微專題10玩轉外接球、內切球、棱切球經典問題【題型歸納目錄】題型一：正方體、長方體模型題型二：正四面體模型題型三：對棱相等模型題型四：直棱柱模型題型五：直棱錐模型題型六：正棱錐與側棱相等模型題型七：側棱為外接球直徑模型題型八：共斜邊拼接模型題型九：垂面模型題型十：最值模型題型十一：二面角模型題型十二：圓錐圓柱圓臺模型題型十三：錐體內切球題型十四：棱切球【方法技巧與總結】技巧總結一：正方體、長方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．3、補成長方體（1）若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示圖1圖2圖3圖4技巧總結二：正四面體外接球如圖，設正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．技巧總結三：對棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構造長方體來解決這類問題．如圖，設長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設外接球半徑為，則，所以．技巧總結四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出技巧總結五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．技巧總結六：正棱錐與側棱相等模型1、正棱錐外接球半徑：．2、側棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．技巧總結七：側棱為外接球直徑模型方法：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形．技巧總結八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設點為公共斜邊的中點，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．技巧總結九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．圖1圖2技巧總結十：最值模型這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數法，基本不等式法，觀察法等技巧總結十一：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．技巧總結十二：圓錐圓柱圓臺模型1、球內接圓錐如圖，設圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當時，球心在圓錐內部；如圖，當時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3、球內接圓臺，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．技巧總結十三：錐體內切球方法：等體積法，即技巧總結十四：棱切球方法：找切點，找球心，構造直角三角形【典型例題】題型一：正方體、長方體模型【典例1-1】（2024·天津市第一中學濱海學校高一階段練習）正方體外接球的體積是，那么外接球的直徑為___________，正方體的表面積為___________．【典例1-2】（2024·遼寧·東港市第二中學高一階段練習）在長方體中，；點分別為中點；那么長方體外接球表面積為__________；三棱錐的外接球的體積為__________．【變式1-1】（2024·湖南·高一階段練習）《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，書中將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；將底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在塹堵中，，，AB＝8，則鱉臑外接球的表面積為___，陽馬體積的最大值為___．題型二：正四面體模型【典例2-1】（江蘇省鎮江市2023-2024學年高一學期期末數學試題）一個正四面體的四個頂點都在一個表面積為24π的球面上，則該四面體的體積為_____．【典例2-2】（2024·天津南開·高二學業考試）表面積為的正四面體外接球的體積為__________．【變式2-1】（2024·遼寧鞍山·二模）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為______．題型三：對棱相等模型【典例3-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【典例3-2】（2024?永安市校級期中）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【變式3-1】（2024?五華區校級期中）如圖，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等，“跳”有用腳蹴、蹋、踢的含義，“鞠”最早系皮革外包、內實米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家級非物質文化遺產名錄．若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四個點，，，滿足，，，則該“鞠”的表面積為A． B． C． D．題型四：直棱柱模型【典例4-1】（2024·遼寧·昌圖縣第一高級中學高一階段練習）已知直三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·廣西桂林·高二期末）直三棱柱的各個頂點都在同一個球面上，若則此球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（2024·河北·張北縣第一中學高一階段練習）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．題型五：直棱錐模型【典例5-1】（2024·全國·高三專題練習）在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，，，則四棱錐的外接球O的表面積是（

）A．80π B．160π C．60π D．40π【典例5-2】（2024·河南·濮陽一高高一期中）已知三棱錐中，底面，則此幾何體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（2024·黑龍江·勃利縣高級中學高一期中）據《九章算術》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．題型六：正棱錐與側棱相等模型【典例6-1】（2024·江蘇南通·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長為，側棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（

）A．16π B． C．8π D．【典例6-2】（2024·江蘇·揚中市第二高級中學高二階段練習）已知正三棱錐的四個頂點都在半徑為的球面上，且，若三棱錐體積為，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式6-1】（2024·重慶市實驗中學高一階段練習）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為____________．題型七：側棱為外接球直徑模型【典例7-1】（2024?本溪月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且；則棱錐A． B． C． D．【典例7-2】（2024?云南校級月考）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．【變式7-1】（2024?防城港模擬）體積為的三棱錐的所有頂點都在球的球面上，已知是邊長為1的正三角形，為球的直徑，則球的表面積為A． B． C． D．題型八：共斜邊拼接模型【典例8-1】（2024·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【典例8-2】（2024·江西贛州·高二期中）在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（

）A． B． C． D．【變式8-1】（2024·全國·高三專題練習）三棱錐D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD，AB⊥DB．則三棱錐D-ABC外接球的表面積是（

）．A． B． C． D．題型九：垂面模型【典例9-1】（2024·全國·高三專題練習）四棱錐的底面是矩形，側面平面，，，則該四棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【典例9-2】（2024·山西·祁縣中學高三階段練習（文））已知四棱錐的底面為矩形，平面平面，于，，，，，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式9-1】（2024·福建·廈門一中高三階段練習（理））三棱錐中，，，，，若平面平面ABC，則三棱錐外接球的表面積為________．題型十：最值模型【典例10-1】（2024·貴州遵義·高三開學考試）已知三棱錐的四個頂點均在體積為的球面上，，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【典例10-2】（2024·全國·三模）已知三棱錐的體積為，其外接球的體積為，若，，則線段SA的長度的最小值為（

）A．8 B． C．6 D．【變式10-1】（2024·遼寧撫順·一模）已知三棱柱的頂點都在球O的表面上，且，若三棱柱的側面積為，則球O的表面積的最小值是（

）A． B． C． D．題型十一：二面角模型【典例11-1】（2024·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【典例11-2】（2024·江蘇·南京市金陵中學河西分校高三階段練習）在三棱錐中，△是邊長為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的體積為________．【變式11-1】（2024·全國·高三專題練習）四邊形ABDC是菱形，，，沿對角線BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值為，則三棱錐D-ABC的外接球的體積為_____.題型十二：圓錐圓柱圓臺模型【典例12-1】（2024·全國·高三專題練習）如圖，半徑為4的球中有一內接圓柱，當圓柱的側面積最大時，球的表面積與圓柱的表面積之差為（

）A． B． C． D．【典例12-2】（2024·云南昆明·高三開學考試）“云南十八怪”描述的是由云南獨特的地理位置、民風民俗所產生的一些特有的現象或生活方式，是云南多元民族文化的寫照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽當鍋蓋”所指的鍋蓋是用秸稈或山茅草編織成的，因其形狀酷似草帽而傳為佳話.一種草帽鍋蓋呈圓錐形，其母線長為6dm，側面積為，若此圓錐的頂點和底面圓都在同一個球面上，則該球體的表面積等于______.【變式12-1】（2024·全國·高三專題練習）已知圓臺上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺的外接球的表面積為______．題型十三：錐體內切球【典例13-1】（2024·全國·高三專題練習）已知三棱錐中，，，則該三棱錐內切球的表面積為____________．【典例13-2】（2024·全國·高三專題練習）已知中，，，，以為軸旋轉一周得到一個旋轉體，則該旋轉體的內切球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式13-1】（2024·甘肅酒泉·模擬預測）三棱錐中，平面，，且，，則該三棱錐內切球的表面積為（

）A． B． C． D．題型十四：棱切球【典例14-1】（2024·江西·進賢縣第一中學高二期中）球與棱長為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【典例14-2】（2024·山東·德州市第一中學高一階段練習）邊長為2的正四面體內有一個球，當球與正四面體的棱均相切時，球的體積為_____．【變式14-1】（2024·全國·高三專題練習）已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是_______．【過關測試】1．（2024·高一·廣東·期末）把一個球放在一個圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上