在使得/（%）=".那么，我們稱M是函數(shù)/（X）的最大值，記作

八（x）W

②?般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù)相滿足：（1）對(duì)于任意的xe/,都有

/（x）2m;⑵存在X。€/,使得/（尤0）=〃2.那么，我們稱〃？是函數(shù)/（X）的最小值，記作

ZnaxW=WI-

[1.3.2]奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)（1）利用定義（要先

y

任意一個(gè)X,都有貝-4尸一(a,f(a))判斷定義域是否關(guān)于

fg）,那么函數(shù)f（x）叫做冬西原點(diǎn)對(duì)稱）

-a廠

藜.Joax（2）利用圖象（圖象

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

(-a,f(-a))

函數(shù)的

奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)（1）利用定義（要先

y

任意一個(gè)X,都有f（yx）=f（x）,判斷定義域是否關(guān)于

(-a.f(-a))(a,f(a))

那么函數(shù)f（x）叫做假圖孰蘭原點(diǎn)對(duì)稱）

工（2）利用圖象（圖象

-aoax

關(guān)于y軸對(duì)稱）

②若函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/（0）=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或

奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù).

K補(bǔ)充知識(shí)』函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式：

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、索函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本

初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

八>0,左:移〃個(gè)單位

y=/(x)

辰0,右移同個(gè)單位>y=f(x+h)

*>0,上移K個(gè)單位

-y=/(x)+左

y=fMk<0,下移&|個(gè)單位

②伸縮變換

0<啰<1,伸

y=/(x)?y=/(3x)

?！?,縮

0cA<1,純

,)'=A/(x)

y=f(x)A>1,伸

③對(duì)稱變換

y=〃x).削-.>y=_/(x)y=/(x)=

>'=/(x)y=-/(-x)y=/(x)也線k,>y=P'(x)

去掉）釉左邊圖象

>y=/(|x|)

y=fM保留），軸右邊圖象，并作其關(guān)于）軸對(duì)稱圖象

保留X軸上方圖象>y="(x)I

y=fM將X軸卜方圖象翻折上去

（2）識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義

域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，

獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)（I）

K2.13指數(shù)函數(shù)

[2.1.11指數(shù)與指數(shù)塞的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果x〃>1,且〃wN+，那么x叫做。的〃次方根.當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí),

。的〃次方根用符號(hào)后表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)。的正的〃次方根用符號(hào)布表示，負(fù)的〃次方

根用符號(hào)一式表示；o的〃次方根是0；負(fù)數(shù)。沒有幾次方根.

②式子布叫做根式，這里“叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)

〃為偶數(shù)時(shí)，a>0.

③根式的性質(zhì)：（標(biāo)）〃=〃；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

y/cF=\a\=<a(?>0)

[-a3<o)

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：=4""(?！?,機(jī),〃eN+，且〃>1).o的正分?jǐn)?shù)指數(shù)

基等于0.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：/；=(4)；=/(4)'”伍>0,6,”€乂，且〃>1).0

aVa

的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)

①優(yōu)="+'(a>0,r,seR)②(")'=a"(a>0,r,seR)

③(的=arbr(a〉0/>0,reR)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=優(yōu)伍〉0且a*1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>10<a<1

\了=優(yōu)[》

圖象

y=1X].J(o,i)

定義域R

值域(0,+oo)

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=0時(shí)，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>1(x>0)a'<1(x>0)

函數(shù)值的

ax=1(x=0)“、=1*=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>1(x<0)

a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高：在第二象限內(nèi)，。越大圖象越低.

K2.23對(duì)數(shù)函數(shù)

[2.2.1)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若優(yōu)=N(a>0,且。工1),則x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,其中。叫做底數(shù),

N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).

③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log(,N=a*=N(a>0,aw1,N〉0).

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

log“1=0,log0a=1,log""=b-

(3)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：IgN,即k>g“,N；自然對(duì)數(shù)：InN,即log,N(其中e=2.71828…).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0,a/l,Af>0,N〉0,那么

M

①加法：log”M+log,N=log(MN)②減法：log”M-log,,N=log,一

,u(N

③數(shù)乘：=log“M"("cR)④*g*=N

⑤log“M"=21og“M3w0,〃wR)⑥換底公式：log“N=^^(b〉0”H^kl)

"blog,a

[2.2.2]對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)

過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)尤=1時(shí)，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

logaX>0(x>l)logax<0(x>l)

函數(shù)值的log〃x=0(x=l)log〃x=0(x=l)

變化情況

logax<0(0<x<1)lognx>0(0<x<1)

a變化對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，。越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子y=f(x)中解出x,得式子x=(p(y).如

果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x=Q(y),x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式

子x=8(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x=e(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/"(y),

習(xí)慣上改寫成y=/T(x).

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=/T(y)改寫成y=/''(%),并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=/(x)與反函數(shù)＞■=/'(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/」(x)的值域、定義域.

③若P(a,。)在原函數(shù)y=/(x)的圖象上，則尸’(aa)在反函數(shù)y=/"(x)的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.32塞函數(shù)

(1)嘉函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x"叫做嘉函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù).

(2)嘉函數(shù)的圖象

\X/

\「一

\1A1)v=.v'

(3)黑函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：扉函數(shù)圖象分布在第一、二、二象限，第四象限無(wú)圖象.事函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第

一、二象限(圖象關(guān)于y軸對(duì)稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第?、二象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；是非奇非偶

函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限.

②過(guò)定點(diǎn)：所有的事函數(shù)在(0,+o。)都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1』).

③單調(diào)性：如果a〉0,則第函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在［0,+8)上為增函數(shù).如果。<0,則寡函數(shù)

的圖象在(0,+s)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近無(wú)軸與y軸.

④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，事函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)a="(其中p,q互

P

旦1

質(zhì)，p和qwZ),若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=xp是奇函數(shù)，若P為奇數(shù)4為偶數(shù)時(shí)，則y=xp

是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=x°是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：箱函數(shù)y=x\xe(0,+8),當(dāng)。>1時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若

x>\,其圖象在直線y=x上方，當(dāng)a<l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若x>l,

其圖象在直線y=x下方.

K補(bǔ)充知識(shí)》二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①■一般式：/(x)=ax2+8x+c(aw0)②頂點(diǎn)式：/(x)=a*-/?)?+&(a/0)③兩根式：

/(x)=a(x-xt)(x-x2)(a0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求/（X）更方便.

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a豐0）的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為%=--,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

b4ac-b2

bbh

②當(dāng)Q>0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在（-8,-----］上遞減，在1----,+8）上遞增，當(dāng)工=-----時(shí)，

2a2a2a

4cic—b~bb

---------:當(dāng)。<°時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在（一0。,——］上遞增，在［——，+8）上

4a2a2a

」b,「/、4ac-b2

遞減，當(dāng)戶一五時(shí)，

③二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（。w0）當(dāng)△=-4ac>0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

以（小0）,此的0）,因死耳.一卬二a

|?|

（4）一元二次方程nW+6x+c=0（。w0）根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不

夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，

下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程。/+6：+。=0僅。0）的兩實(shí)根為占，》2,且司4》2?令

b

/（x）=ax2+kr+c,從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類問(wèn)題：①開口方向：”②對(duì)稱軸位置：x=

2a

③判別式：A④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).

=

②xWxV=

④hq-o

⑤有且僅有一個(gè)根*（或X2）滿足左《X,（或&）<feO/a,）/（fe）<0,并同時(shí)考慮了（尢）=0

或/仇）=0這兩種情況是否也符合

?ki<x\<k2^：pi<X2<p2O

此結(jié)論可直接由⑤推出.

（5）二次函數(shù)/（》）=以2+公+。伍。0）在閉區(qū)間［「，4］上的最值

設(shè)/(x)在區(qū)間［p,0上的最大值為M,最小值為機(jī)，令x()=；(p+q).

(I)當(dāng)。>0時(shí)(開口向上)

①若一-則加=則一--)③若一-則

-<p,/(p)②若pW一2Wq,m=/(—>qt

2a2a2a2a

m=f(q)

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xe。)，把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

y=/(x)(xe。)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)》=/*)的

圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)=函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=/(x)的庫(kù)點(diǎn)：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根；

②(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利

用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax1+bx+c(a*0).

1)A>o,方程ax?+bx+c=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

2)△=0,方程+bx+c=0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與X軸有一個(gè)交

點(diǎn)，二次函數(shù)有一■個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3)A<0,方程+bx+c=0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與X軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3直觀圖：斜二測(cè)畫法

4斜二測(cè)畫法的步驟：

(1).平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

(2).平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x,z軸的線長(zhǎng)度不變；

(3).畫法要寫好。

5用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(一)空間幾何體的表面積

1棱柱、楂銖的表面積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積S=2勿7+2勿」3圓錐的表面積S=M/+加2

4圓臺(tái)的表面積§=m/+加2+成/+做一5球的表面積S=4成'

(二)空間幾何體的體積

1柱體的體積V=S底X力2錐體的體積V=一X6

3臺(tái)體的體積V=§(Sk+Js[S下+S下)x/z4球體的體積V=g加3

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系D

2.1.1/

1平面含義：平面是無(wú)限延展的//

2平面的畫法及表示AN-----------------/B

(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫

成鄰邊的2倍長(zhǎng)(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、6、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四

個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個(gè)公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

符號(hào)表示為

A^L、

BGLkLC

Aear

BEaJ

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

(2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面a,

使A￡a、a、CGa0

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

符號(hào)表示為：PeanP=>anp=L,且PUL

公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有個(gè)公共點(diǎn);

共面直線

乎行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a〃b}=>a//c

c//b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

4注意點(diǎn)：

①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直

線中的?條上；K

②兩條異面直線所成的角96(0,)；—

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作a，b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

(3)直線在平面平行一沒有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來(lái)表不《

aQaCa=Aa〃a

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。

符號(hào)表示：

aa《1

b8U=>a

a/7b—J

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

2、判斷兩平面平行的方法有三種：

(1)用定義；

(2)判定定理；

(3)垂直于同條直線的兩個(gè)平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理.：條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任平面與此平面的交線與該直線平行。

簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。&

符號(hào)表示：

a〃a、

a仁B

aAp=b-

作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。

2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。

符號(hào)表示:

a〃Bl

any=aa》b

BCY=bi

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線L與平面?；ハ啻怪?，記作L，a,直

線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;

b）定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

平面（公理1、公理2、公理3、公理4）

空間直線、平面的位置關(guān)系

第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角和斜率

3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線1與X軸相交時(shí)，取X軸作為基準(zhǔn)，X軸正向與直線1向上方向之間所成

的角a叫做直線1的傾斜角.特別地,當(dāng)直線1與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定a=0。.

2、傾斜角a的取值范圍：0°Wa<180°.當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，a=90°.

3、直線的斜率：

一條直線的傾斜角a（aW90°）的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示,也就是k

=tana