山西省運城市永濟中學2025屆高一下數學期末經典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在銳角中，角的對邊分別為.若，則角的大小為()A． B．或 C． D．或2．在中，角的對邊分別是，，則的形狀為A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形3．在中，分別是角的對邊,若,且，則的值為()A．2 B． C． D．44．已知1，a，b，c，5五個數成等比數列，則b的值為（）A． B． C． D．35．在中，角、、所對的邊長分別為，，，，，，則的面積為（）A． B． C． D．96．平面直角坐標系xOy中，角的頂點在原點，始邊在x軸非負半軸，終邊與單位圓交于點，將其終邊繞O點逆時針旋轉后與單位園交于點B，則B的橫坐標為（）A． B． C． D．7．將兩個長、寬、高分別為5，4，3的長方體壘在一起，使其中兩個面完全重合，組成一個大長方體，則大長方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．8．已知冪函數過點，則的值為()A． B．1 C．3 D．69．已知數列滿足，且是函數的兩個零點，則等于（）A．24 B．32 C．48 D．6410．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，A．815 B．18 C．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，若，則____________.12．設當時，函數取得最大值，則______.13．在銳角△中，角所對應的邊分別為，若，則角等于________.14．已知，，則________15．若圓弧長度等于圓內接正六邊形的邊長，則該圓弧所對圓心角的弧度數為________.16．兩圓，相切，則實數＝______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設，若存在，使得，且對任意，均有（即是一個公差為的等差數列），則稱數列是一個長度為的“弱等差數列”.（1）判斷下列數列是否為“弱等差數列”，并說明理由.①1，3，5，7，9，11；②2，，，，.（2）證明：若，則數列為“弱等差數列”.（3）對任意給定的正整數，若，是否總存在正整數，使得等比數列：是一個長度為的“弱等差數列”？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由18．如圖，三棱柱中，，D為AB上一點，且平面.（1）求證：；（2）若四邊形是矩形，且平面平面ABC，直線與平面ABC所成角的正切值等于2，，，求三樓柱的體積.19．求函數的單調遞增區間.20．某校研究性學習小組從汽車市場上隨機抽取輛純電動汽車調查其續駛里程(單次充電后能行駛的最大里程),被調查汽車的續駛里程全部介于公里和公里之間,將統計結果分成組:,,,,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值;（2）求輛純電動汽車續駛里程的中位數;（3）若從續駛里程在的車輛中隨機抽取輛車,求其中恰有一輛車的續駛里程為的概率.21．設角，，其中：（1）若，求角的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

利用正弦定理，邊化角化簡即可得出答案．【詳解】由及正弦定理得，又，所以，所以，又，所以．故選A【點睛】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎題．2、A【解析】

先根據二倍角公式化簡，再根據正弦定理化角，最后根據角的關系判斷選擇.【詳解】因為，所以,,因此,選A.【點睛】本題考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析轉化能力，屬基礎題.3、A【解析】

由正弦定理，化簡求得，解得，再由余弦定理，求得，即可求解，得到答案．【詳解】在中，因為,且，由正弦定理得，因為，則，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關鍵．通常當涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解.4、A【解析】

根據等比數列奇數項也成等比數列，求解.【詳解】因為1，a，b，c，5五個數成等比數列，所以也成等比數列，等比數列奇數項的符號一致，，.故選A.【點睛】本題考查了等比數列的基本性質，屬于簡單題型，但需注意這個隱含條件.5、A【解析】

，利用正弦定理，和差公式化簡可得，再利用三角形面積計算公式即可得出.【詳解】化為：的面積故選：【點睛】本題考查正弦定理與兩角和余弦公式化簡求值，屬于基礎題.6、B【解析】

，B的橫坐標為，計算得到答案.【詳解】有題意知：B的橫坐標為：故答案選B【點睛】本題考查了三角函數的計算，意在考查學生的計算能力.7、B【解析】

要計算長方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據長方體的對角線是外接球的直徑這一性質，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長寬的兩個面重合；（2）長高的兩個面重合；（3）高寬兩個面重合，分別計算出新長方體的對角線，然后分別計算出外接球的表面積，最后通過比較即可求出最大值.【詳解】（1）當長寬的兩個面重合，新的長方體的長為5，寬為4，高為6，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（2）當長高兩個面重合，新的長方體的長5，寬為8，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（3）當寬高兩個面重合，新的長方體的長為10，寬為4，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為，顯然大長方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【點睛】本題考查了長方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計算公式，考查了數學運算能力.8、C【解析】

設，代入點的坐標，求得，然后再求函數值．【詳解】設，由題意，，即，∴．故選：C.【點睛】本題考查冪函數的解析式，屬于基礎題．9、D【解析】試題分析：依題意可知，，，，所以.即，故，，，.，所以，又可知.,故.考點：函數的零點、數列的遞推公式10、C【解析】試題分析：開機密碼的可能有(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5)，(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是115【考點】古典概型【解題反思】對古典概型必須明確兩點：①對于每個隨機試驗來說，試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現的可能性相等．只有在同時滿足①、②的條件下，運用的古典概型計算公式P(A)=m二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

根據正弦定理角化邊可得答案.【詳解】由正弦定理可得.故答案為：2【點睛】本題考查了正弦定理角化邊，屬于基礎題.12、；【解析】f(x)＝sinx－2cosx＝＝sin(x－φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，當x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時，函數f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ時，函數f(x)取到最大值，所以cosθ＝－sinφ＝－.13、【解析】試題分析：利用正弦定理化簡，得，因為，所以，因為為銳角，所以．考點：正弦定理的應用．【方法點晴】本題主要考查了正弦定理的應用、以及特殊角的三角函數值問題，其中解答中涉及到解三角形中的邊角互化，轉化為三角函數求值的應用，解答中熟練掌握正弦定理的變形，完成條件的邊角互化是解答的關鍵，注重考查了分析問題和解答問題的能力，同時注意條件中銳角三角形，屬于中檔試題．14、【解析】

直接利用反三角函數求解角的大小，即可得到答案.【詳解】因為，，根據反三角函數的性質，可得.故答案為：.【點睛】本題主要考查了三角方程的解法，以及反三角函數的應用，屬于基礎題.15、1【解析】

根據圓的內接正六邊形的邊長得出弧長，利用弧長公式即可得到圓心角.【詳解】因為圓的內接正六邊形的邊長等于圓的半徑，所以圓弧長所對圓心角的弧度數為1.故答案為：1【點睛】此題考查弧長公式，根據弧長求圓心角的大小，關鍵在于熟記圓的內接正六邊形的邊長.16、0,±2【解析】

根據題意，由圓的標準方程分析兩圓的圓心與半徑，分兩圓外切與內切兩種情況討論，求出a的值，綜合即可得答案．【詳解】根據題意：圓的圓心為（0，0），半徑為1，圓的圓心為（﹣4，a），半徑為5，若兩圓相切，分2種情況討論：當兩圓外切時，有（﹣4）2+a2=（1+5）2，解可得a=±2，當兩圓內切時，有（﹣4）2+a2=（1﹣5）2，解可得a=0，綜合可得：實數a的值為0或±2；故答案為0或±2．【點睛】本題考查圓與圓的位置關系，關鍵是掌握圓與圓的位置關系的判定方法．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①是，②不是,理由見解析（2）證明見解析（3）存在，證明見解析【解析】

（1）①舉出符合條件的具體例子即可；②反證法推出矛盾；

（2）根據題意找出符合條件的為等差數列即可；

（3）首先，根據，將公差表示出來，計算任意相鄰兩項的差值可以發現不大于．那么用裂項相消的方法表示出，結合相鄰兩項差值不大于可以得到，接下來，只需證明存在滿足條件的即可．用和公差表示出，并展開可以發現多項式的最高次項為，而已知，因此在足夠大時顯然成立．結論得證.【詳解】解：（1）數列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差數列”

取分別為1，3，5，7，9，11，13即可；

數列②2，，，，不是“弱等差數列”

否則，若數列②為“弱等差數列”，則存在實數構成等差數列，設公差為，

，

，又與矛盾，所以數列②2，，，，不是“弱等差數列”；

（2）證明：設，

令，取，則，

則，

，

，

就有，命題成立．

故數列為“弱等差數列”；（3）若存在這樣的正整數，使得

成立．

因為，，

則，其中待定．

從而，

又，∴當時，總成立．

如果取適當的，使得，又有

所以，有

，

為使得，需要，

上式左側展開為關于的多項式，最高次項為，其次數為，

故，對于任意給定正整數，當充分大時，上述不等式總成立，即總存在滿足條件的正整數，使得等比數列：是一個長度為的“弱等差數列”.【點睛】本題要求學生能夠從已知分析出“弱等差數列”要想成立所應該具備的要求，進而進行推理，轉化，最后進行驗證，本題難度相當大.18、（1）見詳解；（2）【解析】

（1）連接交于點，連接，利用線面平行的性質定理可得，從而可得為的中點，進而可證出（2）利用面面垂直的性質定理可得平面，從而可得三棱柱為直三棱柱，在中，根據等腰三角形的性質可得，進而可得棱柱的高為，利用柱體的體積公式即可求解.【詳解】（1）連接交于點，連接，如圖：由平面，且平面平面,所以，由為的中點，所以為的中點，又，（2）由四邊形是矩形，且平面平面ABC，所以平面，即三棱柱為直三棱柱，在中，，，，所以，因為直線與平面ABC所成角的正切值等于2，在中，，所以..【點睛】本題考查了線面平行的性質定理、面面垂直的性質定理，同時考查了線面角以及柱體的體積公式，屬于基礎題.19、（）【解析】

先化簡函數得到,再利用復合函數單調性原則結合整體法求單調區間即可.【詳解】,令,則,因為是的一次函數,且在定義域上單調遞增,所以要求的單調遞增區間,即求的單調遞減區間,即(),∴(),即(),∴函數的單調遞增區間為().【點睛】本題考查求復合型三角函數的單調區間,答題時注意,復合函數的單調性遵循“同增異減”法則.20、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用小矩形的面積和為,求得值,即可求得答案;（2）中位數的計算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標,即可求得答案;（3）據直方圖求出續駛里程在和續駛里程在的車輛數,利用排列組合和概率公式求出其中恰有一輛車的續駛里程在的概率,即可求得答案.【詳解】（1）由直方圖可得:（2）根據中位數的計算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標.直方圖可得:可得:輛純電動汽車續駛里程的中位數.（3）續駛里程在的車輛數為:續駛里程在第五組的車輛數為.從輛車中隨機抽取輛車,共有中抽法，其中恰有一輛車的續駛里程在的抽法有種，其中恰有一輛車的續駛里程在的概率為.【點睛】本題考查根據條型統計圖求數據的中位數和根據組合數求概率問題,解題關鍵是掌握條型統計圖基礎知識和概率的求法,