1.函數(shù)與方程（1）【知識(shí)歸納】一、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)(2)頂點(diǎn)式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。(3)兩根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)。2．二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)（1）a>0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，（2）a<0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，3．二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)時(shí)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1,0),M2(x2,0)，二、三個(gè)二次（二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式）的關(guān)系設(shè)a>0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根，△情況類型△>0△=0△<0圖象ax2+bx+c=0的解即函數(shù)零點(diǎn)x=x1或x=x2(x1<x2)x1=x2=（二重）無實(shí)數(shù)解ax2+bx+c>0解x<x1或x>x2x≠x1Rax2+bx+c<0解x1<x<x2ΦΦ注意：含參數(shù)的不等式ax＋bx＋c>0恒成立問題含參不等式ax＋bx＋c>0的解集是R；其解答分a＝0(驗(yàn)證bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）兩種情況三、實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)的關(guān)系：韋達(dá)定理：方程（）的二實(shí)根為、，則且①兩個(gè)正根，則需滿足，②兩個(gè)負(fù)根，則需滿足，③一正根和一負(fù)根，則需滿足四、一元二次方程根的分布條件根的分布x1<x2<kk<x1<x2x1<k<x2x1,x2∈(k1,k2)x1、x2有且僅有一個(gè)在(k1,k2)內(nèi)圖象充要條件說明：已知零點(diǎn)范圍確定相關(guān)字母的范圍：控制二次函數(shù)圖象的四個(gè)手段：a的正負(fù)；對(duì)稱軸范圍；判別式大于小于等于0；某些函數(shù)值（乘積）正負(fù)。【典型例題】關(guān)于二次函數(shù)問題例1．（1）已知，（a、b、c∈R），則有（）(A)(B)(C)(D)解析：法一：依題設(shè)有a·5－b·＋c＝0∴是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)實(shí)根；∴△＝≥0∴故選(B)法二：去分母，移項(xiàng)，兩邊平方得：≥10ac＋2·5a·c＝20ac∴故選(B)點(diǎn)評(píng)：解法一通過簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點(diǎn)，運(yùn)用方程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù)，運(yùn)用重要不等式，思路清晰，水到渠成。（2）已知函數(shù)若則與的大小關(guān)系為提示：其圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，∵，與的中點(diǎn)在(－1，)之間，∴到對(duì)稱軸的距離大于到對(duì)稱軸的距離，∴，答案為A．例2．已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1時(shí)有最大值2，求a的值。分析：一般配方后結(jié)合二次函數(shù)圖象對(duì)字母參數(shù)分類討論解：f(x)=-(x-a)2+a2-a+1(0≤x≤1),對(duì)稱軸x=a10a200≤a≤1時(shí)30a綜上所述：a=-1或a=2例3．已知二次函數(shù)為常數(shù)，且滿足條件：，且方程有等根（1）求的解析式；（2）是否存在實(shí)數(shù)、，使定義域和值域分別為［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說明理由解：（1）∵方程有等根，∴，得b=2．由知此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，得，故．（2），∴4n1，即而拋物線的對(duì)稱軸為∴時(shí)，在［m，n］上為增函數(shù)若滿足題設(shè)條件的m，n存在，則，又，∴，這時(shí)定義域?yàn)椋郇C2，0］，值域?yàn)椋郇C8，0］由以上知滿足條件的m、n存在，．二、關(guān)于根的分布問題例4．已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，求m的取值范圍。(2)若方程兩根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，求m的范圍。解：設(shè)f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由題意畫出示意圖（2）例5．若關(guān)于x的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)，則原方程可變?yōu)棰僭匠逃袑?shí)根，即方程①有正根．令(1)方程①有兩個(gè)正實(shí)根，則解得；（2）方程①有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根，則，解得：．（3）得，符合題意綜上：【補(bǔ)充作業(yè)】1．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍.解：設(shè)，原方程化為：，即…………①原問題等價(jià)于方程①有兩個(gè)不同的正根，解得：.2．方程在（-1，1）上有實(shí)根，求k的取值范圍。解法一：方程有兩解時(shí)，，方程只有一解時(shí)。綜合可得：解法二：變量分離法：因?yàn)椋傻枚魏瘮?shù)的值域?yàn)?．已知，t∈[