人教版數學中考綜合模擬檢測試題

學校班級姓名成績

一、選擇題

1.下列各數中，最小的數是（）

A.0B.-2C.1D.一百

2.式子J7T2在實數范圍內有意義，則X的取值范圍為（）

A.x>-2B.x>2C.x<2D.xW-2

3.若一個口袋中裝有2個紅球和一個黑球，對于“從中摸出一個球是紅球”這個事件，下列說法正確是

（）

A.發生的可能性為！B.是不可能事件C.隨機事件D.必然事件

3

4.下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

K勘B.R

5.已知某個幾何體主視圖和俯視圖分別如下，則該幾何體可能為（）

6.中國古代人民很早就在生產生活中發現了許多有趣的數學問題，其中《孫子算經》中有個問題：今有三人

共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每三人乘一車,

最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問有多少人，多少輛車？如果我們設有X

輛車，則可列方程（）

A.3(x-2)=2x+9B.3(x+2)=2x-9

X-x-9x+9

C.—F2D.1-2=

322

7.從0,1,2,3這四個數中任取一個數記為。，則關于x的不等式（a—2）x>3（a—2）的解集為x<3的概

率是（）

111

A.-B.-C.-D.1

432

8.反比例函數y=H?的圖象上有兩點A（a—l,y）,3（。+1,必），若X<必，則。的取值范圍（）

x

A.a<-\B.a>\C.-l<a<lD.這樣的。值不存在

9.如圖，半徑為3的口。與五邊形的邊相切于點A，C,連接。4交6C于點，，連接08.若

ZD+NE=240°，HC=3BH,則口ABO的面積為（）

3

B.。石

A3后C.-73D.2G

24

10.在《九章算術》方田章“圓田術”中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓

周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術所體現的是一種無限與有限的轉化的思想，比如在

l+g+5+最■+&+…中，"…”代表按規律不斷求和,設1+（+*+:+J+…=%?則有

「1111C

x=l+—x,解得x=2,故1+m+…=2類似地1+1■+￥■+于+…的結果為（)

2

496

--C-2

A.3B.85D.

二、填空題

11.計算的結果是.

12.據2020年3月16日中央電視臺“戰疫情?看數據變化”報道，截止3月15日24時止的前八天，31個省

市和新疆生產建設兵團報告新增確診病例數（單位：例）如下表：

3月8日3月9日3月10日3月11日3月12日3月13日3月14日3月15日

401824158112016

這組數據的中位數是.

21

13.計算一一+二一結果為.

a-1\-a

14.如圖，在菱形ABCD中，過點A作分別交B￡＞，BC于點E，H,尸為E￡＞的中點,

15.已知二次函數丁=奴2+法_3（。70）的圖象的頂點在第三象限，且經過點A（l,0）,則f的取

值范圍為.

3

16.如圖，在DABC中，NC=90°，點。為AC邊上一點，ZABD=45°.tanZA=-,若3c=21,

4

則0c的長為

三、解答題

17.計算：（2x2^—x-x3-x4.

18.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZB=ZD，E是OC延長線上一點，連接4E,求證:

ZE=ZBAE.

19.某中學全體同學參加了“關懷貧困學生”愛心捐款活動，該校隨機抽查了七、八、九三個年級部分學生

捐款情況，將結果繪制成兩幅不完整的統計圖.根據圖中的信息，解決下列問題:

Aft

4：捐款5元

8：拍款10元

C:捐款15元

。：指款20元

￡捐款25元

捐款

金領（元）

（1）這次共抽查了名學生進行統計，其中。類所對應扇形的圓心角的度數為

（2）將條形統計圖補充完整;

（3）該校有200（）名學生，估計該校捐款25元的學生有多少人？

20.橫、縱坐標均為整數的點稱為格點，如圖，口的。的三個頂點A（2,l）,3（6,3）,C（3,3）均為格點,

上的點。（4,2）也為格點，用無刻度的直尺作圖：

（1）將線段A。繞點A順時針旋轉90。，得到線段AE，寫出格點E的坐標；

（2）將線段AE平移至線段CM,使點A與點C重合，直接寫出格點M的坐標;

（3）畫出線段AC關于CM對稱的線段CH，保留作圖痕跡.

21.如圖，四邊形A3C。內接于口。，AB=AC,N84O=90°，延長AO,8C交于點尸，過點。作□。

的切線，交BF于點、E.

EF5DF

22.受“新冠”疫情的影響，某銷售商在網上銷售A、B兩種型號的“手寫板”，獲利頗豐.已知A型，B

型手寫板進價、售價和每日銷量如表格所示:

進價（元/個）售價（元/個）銷量（個/日）

A型600900200

B型8001200400

根據市場行情，該銷售商對A型手寫板降價銷售，同時對3型手寫板提高售價，此時發現A型手寫板每降

低5元就可多賣1個，B型手寫板每提高5元就少賣1個，要保持每天銷售總量不變，設其中A型手寫板每

天多銷售x個，每天總獲利的利潤為N元

（1）求y與X之間的函數關系式并寫出X的取值范圍；

（2）要使每天的利潤不低于234000元，直接寫出x的取值范圍；

（3）該銷售商決定每銷售一個5型手寫板，就捐。元給（0＜。＜100）因“新冠疫情”影響的困難家庭，當

30WXW40時，每天的最大利潤為229200元，求。的值.

23.在口48。與△ABZ）中，ZDBA=NCAB,AC與BD交于點、F，

（1）如圖1,若NDAF=/CBF,求證：AD=3C；

圖1

(2)如圖2,ZD=135°,ZC=45°,AD=五,AC=4,求BD長;

圖2

(3)如圖3,若NO84=18°,NO=108。，ZC=72%AD=1,直接寫出08的長.

B

圖3

24.如圖1,己知拋物線丁=0?+法+。的頂點為「(1,9),與x軸的交點為A(—2,0),B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)M為x軸上方拋物線上的一點，例8與拋物線的對稱軸交于點C,若/COB=2/CBO,求點M的

坐標；

(3)如圖2,將原拋物線沿對稱軸平移后得到新拋物線為丁=0?+以+〃，E，產是新拋物線在第一象

限內互不重合的兩點，EG_Lx軸，軸，垂足分別為G,H,若始終存在這樣的點￡,F，滿足

UGECWHOF,求〃的取值范圍.

圖2

答案與解析

一、選擇題

1.下列各數中，最小的數是（）

A.0B.-2C.1D.-y/3

【答案】B

【解析】

【分析】

根據正實數都大于0,負實數都小于0,正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而小，進行比較.

【詳解】最小的數是-2,故選8.

【點睛】本題考查了比較實數的大小，要熟練掌握任意兩個實數比較大小的方法.（1）正實數都大于0,負

實數都小于0,正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而小.（2）利用數軸也可以比較任意兩個

實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小.

2.式子在實數范圍內有意義，則X的取值范圍為（）

A.x>-2B.x>2C.x<2D.xW—2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據二次根式有意義的條件得出x+220,求解即可.

【詳解】由題意知，x+2>0,

解得，x>-2,

故選A.

【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開方數為非負數.

3.若一個口袋中裝有2個紅球和一個黑球，對于“從中摸出一個球是紅球”這個事件，下列說法正確的是

（）

A.發生的可能性為1B.是不可能事件C.隨機事件D.必然事件

3

【答案】C

【解析】

【分析】

根據概率公式求出從中摸出一個球是紅球概率，然后利用隨機事件的定義進行求解.

【詳解】由題意知，P（從中摸出一個球是紅球）=-

3

“從中摸出一個球是紅球”是隨機事件，

故選C.

【點睛】本題考查隨機事件的定義，概率公式，如果A為隨機事件，那么O<P（A）<1.

4.下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

"?。⑤D.?

【答案】D

【解析】

【分析】

根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義進行判斷.

【詳解】A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查軸對稱圖形與中心對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義是解題

的關鍵.

5.已知某個幾何體的主視圖和俯視圖分別如下，則該幾何體可能為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

根據主視圖與俯視圖是分別從物體正面和上面看所得到的圖形，據此進行判斷.

【詳解】A、主視圖是由長方形與三角形連接而成，俯視圖是圓，不符合題意；

B、主視圖與俯視圖都是正方形，不符合題意；

C、符合題意；

D、主視圖與俯視圖都是三角形，不符合題意；

故選C.

【點睛】本題考查由三視圖判斷幾何體，熟練掌握三視圖的定義是解題的關鍵.

6.中國古代人民很早就在生產生活中發現了許多有趣的數學問題，其中《孫子算經》中有個問題：今有三人

共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每三人乘一車,

最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問有多少人，多少輛車？如果我們設有x

輛車，則可列方程（）

A.3（x-2）=2x+9B.3（x+2）=2x-9

【答案】A

【解析】

【分析】

根據每三人乘一車，最終剩余2輛車，每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，進而表示出總人數得出

等式即可.

【詳解】設有x輛車，則可列方程：

3（x-2）=2x+9.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，正確表示總人數是解題關鍵.

7.從0,1,2,3這四個數中任取一個數記為。，則關于X的不等式（。一2）%>3（。一2）的解集為*<3的概

率是（）

I11

A.—B.—C.-D.1

432

【答案】C

【解析】

【分析】

根據不等式的性質得出。-2<0,然后利用概率公式進行求解.

【詳解】由題意知，a—2<0,即a<2,

.,?滿足題意的4有0,1,

.?.關于x的不等式（。一2）》>3（。一2）的解集為％<3的概率為；，

故選C.

【點睛】本題考查不等式的解集，概率公式，熟練掌握不等式的性質與概率公式是解題的關鍵.

8.反比例函數>=幺二1的圖象上有兩點A（a-l,y）,B（a+1,%），若X<必，則。的取值范圍（）

x

A.a<-\B.a>\C.-l<a<lD.這樣的a值不存在

【答案】C

【解析】

【分析】

由左2+i>。得出在同一分支上，反比例函數y隨x的增大而減小，然后結合反比例函數的圖象進行求解.

【詳解】?.?爐+1〉（），

...在同一分支上，反比例函數y隨x的增大而減小，

：a-1<a+1,M<%，

???點A，8不可能在同一分支上，只能為位于不同的兩支上，

ci—1<0且a+1>（）,

；.一1<。<1,

故選C.

【點睛】本題考查反比例函數的圖象與性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵，注意反比例函數

的圖象有兩個分支.

9.如圖，半徑為3的□。與五邊形ABCDE的邊相切于點A，C,連接Q4交6C于點H,連接03.若

N￡>+ZE=240°，HC=3BH,則口ABO的面積為（）

A.373B.c3百D.2G

4

【答案】C

【解析】

【分析】

連接0C,過點C,2分別作A0垂線，垂足分別為Af,N,根據五邊形AOCQE的內角和與切線的性

質求出NAOC,解直角三角形求出MC,根據平行線分線段成比例求出8N,進而求解.

【詳解】連接0C,過點C，B分別作A0的垂線，垂足分別為“，N,

ZAOC+ZOCD+ZD+ZE+ZOAE=540°，ZD+NE=24O。，

ZOAE=ZOCD=90°,

.-.ZAOC=120°,

.-.ZMOC=60°，

:.CM=—OC=-V3>

22

'.CMVAO,BN工AO,

:.CMHBN,

BNBH\

,CM-CH-3'

32

:.SAB°=gAOBN=X，

故選C.

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了多邊形的內角和，切線的性質，解直角三角形，平行線分線段成比例,

巧作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

10.在《九章算術》方田章“圓田術”中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓

周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術所體現的是一種無限與有限的轉化的思想，比如在

1+]+要"++》+…中，"…”代表按規律不斷求和，設1+/+了'+初+g=X.則有

尤=l+；x,解得x=2,故1+；+/+9+/+…=2.類似地1+"+"+"+…的結果為(

)

496

A.—B.—C.-D.2

385

【答案】B

【解析】

【分析】

設1+"+"+"+…=x,仿照例題進行求解.

【詳解】設1+最+(+5+.-=%，

,111,1111、

則1+三+寸寸…鏟+*+/

,1

/.x=l+—X,

9

解得，X=—,

8

故選B.

【點睛】本題考查類比推理，一元一次方程的應用，理解題意，正確列出方程是解題的關鍵.

二、填空題

11.計算"的結果是.

【答案】2

【解析】

【分析】

根據算術平方根定義直接進行計算化簡即可

【詳解】a=2,故填2

【點睛】本題考查二次根式的化簡與性質，熟知算術平方根的定義是解題關鍵

12.據2020年3月16日中央電視臺“戰疫情?看數據變化”報道，截止3月15日24時止的前八天，31個省

市和新疆生產建設兵團報告新增確診病例數（單位：例）如下表：

3月8日3月9日3月10日3月11日3月12日3月13日3月14日3月15日

401824158112016

這組數據的中位數是.

【答案】17

【解析】

【分析】

將數據從小到大進行排列，然后取中間兩位數的平均數即可.

【詳解】將數據從小到大排列為：8,11,15,16,18,20,24,40,

.?.這組數據的中位數=①羽=17,

2

故答案為：17.

【點睛】本題考查中位數，將一組數據按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數據的個數是奇數,

則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是

這組數據的中位數.

2I

13.計算—；—的結果為_______.

a—11-a

【答案】一一—

【解析】

【分析】

根據異分母分式的加法運算法則進行求解.

21

【詳解】原式二［「7—n----T，

______2__________a+1

(Q+1)(Q-1)+，

2-(a+1)

_\-a

(o+l)(a—1)

1

a+1'

故答案為：一——.

a+1

【點睛】本題考查分式的加法運算，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵.

14.如圖，在菱形ABCD中，過點4作A〃_L5C,分別交BD,BC于點、E，H,尸為EO的中點，

/BAF=120°，則ZC的度數為—

【答案】140°

【解析】

【分析】

設NCBD=x,根據菱形的性質得出NAO3=NCBD=x,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

得出==然后根據兩直線平行，同旁內角互補求出x,進而求解.

【詳解】設NCBD=x,

???四邊形ABC。為菱形，

:.AD//BC,ZABD=/CBD=x,

ZADB—Z.CBD-x,

-：AH±BC,AD!IBC,

：.ZDAH=ZAHB=90。,

?.?/為ED的中點，

AF=FD,

：.ZFAD=ZADB=x,

'.?ZBAF=nQ0,

：.ZBAD^120°+x,

?：AD//BC,

:.ZBAD+ZABC=1SO°,

：.2x+120°+x=180°,

x=20°，

.?.ZB4D=120°+x=140°,

???四邊形ABC。為菱形，

.-.ZC=ZJR4D=140O,

故答案為：140°.

【點睛】本題考查菱形的性質，平行線的性質，直角三角形的性質，利用其性質找出有關角度的等量關系

是解題的關鍵.

15.已知二次函數)=內2+區一3(。力0)的圖象的頂點在第三象限，且經過點A(1,O),6(—1"),則r的取

值范圍為.

【答案】-6<t<Q

【解析】

【分析】

根據已知條件得出拋物線開口向上，a與匕的關系式，由頂點坐標公式求出a的取值范圍，將點8的坐標代

入二次函數的表達式中得到f與。的關系式，進而求解.

【詳解】???拋物線,=62+以-3過點(1,0)和(0,-3),且頂點在第三象限，

，拋物線開口向上，a+b-3=O,

:.a>09b=3-a,

又：-乙。，

2a

:.b>0,

.,.3-a>0,即a<3,

的取值范圍為O〈a<3,

二?拋物線、=3!+法-3經過點(-1,/;),

:.t=a—h—3=ci—(3—ct\—3=a—3+a—3=2a—6,

*/0<a<3,

.-.-6<r<0.

故f的取值范圍為-6<r<0,

故答案為：-6</<0.

【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，利用二次函數的性質求出a的取值范圍是解題的關鍵.

3

16.如圖，在口48。中，NC=90°，點。為4c邊上一點，NABO=45°，tanZA=-,若8C=21,

4

則DC的長為.

I)

H-

【答案】3

【解析】

【分析】

過點。作BO的垂線交AB于點E，過點E作七尸_LAC,垂足為尸，證明口3。2。尸上，得出

EFBC

DF=BC=2\,EF=CD,設8=麻=3尤，根據tanNA=—=——進行求解.

AFAC

【詳解】過點。作8。的垂線交A3于點E，過點E作EbLAC,垂足為尸，

?.?Z/WD=45°,

DE-BD，

又NC=90°，

ZCBD+ZBDC=90°,ZEDF+ZBDC=90°,

"CBD=/EDF,

又NC=/EFD=90°,

：DBCD^\DFE,

：.DF=BC=2\,EF=CD,

設。。=所=3工，

,rtanZ/A“=EF=—3,

AF4

AF-4x,

AC-AF+CD+DF-4x+3x+21=7x+21,

又tanzL4==—,BC=21,

AC4

AC=28,

.-.7x+21=28,

??X—\,

CD=3x=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查解直角三角形，全等三角形的判定與性質，巧作輔助線構造全等三角形與正確應用同角

的三角函數值相等是解題的關鍵.

三、解答題

17.計算:Qi)—x-x3-%4.

【答案】15x8

【解析】

【分析】

根據積的乘方運算法則，幕的乘方運算法則，同底數幕的乘法運算對各項進行化簡，最后相減即可.

【詳解】解：原式=24.卜2『一工8=]6f—必=[5*8.

【點睛】本題考查整式的混合運算，熟練掌握積的乘方運算法則，募的乘方運算法則，同底數累的乘法運

算是解題的關鍵.

18.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZB=ZD，E是。C延長線上一點，連接4E，求證：

ZE=ZBAE.

DCE

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

根據已知條件證明AB//OC即可.

【詳解】證明：?.?AO//3C,

：.ZD=ZBCE,

?;ZB=ZD，

:.ZB=ZBCE,

:.AB//DC,

;.ZE=ZBAE.

【點睛】本題考查平行線的判定與性質，熟練運用平行線的判定與性質是解題的關鍵.

19.某中學全體同學參加了“關懷貧困學生”愛心捐款活動，該校隨機抽查了七、八、九三個年級部分學生

捐款情況，將結果繪制成兩幅不完整的統計圖.根據圖中的信息，解決下列問題:

捐款5元

B-M10元

C：捐款15元

。:捐款20元

￡：捐款25元

（1）這次共抽查了名學生進行統計，其中。類所對應扇形的圓心角的度數為

（2）將條形統計圖補充完整；

（3）該校有200（）名學生，估計該校捐款25元學生有多少人？

【答案】（1）50.50.4°；（2）補圖見解析；⑶160人

【解析】

【分析】

（1）根據C類所含的人數與所占的百分比求解總人數，D類所占的百分比乘以360"即為。類所對應扇形

的圓心角的度數；

（2）結合（1）求出捐款10元的人數，然后補全條形統計圖即可：

（3）將學校總人數乘以捐款25元所占百分比即可.

【詳解】解：（1）14-5-28%=50（人）；

7

—X360°=50.4°；

50

，這次共抽查了5（）名學生進行統計，其中。類所對應扇形的圓心角的度數為50.4。，

故答案為：5（）,50.4°；

（2）捐款10元的人數為：50-9-14-7-4=16（人）,

補全條形統計圖如圖所示；

人數

50

答：估計該校捐款25元的學生有160人.

【點睛】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，用樣本估計總體，讀懂統計圖，從不同的統

計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.

20.橫、縱坐標均為整數點稱為格點，如圖，口抽。的三個頂點A（2,l）,B（6,3）,C（3,3）均為格點,

AB上的點Z）（4,2）也為格點，用無刻度的直尺作圖:

（1）將線段A。繞點A順時針旋轉90。，得到線段AE，寫出格點￡的坐標；

（2）將線段4E平移至線段CM,使點A與點。重合，直接寫出格點M的坐標;

（3）畫出線段AC關于CM對稱的線段C",保留作圖痕跡.

【答案】（1）作圖見解析，E（3,-l）；（2）作圖見解析，M（4,l）；（3）作圖見解析

【解析】

【分析】

（1）根據旋轉的性質作出線段AE，進而得出點E的坐標;

（2）根據平行的性質作出線段CM,進而得出點M的坐標；

（3）取點尸（5,3）,N（6,l）,連接N/交AB于點H,連接CH即可.

【詳解】解：（1）如圖，線段AE即為所求，￡（3,-1）；

（2）如圖，線段CM即為所求，M（4,l）；

⑶取點尸（5,3）,N（6,l）,連接NF交A3于點“，連接C“，則C”即為所求.

理由如下：

設CM與A8交于點G,易證C///MN,CF=MN=2,

四邊形CW*為平行四邊形，

：.FN//CM,

?;AM=MN,

AG=GH,

-.-AEYAB,CM//AE,

：.CMA.AB,

故CM垂直平分A”，

線段AC關于CM對稱的線段為CH.

【點睛】本題考查利用旋轉，平移與軸對稱的性質作圖，平行四邊形的判定與性質，結合網格的特點，熟

練應用旋轉，平移與軸對稱的性質是解題的關鍵.

21.如圖，四邊形ABC。內接于口。，AB^AC,NBA。=90°，延長AO，BC交于點尸，過點。作□。

的切線，交BF于點、E.

【解析】

【分析】

(1)連接30，由圓周角定理與圓內接四邊形的性質得出NCDRu/ADB,由圓周角定理的推論知BD為

口。的直徑，可得出ZF+NCOF=9()°,利用切線的性質得出/4￡)3+/￡：。「=90°,進而得證；

(2)連接OB,OC,AC,A0,并延長A。交8C于點”，設EC=3,證明口￡￡)。口口所。，可求

出BE的長，根據垂直平分線的判定定理知A0垂直平分8C,進而可得出。C//AH,最后根據平行線分

線段成比例進行求解.

【詳解】解：(1)連接8D，?.?AB=AC,

:.ZABC=ZADB,

?.■ZABC+ZADC^iSO°,ZCDF+ZADC=180°,

：.ZABC=ZCDF,

：.ZCDF=ZADB，

QNB4D=90。，

.?.BO為口。的直徑，

:.ZDCB=90°,

:.ZDCF=90。,

ZF+ZCDF^90°,

?.?QE為口。的切線,

.?.NODE=90°,

：.ZADB+ZEDF=90°，

-ZCDF^ZADB,

:"F=ZEDF,

:.DE=EF-,

CE3

(2):—=-,

EF5

設EC=3,則￡F=5,CF=3+5=8,

ZBDE=NDCE=90°,ZDEC=/DEB,

：DEDC[T]EBD,

.BEDE_5

"~DE~~CE~3'

25

BE=-DE

33

2516

BC=BE-CE=——3

3T

連接OB,OC，AC,AO,并延長AO交6c于點H,

\AB=AC,

又?.?OB=OC,

.?.AO垂直平分BC,

1Q

BH=HC=-BC=~,

23

\-AH±BC,DC上BC,

：.DC//AH,

ADHCSoI

DFCF33

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理及其推論，切線的性質，圓內接四邊形的性質，相似三角

形的判定與性質，平行線分線段成比例，第（2）題巧作輔助線，構造相似三角形是解題的關鍵.

22.受“新冠”疫情的影響，某銷售商在網上銷售A、8兩種型號的“手寫板”，獲利頗豐.已知A型，B

型手寫板進價、售價和每日銷量如表格所示：

進價（元/個）售價（元/個）銷量（個/日）

A型600900200

3型8001200400

根據市場行情，該銷售商對A型手寫板降價銷售，同時對B型手寫板提高售價，此時發現A型手寫板每降

低5元就可多賣1個，3型手寫板每提高5元就少賣1個，要保持每天銷售總量不變，設其中A型手寫板每

天多銷售x個，每天總獲利的利潤為y元

（1）求》與》之間的函數關系式并寫出工的取值范圍；

（2）要使每天的利潤不低于234000元，直接寫出x的取值范圍；

(3)該銷售商決定每銷售一個3型手寫板，就捐。元給(。<。<100)因“新冠疫情”影響的困難家庭，當

30WXW40時，每天的最大利潤為2292(X)元，求。的值.

【答案】(1)y=-10x2+900x+220000(0<x<60),且x為整數；(2)2()WxW60,且x為整數:

(3)a=30

【解析】

【分析】

(1)設A型手寫板每天多銷售％個，則8型手寫板每天少銷售》個，根據總獲利的利潤,等于銷售A型手

寫板所獲利潤加上銷售B型手寫板所獲利潤，根據每件銷售的利潤，每日的銷量都為非負數且x為非負整

數求出x的取值范圍；

(2)結合(1)將總利潤函數進行配方，求出當y=234000時的x值，結合圖象得到每天的利潤不低于

234000元時的x的取值范圍，進而求解；

(3)設捐款后每天的利潤為卬元，則卬=丁-(400-x)a,然后利用二次函數的性質進行求解.

【詳解】解：⑴y=(900-600-5x)(200+x)+(1200-800+5x)(400-x),

化簡得，y=-10x2+900x+220000,

x>0

由題意知，<300-5x20,

400-x>0

解得，04x460,

故x的取值范圍為0=尤<60且x為整數；

(2)x的取值范圍為2()?xW6(),

理由如下：y=-10x2+900x+220000=—10(x-451+240250,

當y=234000時，一1。(工一45)2+240250=234000，

.??(X-45y=625,x-45=±25,

/.x-2()或％=70,

要使yN234000,由圖象知，20<%<70；

,/0<x<60,

.\20<x<60,且X為整數；

(3)設捐款后每天的利潤為印元,

則卬=—10*+900x+22(XXX)-(4(X)-x)a=-1Ox2+(900+a)x+220000—4(X)a,

900+a.,a

對稱軸為x-......=45H---,

2020

,/0<a<100,

.-.45+—>45,

20

???拋物線開口向下，當30<x<40時，卬隨x的增大而增大，

當x=40時，w最大，

.-.-16(X)0+40(900+a)+22(XXX)-400a=229200,

解得，a=30.

【點睛】本題考查二次函數的應用，正確理解題意，列出二次函數的表達式是解題的關鍵，第(2)(3)題

可結合二次函數的圖象進行求解.

23.在口ABC與△45。中，ZDBA=ZCAB,AC與30交于點F，

(1)如圖1,若/DAF=NCBF,求證：AD=BC；

圖1

(2)如圖2,/。=135。，ZC=45°,AD=WAC=4,求BO的長;

圖2

(3)如圖3,若N￡>84=18°,ZD=108°,ZC=72".">=1,直接寫出的長.

圖3

【答案】（1）證明見解析；（2）BD=2；（3）。8=藥必

2

【解析】

【分析】

（1）根據三角形內角和定理得出NO=NC，利用AAS證明口/MB空CB4即可；

（2）在FC上取一點E，使得NFBE=NDAF,結合（D知口￡1鉆與田4,根據全等三角形的性質求

出NEBC=900,利用勾股定理求出CE的長，進而求解；

（3）在FC上取一點E，使得NFBE=NZM尸，結合（1）知口八4的口即4，利用全等的性質得出

EF=EB=T，4尸=所="=1+￡。，證明EJCBEmCFB,利用相似三角形的性質求出CE,最后根

據DB=AE=FA+EF進行求解.

【詳解】解：（1）,;NDFA=NCFB,ZDAF=ZCBF,

；.ZD=NC,

?;/DBA=NCAB,AB=AB，

:[]DAB^：CBA,

AD=BC；

（2）在FC上取一點E，使得NFBE=NDAF，

由（1）知，UDAB^EBA,

:.BE=AD3,DB=AE，N5E4=NBn4=135°,

.?.N5EC=45。，

vZC=45°,

:.BC=BE=丘,NEBC=90°,

:.ECABE2+BC?=2,

vAC=4,

...AE=AC—EC=4—2=2,

;.BD=AE=2；

由（1）知口ZM8軍石B4,

:.BE=AD=\，DB=AE，ZBE4=ZBZM=108°,

：.ZBEC=72°,

vZC=72°,

:.BC=BE=1,ZEBC=36°,

易證NC=NEBC=72°,NFB=/EBF=36。,

又ADBA=NCAB,

EF-EB—1>AF—FB=FC=1+EC>

易證IZCBE口口CEB,

BCCE,

???—=—>BC?=CECF，

CrBC

:.CECF=1,

CE（CE+1）=1,即C￡：2+CE-1=O,

-1+V5

CE=

2

;.FC=CE+EF=^^~，

AF=FB=FC=上芭

2

=AE=弘+"=止31=三亞.

22

圖3

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，結合第(1)題構造全等三角形是

解題的關鍵.

24.如圖1,已知拋物線y=o?+0x+c的頂點為尸(1,9),與x軸的交點為A(—2,0),B.

(1)求拋物線的解析式;

(2)M為x軸上方拋物線上的一點，MB與拋物線的對稱軸交于點C,若NCOB=2/CBO,求點M的

坐標;

(3)如圖2,將原拋物線沿對稱軸平移后得到新拋物線為y=+笈+〃，E，/是新拋物線在第一象

限內互不重合的兩點，軸，PHLx軸，垂足分別為G,H,若始終存在這樣的點E，F，滿足

OGEO^JHOF,求〃的取值范圍.

【答案】(