2022-2023學年山東省煙臺市高二（下）期末數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.15分）若函數f（xsinxcosx，則f′（x）=()25分）已知全集U＝R，A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．{x|﹣3＜x＜0}B．{x|﹣3＜x≤0}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|0≤x＜1}35分）若p：實數a使得“?x0∈R，x+2x0+a=0”為真命題，q：實數a使得“?x∈[1，+∞),x2﹣a＞0”為真命題，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件45分）某銀行擬面向部分科創小微企業開展貸款業務．調查數據表明，科創小微企業的貸款實際還款比例P（x）關于其年收入x（單位：萬元）的函數模型為p(x)=1x．已知當貸款小微企業的年收入為10萬元時，其實際還款比例為50%，若銀行期待實際還款比例為60%，則貸款小微企業的年收入約為參考數據：ln2≈0.693，ln3≈1.099）A．14萬元B．16萬元C．18萬元D．20萬元55分）函數f（xln|x﹣1|﹣ln|x+1|的部分圖象大致為()65分）已知定義在R上的奇函數f(x)=x≥0，則f(g(log2))的值為()75分）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2f（xy＝f（x+1）是偶函數，若f（x）在（0，1）上單調遞增，a＝f（ln2b=f(?e)，c=f()，則()A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．b＜c＜a85分）已知函數f（xx+1）ex，若函數F（xf2（xmf（x）+m﹣1有三個不同的零點，則實數m的取值范圍為()二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）95分）已知a＝log212，b＝log318，則()A．a＜bBa﹣2b﹣21C．a+b＜7D．ab＞9（多選）105分）已知函數f(x)=1x，則()A．f（x）有極大值﹣4B．f（x）在(﹣∞,0）上單調遞增C．f（x）的圖象關于點（12）中心對稱D．對?x1，x2∈（1，+∞),都有f()≥（多選）115分）對于函數f（x若在其定義域內存在x0使得f（x0x0，則稱x0為函數f（x）的一個“不動點”，下列函數存在“不動點”的有()A．f(x)=2x2+C．f（xex﹣1﹣2lnxB．f（x）＝ex﹣3xD．f(x)=lnx xa（多選）125分）關于曲線f（xlnx和g(x) xa(a≠0)的公切線，下列說法正確的有A．無論a取何值，兩曲線都有公切線B．若兩曲線恰有兩條公切線，則a=C．若a1，則兩曲線只有一條公切線D．若＜a＜0，則兩曲線有三條公切線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.135分）寫出一個同時具有下列性質的函數f（x①f（x1x2f（x1）+f（x2②f（x）為增函數．145分）若函數f（xx2﹣x+alnx在（1，+∞）上單調遞增，則實數a的取值范圍為．ln(x+3a)，x＞0155分）已知函數f(x)=ex+a，x≤0，若方程fln(x+3a)，x＞0值范圍為．165分）若f（x）是區間[a，b]上的單調函數，滿足f（a0，f（b0，且f″（x0（f″（x）為函數f′（x）的導數則可用牛頓切線法求f（x0在區間[a，b]上的根ξ的近似值：取初始值x0＝b，依次求出y＝f（x）圖象在點（xk﹣1，f（xk﹣1處的切線與x軸交點的橫坐標xk（k＝1，2，3，…當xk與ξ的誤差估計值（m為f|′（x）|（x∈[a，b]）的最小值）在要求范圍內時，可將相應的xk作為ξ的近似值．用上述方法求方程x3+2x﹣1＝0在區間[0，]上的根的近似值時，若誤差估計值不超過0.01，則滿足條件的k的最小值為，相應的xk值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1710分）已知集合A＝{x|a﹣3＜x＜2a+1}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}．（1）當a＝1時，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求實數a的取值范圍．1812分）已知函數f（xax3+bx2+2x，f′（x0的解集為∞，1）∪（2，+∞（2）若g（x）是定義在R上的奇函數，且當x≤0時，g（xf（x求不等式g（2x﹣3）+g（x）>0的解集.1912分）若函數f（xaex+bx﹣1在x＝0處取得極小值0.（1）求f（x）的圖象在點（1，f（1處的切線方程；（2）若不等式f（x）+f（2x）≥3x+m恒成立，求實數m的取值范圍.2012分）已知函數f（xax﹣lnx.（1）討論函數f（x）的單調性；（2）證明：當0＜a＜1時，?x∈（0，+∞),使得f（x3a﹣a2﹣ln2.2112分）某物流公司計劃擴大公司業務，但總投資不超過100萬元，市場調查發現，投入資金x（萬（1）若該公司投入資金不超過40萬元，能否實現年增加利潤30萬元？（2）如果你是該公司經營者，你會投入多少資金？請說明理由.2212分）已知函數f(x)=xlnx+x2?x.（1）求函數f（x）的零點個數；（2）若g（x）＝（x﹣1）ex﹣af（x）有兩個極值點，求實數a的取值范圍.2022-2023學年山東省煙臺市高二（下）期末數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.15分）若函數f（xsinxcosx，則f′（x）=()【解答】解：f（x）＝sinxcosx，則f'（xsinx）'cosx+sinx（cosx）'＝cos2x﹣sin2x＝cos2x.故選：C.25分）已知全集U＝R，A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，則圖中陰影部分表示的集合為()A．{x|﹣3＜x＜0}B．{x|﹣3＜x≤0}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|0≤x＜1}【解答】解：根據韋恩圖，陰影部分表達的是集合A中不屬于集合B的元素組成的集合，又A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|0≤x＜2}，故陰影部分表示的集合為{x|﹣3＜x＜0}.故選：A.35分）若p：實數a使得“?x0∈R，x+2x0+a=0”為真命題，q：實數a使得“?x∈[1，+∞),x2﹣a＞0”為真命題，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解答】解：對于p：?x0∈R，x+2x0+a=0，所以Δ=4﹣4a≥0，即a≤1.對于q：?x∈[1，+∞),x2﹣a＞0，因為函數y＝x2﹣a在[1，+∞)上單調遞增，所以當x＝1時x2﹣a）min＝1﹣a，則1﹣a＞0，即a＜1.所以p是q的必要不充分條件.故選：B.45分）某銀行擬面向部分科創小微企業開展貸款業務．調查數據表明，科創小微企業的貸款實際還款比例P（x）關于其年收入x（單位：萬元）的函數模型為p(x)=1x．已知當貸款小微企業的年收入為10萬元時，其實際還款比例為50%，若銀行期待實際還款比例為60%，則貸款小微企業的年收入約為參考數據：ln2≈0.693，ln3≈1.099）A．14萬元B．16萬元C．18萬元D．20萬元【解答】解：由題意可知p(10)=1k=50%=，令p(x)=1x=60%=，得5e﹣0.5+0.05x＝3（1+e﹣0.5+0.05x得e?0.5+0.05x=，取對數得?0.5+0.05x=ln故選：C.55分）函數f（xln|x﹣1|﹣ln|x+1|的部分圖象大致為()B.D.【解答】解：由|x?1|＞0所以函數f（x）的定義域為(﹣∞,﹣1）∪(﹣1，1）∪（1，+∞),關于原點對稱，又f(﹣xln|﹣x﹣1|﹣ln|﹣x+1|＝ln|x+1|﹣ln|x﹣1|=﹣f（x所以函數f（x）為奇函數，圖象關于原點對稱，故排除CD選項；當x=時，函數f(x)=lnln=ln＜ln1=0，當x=時，函數f(x)=lnln=ln3＞ln1=0，故排除B選項.故選：A.65分）已知定義在R上的奇函數f(x)=x≥0，則f(g(log2))的值為()【解答】解：由于log2＜0，所以g(log2)=f(log2)，由于f（x）為奇函數，所以f(log2)=?f(?log2)=?f(log2)，f(log2)=4?2log2+2=4?4×2log2=4?4×=?1，所以g(log2)=f(log2)=?f(log2)=1，f(g(log2))=f(1)=4?23=?4，故選：C.75分）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2f（xy＝f（x+1）是偶函數，若f（x）在（0，1）上單調遞增，a＝f（ln2b=f(?e)，c=f()，則()A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．b＜c＜a【解答】解：因為在R上的函數f（x）滿足f（x+2f（x所以f（x）的周期為2，則b=f(?e)=f(2?e)，c=f()=f()，1 211 211＞ln2＞lne=＜＜又因為f（x）在（0，1）上單調遞增，于是f(2?e)＜f()＜f(ln2)，所以b＜c＜a.故選：D.85分）已知函數f（xx+1）ex，若函數F（xf2（xmf（x）+m﹣1有三個不同的零點，則實數m的取值范圍為()【解答】解：函數f（x）＝（x+1）ex的定義域為R，求導得f′（x）＝（x+2）ex，當x<﹣2時，f′（x0，當x2時，f′（x0，因此函數f（x）在(﹣∞,﹣2）上單調遞減，在(﹣2，+∞)上單調遞增，f(x)min=f(?2)=，且x<﹣1，恒有f（x0，由F（x0，得[f（x1][f（xm+1]＝0，即f（x1或f（xm﹣1，由f（x1，得x＝0，于是函數F（x）有3個不同零點，當且僅當方程f（xm﹣1有2個不同的解，即直線y＝m﹣1與y=f（x）圖象有2個公共點，在同一坐標系內作出直線y＝m﹣1與y＝f（x）的圖象，如圖，觀察圖象知，當＜m?1＜0，即1＜m＜1時，直線y＝m﹣1與y＝f（x）的圖象有2個公共所以實數m的取值范圍為(1，1).故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）95分）已知a＝log212，b＝log318，則()A．a＜bBa﹣2b﹣21C．a+b＜7D．ab＞9【解答】解：對于A，因為a＝log212＞log28＝3，b＝log318＜log327＝3，所以a＞b，故A錯誤；對于B，因為a＝log212＝log23+log24＝log23+2，即a﹣2＝log23，b＝log318＝log32+log39＝log32+2，即b﹣2＝log32，所以（a﹣2b﹣2log23×log32＝1，故B正確；對于C，因為a＝log212＜log216＝4，由A選項知，b＜3，所以a+b＜7，故C正確；對于D，由B選項知，a＝log23+2，b＝log32+2，因為log23≠log32，且log23＞log21＝0，log32＞log31＝0，所以ab=(log23+2)(log32+2)=5+2(log23+log32)＞5+4log23×log32=9，即ab＞9，故D正確.故選：BCD.（多選）105分）已知函數f(x)=1x，則()A．f（x）有極大值﹣4B．f（x）在(﹣∞,0）上單調遞增C．f（x）的圖象關于點（12）中心對稱D．對?x1，x2∈（1，+∞),都有f()≥f′（x）=2x?(11)?x2=，【解答】解：對于Af′（x）=2x?(11)?x2=，令f′（x0得x＝0或2，所以在(﹣∞,0）上f′（x0，f（x）單調遞減，在（0，1）上f′（x0，f（x）單調遞增，在（1，2）上f′（x0，f（x）單調遞增，在（2，+∞)上f′（x0，f（x）單調遞減，所以當x＝2時，f（x）極大值＝f（2）=﹣4，故A正確；對于B：由上可知f（x）在(﹣∞,0）上單調遞減，故B錯誤；對于C：f（1﹣x）+f（1+x）=1)+1)=1?2+x2對于B：由上可知f（x）在(﹣∞,0）上單調遞減，故B錯誤；所以f（x）關于點（12）對稱，故C正確；對于D：由（1）知f所以f（x）關于點（12）對稱，故C正確；所以f″（x）=(?2x+2)(1?x)2)?(?1)?(?x2+2x)=，當x＞1時，f″（x0，所以f（x）在（1，+∞)上向下凸，所以對?x1，x2∈（1，+∞),都有f()≥，故D正確，故選：ACD.（多選）115分）對于函數f（x若在其定義域內存在x0使得f（x0x0，則稱x0為函數f（x）的一個“不動點”，下列函數存在“不動點”的有()A．f(x)=2x2+B．f（x）＝ex﹣3xC．f（x）＝ex﹣1﹣2lnxD．f(x)=lnx故方程無實數根，故A錯誤，B：f（x）定義域為R，f（xex﹣3x＝x，記g（xex﹣4x，則g（x）的圖象是連續不斷的曲線，g（0）＝1＞0，g（1）＝e﹣4＜0，根據零點存在性定理可知g（x）在（0，1）存在零點，故B正確，C：f（x）定義域為（0，+∞),f（x）＝ex﹣1﹣2lnx＝x，由于f（1）＝e0﹣0＝1，所以x＝1是f（x）的一個不動點，故C正確，D：f（x）的定義域為（0，+∞),f(x)=lnx=x，令F(x)=lnxx，則F'(x)=+1=?x2x+2=?(x?(x+1)，故當x＞2時，f′（x0，F（x）單調遞減，當0＜x＜2時，f′（x0，F（x）單調遞增，故當x=2時，F（x）取極大值也是最大值，故F（x）≤F（2）＝ln2﹣3＜0，故f(x)=lnx=x在（0，+∞)無實數根，故D錯誤.故選：BC. xa（多選）125分）關于曲線f（xlnx和g(x) xa(a≠0)的公切線，下列說法正確的有()A．無論a取何值，兩曲線都有公切線B．若兩曲線恰有兩條公切線，則a=C．若a<﹣1，則兩曲線只有一條公切線D．若＜a＜0，則兩曲線有三條公切線 xa【解答】解：不妨設曲線f（x）＝lnx和g(x) xa(a≠0)的公切線分別與兩曲線相切于（m，lnmm>0(n，)(n≠0)，因為f'(x)=，g'(x)=，所以f'(m)=，g'(n)=，此時公切線的方程為y?lnm=(x?m)，即y=x+lnm?1，也可以為y=(x?n)，即y=x+，整理得ln()?1=，所以lnn2ln(?a)?1=0(a＜0)，當a＞0時a＜0，此時上述式子無意義，則兩曲線沒有公切線，故選項A錯誤；不妨設F(n)=lnn2ln(?a)?1(n＞0)，此時F(n)=2lnnln(?a)?1(n＞0)，可得F'(n)=+=2(a)，當0＜n<﹣a時，F′（n0；當na時，F′（n0，所以函數F（n）在（0a）上單調遞減，在(﹣a，+∞)上單調遞增，則F（n）min＝F(﹣a2ln(﹣a）+2﹣ln(﹣a1＝ln(﹣a）+1，當F(﹣aln(﹣a）+1＜0，即＜a＜0時，F（n0有兩解，此時方程lnn2ln(?a)?1=0在n＞0時有兩解，當F(﹣aln(﹣a）+1＝0，即a=時，F（n0只有一解，此時方程lnn2ln(?a)?1=0在n＞0時只有一解，當F(﹣aln(﹣a）+1＞0，即a<時，F（n0無解，此時方程lnn2ln(?a)?1=0在n＞0時無解，不妨設F(n)=lnn2ln(?a)?1(n＜0)，此時F(n)=2ln(?n)ln(?a)?1(n＜0)，得到F'(n)=+=2(a)＜0，所以函數F（n）在(﹣∞,0）上單調遞減，易知函數F（n）在(﹣∞,0）上一定存在n0使得F（n0）＝0，即方程lnn2ln(?a)?1=0在n＜0時只有一解，綜上所述，當a=時，有兩條公切線，故選項B正確；當a<時，有一條公切線，又?1<，所以當a<﹣1時，只有一條公切線，故選項C正確；當＜a＜0時，有三條公切線，因為<，所以當＜a＜0時，有三條公切線，故選項D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.135分）寫出一個同時具有下列性質的函數f（xlog2x.①f（x1x2f（x1）+f（x2②f（x）為增函數.【解答】解：取f（xlog2x，該函數的定義域為（0，+∞),對任意的x1、x2∈（0，+∞),f（x1x2log2（x1x2log2x1+log2x2＝f（x1）+f（x2即f（xlog2x滿足①;又因為函數f（xlog2x為定義域（0，+∞)上的增函數，即f（xlog2x滿足②.故函數f（xlog2x滿足條件.故答案為：log2x（形如f（xlogax（a＞1）都可以，答案不唯一）.a=2x2?x+a，xx145分）若函數f（xx2﹣x+alnx在（1，+∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍為a=2x2?x+a，xx【解答】解：因為f（xx2﹣x+alnx，x＞1，所以f'(x)=2x?1+又函數f（x所以f'(x)=2x2x+a≥0在x∈（1，+∞)上恒成立，即a≥﹣2x2+x在x∈（1，+∞)上恒成立，令g（x）=﹣2x2+x，對稱軸為直線x=1所以函數g（x）在（1，+∞)上單調遞減，所以g（xg（1）=﹣1，所以a≥﹣1，即實數a的取值范圍為[﹣1，+∞).故答案為：[﹣1，+∞).ln(x+3a)，x＞0155分）已知函數f(x)=ex+a，x≤0，若方程fln(x+3a)，x＞0值范圍為[0，).【解答】解：當x≤0時，0＜ex≤1，則a＜f（x）≤1+a，若a＞0，當x＞0時，f（x）＝ln（x+3a）＞ln3a，因為方程f（x）＝1有兩個不相等的實數根，如圖，a＞0ln3a＜1所以a＜1≤1+a，即a＞0ln3a＜1若a≤0，當x＞0時，f（xln（x+3a此時方程f（x1有1個解，如圖，當x≤0時，方程f（x）＝1有1個解需滿足10≤綜上所述，實數a的取值范圍為[0，)．故答案為：[0，)．165分）若f（x）是區間[a，b]上的單調函數，滿足f（a0，f（b0，且f″（x0（f″（x）為函數f′（x）的導數則可用牛頓切線法求f（x0在區間[a，b]上的根ξ的近似值：取初始值x0＝b，依次求出y＝f（x）圖象在點（xk﹣1，f（xk﹣1處的切線與x軸交點的橫坐標xk（k＝1，2，3，…當xk與ξ的誤差估計值（m為f|′（x）|（x∈[a，b]）的最小值）在要求范圍內時，可將相應的xk作為ξ的近似值．用上述方法求方程x3+2x﹣1＝0在區間[0，過0.01，則滿足條件的k的最小值為2，相應的xk值為]上的根的近似值時，若誤差估計值不超 【解答】解：設f（xx3+2x﹣1，則f′（x3x2+2，f″（x6x，當x∈(0，)，f″(x)=6x＞0，故可用牛頓切線法求f（x0在區間[a，b]上的根ξ的近似值．由于f|′（x）|＝3x2+2在x∈所以f|′（x）|≥2，所以f|′（x）|的最小值為2，即m＝2，y＝f（x）圖象在點（xk﹣1，f（xk﹣1處的切線方程為：y=(3x?1+2)(x?xky＝f（x）圖象在點（xk﹣1，f（xk﹣1處的切線方程為：化簡得y=(3x?1+2)x?(2k?1+1)，令y＝0，則xk=，x2=3x+2=3()2+2=所以f(x1)=f()=()3+2×1=，=＞，f(x2)=f()=()3+2×()?1=()3=，=＜＜，故x2作為ξ的近似值，故答案為：2；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1710分）已知集合A＝{x|a﹣3＜x＜2a+1}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}.（1）當a＝1時，求A∩B；（2）若A∪B＝B，求實數a的取值范圍.【解答】解1）當a＝1時，A＝{x|﹣2＜x＜3}，而B＝{x|x2+3x﹣10≤0}＝{x|﹣5≤x≤2}，所以A∩B＝{x|﹣2＜x≤2}.（2）因為A∪B＝B，所以A?B，當A=當A≠?時，要使A?B成立，綜上所述，實數a的取值范圍是{a|a≤﹣4或?2≤a≤}.1812分）已知函數f（xax3+bx2+2x，f′（x0的解集為(﹣∞,1）∪（2，+∞).所以1和2是方程3ax2所以1和2是方程3ax2+2bx+2＝0的兩個根，且a＞0，（2）若g（x）是定義在R上的奇函數，且當x≤0時，g（xf（x求不等式g（2x﹣3）+g（x）>0的解集.【解答】解1）因為f（xax3+bx2+2x，所以f′（x）＝3ax2+2bx+2，又f′（x0的解集為(﹣∞,1）∪（2，+∞),所以23a（2）由（1）知，f(x)=x3x2+2x，由題意，當x≤0時，g(x)=f(x)=x3x2+2x，則g′（xx2﹣3x+2＞0，所以函數g（x）在(﹣∞,0]上單調遞增，又g（x）是定義在R上的奇函數，g（0）＝0，所以函數g（x）在[0，+∞)上單調遞增，所以函數g（x）在R上單調遞增.由g（2x﹣3）+g（x0，得g（2x﹣3g（xg(﹣x所以2x﹣3＞﹣x，即x＞1，所以不等式g（2x﹣3）+g（x0的解集為（1，+∞).1912分）若函數f（xaex+bx﹣1在x＝0處取得極小值0.（1）求f（x）的圖象在點（1，f（1處的切線方程；（2）若不等式f（x）+f（2x）≥3x+m恒成立，求實數m的取值范圍.【解答】解1）因為f（xaex+bx﹣1，則f′（xaex+b，0處取得極小值0，此時f（x）＝ex﹣x﹣1，則f′（x）＝ex﹣1，由f′（x0可得x＜0，由f′（x0可得x＞0，所以函數f（x）的減區間為(﹣∞,0增區間為（0，+∞),所以函數f（x）在x＝0處取得極小值f（0）＝0，合乎題意，則f（1）＝e﹣2，f′（1）＝e﹣1，因此f（x）的圖象在點（1，f（1處的切線方程為ye﹣2e﹣1x﹣1即y＝（e﹣1）x﹣1.（2）由f（x）+f（2x）≥3x+m可得m≤f（x）+f（2x3x，設g（xf（x）+f（2x3x＝ex+e2x﹣6x﹣2，則m≤g（x）min，因為g′（x2e2x+ex﹣6ex+22ex﹣3由g′（x0可得x＜ln，由g′（x0可得x＞ln，所以，函數f（x）的減區間為(?∞,ln)，增區間為(ln，+∞)，所以g(x)min=g(ln)=+6ln2=6ln，故實數m的取值范圍為(?∞,6ln).2012分）已知函數f（xax﹣lnx.（1）討論函數f（x）的單調性；（2）證明：當0＜a＜1時，?x∈（0，+∞),使得f（x3a﹣a（2）證明：當0＜a＜1時，?x∈（0，+∞),使得f（x3a﹣a2﹣ln2.當a≤0時，f′（x0，函數f（x）在（0，+∞)上單調遞減；當x∈(0，)時，f′（x0，f（x）單調遞減，x∈(，+∞)時，f′（x0，f（x）單調遞增；綜上，當a≤0時，函數f（x）在（0，+∞)上單調遞減；當a＞0時，f（x）在(0，)上單調遞減，在(，+∞)上單調遞增.（2）證明：由（1）可知，當0＜a＜1時，f（x）在x=處取得最小值1+lna，若?x∈（0，+∞),使得f（x3a﹣a2﹣ln2，只需1+lna＜3a﹣a2﹣ln2，即a2﹣3a+1+lna+ln2＜0恒成立即可，令g（aa2﹣3a+1+lna+ln2（0＜a＜1則g'只需1+lna＜3a﹣a2﹣ln2，即a2﹣3a+1+lna+ln2＜0恒成立即可，當a∈(0，)時，g′（a0，g（a）單調遞增，當a∈(，1)時，g′（a0，g（a）單調遞減，故當a=時，g(a)max=g()=+1+ln+ln2=＜0，所以?x∈（0，+∞),使得f（x3a﹣a2﹣ln2.2112分）某物流公司計劃擴大公司業務，但總投資不超過100萬元，市場調查發現，投入資金x（萬（1）若該公司投入資金不超過40萬元，能否實現年增加利潤30萬元？（2）如果你是該公司經營者，你會投入多少資金？請說明理由.【解答】解1）當x∈[0，40]時，y=90+2x?3x2+900，令y′＝0，則2=0，化簡得x2＝720，解得x