相交線與平行線上第五章

I

5.相交線

■易混淆垂線、垂線段、點到直線的距離的概念

?易錯題

下列說法中，正確的是（）

A從直線外一點到已知直線的垂線段叫作這點到直線的

距離

B.過直線外一點畫已知直線的垂線，垂線的長度是這點到

已知直線的距離

C.畫出直線外一點到已知直線的距離

D.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段

最短

正解:選項A中垂線段與點到直線的距離是不同的概念;選

項B中垂線是直線，沒有長度;選項C中點到直線的距離是

數量，數量不能畫.答案:D

易錯提示：易因混淆垂線、垂線段與點到直線的距離的概念

而出錯.

1

--全易通

悟區：垂線是直線，沒有長度；垂線段是線段，有長度；點到

直線的距離是一個數量.

易錯點2垂線的畫法錯誤

?易錯題

已知：點P是線段AB外一點（如下圖所示），請過點P作直

線PCJ_AB,垂足為C.

?P

AB

正解：作圖如下圖.

P

ABC

易錯提示:過一點作已知線段或射線的垂線時容易誤認為

垂足一定在線段或射線上,從而造成作圖錯誤.

悟區：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂

線，垂足可能在線段或射線上，也有可能在線段的延長線上

或射線的反向延長線上.

-2-

全易通

易錯點3識別同位角、內錯角、同旁內角時易出錯

?易錯題

下列圖形中，N1與N2是同位角的是（）

正解:選項A中，N1和N2是直線CQ,CE被直線AE所截

形成的，分別在直線CQ,CE上方，在直線AB的左側，它們

是同位角.答案:A

易錯提示：本題易只看到選項C中N1在CD下方，/2在

EF下方,Nl,/2均在AB的左側，并沒有看到NL/2并

非三線所成的角，而錯選C

悟區:解決相交線中角的關系時，應牢牢把握兩點：（1）準確

判定三線；（2）抓住同位角、內錯角、同旁內角的位置特征.

3

「全易通

5.2平行線及其判定

易錯點■在判定直線平行時,易因條件不全而出錯

?易錯題

下列說法中，正確的個數是（）

①若a〃-〃乩則a〃必②平行于同一直線的兩直線

也互相平行;③垂直于同一直線的兩直線互相平行;④過一

點有且只有一條直線與這條直線平行.

A1B.2C.3D.4

正解:③忽略了“在同一平面內”這個前提，④忽略了“過直

線外一點”這個前提，只有①②正確.答案;E

易錯提示：易忽略前提條件，誤認為③④正確.

悟區:在使用定義、定理時，一定要注意它們成立的前提條

件，只有滿足了全部條件，結論才能成立.

易錯點2利用“內錯角相等，兩直線平行”判定兩直線平行

時出錯

?易錯題

如右圖.

（1）由Nl=/3可判定哪兩條直線

平行？

（2）在（1）的條件下由ZBAD=

—4—

二全易通

NDC'B可判定哪兩條直線平行？

正解：(1)???N1=N3,，A0H.?

(2)???NR4D=NDCB，N1=N3,

??.N2=/BAD—N1=/DCB—N3=N4,

.??AB〃CD.?

易錯提示:?易錯為AB〃CD

?易錯為AQ〃BC.

悟區：分別分離出含Nl,/3和N2,/4的基本圖形，如圖

①②,因此當N1=N3時，AD〃口C；當N2=N4時，A5

//CD.

5.3平行線的性質

易錯點忽略了同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補

的前提條件而出錯

如下圖，已知直線被直線c所截，以下結論正確的有

()

5

二全易通

①/1=N2；②N1=N3；

③N2=N3；④N3+/4=I8O°.

A1個B.2個

C.3個D.4個

正解:題目并沒有給出。〃兒所以Q和b可能相交，此時不

符合平行線三個性質成立的前提條件，所以②③④均不一

定正確，只有①正確，依據是“對頂角相等”.答案:A

易錯提示：易誤認為。〃人而錯選D.

悟區：平行線的性質和判定的題設與結論正好相反，應用平

行線的性質時，注意不能忽略平行線的性質成立的前提

條件.

及特累對命題的結構理解不準確而出錯

?易錯題

將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式：

(1)同角的余角相等；

(2)直角都相等.

正解：(1)如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角

相等.

-6—

二全易通

（2）如果兩個或多個角都是直角，那么這些角相等.

易錯提示：（1）在命題的題設和結論不明確的情況下，分不

清哪是題設、哪是結論；（2）不能正確地理解某些概念在敘

述命題的語句中的地位和意義，如同角、余角、直角；（3）缺

乏把簡單句變換成復合句的語法知識.

悟區：注意審題，分清命題的題設和結論，然后進行改寫.

5.4平移

易錯點不能正確分析圖形平移的條件，把握不準平移的

方向和距離

?易錯題

如下圖，把三角形ABC向右平移2cm,請你作出平移后的

圖形.

正解：下圖中的三角形A'B'C'即為所作圖形.

7

全易通

易錯提示：根據平移的定義，只要把三角形ABC中的三個

頂點分別向右平移2cm即可，易因三個頂點A,B.C移動

的距離不一樣而作出錯誤的圖形.

悟區：圖形平移的關鍵是確定平移的方向和距離，這里的距

離主要是指相應關鍵點之間的距離.

8

二:全易通

實數匕第六章

6.1平方根

易錯點1求平方根易漏掉負值

?易錯題

已知工會=0.16,則x=.

正解：V(±0.4)2=0.16,/.x=±0.4.答案：土0.4

易錯提示：易受思維定式的影響，認為*=0.16=0.42,則

%=0.4.

悟區：已知了2=0.16,并沒有指明x為非負數，所以x應為

0.16的平方根，而不是算術平方根.0.16的平方根有兩個,

它們是土0.4.

易錯點2求小的平方根時，易誤解為化簡一

?易錯題

箔的平方根是

9

-?全易通

正解：因為，2及-16.16的平方根是土4,所以/標的平

方根是±4.答案：±4

易錯提示：易將求256的算術平方根的平方根錯當成求256

的平方根.

悟區:認真審題是關鍵，按順序先求，標=16,再求出16

的平方根為土4.

易錯點3】求帶分數的算術平方根時易出錯

?易錯題

錯誤.

悟區:求帶分數的平方根或算術平方根時，一般要先將帶分

數轉化為假分數，再求其平方根或算術平方根.另外還要區

別。與土后的含義,避免出現符號錯誤.

10

全易通

6.2立方根

易錯點1[易誤以為負數沒有立方根

?易錯題

當x取時，x~2有意義.

正解：???任何數都有立方根，

???7取任何數，方式都有意義.答案：任何數

易錯提示：易受算術平方根的影響，誤以為R—2>0時,

方百才有意義.

悟區：任何數都有立方根，也就是說，無論被開方數力一2是

正數、負數還是0,方花都有意義.

易錯點2[易混淆立方根和平方根的定義

?易錯題

一個數的平方等于64,則這個數的立方根是.

正解：設這個數為龍，則有*=64.即力=±8.當x=8時，

右=2；當i=—8時，右=—2.答案：2或一2

易錯提示:本題易誤將它的立方根合寫成土2.

悟區：一個正數的平方根有兩個，且互為相反數，而一個數

的立方根只有一個.

11

金易通

鹿池求含有“k”的式子的立方根時易出錯

?易錯題

求jriN的立方根.

正解：:歷歷=8,8的立方根是2,

，器12的立方根是2.

易錯提示:本題易誤求512的立方根.

悟區：一定要明確是求的立方根，而不是求512的立

方根.正確理解題意是解題的關鍵.

6.3實數

給實數分類時，易混淆有理數和無理數

?易錯題

下列各數中哪些是有理數？哪些是無理數？

,0.21,痣，溝,—

正解：因為冗是無理數，一；是有理數，而無理數與非零有

理數的積是無理數，所以一號是無理數?；因為年是分數,

O????

所以是有理數；因為0.21是無限循環小數，所以0.21是

—12—

---全易通

有理數；因為招，相開方開不盡，所以它們是無理數?；因

為一。6=—4,所以一，花是有理數.

易錯提示：?易錯認為一號為分數，從而把一號視為有

00

理數.

?易錯認為溝=3,從而把溝■視為有理數.

悟區：常見的無理數有三種：開方開不盡的數的方根，如

V2,V3;含有n的數，如2兀，菅；無限不循環小數，如

0.5050050005…（相鄰兩個5之間0的個數逐次加1）.判

斷有理數（或無理數）時，應先將原數化簡.

施國8比較實數大小時易出錯

?易錯題

試將下列各實數按從小到大的順序排列，并用“V”連接

起來：

—2,1—A/5,1—以,々,1.414.

□

正解：???西〉a-1>2,

1一汽<-2.

O

VI-^-=1.4,72=1.41421…，

0

Al-1-<1.414<V2.

0

13

-：全易通

o

-75<1-7T<-2<1卷VL414<V2.

易錯提示：兩個負數比較大小時，易錯誤地認為絕對值大的

那個數就大，絕對值小的那個數就小.

悟區：比較實數大小時，先將實數根據性質符號分成兩類,

然后分別比較大小，最后根據正數大于一切負數整體比較.

14

■全易通

平面直角坐標系上第七章

7.1平面直角坐標系

易錯點【易將點的橫、縱坐標相混淆而出現錯誤

?易錯題

已知點P到1軸的距離是2,到)軸的距離是1,求點P的

坐標.

正解：點P到1軸的距離是2,說明點P的縱坐標為2或

一2；點尸到'軸的距離是L說明點P的橫坐標為1或

—1,因此認為點P的坐標有四種情況，分別是(1,2),(1,

-2),(-1,2),(-1,-2).

易錯提示:本題易出現兩種錯誤：一是忽略橫、縱坐標符號,

出現漏解情況；二是把橫、縱坐標的位置寫顛倒.

悟區：點到久軸的距離是指該點縱坐標的絕對值，點到V軸

的距離是指該點橫坐標的絕對值.

15

「全易通

7.2坐標方法的簡單應用

易錯點L混淆點的坐標的平移規律

?易錯題

把圖①中的三角形ABC經過一定的變換得到圖②中的三

角形A'B'C'.如果三角形ABC中點P的坐標為（a力），那么

對應點P'在圖②中的坐標為（）

C.（a+3,6+2）D.（a+2,6+3）

正解：由題圖可知，三角形A'B'C'是三角形ABC先向右平

移3個單位長度，再向上平移2個單位長度得到的，所以點

P的坐標為（a+3,6+2）.答案：C

易錯提示:容易出現的錯誤是橫、縱坐標弄反，或記為左加

右減.

悟區:熟練掌握平面內點平移時坐標的變化規律是解題的

關鍵.

16

-「全易通

易錯點2將坐標系的平移與點的平移相混淆

?易錯題

已知坐標平面內點A(—2,4),如果將坐標系向左平移3個

單位長度，再向上平移2個單位長度，那么平移后點A的坐

標為多少？

正解：坐標系向左平移相當于點向右平移，坐標系向上平移

相當于點向下平移，所以本題可以看作坐標系不動，點A先

向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度.-2+3

=1,4—2=2,所以平移后點A的坐標為(1,2).

易錯提示：易誤認為坐標系向左平移，點也向左平移；坐標

系向上平移，點也向上平移，而得平移后點A的坐標為

(—5,6).

悟區:認真讀題，分清坐標系的平移與點的平移，掌握二者

之間的區別與聯系.

17

全易通

二元一次方程組上第八章

8.1二元一次方程組

對二元一次方程的定義理解錯誤

?易錯題

判斷下列方程是不是二元一次方程：

(1)6%—2=5w-F3+3z；

(2)」~+y=7；

x

(3)JC—y；

(4)zy+x+y=l.

正解：(1)原方程經整理化簡后變為3%—5吻=5,是二元一

次方程；

(2)不是整式方程，因而不是二元一次方程；

(3)z—y不是等式，也不是方程，更不是二元一次方程；

(4)中“zy”項的次數是2,不是L因而也不是二元一次

方程.

所以只有(1)是二元一次方程.

18

二「全易通

易錯提示：易錯認為只要含有兩個未知數的方程就是二元

一次方程.

悟區：判斷二元一次方程時，首先對所給出的方程進行整理

變形，再分析是否滿足以下條件：(1)含有兩個未知數;

(2)所含未知數的項的次數都是1；(3)是整式方程.

易錯點2,易忽略隱含條件“未知數系數不為0”而出錯

?易錯題

已知關于的二元一次方程(m+2)i阿一1+熄,=5,求

m."的值.

‘7n+2W0,

正解：由二元一次方程的定義，得彳|m|-l=b

、2〃=1,

’m豐一2,

Im=2,

解得/機=—2,所以《］

1n=~r.

.n=~29

易錯提示：易忽略系數不為0,即m+2H0,而錯解為m=2

或m一一2.

悟區:根據二元一次方程的定義求待定字母的值時，要注意

隱含條件的限制.

19

全易通

8.2消元一解二元一次方程組

易錯點■當兩個方程相減時，容易出現符號錯誤

?易錯題

21-5y=10,①

解方程組

2jc—y=14.②

正解:①-②，得—4y=-4,

所以3=1.

15

把y=l代入②，得

15

力=為，

所以這個方程組的解是

k】

易錯提示:①與②相減時，易錯為一6)=—4.

悟區:用減法進行消元時，若減數中含有“一”號，一定要注

20

<■,全易通

正解：①X4,得16i—12；y=4.③

②X3,得18%—12)=—6.④

③一④，得一2z=10,1=-5.

把工=-5代入①，得y=-7.

所以這個方程組的解是廣—5，

\y=~7.

易錯提示：當用①X4或②X3時，常數項易漏乘.

悟區:在用加減法解二元一次方程組時，為了把兩個方程中

某一未知數的系數化成相反或相等的數，應根據等式的性

質，在方程兩邊乘同一個不等于0的數.

8.3實際問題與二元一次方程組

易錯點L對問題中的關鍵詞理解錯誤

?易錯題

有一群鴿子，其中一部分在樹上唱歌，另一部分在地上覓

食，樹上的鴿子對地上的鴿子說:“若從你們中飛上來一只,

則地上的鴿子是整群鴿子的若從樹上飛下去一只，則

O

地上、樹上的鴿子一樣多

你知道原來樹上、地上各有多少只鴿子嗎？

21

全易通

正解：設原來樹上有1只鴿子，地上有y只鴿子.

由題意，得尸7（2

-7

,

y=5.

答:原來樹上有7只稿子，地上有5只鬻子-

易錯提示：易將第二個方程列為工-1=）而出錯.

悟區：樹上飛下去一只鴿子時，樹上還有包一1）只鴿子，而

地上增加了一只鴿子，故地上應有3+D只鴿子.

漏（錯）寫單位或單位不統一

?易錯題

莊老師要在規定時間內由甲地趕往乙地，如果他以每小時

50km的速度行駛，就會遲到24min,如果他以每小時

75km的速度行駛，則可提前24min到達乙地，求甲、乙兩

地之間的距離.

正解:設甲、乙兩地之間的距離為skm?,從甲地到乙地的

規定時間為上K95

‘￡=,24

但如0上，口50一'—60'—

根據題意，得＜?—?

s_Z4

.75=r-60-

22

;二全易通

(s=120,

解這個方程組，得

\%=2.

答：甲、乙兩地之間的距離為120km.

易錯提示:?設未知數時漏寫單位；

?方程兩邊的單位不統一.

悟區:在列方程之前，一定要統一單位，防止出現方程兩邊

單位不統一的現象.

?易錯題

'2力+)+3之=1,①

解方程組J38—23+22=2,②

、-4%+4?-z=-1.③

正解：①X2+②，得4z+3z+6%+2z=4,

即71+8z=4.④

②X2+③，得6N—4a+4力-2=2X2—1,

即2%+32=3.⑤

12

7N+8Z：=4T

聯立④⑤，得

2R+3N=3

5,

23

二：.全易通

5，

把＜代入①，得:y=-2.

片可13

(__12

A—"T，

所以這個三元一次方程組的解為1'=-2,

卜一1百3

易錯提示：易在第一步中①X2時,未知數的系數及常數項

漏乘2,在②X2時也犯同樣的錯誤.

悟區：方程兩邊乘同一個常數時，需在方程兩邊同時乘，注

意不要漏乘任何一項.

24

-：■全易通

不等式與不等式組y第九章

9.1不等式

易錯點C運月不等式的性質3時因未改變不等號的方向

而出錯

?易錯題

對不等式一3%>1變形正確的是（）

A兩邊除以一3,得V>一4

B.兩邊除以一3,得久V——

C.兩邊除以一3,得工〉—3

D.兩邊除以一3,得］V—3

正解：-3￡>1兩邊除以一3,得力V—I-.答案：B

0

易錯提示:不等式兩邊除以一3時易出現不改變不等號方

向的錯誤.

悟區;運用不等式的性質3時，要改變不等號的方向.

25

全易遹

易錯點2,易混淆實心圓點與空心圓圈的用法

?易錯題

在數軸上表示2.

正解:在數軸上表示如下圖.

-2-101

易錯提示：易將一2處的實心圓點標為空心圓圈而出錯.

悟區:用數軸表示不等式的解集的規律為：大于向右畫，小

于向左畫；有等號畫實心圓點，無等號畫空心圓圈.

9.2—元一次不等式

9.2.1解一元一次不等式

10^1在解一元一次不等式的過程中出現錯誤

?易錯題

解不等式紅>>1+寓并在數軸上表示解集.

正解：去分母，得2(2Z+1)>6+3(31-1).

去括號，得4工+2>6十9%—3.

移項、合并同類項，得一5支〉1.

——26——

-/全易赭

系數化為1,得―

這個不等式的解集在數軸上的表示如下圖所示.

?--1—1?

-1-10

5

易錯提示:解此不等式時往往會出現以下錯誤:①去分母時

常數項1漏乘6；②忽略分子的整體性，即去分母后，分子

2之+1和3a：—1未加上括號；③9久和2移項時，未變號;

④系數化為1時不等式兩邊除以一5,但忘記改變不等號的

方向；⑤用數軸表示解集時，在定界點時易忽略空心圓圈和

實心圓點的區別.

悟區：為了避免發生上述錯誤，在解一元一次不等式時，一

定要正確應用不等式的性質，每個步驟都不要疏忽大意.

9.2.2一元一次不等式的應用

收僦―未能正確理解關鍵詞而出錯

?易錯題

甲、乙兩地相距30km,小李要從甲地到乙地辦事，若他以

5km/h的速度前行可按時到達.現在小李走了3h后因為

有事停留了0.5h,為了不遲到，小李后未的速度至少是

多少？

27

全易通

正解：設小李后來的速度是久km/h

根據題意，得3X5+（巖-3-0.5）z>30,

解得

經檢驗，不等式的解集符合題意.

答：小李后來的速度至少是6km/h.

易錯提示:易因對關鍵詞理解不準確導致列錯不等式.

悟區:解此類題目的關鍵是找到題目中隱含的不等關系，然

后列出不等式，通過解不等式求出符合題意的答案.

9.3—元一次不等式組

易錯點1利用數軸求一元一次不等式組的解集時，易取錯

解集

?易錯題

力一2>0,①

解不等式組

%+3Vo.②

正解：解不等式①，得1>2.

解不等式②，得zV—3.

在同一條數軸上表示出不等式①和②的解集，如下圖所示.

-3-2-1012

—28—

?.；全易通

所以該不等式組無解.

易錯提示：易錯解得不等式組的解集為①>2或工<一3.

悟區:利用數軸求一元一次不等式組的解集時，先求每個不

等式的解集,然后將其在數軸上表示出來，若兩個解集不存

在公共部分，則這個不等式組無解.

囪蜜?易混淆解一元一次不等式組與解二元一次方程

組的步驟

?易錯題

1—2(久+3)《11,①

解不等式組/

虧x+2(i+3)&3.②

正解:解不等式①，得G—掌

解不等式②，得K&—

所以不等式組的解集是一號-J".

易錯提示：易將解二元一次方程組的加減消元法用于解不

等式組而出錯.

悟區:先分別求出不等式①②的解集，再求出它們解集的公

共部分，即可得到不等式組的解集.

29

全易通

數據的收集、整理與描述上第十章

10.1統計調查

易錯點L對總體、個體、樣本及樣本容量的概念理解不透

徹而出錯

?易錯題

要了解一塊玉米地里所有玉米的平均產量，從中抽取100

棵玉米，用這100棵玉米的平均產量去估計這塊地里所有

玉米的平均產量.在這個問題中，總體是什么？個體是什

么？樣本是什么？樣本容量是多少？

正解：玉米地里所有玉米的平均產量是總體;每棵玉米的產

量是個體;從中抽取的100棵玉米的平均產量是樣本;樣本

容量是100.

易錯提示:本題易出錯的根本原因在于沒有明確本次考察

的目的，考察對象是玉米地里所有玉米的平均產量，而非玉

米本身.另外，易對樣本容量的意義理解錯誤.

悟區:本題考察的對象是玉米地里所有玉米的平均產量，所

以其總體與個體均離不開“產量”.解題時應明確考察的對

—30—

象及其目的，依據考察的目的確定考察對象的總體與個體.

易錯點2,對統計表的內涵理解不透徹而產生錯誤

?易錯題

通過調查發